2020 풍산자 라이트 수학상 답지 정답

(1)

수학(상)

풍산자

필수 개념 연계 문항들로 빠르게 끝내는 단기 완성서

(2)

0

7

A=(xÛ`-x+2)(3x-1)+2x+3 =3xÜ`-xÛ`-3xÛ`+x+6x-2+2x+3 =3xÜ`-4xÛ`+9x+1

정

답

과

풀

이

0

1

⑴ x에 대하여 내림차순으로 정리하면 4xyÛ`+2x+3xÜ`+xÛ`y-3y+1 =3xÜ`+yxÛ`+(4yÛ`+2)x-3y+1 ⑵ y에 대하여 오름차순으로 정리하면 4xyÛ`+2x+3xÜ`+xÛ`y-3y+1 =3xÜ`+2x+1+(xÛ`-3)y+4xyÛ`

0

2

A-(2B-A)+3C =A-2B+A+3C =2A-2B+3C =2(-xÜ`+xÛ`-x+2)-2(xÜ`-2xÛ`+3x) +3(2xÜ`+xÛ`-1) =-2xÜ`+2xÛ`-2x+4-2xÜ`+4xÛ`-6x+6xÜ`+3xÛ`-3 =2xÜ`+9xÛ`-8x+1

0

3

2X-A=3A-2B에서 2X=3A-2B+A=4A-2B ∴ X=2A-B =2(xÛ`+2xy-3yÛ`)-(5xÛ`+3xy+yÛ`) =2xÛ`+4xy-6yÛ`-5xÛ`-3xy-yÛ` =-3xÛ`+xy-7yÛ`

0

4

A+BC=(xÜ`+2xÛ`+1)+(-3xÛ`+x)(x-3) =xÜ`+2xÛ`+1-3xÜ`+9xÛ`+xÛ`-3x =-2xÜ`+12xÛ`-3x+1

0

5

(4xÛ`-3x+1)(xÛ`+x-2)를 전개하였을 때, xÛ`항이 나오 는 부분만 계산하면 4xÛ`_(-2)+(-3x)_x+1_xÛ` =-8xÛ`-3xÛ`+xÛ` =-10xÛ` 따라서 xÛ`의 계수는 -10이다.

0

6

몫: x-4, 나머지: 2x-3 x- 4 xÛ`-2 xÜ`-4xÛ` +5 xÜ -2 x -4xÛ`+ 2 x+5  -4 xÛ` + 8 2 x- 3 p. 06

01

⑴ 3xÜ`+yxÛ`+(4yÛ`+2)x-3y+1 ⑵ 3xÜ`+2x+1+(xÛ`-3)y+4xyÛ`

02

②

03

④

04

-2xÜ`+12xÛ`-3x+1

05

③

06

풀이 참조

07

3xÜ`-4xÛ`+9x+1

다항식의 사칙연산

0

1

⑴ (a-b+c)Û` =aÛ`+(-b)Û`+cÛ`+2a_(-b)+2_(-b)_c+2ca =aÛ`+bÛ`+cÛ`-2ab-2bc+2ca ⑵ (x+3y)Ü` =xÜ`+3xÛ`_(3y)+3x_(3y)Û`+(3y)Ü` =xÜ`+9xÛ`y+27xyÛ`+27yÜ` ⑶ (a-1)(aÛ`+a+1)=aÜ`-1 ⑷ (x+2y)(xÛ`-2xy+4yÛ`) =(x+2y){xÛ`-x_(2y)+(2y)Û`} =xÜ`+(2y)Ü` =xÜ`+8yÜ`

0

2

⑴ (a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`) ={(a-b)(a+b)}(aÛ`+bÛ`) =(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`) =(aÛ`)Û`-(bÛ`)Û` =aÝ`-bÝ` ⑵ (x+3)(x-3)(xÛ`+3x+9)(xÛ`-3x+9) ={(x+3)(xÛ`-3x+9)}{(x-3)(xÛ`+3x+9)} =(xÜ`+27)(xÜ`-27) =(xÜ`)Û`-27Û` =xß`-729

0

3

(a-2b+c)Û`=aÛ`+4bÛ`+cÛ`-4ab-4bc+2ca이므로 aÛ`+4bÛ`+cÛ` =(a-2b+c)Û`+4ab+4bc-2ca =16+30 =46

0

4

한 모서리의 길이가 a-1인 정육면체의 부피는 (a-1)Ü`=aÜ`-3aÛ`+3a-1 한 모서리의 길이가 a+1인 정육면체의 부피는 (a+1)Ü`=aÜ`+3aÛ`+3a+1 p. 08

01

⑴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-2ab-2bc+2ca ⑵ xÜ`+9xÛ`y+27xyÛ`+27yÜ` ⑶ aÜ`-1 ⑷ xÜ`+8yÜ`

02

⑴ aÝ`-bÝ` ⑵ xß`-729

03

④

04

2aÜ`+6a

05

④

06

18

07

②

곱셈 공식

02

정답과 풀이 풍산자특강수학(상-2-48)정답1-4.indd 2 2018-10-24 오후 3:40:31

(3)

따라서 두 정육면체의 부피의 합은 (aÜ`-3aÛ`+3a-1)+(aÜ`+3aÛ`+3a+1) =2aÜ`+6a

0

5

(xÛ`+2x-3)(xÛ`+2x-1) yy ㉠㉠을 전개하였을 때, xÜ`항이 나오는 부분만 계산하면 xÛ`_2x+2x_xÛ` =2xÜ`+2xÜ` =4xÜ` ∴ a=4 ㉠을 전개하였을 때, x항이 나오는 부분만 계산하면 2x_(-1)+(-3)_2x=-2x-6x =-8x ∴ b=-8 ∴ a-b=4-(-8)=12 다른 풀이 xÛ`+2x=X라고 하면 (xÛ`+2x-3)(xÛ`+2x-1) =(X-3)(X-1) =XÛ`-4X+3 =(xÛ`+2x)Û`-4(xÛ`+2x)+3 =xÝ`+4xÜ`+4xÛ`-4xÛ`-8x+3 =xÝ`+4xÜ`-8x+3 따라서 a=4, b=-8이므로 a-b=4-(-8)=12

0

6

xÛ`+ 1 xÛ`={x+;[!;}2`-2이므로 {x+;[!;}2`=xÛ`+ 1 xÛ`+2=7+2=9 ∴ x+;[!;=3 (∵ `x>0) ∴ xÜ`+ 1 xÜ`={x+;[!;}3`-3{x+;[!;} =3Ü`-3_3 =27-9=18

0

7

주어진 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라고 하면 대각선의 길이가 10이므로 피타고라스 정리에 의하여 aÛ`+bÛ`=10Û`=100 넓이가 48이므로 ab=48 ∴ (a+b)Û` =aÛ`+bÛ`+2ab =100+2_48 =196 이때 a+b>0이므로 a+b=14 따라서 구하는 둘레의 길이는 2(a+b)=2_14=28

0

1

①

0

2

③

0

3

0

4

⑤

0

5

xÜ`-xÛ`-2x-1

0

6

④

0

7

⑤

0

8

20

0

9

④

10

①

11

①

12

①

13

③

14

⑤

15

④

16

④

17

④

18

④

19

⑤

20

④

21

6'3

22

⑤

23

②

실력

확인 문제

p. 10

0

1

A+2B=(5xÛ`-9x+1)+2(2xÛ`+3x-4) =5xÛ`-9x+1+4xÛ`+6x-8 =9xÛ`-3x-7

0

2

X-A=B에서 X=A+B  =(3xÛ`+2x-3)+(5x-2) =3xÛ`+7x-5

0

3

_5xÛ`+7x+3 _A _3xÛ`+5x+1 f(x) B 4xÛ`+6x+2 6xÛ`+8x+4 5xÛ`+7x+3+A+3xÛ`+5x+1=6xÛ`+12x이므로 A+8xÛ`+12x+4=6xÛ`+12x ∴ A=(6xÛ`+12x)-(8xÛ`+12x+4)=-2xÛ`-4 A+B+6xÛ`+8x+4=6xÛ`+12x이므로 (-2xÛ`-4)+B+(6xÛ`+8x+4)=6xÛ`+12x B+4xÛ`+8x=6xÛ`+12x ∴ B=6xÛ`+12x-(4xÛ`+8x)=2xÛ`+4x f(x)+B+4xÛ`+6x+2=6xÛ`+12x이므로 f(x)+(2xÛ`+4x)+(4xÛ`+6x+2)=6xÛ`+12x f(x)+6xÛ`+10x+2=6xÛ`+12x ∴ f(x) =6xÛ`+12x-(6xÛ`+10x+2)=2x-2 ∴ f(1) =2_1-2=0 참고 표의 각 칸에 조건에 맞도록 배열되는 다항식을 구하면 다 음과 같다. _5xÛ`+7x+3 _-2xÛ`-4 _3xÛ`+5x+1 2x-2 2xÛ`+4x 4xÛ`+6x+2 xÛ`+3x-1 6xÛ`+8x+4 -xÛ`+x-3

0

4

(-xÜ`+4x-1)△(2xÜ`+3xÛ`-5) =-2(-xÜ`+4x-1)+(2xÜ`+3xÛ`-5) =2xÜ`-8x+2+2xÜ`+3xÛ`-5 =4xÜ`+3xÛ`-8x-3

0

5

A+2B=3xÜ`-xÛ`+x yy ㉠ 2A-B=xÜ`+3xÛ`+12x+5 yy ㉡ 2_㉠-㉡을 하면 5B=5xÜ`-5xÛ`-10x-5

(4)

∴ B=xÜ`-xÛ`-2x-1 참고 ㉠+2_㉡을 하면 5A=5xÜ`+5xÛ`+25x+10 ∴ A=xÜ`+xÛ`+5x+2

0

6

(3xÛ`-x+2)(xÛ`+2x-3) =3xÝ`+6xÜ`-9xÛ`-xÜ`-2xÛ`+3x+2xÛ`+4x-6 =3xÝ`+5xÜ`-9xÛ`+7x-6 따라서 a=5, b=-9, c=7이므로 a+b+c=3 다른 풀이 (3xÛ`-x+2)(xÛ`+2x-3)을 전개하였을 때, xÜ`항, xÛ`항, x항이 나오는 부분만 계산하면 각각 다음과 같다. 3xÛ`_2x+(-x)_xÛ`=6xÜ`-xÜ`=5xÜ` 3xÛ`_(-3)+(-x)_2x+2_xÛ` =-9xÛ`-2xÛ`+2xÛ`=-9xÛ` (-x)_(-3)+2_2x=3x+4x=7x 따라서 a=5, b=-9, c=7이므로 a+b+c=5+(-9)+7=3

0

7

[1단계] (x+1)(x+2)(x-3)(x-4) ={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)} =(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8) [2단계] xÛ`-2x=X라고 하면 (주어진 식) =(X-3)(X-8) =XÛ`-11X+24 =(xÛ`-2x)Û`-11(xÛ`-2x)+24 =xÝ`-4xÜ`+4xÛ`-11xÛ`+22x+24 =xÝ`-4xÜ`-7xÛ`+22x+24 [3단계] 따라서 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 1+(-4)+(-7)+22+24=36 다른 풀이 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 주어진 식의 x 에 1을 대입하여 얻은 값과 같으므로 (1+1)(1+2)(1-3)(1-4) =2_3_(-2)_(-3) =36 참고 전개한 다항식이 _{a¼+aÁx+aªxÛ`+ y +aÇxÇ`} 의 꼴일 때 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 _{a¼+aÁ+aª+ y +aÇ`} 이고 이것은 x=1일 때의 값이므로 다항식의 전개식에서 계수들의 총합을 구할 때는 다항식에 x=1을 대입한다.

