y=f(x)
O kk
3 2
1 x
2 1
01
;4!;X의 분산은 V { X}=;1¡6;V(X)=1이므로 V(X)=r¤ =16한편, 정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로
m= =90이다.
∴ m+r¤ =106
02
확률변수 X를 표준화하면 Z= 에서X=n이면 Z=0,
X=60이면 Z=1이므로 =1
∴ n=40
03
확률변수 X가 정규분포 N(100, 5¤ )을 따르므로P(95…X…110)=P { …Z… }
P(95…X…110)=P(-1…Z…2)
P(95…X…110)=P(-1…Z…0)+P(0…Z…2) P(95…X…110)=P(0…Z…1)+P(0…Z…2) P(95…X…110)=0.3413+0.4772
P(95…X…110)=0.8185
04
생산되는 제품의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(36, 4¤ )을 따른다.∴ P(32…X…44)=P { …Z… }
∴ P(32…X…44)=P(-1…Z…2)
∴ P(32…X…44)=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
∴ P(32…X…44)=0.3413+0.4772
=0.8185
05
한 달 동안 참고서 구입 비용을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(7, 2¤ )을 따른다.∴ P(Xæ4)=P {Zæ }
∴ P(Xæ4)=P(Zæ-1.5)
=P(-1.5…Z…0)+0.5
=0.5+P(0…Z…1.5)
∴ P(Xæ4)=0.5+0.4332
=0.9332
06
응시자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(67, 10¤ ) 4-72
44-36 4 32-36
4
110-100 5 95-100
5 60-n
;2N;
X-n
;2N;
80+100 2
1 4
01
10602
4003
⑤04
④05
⑤06
④07
①14
본문079쪽
정규분포
을 따른다. 합격자의 최저 점수를 a라 하면
∴ P(190…X…210)=P(0.5…Z…1.5)
∴ P(190…X…210)=P(0…Z…1.5)-P(0…Z…0.5)
∴ P(190…X…210)=0.4332-0.1915=0.2417
09
토마토 줄기의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(30, 2¤ )을 따른다.∴ P(27…X…32)=P { …Z… }
∴ P(27…X…32)=P(-1.5…Z…1)
=P(0…Z…1.5)+P(0…Z…1)
∴ P(1.3…X…1.8)=P(-1…Z…1.5)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)
=0.3413+0.4332
=0.7745
11
학생 1명의 시험 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(500, 25¤ )을 따른다.∴ P(475…X…550)
∴=P { …Z… }
∴=P(-1…Z…2)
∴=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
∴=0.3413+0.4772
=0.8185
즉, P {0…Z… }=0.5-0.242=0.258 이므로
=0.7
∴ m=170
∴ P(Xæ180)=P {Zæ }
∴ P(Xæ180)=P(Zæ1)
∴ P(Xæ180)=0.5-P(0…Z…1)
∴ P(Xæ180)=0.5-0.3413
=0.1587
13
특정 자극에 대한 반응 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분 포 N(m, 1¤ )을 따르므로P(X<2.93)=P {Z< } P(X<2.93)=P(Z<-m+2.93) P(X<2.93)=P(Z>m-2.93) P(X<2.93)=0.1003
즉, P(0…Z…m-2.93)=0.5-0.1003=0.3997 이므로
유형`14. 정규분포
43
P(Xæ80)=P {Zæ }=0.09 즉, P {0…Z… }=0.5-0.09=0.41 이므로
=1.34
∴ m+1.34r=80 yy`㉠
P(Yæ80)=P {Zæ }=0.15 즉, P {0…Z… }=0.5-0.15=0.35 이므로
=1.04
∴ m+1.04r=77 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=66.6, r=10
∴ m+r=76.6
17
P(Xæ64)=P(X…56)이므로E(X)= =60
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =3616-3600=16
∴ r(X)=4
즉, 확률변수 X는 정규분포 N(60, 4¤ )을 따르므로 P(X…68)=P {Z… }=P(Z…2) 주어진 표준정규분포표에서
∴ P(X…68)=P(Z…2)
=0.5+P(0…Z…2)
따라서 m=;1@2&;=;4(;
19
확률변수 X는 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로 P(m…X…m+12)-P(X…m-12)=P { …Z… }-P {Z… }
=P {0…Z… }-P {Z… }
=P {0…Z… }-P {Zæ }
=0.3664㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠ yy㉠
P {0…Z… }+P {Zæ }=0.5㉠㉠ yy㉡
㉠, ㉡에서
P {0…Z… }=0.4332이므로 =1.5
∴ r= =8
20
확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로 P(X…3)=0.3에서 0.3<0.5이므로 3<m이고, P(X…3)=P {Z… }=0.52, m-3=0.52r yy㉠
=0.25, 80-m=0.25r yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=55, r=100
∴ m+r=155
㉠, ㉡에서 13<m<15 m은 자연수이므로 m=14
∴ P(17…X…18)=P { …Z… }
∴ P(17…X…18)=P(0.6…Z…0.8)
∴ P(17…X…18)=P(0…Z…0.8)-P(0…Z…0.6)
∴ P(17…X…18)=0.288-0.226
=0.062 P(Yæ26)æ0.5이므로 mæ26이다.
또 f(12)=g(26)이므로 m=26+2=28
즉, 확률변수 Y는 정규분포 N(28, 4¤ )을 따른다.