0

8

(1+2x+3xÛ`+`y`+9xÚ`â`)Û` =(1+2x+3xÛ`+`y`+9xÚ`â`)(1+2x+3xÛ`+`y`+9xÚ`â`) 이므로 xÜ`항이 나오는 부분만 계산하면 1_4xÜ`+2x_3xÛ`+3xÛ`_2x+4xÜ`_1 =4xÜ`+6xÜ`+6xÜ`+4xÜ` =20xÜ` 따라서 xÜ`의 계수는 20이다.

0

9

따라서 a=3, b=2, c=4이므로 a+b-c=3+2-4=1

10

A =(xÛ`-4x+2)(3x+2)+x-4 =3xÜ`+2xÛ`-12xÛ`-8x+6x+4+x-4 =3xÜ`-10xÛ`-x

11

따라서 Q(x)=5x+7, R(x)=21x+2 이므로 Q(2)+R(-1) =(5_2+7)+{21_(-1)+2} =17-19 =-2

12

다항식 xÜ`-6xÛ`+7x+a가 xÛ`-x+2로 나누어떨어지므 로 나머지가 0이 되어야 한다. 즉, a+10=0이어야 하므로 a=-10 또, 몫이 x+b이므로 b=-5 ∴ a+b=-10+(-5)=-15 3x+2 xÛ`-x 3xÜ`- xÛ`+2x+5 3xÜ`-3xÛ` 2xÛ`+2x+5 2xÛ`-2x 4x+5 5x+7 xÛ`-2x-1 5xÜ`- 3xÛ`+2x-5 5xÜ`-10xÛ`-5x 7xÛ` +7x-5 7xÛ`-14x-7 21x+2 x-5 xÛ`-x+2 xÜ`-6xÛ`+7x+a xÜ`-` xÛ`+2x -5xÛ`+5x+a -5xÛ`+5x-10 a+10

04

정답과 풀이 풍산자특강수학(상-2-48)정답1-4.indd 4 2018-10-25 오전 10:23:54

(5)

13

③ (3x-y)Ü` =(3x)Ü`-3_(3x)Û`_y+3_3x_yÛ`-yÜ` =27xÜ`-27xÛ`y+9xyÛ`-yÜ`

14

<xÛ`-2x-1, xÛ`-x> =(xÛ`-2x-1)Û`-(xÛ`-2x-1)(xÛ`-x)+(xÛ`-x)Û` =xÝ`+4xÛ`+1-4xÜ`+4x-2xÛ`-(xÝ`-xÜ`-2xÜ`+2xÛ`-xÛ`+x) +xÝ`-2xÜ`+xÛ` =xÝ`-4xÜ`+2xÛ`+4x+1-(xÝ`-3xÜ`+xÛ`+x) +xÝ`-2xÜ`+xÛ` =xÝ`-4xÜ`+2xÛ`+4x+1-xÝ`+3xÜ`-xÛ`-x +xÝ`-2xÜ`+xÛ` =xÝ`-3xÜ`+2xÛ`+3x+1 따라서 xÛ`의 계수는 2이다. 다른 풀이 <xÛ`-2x-1, xÛ`-x> =(xÛ`-2x-1)Û`-(xÛ`-2x-1)(xÛ`-x)+(xÛ`-x)Û` =(xÛ`-2x-1)(xÛ`-2x-1)-(xÛ`-2x-1)(xÛ`-x) +(xÛ`-x)(xÛ`-x) 위 전개식에서 xÛ`항이 나오는 부분만 계산하면 xÛ`_(-1)+(-2x)_(-2x)+(-1)_xÛ` -{(-2x)_(-x)+(-1)_xÛ`}+(-x)_(-x) =-xÛ`+4xÛ`-xÛ`-(2xÛ`-xÛ`)+xÛ` =2xÛ`-xÛ`+xÛ`=2xÛ` 따라서 xÛ`의 계수는 2이다.

15

(x-1)(x+1)(xÛ`+1)(xÝ`+1)(x¡`+1) =(xÛ`-1)(xÛ`+1)(xÝ`+1)(x¡`+1) =(xÝ`-1)(xÝ`+1)(x¡`+1) =(x¡`-1)(x¡`+1) =xÚ`ß`-1=20-1=19

16

(4+3)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`) =(4-3)(4+3)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`) =(4Û`-3Û`)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`) =(4Ý`-3Ý`)(4Ý`+3Ý`) =4¡`-3¡`

17

(5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1) =(5-1)(5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1)₄ = (5Û`-1)(5Û`+1)(5Ý`+1)₄ ` =(5Ý`-1)(5Ý`+1)₄ = 5¡`-1₄ 따라서 m=4, n=8이므로 m+n=4+8=12

18

[1단계] (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로 2Û`=6+2(ab+bc+ca) 2(ab+bc+ca)=-2 ∴ ab+bc+ca=-1 [2단계] a+b+c=2에서 a+b=2-c, b+c=2-a, c+a=2-b [3단계] ∴ (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b) =(2-c)(2-a)+(2-a)(2-b)+(2-b)(2-c) =4-2a-2c+ac+4-2b-2a+ab+4-2c-2b+bc =12-4(a+b+c)+ab+bc+ca =12-4_2+(-1)=3

19

한 변의 길이가 각각 a, 2b인 두 정사각형의 넓이는 각각 aÛ`, (2b)Û`=4bÛ`이고, 이들의 합이 가로, 세로의 길이가 각 각 a, b인 직사각형의 넓이의 5배이므로 aÛ`+4bÛ`=5ab=5_4=20 (∵ ab=4) 한 변의 길이가 a+2b인 정사각형의 넓이는 (a+2b)Û` =aÛ`+4ab+4bÛ` =(aÛ`+4bÛ`)+4ab =20+4_4=36

20

xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)이므로 19=1Ü`-3xy_1, 3xy=-18 ∴ xy=-6 ∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy =1Û`-2_(-6)=13

21

[1단계] xÛ`=4-2'3, yÛ`=4+2'3이므로 xÛ`+yÛ`=(4-2'3)+(4+2'3)=8 xÛ`yÛ` =(4-2'3)(4+2'3)=4Û`-(2'3)Û` =16-12=4 ∴ xy=2 (∵ x>0, y>0) [2단계] (x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy=8+2_2=12이므로 x+y=2'3 (∵ x>0, y>0) [3단계]

∴ yÛ`_{x +}xÛ`_{y =}xÜ`+yÜ`_{xy =}(x+y)Ü`-3xy(x+y)_xy =(2'3)Ü`-3_2_2'3₂ =12₂'3

=6'3

22

x+0이므로 xÛ`-3x-1=0의 양변을 x로 나누면

(6)

0

1

ㄱ. x=1일 때에만 등호가 성립하므로 항등식이 아니다. ㄹ. x=3일 때에만 등호가 성립하므로 항등식이 아니다. 따라서 항등식인 것은 ㄴ, ㄷ이다.

0

2

⑴ (a-2)xÛ`+(b+3)x+c-1=0이 x에 대한 항등식이 므로 a-2=0, b+3=0, c-1=0 ∴ a=2, b=-3, c=1 ⑵ xÛ`+ax-4=bxÛ`+2x+c가 x에 대한 항등식이므로 1=b, a=2, -4=c ∴ a=2, b=1, c=-4

0

3

xÜ`-2xÛ`+2x+4=(x-1)Ü`+ax(x-1)+b yy ㉠㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1-2+2+4=b ∴ b=5 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -1-2-2+4=(-2)Ü`+a_(-1)_(-2)+b -1=-8+2a+b p. 14

01

ㄴ, ㄷ

02

⑴ a=2, b=-3, c=1 ⑵ a=2, b=1, c=-4

03

a=1, b=5

04

⑴ -31 ⑵ 4

05

-4

06

-x

07

⑴ 몫: xÛ`-5x+8, 나머지: -9 ⑵ 몫: xÛ`-2x+1, 나머지: -4

항등식과 나머지정리

∴ xÜ`-1 xÜ`={x-;[!;}3`+3{x-;[!;} =3Ü`+3_3=36

23

직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이를 각각 a, b라 하고 높이를 c라고 하자. 대각선의 길이가 '¶14이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=('¶14)Û`=14 모든 모서리의 길이의 합이 24이므로 4(a+b+c)=24 ∴ a+b+c=6 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로 구하는 겉넓이는 2(ab+bc+ca) =(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`) =6Û`-14=22 ∴ 2a+b=7 위 식에 b=5를 대입하면 a=1 다른 풀이 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면 xÜ`-2xÛ`+2x+4=xÜ`+(a-3)xÛ`+(3-a)x+b-1 이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 -2=a-3, 2=3-a, 4=b-1 ∴ a=1, b=5

0

4

⑴ f(-2) =4_(-2)Ü`-2_(-2)Û`-2_(-2)+5 =-32-8+4+5 =-31 ⑵ f {;2!;}=4_{;2!;}3`-2_{;2!;}2`-2_;2!;+5 =;2!;-;2!;-1+5 =4

0

5

f(x)=2xÜ`-xÛ`+kx-4라고 하면 f(x)가 x-2로 나누어 떨어지므로 f(2)=2_2Ü`-2Û`+2k-4=0 2k=-8 ∴ k=-4

0

6

f(x)를 (x+1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나 머지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면 f(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 f(-1)=-a+b=1 yy ㉠ f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 -2이므로 f(2)=2a+b=-2 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 따라서 구하는 나머지는 -x이다.

0

7

_{⑴ -1 1 -4} ₃ _-1 -1 5 -8 1 -5 8 -9 위의 조립제법에 의하여 몫: xÛ`-5x+8, 나머지: -9 _{⑵ -;2!; 2 -3} ₀ _-3 -1 2 -1 2 -4 2 -4 위의 조립제법에 의하여 2xÜ`-3xÛ`-3={x+;2!;}(2xÛ`-4x+2)-4 =(2x+1)(xÛ`-2x+1)-4 이므로 몫: xÛ`-2x+1, 나머지: -4

06

(7)

0

1

⑴ 9xÛ`+12x+4=(3x)Û`+2_3x_2+2Û` =(3x+2)Û` ⑵ 16aÛ`-25bÛ` =(4a)Û`-(5b)Û` =(4a+5b)(4a-5b) ⑶ xÛ`-11xy-12yÛ`=(x+y)(x-12y) ⑷ 27aÜ`-bÜ` =(3a)Ü`-bÜ` =(3a-b){(3a)Û`+3a_b+bÛ`} =(3a-b)(9aÛ`+3ab+bÛ`) ⑸ 8xÜ`-12xÛ`y+6xyÛ`-yÜ` =(2x)Ü`-3_(2x)Û`_y+3_2x_yÛ`-yÜ` =(2x-y)Ü` ⑹ aÛ`+9bÛ`+4cÛ`-6ab-12bc+4ca =aÛ`+(-3b)Û`+(2c)Û`+2_a_(-3b) +2_(-3b)_2c+2_2c_a =(a-3b+2c)Û`

0

2

xÛ`=X라고 하면 xÝ`+xÛ`-20=XÛ`+X-20 =(X+5)(X-4) =(xÛ`+5)(xÛ`-4) =(x+2)(x-2)(xÛ`+5)

0

3

xÛ`-2x=X라고 하면 (xÛ`-2x)(xÛ`-2x-18)+45 =X(X-18)+45 =XÛ`-18X+45 =(X-3)(X-15) =(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-15) =(x+1)(x-3)(x+3)(x-5) 따라서 다항식 (xÛ`-2x)(xÛ`-2x-18)+45의 인수가 아 닌 것은 ② x+2이다.

0

4

(x-1)(x+2)(x-2)(x-5)-13 ={(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-5)}-13 =(xÛ`-3x+2)(xÛ`-3x-10)-13 xÛ`-3x=X라고 하면 p. 16

01

⑴ (3x+2)Û` ⑵ (4a+5b)(4a-5b) ⑶ (x+y)(x-12y) ⑷ (3a-b)(9aÛ`+3ab+bÛ`) ⑸ (2x-y)Ü` ⑹ (a-3b+2c)Û`

02

(x+2)(x-2)(xÛ`+5)

03

②

04

①

05

①

06

㈎ 0 ㈏ x-1 ㈐ xÛ`+x-2 ㈑ (x-1)Û`(x+2)

07

④

인수분해

(주어진 식)=(X+2)(X-10)-13 =XÛ`-8X-33 =(X+3)(X-11) =(xÛ`-3x+3)(xÛ`-3x-11) 따라서 a=3, b=-3이므로 a+b=0

0

5

xÛ`-xy-6yÛ`+5y-1 =xÛ`-yx-(6yÛ`-5y+1) =xÛ`-yx-(2y-1)(3y-1) 1 1 -3y+1`1Ú`-3y+1 2y-1`1Ú` 2y-1 -y-1 =(x-3y+1)(x+2y-1) 따라서 a=-3, b=1, c=-1이므로 a+b+c=-3 다른 풀이 xÛ`-xy-6yÛ`+5y-1 =(x-3y)(x+2y)+5y-1 x-3y x+2y -1`1Ú`-x+2y -1`1Ú`-x+3y 5y =(x-3y+1)(x+2y-1) 따라서 a=-3, b=1, c=-1이므로 a+b+c=-3

0

6

f(x)=xÜ`-3x+2라고 하면 f(1)= 0 이므로 x-1 은 f(x)의 인수이다. 따라서 오른쪽과 같이 조 립제법을 이용하여 f(x) 를 x-1 로 나누었을 때 의 몫을 구하면 xÛ`+x-2 이므로 xÜ`-3x+2=( x-1 )( xÛ`+x-2 ) =(x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)Û`(x+2) ∴ ㈎ 0, ㈏ x-1, ㈐ xÛ`+x-2, ㈑ (x-1)Û`(x+2)

0

7

aÝ`+aÛ`bÛ`+bÝ` =(aÛ`+ab+bÛ`)(aÛ`-ab+bÛ`) ={(a+b)Û`-ab}{(a+b)Û`-3ab} ={1Û`-(-6)}{1Û`-3_(-6)} =7_19 =133 1 1 0 -3 2 1 1 -2 1 1 -2 0

(8)

0

1

②

0

2

④

0

3

⑤

0

4

0

5

①

0

6

④

0

7

③

0

8

3x+7

0

9

④

10

⑤

11

③

12

②

13

2

14

④

15

④

16

(x-5y)(xÛ`-xy+7yÛ`)

17

④

18

-2

19

④

20

⑤

21

x+3

22

③

23

-120'3

24

④

실력

확인 문제

p. 18

0

1

주어진 등식을 k에 대하여 정리하면 (x-y-1)k+3x+4y-3=0 위 식이 k에 대한 항등식이므로 x-y-1=0, 3x+4y-3=0 위 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=0 ∴ x+y=1

0

2

(a-3)x+(b+4)y+5=x-2y-c가 x, y에 대한 항등 식이므로 a-3=1, b+4=-2, 5=-c ∴ a=4, b=-6, c=-5 ∴ a-b+c=4-(-6)-5=5

0

3

(xÛ`-3x+4)Ý`=aÁ¼(x-2)Ú`â`+a»(x-2)á` +`y`+aÁ(x-2)+a¼ 위 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=3을 대입하 면 (3Û`-3_3+4)Ý`=aÁ¼(3-2)Ú`â`+a»(3-2)á` +`y`+aÁ(3-2)+a¼ ∴ a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ¼=4Ý`=256

0

4

[1단계] 다항식 xÜ`+xÛ`+ax+b가 xÛ`-x+2로 나누어떨어지므로 xÜ`+xÛ`+ax+b를 xÛ`-x+2로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)라고 하면 [2단계] xÜ`+xÛ`+ax+b=(xÛ`-x+2)(x+c) =xÜ`+(c-1)xÛ`+(2-c)x+2c 위 식은 x에 대한 항등식이므로 1=c-1, a=2-c, b=2c [3단계] ∴ a=0, b=4, c=2 ∴ a+b=4

0

5

f(x)=2xÜ`+6xÛ`+3이라고 하면 구하는 나머지는 f(-1) =2_(-1)Ü`+6_(-1)Û`+3 =7

0

6

f(x)=xÛ`+ax+6이라고 하면 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지와 x+2로 나누었을 때의 나머지가 같으므로 f(-1)=f(-2) 1-a+6=4-2a+6 ∴ a=3

0

7

다항식 P(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 -1이 므로 P(3)=-1 다항식 Q(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 2이므 로 Q(3)=2 따라서 다항식 3P(x)+2Q(x)를 x-3으로 나누었을 때 의 나머지는 3P(3)+2Q(3) =3_(-1)+2_2 =1

0

8

[1단계] 다항식 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 4이고, x+2로 나누었을 때의 나머지가 -1이므로 f(3)=4, f(-2)=-1 [2단계] 다항식 (x+1) f(x)를 xÛ`-x-6으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x)라 하고 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면 (x+1)f(x) =(xÛ`-x-6)Q(x)+ax+b  =(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b yy ㉠ [3단계] ㉠의 양변에 x=3을 대입하면 4f(3)=3a+b f(3)=4이므로 3a+b=16 yy ㉡㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 -f(-2)=-2a+b f(-2)=-1이므로 -2a+b=1 yy ㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=3, b=7 [4단계] 따라서 구하는 나머지는 3x+7

0

9

다항식 P(x)를 (x+2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라고 하면 나머지가 3x-2이므로 P(x)=(x+2)(x-1)Q(x)+3x-2 위 식의 양변에 x=1을 대입하면 P(1)=1 P(3x+4)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 P(-3+4)=P(1)=1

10

다항식 xÜ`-axÛ`+x-2를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x)이고 나머지가 2이므로 xÜ`-axÛ`+x-2=(x-1)Q(x)+2 위 식의 양변에 x=1을 대입하면 1-a+1-2=2 ∴ a=-2

08

(9)

∴ xÜ`+2xÛ`+x-2=(x-1)Q(x)+2 Q(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 Q(-2)이므로 위 식의 양변에 x=-2를 대입하면 (-2)Ü`+2_(-2)Û`+(-2)-2=(-2-1)Q(-2)+2 -3Q(-2)=-6 ∴ Q(-2)=2

11

3_xÚ`â`을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하고 나머 지를 R라고 하면 3_xÚ`â`=(x+1)Q(x)+R 위 식의 양변에 x=-1을 대입하면 3_(-1)Ú`â`=R ∴ R=3 ∴ 3_xÚ`â`=(x+1)Q(x)+3 위 식의 양변에 x=7을 대입하면 3_7Ú`â`=8`Q(7)+3 이므로 3_7Ú`â`을 8로 나누었을 때의 나머지는 3이다.