∴ P(Y…20)=P {Z… }
∴ P(Y…20)=P(Z…-2)
∴ P(Y…20)=P(Zæ2)
∴ P(Y…20)=0.5-P(0…Z…2)
∴ P(Y…20)=0.5-0.4772
=0.0228
y=f(x) y=g(x)
24
③25
④26
①27
①28
①29
6630
②본문`082`~`083쪽
유형`14. 정규분포
45
즉, P {0…Z… }=0.5-0.16=0.34이므로
=1
∴ a=450
따라서 합격자의 최저 점수는 450점이다.
26
A, B 두 부대의 사병의 키를 각각 확률변수 X, Y라 하면 X는 정규분포 N(174.2, 10¤ )을 따르고, Y는 정규분포 N(m, 15¤ ) 을 따르므로P(Xæ185)=P {Zæ } P(Xæ185)=P(Zæ1.08)
P(Xæ185)=0.5-P(0…Z…1.08) P(Xæ185)=0.5-0.36
=0.14
두 부대의 사병의 수는 같고, B부대에서 키가 185 이상인 사병의 수는 A부대에서 키가 185 이상인 사병의 수의 ;2!;이므로 P(Yæ185)=P {Zæ }
P(Yæ185)=;2!;_0.14=0.07
즉, P {0…Z… }=0.5-0.07=0.43이므로
=1.48
∴ m=162.8
27
34세 남성 중 결혼한 남성의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항 분포 B(100, 0.8)을 따르므로E(X)=100_0.8=80 V(X)=100_0.8_0.2=16
즉, 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(80, 4¤ )을 따르므로 P(Xæ90)=P {Zæ }
P(Xæ90)=P(Zæ2.5)
P(Xæ90)=0.5-P(0…Z…2.5) P(Xæ90)=0.5-0.4938
=0.0062
28
A출판사의 수학 교재를 구입할 확률은;1™0;=;5!;
B또는 C출판사의 영어 교재를 구입할 확률은
;1™0;+;1£0;=;2!;
즉, A출판사의 수학 교재와 B 또는 C출판사의 영어 교재를 구입 할 확률은
;5!;_;2!;=;1¡0;
학생 400명 중 A출판사의 수학 교재와 B 또는 C출판사의 영어 교재를 구입하는 학생의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {400, ;1¡0;}을 따르므로
90-80 4 185-m
15
185-m 15
185-m 15 185-174.2
10 a-430
20
a-430 20
E(X)=400_;1¡0;=40 V(X)=400_;1¡0;_;1ª0;=36
따라서 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(40, 6¤ )을 따르 므로
P(Xæ52)=P {Zæ } P(Xæ52)=P(Zæ2)
P(Xæ52)=0.5-P(0…Z…2) P(Xæ52)=0.5-0.4772
=0.0228
29
P(Xæ54)=P(54…X…m)+P(Xæm)=0.3413+0.5
=P(0…Z…1.0)+0.5
이므로 =1
m-54=r yy㉠
P(X…69)=P(X…m)+P(m…X…69)
=0.5+0.4332
=0.5+P(0…Z…1.5)
이므로 =1.5
69-m=1.5r yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 r=6, m=60
∴ m+r=66
30
f(100-x)=f(100+x)이므로 f(x)는 x=100에 대하여 대칭이다.∴ m=100
P(100…X…108)=P(0…Z…2)=0.4772이므로
=2
∴ r=4
∴ P(94…X…110)=P{ …Z… }
∴ P(94…X…110)=P(-1.5…Z…2.5)
∴ P(94…X…110)=P(0…Z…1.5)+P(0…Z…2.5)
∴ P(94…X…110)=0.4332+0.4938
=0.9270
110-100 4 94-100
4 108-100
r 69-m
r m-54
r
52-40 6
01
모집단이 정규분포 N(28, 3¤ )을 따르고 표본의 크기가 36이므로 E(X’)=28r(X’)= =;2!;
∴ E(X’)r(X’)=28_;2!;=14
02
모집단이 정규분포 N(10, 4)를 따르고 표본의 크기가 2이므로 E(X’)=10V(X’)=;2$;=2
V(X’)=E(X’¤ )-{E(X’)}¤
이므로
E(X’¤ )=V(X’)+{E(X’)}¤
=2+10¤
=102
03
건전지의 수명을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(60, 4¤ ) 을 따르므로 임의추출한 크기가 16인 표본의 표본평균 X’는 정규 분포 N {60, }, 즉 N(60, 1¤ )을 따른다.∴ P(X’æ62)=P {Zæ }
∴ P(Xæ62)=P(Zæ2)
∴ P(Xæ62)=0.5-P(0…Z…2)
∴ P(Xæ62)=0.5-0.48
=0.02
∴ 100a=100_0.02=2
04
모집단이 정규분포 N(50, 10¤ )을 따르고 표본의 크기가 25이므 로 표본평균 X’는 정규분포 N{50, }, 즉 N(50, 2¤ )을 따 른다.∴ P(46…X’…52)
∴=P { …Z… }
∴=P(-2…Z…1)
∴=P(0…Z…2)+P(0…Z…1)
∴=0.4772+0.3413
=0.8185
05
모집단이 정규분포 N(100, 8¤ )을 따르고 표본의 크기가 n이므 로 표본평균 X’는 정규분포 N {100, { }¤}을 따른다.
8 'n 52-50
2 46-50
2
10¤
25 62-60
1 4¤
16 3 '3å6
∴ P(98…X’…102)=P
¶
…Z…•
∴ P(98…X…102)=P {- …Z… }
∴ P(98…X…102)=0.9544 즉, P {0…Z… }=0.4772이므로
=2, 'ßn =8
∴ n=64
06
r(X’)= = =2'n=7
∴ n=49