12

f(x)=xÜ`-5xÛ`+ax+b라고 하면 f(x)가 xÛ`-x-2=(x+1)(x-2)로 나누어떨어지므로 f(x)는 x+1, x-2로도 나누어떨어진다. 즉, f(-1)=0, f(2)=0이므로 f(-1)=-1-5-a+b=0 ∴ a-b=-6 yy ㉠ f(2)=8-20+2a+b=0 ∴ 2a+b=12 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=8 따라서 다항식 xÛ`-ax-b, 즉 xÛ`-2x-8을 x-2로 나누 었을 때의 나머지는 2Û`-2_2-8=-8

13

[1단계] 조건 ㈎에 의하여 P(1)=2 조건 ㈏에 의하여 P(-2)=-4 [2단계] P(x)를 (x-1)(x+2)로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면 조건 ㈐에 의하여 P(x)=(x-1)(x+2)(ax+b)+ax+b yy ㉠㉠의 양변에 x=1을 대입하면 P(1)=a+b=2 yy ㉡㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 P(-2)=-2a+b=-4 yy ㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=0 [3단계] 따라서 P(x)=2x(x-1)(x+2)+2x이므로 P(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 P(-1)=-2(-1-1)(-1+2)-2=2

14

조립제법을 이용하여 다항식 xÜ`-3xÛ`+5x-5를 x-2로 나누면 2 1 -3 5 -5 2 -2 6 1 -1 3 1 따라서 a=-1, b=3, c=1이므로 abc=-3

15

ab(c-1)-(c-1)=(ab-1)(c-1)이므로 ab(c-1)-(c-1)의 인수인 것은 ㄴ, ㄹ이다.

16

x-2y=X, 3y=Y라고 하면 (x-2y)Ü`-27yÜ` =(x-2y)Ü`-(3y)Ü` =XÜ`-YÜ` =(X-Y)(XÛ`+XY+YÛ`) ={(x-2y)-3y}{(x-2y)Û`+(x-2y)_3y+(3y)Û`} =(x-5y)(xÛ`-xy+7yÛ`)

17

x-2=X라고 하면 (x-2)Û`-3(x-2)-4=XÛ`-3X-4 =(X+1)(X-4) =(x-2+1)(x-2-4) =(x-1)(x-6) 따라서 p=1, q=6 또는 p=6, q=1이므로 p+q=7 다른 풀이 (x-2)Û`-3(x-2)-4=xÛ`-4x+4-3x+6-4 =xÛ`-7x+6  =(x-1)(x-6) 따라서 p=1, q=6 또는 p=6, q=1이므로 p+q=7

18

xÝ`+5xÛ`+9=xÝ`+6xÛ`+9-xÛ` =(xÛ`+3)Û`-xÛ` ={(xÛ`+3)+x}{(xÛ`+3)-x} =(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3) 따라서 a=1, b=3이므로 a-b=-2

19

xÛ`-2xy-3yÛ`-x+7y-2 =xÛ`-(2y+1)x-(3yÛ`-7y+2) =xÛ`-(2y+1)x-(3y-1)(y-2) 1 1 -3y+1`1Ú`-3y+1 `y-2`1Ú` 2y-2 -2y-1 =(x-3y+1)(x+y-2)

(10)

따라서 구하는 두 일차식의 합은 (x-3y+1)+(x+y-2)=2x-2y-1 다른 풀이 xÛ`-2xy-3yÛ`-x+7y-2 =(x+y)(x-3y)-(x-7y)-2 x+y x-3y -2`1Ú`-2x+6y -1`_1Ú`-2x+y -x+7y =(x+y-2)(x-3y+1) 따라서 구하는 두 일차식의 합은 (x+y-2)+(x-3y+1)=2x-2y-1

20

[1단계] f(x)=2xÝ`+3xÜ`-4xÛ`-3x+2라고 하면 f(-1)=0, f(1)=0 [2단계] 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 _-1 ₂ _-_{3 -4} _-3 _-₂ -2 -1 -5 -2 -1 2 -1 -5 -2 -0 -2 -3 -2 2 -3 -2 -0 f(x) =(x+1)(x-1)(2xÛ`+3x-2) =(x+1)(x-1)(x+2)(2x-1) [3단계] 따라서 f(x)의 인수가 아닌 것은 ⑤ x-2이다.

21

[1단계] f(x)=xÜ`+7xÛ`+16x+12라고 하면 f(-2)=0 [2단계] 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -2 1 -7 -16 -12 -2 -10 -12 1 -5 -6 -0 f(x) =(x+2)(xÛ`+5x+6) =(x+2)(x+2)(x+3) =(x+2)Û`(x+3) [3단계] 이때 주어진 직육면체의 밑면이 정사각형이므로 밑면인 정 사각형의 한 변의 길이는 x+2이고 구하는 높이는 x+3이 다.

22

[1단계] aÛ`+bÛ`-2ab+ca-bc=0의 좌변을 인수분해하면 aÛ`+bÛ`-2ab+ca-bc=(aÛ`-2ab+bÛ`)+(a-b)c =(a-b)Û`+(a-b)c =(a-b)(a-b+c) [2단계] 따라서 (a-b)(a-b+c)=0이고 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+c>b 즉, a-b+c+0이므로 a=b [3단계] 따라서 주어진 삼각형은 a=b인 이등변삼각형이다. 참고 세 변의 길이가 주어질 때, 삼각형이 되기 위한 조건 ⇨ (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)

23

[1단계] a='3-2, b='3+2이므로 a+b=2'3, a-b=-4, ab=-1 [2단계] ∴ aÝ`-aÜ`b+abÜ`-bÝ` =aÜ`(a-b)+bÜ`(a-b) =(a-b)(aÜ`+bÜ`) =(a-b){(a+b)Ü`-3ab(a+b)} [3단계] =-4{(2'3)Ü`-3_(-1)_2'3} =-4_(30'3) =-120'3

24

31=X라고 하면 31Ý`+31Û`+1 31Û`+31+1= XÝ`+XÛ`+1XÛ`+X+1 = XÝ`+2XÛ`+1-XÛ` XÛ`+X+1 = (XÛ`+1)Û`-XÛ` XÛ`+X+1 = (XÛ`+X+1)(XÛ`-X+1) XÛ`+X+1   =XÛ`-X+1   =(X+1)Û`-3X   =(31+1)Û`-3_31 =32Û`-93 ∴ A=93

10

(11)

p. 22

01

⑴ 실수부분: -1, 허수부분: '2 ⑵ 실수부분: 2'3, 허수부분: 0 ⑶ 실수부분: 3, 허수부분: -5 ⑷ 실수부분: 0, 허수부분: -3

02

⑴ a=-3, b=5 ⑵ a=0, b=-5'2 ⑶ a=3, b=4 ⑷ a=4, b=-3

03

⑴ '2-i ⑵ 3+4i ⑶ -2i ⑷ '5

04

⑴ 1+2i ⑵ -8+3'2i

05

⑴ -3+i ⑵ 7-11i ⑶ ;1¢3;-;1¦3;i ⑷ ;5$;+;5#;i

06

⑴ 1 ⑵ -32i ⑶ -2-2i ⑷ 1

07

⑴ 5i ⑵ -'3i ⑶ -6 ⑷ -2i

복소수

0

1

⑵ 2_'3=2'3+0i ∴ 실수부분: 2'3, 허수부분: 0 ⑷ -3i=0-3i ∴ 실수부분: 0, 허수부분: -3

0

2

⑶ 2a+(a-b)i=6-i에서 2a=6, a-b=-1 ∴ a=3, b=4 ⑷ (a-4)+(b+3)i=0에서 a-4=0, b+3=0 ∴ a=4, b=-3

0

4

⑴ (3-i)+(-2+3i) =(3-2)+(-1+3)i =1+2i ⑵ (-3-_{'2i)-(5-4'2i)} =-3-'2i-5+4'2i =(-3-5)+(-_'2+4'2)i =-8+3'2i

0

5

⑴ (1+i)(-1+2i) =-1+2i-i+2iÛ` =-1+2i-i-2=-3+i ⑵ (5-3i)(2-i) =10-5i-6i+3iÛ` =10-5i-6i-3=7-11i

⑶ _{3+2i =}2-i _{(3+2i)(3-2i) =}(2-i)(3-2i) 6-4i-3i+2iÛ`

9-4iÛ`

= 6-4i-3i-2₉₊₄ =_{;1¢3;-;1¦3;i}

⑷ -1+3i_{1+3i =}(-1+3i)(1-3i)_(1+3i)(1-3i) = -1+3i+3i-9iÛ`_1-9iÛ` = -1+3i+3i+9₁₊₉ =_{;1¥0;+;1¤0;i=;5$;+;5#;i}

0

6

⑴ `iÚ`Û`=(iÝ`)Ü`=1 ⑵ (-2i)Þ`=(-2)Þ`_iÞ`=-32_iÝ`_i=-32i ⑶ 1+2i+3iÛ`+4iÜ`=1+2i-3-4i=-2-2i

⑷ 1-i_{1+i =}_{(1+i)(1-i) =}(1-i)Û` 1-2i+iÛ`

1-iÛ` = -2i2 =-i

이므로

{ 1-i_{1+i }2`0`}=(-i)Û`â`=iÛ`â`=(iÝ`)Þ`=1

0

7

⑴ '¶-9+'¶-4=3i+2i=5i

⑵ '¶-12-'¶-27=2'3i-3'3i=-'3i ⑶ '¶-3'¶-12='3i_2'3i=6iÛ`=-6 ⑷ '¶20

'¶-5= 2'5'5i= 2iiÛ`=-2i

다른 풀이 ⑶ 'Ä-3'Ä-12=-'Ä(-3)_(-12) =-'¶36=-6 ⑷ '¶20 '¶-5=-®Â 20-5 =-'Ä-4=-2i 참고 음수의 제곱근의 성질 ① a<0, b<0일 때 'a'b=-'¶ab a<0, b<0일 때를 제외하면 'a'b='¶ab ② a>0, b<0일 때 'a 'b=-®;bA; a>0, b<0일 때를 제외하면 'a 'b=®;bA; p. 24

01

⑴ x=-5 또는 x=2 ⑵ x=-1 또는 x=_;2#; ⑶ x=-1Ñ2i ⑷ x= 1Ñ'¶61 6

02

x=Ñ4

03

⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근(서로 같은 두 실근) ⑶ 서로 다른 두 허근 ⑷ 서로 다른 두 실근

04

6

05

⑴ 10 ⑵ -4 ⑶ -:Á3¼:

06

8xÛ`-2x-3=0

07

{x- 3+'3i₂ }{x- 3-'3i₂ }

08

a=-4, b=5

이차방정식

0

1

⑴ xÛ`+3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2 ⑵ 2xÛ`-x-3=0에서 (x+1)(2x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=;2#;

(12)

⑶ xÛ`+2x+5=0에서 x= -1Ñ"Ã1Û`-1_5₁ =-1Ñ2i ⑷ 3xÛ`-x-5=0에서 x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-4_3_(-5)_{2_3} = 1Ñ'¶61₆

0

2

xÛ`=|x|Û`이므로 xÛ`+|x|-20=0에서 |x|Û`+|x|-20=0 (|x|+5)(|x|-4)=0 이때 |x|¾0이므로 |x|=4 ∴ x=Ñ4

0

3

주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 ⑴ D=(-5)Û`-4_1_(-2)=33>0 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다. ⑵ D_{4 =3Û`-1_9=0} 따라서 중근`(서로 같은 두 실근)을 갖는다. ⑶ D_{4 =(-1)Û`-1_4=-3<0} 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다. ⑷ D=3Û`-4_1_1=5>0 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.

0

4

주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 중근을 가지므로 D_{4 =1Û`-1_(k-5)=0 ∴ k=6} 다른 풀이 이차방정식 xÛ`+2x+k-5=0이 중근을 가지므로 xÛ`+2x+k-5가 완전제곱식이 되어야 한다. 즉, xÛ`+2x+k-5=(x+1)Û`+k-6에서 k-6=0이어야 하므로 k=6

0

5

근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-;3^;=-2, ab= -9_{3 =-3} ⑴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =(-2)Û`-2_(-3)=10 ⑵ (a+1)(b+1) =ab+a+b+1 =-3-2+1=-4 ⑶ b_{a +}a_{b =}aÛ`+bÛ`_{ab =}_{-3 =-}10 10₃

0

6

-;2!;+;4#;=;4!;, -;2!;_;4#;=-;8#; 이므로 구하는 이차방정식은 8{xÛ`-;4!;x-;8#;}=0 ∴ 8xÛ`-2x-3=0

0

7

이차방정식 xÛ`-3x+3=0의 근을 구하면 x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_1_3_{2_1} = 3Ñ'3i₂ ∴ xÛ`-3x+3={x- 3+'3i₂ }{x- 3-'3i₂ }

0

8

계수가 모두 실수이고 한 근이 2-i이므로 다른 한 근은 2+i이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (2-i)+(2+i)=-a, (2-i)(2+i)=b ∴ a=-4, b=5 주의 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 ⑴ a, b, c가 유리수라는 조건이 없으면 p+q'¶m이 방정식 의 한 근일 때, 다른 근이 반드시 p-q'¶m이 되는 것은 아니다. (단, p, q는 유리수, q+0, '¶m은 무리수이다.) ⑵ a, b, c가 실수라는 조건이 없으면 p+qi가 방정식의 한 근일 때, 다른 근이 반드시 p-qi가 되는 것은 아니다. (단, p, q는 실수, q+0, i='¶-1이다.)

0

1

'3-i의 실수부분은 '3이므로 a='3 5

2-i=(2-i)(2+i) =5(2+i) 5(2+i)4-iÛ` =2+i에서 허수부분

은 1이므로 b=1 ∴ aÛ`-bÛ`=('3)Û`-1Û`=2

0

2

x= 2+i_{3 에서} 3x=2+i ∴ 3x-2=i 양변을 제곱하면 9xÛ`-12x+4=-1 ∴ 9xÛ`-12x=-5 ∴ 18xÛ`-24x+3=2(9xÛ`-12x)+3 =2_(-5)+3=-7 다른 풀이

xÛ`={ 2+i_{3 }2`=}4+4i+iÛ`₉ = 3+4i₉ 이므로

0

1

③

0

2

④

0

3

④

0

4

9

0

5

③

0

6

①

0

7

②

0

8

0

9

④

10

③

11

②

12

⑤

13

①

14

-2

15

①

16

17

②

18

③

19

①

20

2xÛ`+x-6=0

21

④

22

④

23

⑤

24

-4, 1

실력

확인 문제

p. 26

12

(13)

18xÛ`-24x+3=18_ 3+4i₉ -24_ 2+i₃ +3 =2(3+4i)-8(2+i)+3 =6+8i-16-8i+3=-7

0

3

[1단계] zÛ`이 실수가 되려면 z의 실수부분 또는 허수부분이 0이어 야 하므로 aÛ`-4a-5=0 또는 a+2=0 [2단계] aÛ`-4a-5=0에서 (a+1)(a-5)=0 ∴ a=-1 또는 a=5 a+2=0에서 a=-2 [3단계] 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -1+(-2)+5=2 참고 a=-2이면 z=7이므로 zÛ`=49 (실수) a=-1이면 z=i이므로 zÛ`=-1 (실수) a=5이면 z=7i이므로 zÛ`=-49 (실수)

0

4

(a+1)+3i=7+bi에서 a+1=7, 3=b ∴ a=6, b=3 ∴ a+b=9

0

5

z= 10_1-2i=_(1-2i)(1+2i)10(1+2i)

= 10(1+2i) 1-4iÛ` =2(1+2i) =2+4i 따라서 zÕ=2-4i이므로 z+zÕ=(2+4i)+(2-4i)=4 zzÕ=(2+4i)(2-4i)=2Û`-16iÛ` =4+16=20 ∴ (1-z)(1-zÕ) =1-(z+zÕ)+zzÕ =1-4+20=17

0

6

zÕ=-z이므로 z는 순허수이다. ∴ kÛ`+k-2=0, kÛ`-1+0 kÛ`+k-2=0에서 (k+2)(k-1)=0 ∴ k=-2 또는 k=1 yy`㉠ kÛ`-1+0에서 k+Ñ1 yy`㉡㉠, ㉡에서 k=-2 참고 z=a+bi`(a, b는 실수)라고 하면 zÕ=a-bi 이때 zÕ=-z이면 a-bi=-(a+bi), 2a=0 ∴ a=0 ∴ z=bi 따라서 z는 0이거나 순허수이다. 그런데 문제에서 z는 0이 아닌 복소수이므로 z는 순허수이 다.

0

7

[1단계] (1+i)Ú`â` ={(1+i)Û`}Þ`=(1+2i+iÛ`)Þ` =(2i)Þ`=2Þ`_iÞ`=32_iÝ`_i =32i (1-i)Û`â` ={(1-i)Û`}Ú`â`=(1-2i+iÛ`)Ú`â` =(-2i)Ú`â`=2Ú`â`_iÚ`â` =1024_(iÝ`)Û`_iÛ` =-1024 [2단계] 따라서 (1+i)Ú`â`+(1-i)Û`â`=-1024+32i이므로 a=-1024, b=32 [3단계] ∴ a+30b=-1024+30_32 =-1024+960 =-64

0

8

'¶-2'¶-8+'¶-9'4+ '¶12 '¶-3 ='2i_2'2i+3i_2+ 2'3_'3i =-4+6i+;i@;=-4+6i+ 2i_iÛ`

=-4+6i-2i=-4+4i 따라서 a=-4, b=4이므로 a+b=0 다른 풀이 '¶-2'¶-8+'¶-9'4+ '¶12 '¶-3 =-"Ã(-2)_(-8)+"Ã(-9)_4-®Â 12_-3 =-'¶16+'¶-36-'¶-4 =-4+6i-2i =-4+4i 따라서 a=-4, b=4이므로 a+b=0

0

9

'Äx-2 'Äx-6=-®Â x-2x-6이므로 x-2>0, x-6<0 ∴ 2<x<6 ∴ |x-2|+|x-6| =x-2-(x-6) =x-2-x+6 =4

(14)

10

이차방정식 xÛ`-2ax+2a+3=0의 한 근이 a이므로 aÛ`-2aÛ`+2a+3=0, aÛ`-2a-3=0 (a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 a>0이므로 a=3

11

[1단계] Ú x¾4일 때 xÛ`-(x-4)=16, xÛ`-x-12=0 (x+3)(x-4)=0 ∴ x=-3 또는 x=4 이때 x¾4이므로 x=4 [2단계] Û x<4일 때 xÛ`+(x-4)=16, xÛ`+x-20=0 (x+5)(x-4)=0 ∴ x=-5 또는 x=4 이때 x<4이므로 x=-5 [3단계] Ú, Û에 의하여 x=-5 또는 x=4 [4단계] 따라서 모든 근의 합은 -1이다.

12

처음 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 (x+3)(x-4)=60, xÛ`-x-72=0 (x+8)(x-9)=0 ∴ x=-8 또는 x=9 이때 x>4이므로 x=9 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 9`cm이다.

13

주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 ㄱ. D_{4 =1Û`-2_(-1)=3>0} 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. D=3Û`-4_1_5=-11<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. ㄷ. D_{4 =1Û`-4_1=-3<0} 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. ㄹ. D_{4 =5Û`-25_1=0} 이므로 중근`(서로 같은 두 실근)을 갖는다. 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는 것은 ㄱ이다.

14

[1단계] 이차방정식 xÛ`-(2-k)x+k+6=0의 판별식을 DÁ이라 고 하면 DÁ={-(2-k)}Û`-4(k+6)=0 kÛ`-8k-20=0, (k+2)(k-10)=0 ∴ k=-2 또는 k=10 yy`㉠ [2단계] 이차방정식 3xÛ`-2x-k=0의 판별식을 Dª라고 하면 Dª_{4 =(-1)Û`-3_(-k)<0} 1+3k<0 ∴ k<-_;3!; yy`㉡ [3단계] ㉠, ㉡에서 k=-2

15

주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D_{4 =(a+b+c)Û`-(3ab+3bc+3ca)=0} aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0 ;2!;(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)=0 ;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 ∴ a=b, b=c, c=a, 즉 a=b=c 따라서 실수 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 정삼 각형이다. 참고 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c`(aÉbÉc)일 때 ① a=b 또는 b=c 또는 c=a이면 이등변삼각형이다. ② a=b=c이면 정삼각형이다. ③ aÛ`+bÛ`>cÛ`이면 예각삼각형이다. ④ aÛ`+bÛ`=cÛ`이면 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. ⑤ aÛ`+bÛ`<cÛ`이면 둔각삼각형이다.

16

근과 계수의 관계에 의하여 a+b=:Á3¤:, ab=;3!; ∴ _{a +}1 1_{b =}a+b_{ab =(a+b)_}_ab1 =:Á3¤:_3=16

17

주어진 이차방정식의 두 근을 a, 3a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+3a=4k, a_3a=3k+6 a+3a=4k에서 a=k a=k를 a_3a=3k+6에 대입하면 3kÛ`=3k+6, kÛ`-k-2=0 (k+1)(k-2)=0 ∴ k=-1 또는 k=2 이때 k>0이므로 k=2

18

근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=a+2 aÛ`+bÛ`=11에서 (a+b)Û`-2ab=11 이 식에 a+b=a, ab=a+2를 대입하면 aÛ`-2(a+2)=11, aÛ`-2a-15=0 (a+3)(a-5)=0 ∴ a=-3 또는 a=5 이때 a>0이므로 a=5

14

(15)

19

이차방정식 2xÛ`-ax-3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=;2A;, ab=-;2#; yy`㉠ 이차방정식 3xÛ`-5x+b=0의 두 근이 _{;!;, ;º!;이므로 근과} 계수의 관계에 의하여 ;!;+;º!;=;3%;, ;!;_;º!;=;3B; 즉, a+b_{ab =;3%;,}_{ab =;3B;이므로}1 -;3A;=;3%;, -;3@;=;3B; (∵ ㉠) ∴ a=-5, b=-2 ∴ a+b=-7

20

[1단계] 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, -2이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+(-2)=-a, -2a=b yy`㉠ [2단계] 이차방정식 xÛ`+(2a-1)x+b-1=0의 두 근이 b, 2이므 로 근과 계수의 관계에 의하여 b+2=-(2a-1), 2b=b-1 yy`㉡ [3단계] ㉠에서 a=2-a, b=-2a이므로 이것을 ㉡에 대입하여 정리하면 2a-b=5, 2a+2b=-1 위 두 식을 연립하여 풀면 a=;2#;, b=-2 [4단계] 따라서 a+b=-;2!;, ab=-3 이므로 a, b를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정 식은 2_{[xÛ`-{-;2!;}x-3]=0} ∴ 2xÛ`+x-6=0

21

[1단계] 민수는 a, c는 바르게 보고 풀었으므로 근과 계수의 관계에 의하여 (-5)_3=;aC; ∴ c=-15a [2단계] 지영이는 a, b는 바르게 보고 풀었으므로 근과 계수의 관 계에 의하여 (1+'3)+(1-'3)=-;aB; ∴ b=-2a [3단계] b=-2a, c=-15a를 axÛ`+bx+c=0에 대입하면 axÛ`-2ax-15a=0, a(xÛ`-2x-15)=0 a(x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 [4단계] 따라서 올바른 두 근은 -3, 5이므로 aÛ`+bÛ`=(-3)Û`+5Û`=34

22

이차방정식 ;4!;xÛ`-x+;4%;=0, 즉 xÛ`-4x+5=0을 풀면 x=2Ñ"Ã(-2)Û`-1_5=2Ñi ∴ ;4!;xÛ`-x+;4%;=;4!;(xÛ`-4x+5) =;4!;{x-(2+i)}{x-(2-i)} =;4!;(x-2-i)(x-2+i) 따라서 a=-1, b=-2이므로 a-b=-1-(-2)=1

23

이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 f(2x-1)=0 이 성립하려면 2x-1=a 또는 2x-1=b 이어야 한다. 즉, 방정식 f(2x-1)=0의 두 근은 x=a+1_{2 또는 x=}b+1₂ 따라서 구하는 두 근의 곱은 a+1_{2 _}b+1_{2 =}ab+a+b+1₄ = 4+3+1₄ =2 참고 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(a)=0, f(b)=0 이므로 방정식 f(ax+b)=0의 두 근은 ax+b=a, ax+b=b 에서 x=a-b_{a 또는 x=}b-b_a

24

이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 2+'3이고, a, b가 유리수이므로 다른 한 근은 2-'3이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (2+'3)+(2-'3)=-a (2+'3)(2-'3)=b ∴ a=-4, b=1 따라서 이차방정식 xÛ`+(b+2)x+a=0, 즉 xÛ`+3x-4=0의 두 근을 구하면 (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1

(16)

p. 30

01

풀이 참조

02

②

03

제 3 사분면

04

⑴ a>0 ⑵ b>0 ⑶ c<0 ⑷ a+b+c>0 ⑸ a-b+c<0 ⑹ 9a-3b+c>0

05

③

06

y=xÛ`+4x+5

07

④

이차함수의 그래프

0

1

⑴ 꼭짓점의 좌표는 x y y=-(x-2)Û`+3 O 2 -1 3 (2, 3) 축의 방정식은 x=2 따라서 그 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. ⑵ y=2xÛ`-4x+3=2(x-1)Û`+1이므로 꼭짓점의 좌표는 x y _y=2xÛ`-4x+3 O 1 1 3 (1, 1) 축의 방정식은 x=1 따라서 그 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.

0

2

y=xÛ`-2px+2q=(x-p)Û`-pÛ`+2q 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, -5)이므로 p=1, -pÛ`+2q=-5 ∴ p=1, q=-2 ∴ p+q=-1

0

3

y=2xÛ`-8x+3 x y y=2xÛ`-8x+3 O -5 3 2 =2(x-2)Û`-5 이므로 그 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. 따라서 그래프가 지나지 않는 사분면은 제 3 사분면이다.

0

4

⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 ⑵ 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b의 부호가 서로 같다. ∴ b>0 ⑶ 그래프가 y축과 x축 아래에서 만나므로 c<0 ⑷ x=1에서의 함숫값이 0보다 크므로 a+b+c>0 ⑸ x=-1에서의 함숫값이 0보다 작으므로 a-b+c<0 ⑹ x=-3에서의 함숫값이 0보다 크므로 9a-3b+c>0

0

5

그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b의 부호가 서로 다르다. ∴ b>0 그래프가 y축과 x축 아래에서 만나므로 c<0 ① a<0, b>0이므로 ab<0 ② a<0, c<0이므로 ac>0 ③ b>0, c<0이므로 bc<0 ④ x=-1에서의 함숫값이 0보다 작으므로 a-b+c<0 ⑤ x=2에서의 함숫값이 0보다 크므로 4a+2b+c>0 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

0

6

그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)이므로 구하는 이차함 수의 식을 y=a(x+2)Û`+1 (a+0) 로 놓자. 이 이차함수의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 2=a(-1+2)Û`+1 ∴ a=1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=(x+2)Û`+1 ∴ y=xÛ`+4x+5

0

7

그래프가 x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만나므로 주 어진 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-1) (a+0) 로 놓자. 이 이차함수의 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로 6=a(0+3)(0-1), -3a=6 ∴ a=-2 따라서 f(x)=-2(x+3)(x-1)이므로 f(-1)=-2(-1+3)(-1-1)=8

0

1

⑴ 이차방정식 xÛ`+4x-12=0에서 (x+6)(x-2)=0 ∴ x=-6 또는 x=2 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌 표는 -6, 2이다. p. 32

01

⑴ -6, 2 ⑵ -;2!;, 3

02

⑴ 2 ⑵ 0

03

②

04

0<k<8

05

⑴ -_{;3@;, 1 ⑵ -2, ;2!;}

06

⑴ a<12 ⑵ a=12 ⑶ a>12

07

③

이차방정식과 이차함수

16

정답과 풀이

(17)

⑵ 이차방정식 -2xÛ`+5x+3=0에서 2xÛ`-5x-3=0, (2x+1)(x-3)=0 ∴ x=-_{;2!; 또는 x=3} 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌 표는 -;2!;, 3이다.

0

2

⑴ 이차방정식 -4xÛ`-2x+6=0의 판별식을 D라고 하면 D_{4 =(-1)Û`-(-4)_6=25>0} 이므로 -4xÛ`-2x+6=0은 서로 다른 두 실근을 갖는 다. 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 개 수는 2이다. ⑵ 이차방정식 xÛ`+3x+4=0의 판별식을 D라고 하면 D=3Û`-4_1_4=-7<0 이므로 xÛ`+3x+4=0은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 개 수는 0이다.

0

3

이차방정식 xÛ`+3x+k=0의 판별식을 D라고 하면 주어 진 이차함수의 그래프와 x축이 한 점에서 만나므로 D=3Û`-4_1_k=0 ∴ k=;4(; 다른 풀이 y=xÛ`+3x+k={x+;2#;}2`-;4(;+k 이므로 꼭짓점의 좌표는 {-;2#;, -;4(;+k} 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로 꼭 짓점은 x축 위에 있어야 한다. 즉, -;4(;+k=0이므로 k=;4(;

0

4

이차방정식 xÛ`-kx+2k=0의 판별식을 D라고 하면 주어 진 이차함수의 그래프와 x축이 만나지 않으므로 D=(-k)Û`-4_1_2k<0 kÛ`-8k<0, k(k-8)<0 ∴ 0<k<8

0

5

⑴ 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 이차방정식 -3xÛ`+6x+2=5x의 실근과 같다. -3xÛ`+6x+2=5x에서 3xÛ`-x-2=0 (3x+2)(x-1)=0 ∴ x=-;3@; 또는 x=1 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x 좌표는 -;3@;, 1이다. ⑵ 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 이차방정식 2xÛ`-3x+1=-6x+3의 실근과 같다. 2xÛ`-3x+1=-6x+3에서 2xÛ`+3x-2=0 (x+2)(2x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=;2!; 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x 좌표는 -2, ;2!;이다.

0

6

이차방정식 xÛ`-6x+a=2x-4, 즉 xÛ`-8x+a+4=0의 판별식을 D라고 하면 D_{4 =(-4)Û`-(a+4)=12-a} ⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D_{4 =12-a>0 ∴ a<12} ⑵ 한 점에서 만나려면 D_{4 =12-a=0 ∴ a=12} ⑶ 만나지 않으려면 D_{4 =12-a<0 ∴ a>12}

0

7

이차방정식 -xÛ`+6x+3=mx+4, 즉 xÛ`+(m-6)x+1=0의 판별식을 D라고 하면 주어진 이 차함수의 그래프가 직선에 접하므로 D=(m-6)Û`-4_1_1=0 mÛ`-12m+32=0, (m-4)(m-8)=0 ∴ m=4 또는 m=8 따라서 모든 실수 m의 값의 합은 4+8=12 p. 34

01

⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: 2 ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 없다.

02

③

03

-1, 3

04

⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -6 ⑵ 최댓값: 30, 최솟값: -5

05

②

06

0

07

④

이차함수의 최대, 최소

0

1

⑴ y=xÛ`-4x+6=(x-2)Û`+2 따라서 x=2일 때 최솟값 2를 갖고 최댓값은 없다. ⑵ y=-2xÛ`+4x+1=-2(x-1)Û`+3 따라서 x=1일 때 최댓값 3을 갖고 최솟값은 없다.

(18)

0

2

주어진 함수가 x=3일 때 최댓값 5를 가지므로 y=-(x-3)Û`+5=-xÛ`+6x-4 위 식이 y=-xÛ`+2ax+b-7과 일치하므로 2a=6, b-7=-4 ∴ a=3, b=3 ∴ a+b=6

0

3

y=xÛ`-4kx+3kÛ`+2k+4 =(x-2k)Û`-kÛ`+2k+4 이므로 x=2k일 때 최솟값 -kÛ`+2k+4를 갖는다. 즉, -kÛ`+2k+4=1이므로 kÛ`-2k-3=0, (k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3

0

4

y=xÛ`+2x-5=(x+1)Û`-6 ⑴ 꼭짓점의 x좌표 -1이 주어진 범위에 속하므로 x=-1일 때 y=-6 x=-3일 때 y=-2 x=2일 때 y=3 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 -6이다. ⑵ 꼭짓점의 x좌표 -1이 주어진 범위에 속하지 않으므로 x=0일 때 y=-5 x=5일 때 y=30 따라서 최댓값은 30, 최솟값은 -5이다.

0

5

y=xÛ`+4x-6k+1=(x+2)Û`-6k-3 이때 꼭짓점의 x좌표 -2가 주어진 범위에 속하므로 x=-2에서 최솟값 -6k-3을 갖는다. 즉, -6k-3=3이므로 6k=-6 ∴ k=-1

0

6

t=xÛ`-4x라고 하면 t=(x- 2 )Û`-4 -1ÉxÉ3에서 x= 2 일 때 t= -4 x=-1일 때 t=5 x=3일 때 t=-3 이므로 -4 ÉtÉ5 이때 주어진 함수는 y=(xÛ`-4x)Û`-2(xÛ`-4x)+3 `=tÛ`-2t+3 `=(t-1)Û`+ 2 이므로 -4 ÉtÉ5에서 t=1일 때 y= 2 t= -4 일 때 y=27 t=5일 때 y=18 따라서 구하는 최댓값은 27, 최솟값은 2 이다. ∴ ㈎ 2, ㈏ -4, ㈐ 2 즉, ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수의 합은 0이다.

0

1

y=xÛ`-2ax+2a+4=(x-a)Û`-aÛ`+2a+4 이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, -aÛ`+2a+4) 이 점이 직선 y=-x 위에 있으므로 -aÛ`+2a+4=-a, aÛ`-3a-4=0 (a+1)(a-4)=0 ∴ a=-1 또는 a=4 이때 a>0이므로 a=4

0

2

이차함수 y=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4의 그래프를 x축 의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 y-b=(x-3-1)Û`+4 ∴ y=(x-4)Û`+4+b 따라서 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (4, 4+b) 이 점이 점 (a, -2)와 일치하므로 4=a, 4+b=-2 ∴ a=4, b=-6 ∴ a+b=-2 다른 풀이 y=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4 이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 4) 이 점을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 b만큼 평 행이동하면 (4, 4+b) 이 점이 점 (a, -2)와 일치하므로 4=a, 4+b=-2 ∴ a=4, b=-6 ∴ a+b=-2

0

3

[1단계] 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프에서 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b의 부호가 서로 다르다.

0

1

④

0

2

-2

0

3

①

0

4

③

0

5

①

0

6

④

0

7

①

0

8

(1, 0)

0

9

④

10

③

11

y=3x+6

12

⑤

13

③

14

③

15

②

16

②

17

①

18

③

19

50

20

④

21

②

22

③

23

⑤

24

12

실력

확인 문제

p. 36

0

7

xÛ`+5yÛ`-4xy-6y+10 =(xÛ`-4xy+4yÛ`)+(yÛ`-6y+9)+1 =(x-2y)Û`+(y-3)Û`+1 이때 (x-2y)Û`¾0, (y-3)Û`¾0이므로 주어진 식은 x=2y, y=3, 즉 x=6, y=3일 때 최솟값 1을 갖는다.

18

(19)

∴ b<0 그래프가 원점을 지나므로 c=0 [2단계] 함수 y=cxÛ`+bx+a에서 c=0이므로 y=bx+a 이때 a>0, b<0이므로 함수 y=bx+a의 그래프는 기울 기가 음수이고 y절편이 양수인 직선이다. [3단계] 따라서 함수 y=cxÛ`+bx+a의 그래프의 개형은 ①이다.

0

4

[1단계] 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 점 (0, -3)을 지나 므로 c=-3 [2단계] 따라서 이차함수 y=axÛ`+bx-3의 그래프가 두 점 (-1, 0), (1, -8)을 지나므로 0=a-b-3, -8=a+b-3 ∴ a-b=3, a+b=-5 위 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-4 [3단계] ∴ a+2b-c=-1+2_(-4)-(-3)=-6

0

5

이차함수 y=-xÛ`+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌 표가 2, 4이므로 이차방정식 -xÛ`+ax+b=0의 두 근이 2, 4이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 2+4=- a_{-1 , 2_4=}_-1b ∴ a=6, b=-8 ∴ a+b=-2 다른 풀이 이차함수 y=-xÛ`+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌 표가 2, 4이므로 y=-xÛ`+ax+b=-(x-2)(x-4)=-xÛ`+6x-8 따라서 a=6, b=-8이므로 a+b=-2

0

6

주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, b 라고 하면 |a-b|='5 yy`㉠ 이때 a, b는 이차방정식 xÛ`-kx+5=0의 두 근이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=k, ab=5 yy`㉡㉠의 양변을 제곱하면 (a-b)Û`=5 (a+b)Û`-4ab=5 위 식에 ㉡을 대입하면 kÛ`-4_5=5, kÛ`=25 ∴ k=5`(∵ k>0)

0

7

이차방정식 xÛ`-2ax+aÛ`+4a-8=0의 판별식을 D라고 하면 주어진 이차함수의 그래프와 x축이 만나므로 D_{4 =(-a)Û`-(aÛ`+4a-8)¾0} -4a+8¾0 ∴ aÉ2 이때 a는 자연수이므로 a=1 또는 a=2 따라서 모든 자연수 a의 값의 합은 3이다.

0

8

이차방정식 4xÛ`-kx+k-4=0의 판별식을 D라고 하면 주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 D=(-k)Û`-4_4_(k-4)=0 kÛ`-16k+64=0, (k-8)Û`=0 ∴ k=8 따라서 이차방정식 4xÛ`-8x+8-4=0, 즉 4xÛ`-8x+4=0에서 4(x-1)Û`=0 ∴ x=1 즉, 접점의 좌표는 (1, 0)이다. 다른 풀이 y=4xÛ`-kx+k-4 =4{x-;8K;}2``- kÛ`_{16 +k-4} 이므로 꼭짓점의 좌표는 {;8K;, - kÛ`_{16 +k-4}} 주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 꼭짓점은 x 축 위에 있다. 즉, - kÛ`_{16 +k-4=0이므로} kÛ`-16k+64=0, (k-8)Û`=0 ∴ k=8 따라서 이차방정식 4xÛ`-8x+8-4=0, 즉 4xÛ`-8x+4=0에서 4(x-1)Û`=0 ∴ x=1 즉, 접점의 좌표는 (1, 0)이다.

0

9

y=-xÛ`+4ax=-(x-2a)Û`+4aÛ`이므로 A(2a, 4aÛ`) 이차방정식 -xÛ`+4ax=0에서 -x(x-4a)=0 ∴ x=0 또는 x=4a ∴ B(4a, 0) 삼각형 AOB의 넓이가 8이므로 ;2!;_4a_4aÛ`=8, 8aÜ`=8, aÜ`=1 ∴ a=1

(20)

10

이차방정식 -2xÛ`+5x=2x+k, 즉 2xÛ`-3x+k=0의 판별식을 D라고 하면 주어진 이차함수의 그래프와 직선이 적어도 한 점에서 만나므로 D=(-3)Û`-4_2_k¾0 9-8k¾0 ∴ kÉ;8(; 따라서 실수 k의 최댓값은 _;8(;이다.

11

구하는 직선의 방정식을 y=3x+k라고 하면 이 직선이 이 차함수 y=-2xÛ`-x+4의 그래프에 접하므로 이차방정 식 -2xÛ`-x+4=3x+k, 즉 2xÛ`+4x+k-4=0의 판별 식을 D라고 하면 D_{4 =2Û`-2(k-4)=0} -2k+12=0 ∴ k=6 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x+6

12

이차방정식 -xÛ`+4x=-2x+k, 즉 xÛ`-6x+k=0의 한 근이 2이므로 2Û`-6_2+k=0 ∴ k=8 이차방정식 xÛ`-6x+8=0에서 (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 x=4를 y=-2x+8에 대입하면 y=0 따라서 점 B의 좌표는 (4, 0)이다.

13

y=-xÛ`-6x+4=-(x+3)Û`+13 이므로 x=-3일 때 최댓값 13을 갖는다. ∴ M=13 y=xÛ`-4x-2=(x-2)Û`-6 이므로 x=2일 때 최솟값 -6을 갖는다. ∴ m=-6 ∴ M+m=13+(-6)=7

14

① y=-2xÛ`+4x+1=-2(x-1)Û`+3 이므로 x=1일 때 최댓값 3을 갖는다. ② y=-xÛ`+6x+5=-(x-3)Û`+14 이므로 x=3일 때 최댓값 14를 갖는다. ③ y=-4xÛ`+2x-1=-4{x-;4!;}2`-;4#; 이므로 x=_{;4!;일 때 최댓값 -;4#;을 갖는다.} ④ y=-3xÛ`+6x-3=-3(x-1)Û` 이므로 x=1일 때 최댓값 0을 갖는다. ⑤ y=-xÛ`-8x-4=-(x+4)Û`+12 이므로 x=-4일 때 최댓값 12를 갖는다. 따라서 최댓값이 가장 작은 것은 ③이다.

15

y=2xÛ`+2ax+7 `=2_{{x+;2A;}2`- aÛ`2+7} 이 이차함수가 x=1에서 최솟값 b를 가지므로 -_{;2A;=1, - aÛ`2+7=b} ∴ a=-2, b=5 ∴ a+b=3 다른 풀이 이차함수 y=2xÛ`+2ax+7이 x=1에서 최솟값 b를 가지므로 y=2xÛ`+2ax+7=2(x-1)Û`+b 즉, y=2xÛ`+2ax+7=2xÛ`-4x+2+b이므로 2a=-4, 7=2+b ∴ a=-2, b=5 ∴ a+b=3

16

[1단계] y=-2(x-1)(x-3)+3k =-2(xÛ`-4x+3)+3k =-2(x-2)Û`+3k+2 이므로 x=2일 때 최댓값 3k+2를 갖는다. [2단계] y=xÛ`-2(k+1)x+kÛ`-2 ={x-(k+1)}Û`-(k+1)Û`+kÛ`-2 ={x-(k+1)}Û`-2k-3 이므로 x=k+1일 때 최솟값 -2k-3을 갖는다. [3단계] 따라서 3k+2=-2k-3이므로 5k=-5 ∴ k=-1

17

[1단계]

f(x)=xÛ`+ax+b=_{{x+;2A;}2`- aÛ`4 +b}

조건 ㈎에서 y=f(x)의 그래프가 직선 x=3에 대하여 대 칭이므로 -;2A;=3 ∴ a=-6 ∴ f(x)=(x-3)Û`-9+b [2단계] 또, 조건 ㈏에서 f(x)=(x-3)Û`-9+b의 최솟값이 -2 이므로 -9+b=-2 ∴ b=7 [3단계] ∴ a+b=-6+7=1 다른 풀이 조건 ㈎, ㈏에 의하여 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표 는 (3, -2)이므로 f(x)=xÛ`+ax+b=(x-3)Û`-2=xÛ`-6x+7 따라서 a=-6, b=7이므로 a+b=1

20

(21)

18

y=-2xÛ`+4x+3=-2(x-1)Û`+5 이때 꼭짓점의 x좌표 1이 주어진 범위에 속하지 않으므로 x=0에서 y=3 x=-2에서 y=-13 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 -13이므로 구하는 최댓값 과 최솟값의 합은 -10이다.

19

[1단계] 조건 ㈎에서 이차방정식 4ax-10=f(x)의 두 근은 1, 5 이다. 이때 f(x)의 최고차항의 계수가 a (a>0)이므로 f(x)-4ax+10=a(x-1)(x-5) ∴ f(x) =a(x-1)(x-5)+4ax-10 =axÛ`-2ax+5a-10 =a(x-1)Û`+4a-10 [2단계] 꼭짓점의 x좌표 1이 1ÉxÉ5에 속하고 조건 ㈏에서 최솟 값이 -8이므로 4a-10=-8 ∴ a=;2!; [3단계] ∴ 100a=100__;2!;=50

20

[1단계] xÛ`+4x=t라고 하면 t=xÛ`+4x=(x+2)Û`-4 ∴ t¾-4 [2단계] y=-(xÛ`+4x)Û`+4(xÛ`+4x)+k =-tÛ`+4t+k =-(t-2)Û`+k+4 이때 꼭짓점의 t좌표 2가 t¾-4에 속하므로 t=2일 때 최 댓값 k+4를 갖는다. [3단계] 따라서 k+4=5이므로 k=1

21

차가 6인 두 수를 x, x+6이라고 하면 이 두 수의 곱은 x(x+6)=xÛ`+6x=(x+3)Û`-9 따라서 두 수의 곱은 x=-3일 때, 즉 두 수가 -3, 3일 때 최솟값 -9를 갖는다.

22

xÛ`+y=3에서 xÛ`=3-y yy`㉠ 이때 x가 실수이므로 3-y¾0 ∴ yÉ3 ㉠을 4xÛ`-yÛ`에 대입하면 4xÛ`-yÛ` =4(3-y)-yÛ` =-yÛ`-4y+12 =-(y+2)Û`+16 yÉ3이므로 4xÛ`-yÛ`은 y=-2일 때 최댓값 16을 갖는다. 다른 풀이 4xÛ`-yÛ`=k라고 하면 xÛ`= yÛ`+k₄ 이것을 xÛ`-y=k에 대입하여 정리하면 yÛ`+4y+k-12=0 이때 y의 실수이므로 위 y에 대한 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 =2Û`-(k-12)=20, 16-k¾0 ∴ kÉ16 따라서 k, 즉 4xÛ`-yÛ`의 최댓값은 16이다.

23

[1단계] 점 A의 좌표를 (a, 0)(0<a<2)이라고 하면 ABÓ=4-2a, ADÓ=-aÛ`+4a [2단계] 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는 2{(4-2a)+(-aÛ`+4a)} =2(-aÛ`+2a+4) =-2(a-1)Û`+10 [3단계] 이때 0<a<2이므로 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는 a=1일 때 최댓값 10을 갖는다. 참고 이차함수 x x=2 y _y=-xÛ`+4x O A B D C y=-xÛ`+4x=-(x-2)Û`+4 의 그래프는 직선 x=2에 대 하여 대칭이므로 A(a, 0), B(b, 0) 이라고 하면 2-a=b-2=ABÓ₂

∴ a=2-ABÓ_{2 , b=2+}ABÓ_{2 , ABÓ=4-2a=2b-4}

24

점 P(a, b)가 직선 y=-x+4 위에 있으므로 b=-a+4 yy`㉠ 또, 점 P가 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0, b=-a+4>0 ∴ 0<a<4 ㉠을 aÛ`+4b에 대입하면 aÛ`+4b=aÛ`+4(-a+4) =aÛ`-4a+16 =(a-2)Û`+12 0<a<4이므로 aÛ`+4b는 a=2일 때 최솟값 12를 갖는다.

(22)

p. 40

01

⑴ x=-3 또는 x=1 또는 x=2 ⑵ x=-3 또는 x=0 또는 x=4 ⑶ x=-1 또는 x=-2 또는 x=-3 ⑷ x=-1 또는 x=2 또는 x=1Ñi ⑸ x=-2 또는 x=4 또는 x=1Ñi ⑹ x=Ñi 또는 x=Ñ'6 ⑺ x= -1Ñ'¶13₂ 또는 x= 1Ñ'¶13₂ ⑻ x=1 또는 x=2Ñ'3

02

0

03

⑴ 2 ⑵ 5 ⑶ 7

04

2xÜ`-xÛ`+4x-2=0

05

a=-5, b=11

06

⑴ -2 ⑵ -1 ⑶ -1

07

⑴ _[x=1 y=2 또는 [ x=2 y=1 ⑵ _[x=-'2 y='2 또는 [ x='2 y=-'2 또는 _[x=-3'¶10 y=-_'¶10 또는 [ x=3'¶10 y=_'¶10

고차방정식과 연립방정식

0

1

⑴ (x+3)(x-1)(x-2)=0에서 x=-3 또는 x=1 또는 x=2 ⑵ xÜ`-xÛ`-12x=0에서 x(xÛ`-x-12)=0 x(x+3)(x-4)=0 ∴ x=-3 또는 x=0 또는 x=4 ⑶ f(x)=xÜ`+6xÛ`+11x+6이라고 하면 f(-1)=0이므로 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 _-1 ₁ _-₆ _-₁₁ _-₆ -1 -5 -6 1 -5 -6 -0 f(x) =xÜ`+6xÛ`+11x+6 =(x+1)(xÛ`+5x+6) =(x+1)(x+2)(x+3) 따라서 f(x)=0에서 x=-1 또는 x=-2 또는 x=-3 ⑷ f(x)=xÝ`-3xÜ`+2xÛ`+2x-4라고 하면 f(-1)=0, f(2)=0이므로 f(x)는 x+1, x-2를 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 _{-1 1 -3} _-₂ _-₂ _-4 -1 -4 -6 -4 -2 1 -4 -6 -4 -0 -2 -4 -4 1 -2 2 -0 f(x) =xÝ`-3xÜ`+2xÛ`+2x-4 =(x+1)(x-2)(xÛ`-2x+2) 따라서 f(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 또는 x=1Ñi ⑸ xÛ`-2x=X라고 하면 주어진 방정식은 XÛ`-6X-16=0  (X+2)(X-8)=0  (xÛ`-2x+2)(xÛ`-2x-8)=0 (x+2)(x-4)(xÛ`-2x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 또는 x=1Ñi ⑹ xÛ`=X라고 하면 주어진 방정식은 XÛ`-5X-6=0  (X+1)(X-6)=0 (xÛ`+1)(xÛ`-6)=0 ∴ x=Ñi 또는 x=Ñ'6 ⑺ xÝ`-7xÛ`+9=0에서 (xÝ`-6xÛ`+9)-xÛ`=0 (xÛ`-3)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3)=0 ∴ x= -1Ñ'¶13₂ 또는 x= 1Ñ'¶13₂ ⑻ xÝ`-6xÜ`+10xÛ`-6x+1=0의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`-6x+10-;[^;+ 1_xÛ`=0 {x+;[!;}2`-6{x+;[!;}+8=0 x+;[!;=X라고 하면 XÛ`-6X+8=0,(X-2)(X-4)=0  ∴X=2또는X=4 Ú X=2, 즉 x+;[!;=2일 때 x+;[!;-2=0, xÛ`-2x+1=0 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 Û X=4, 즉 x+;[!;=4일 때 x+;[!;-4=0, xÛ`-4x+1=0 ∴ x=2Ñ'3 Ú, Û에 의하여 x=1 또는 x=2Ñ'3

0

2

방정식 xÜ`+(k+1)xÛ`+kx+2=0의 한 근이 -2이므로 x=-2를 대입하면 -8+4(k+1)-2k+2=0 -8+4k+4-2k+2=0, 2k=2 ∴ k=1 따라서 주어진 방정식은 xÜ`+2xÛ`+x+2=0이고 한 근이 -2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면