숨마쿰라우데_수학2 서브노트

수학

Ⅱ

[ 수학 기본서 ]

SUMMA CUM LAUDE

Ⓡ

King’s College Cambrige

001

⑴ f(x)=x¤ +4x-1이라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 -2가 아니면서 -2에 한없이 가까 워질 때 f(x)의 값은 -5에 한없이 가까워지므로 (x¤ +4x-1)=-5 ⑵ f(x)='ƒ3-x라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다 lim x⁄-2 -2 -5 x y f{x}=x@+4x-1 O 001 ⑴ -5 ⑵ 1 ⑶ 4 ⑷ -6 002 ⑴ 0 ⑵ 1 003 ⑴ ¶ ⑵ ¶ ⑶ -¶ 004 ⑴ ¶ ⑵ -¶ 005 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1 006 a=2, b=-1 007 ⑴ 27 ⑵ -4 ⑶ - ⑷ 1 008 ⑴ ⑵ - ⑶ 2 ⑷ 40 009 ⑴ 0 ⑵ -¶ ⑶ - ⑷ ⑸ 2 ⑹ -010 ⑴ -¶ ⑵ 0 ⑶ -2 011 ⑴ - ⑵ 012 013 ⑴ a=2, b=-4 ⑵ a=21, b=5 ⑶ a=-2, b=2 ⑷ a=0, b=-3 014 20 1 1₃ 1 12₁₈ 1 1₄ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₂ 4 1₃ 1 1₃ 2 1₃ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E 음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 2가 아니면서 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 'ƒ3-x=1 ⑶ f(x)= =2x+4(x+0)라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 0이 아니면서 0에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 4에 한없이 가까워지므로 =4 ⑷ f(x)= =-x-4(x+2)라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 2가 아니면서 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 -6에 한없이 가까워지므로 =-6 ⑴ -5 ⑵ 1 ⑶ 4 ⑷ -6 -x¤ -2x+8 11111334_x-2 lim x⁄2 f{x}=-x@-2x+8_x-2 x y O 2 -6 -x¤ -2x+8 11111334_x-2 2x¤ +4x 111334_x lim x⁄0 f{x}= x 2x@+4x x y O 4 2x¤ +4x 111334_x lim x⁄2 3 2 1 f{x}= 3-x x y O

1. 함수의 극한

I

함수의 극한과 연속

APPLICATION

002

⑴ f(x)=- 이라 하면 함수 y=f(x) 의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로 {- }=0 ⑵ f(x)= = +1이라 하면 함수 y=f(x) 의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 1에 한 없이 가까워지므로 =1 ⑴ 0 ⑵ 1

003

⑴ f(x)=1+ 이라 하면 함수 y=f(x) 의 그래프는 다음 그림과 같다. 1 f{x}=1+ x@ 1 x y O 1 13_x¤ x+1 1134_x+3 lim x⁄¶ -3 1 x y O f{x}= x+3 x+1 -2 1134_x+3 x+1 1134_x+3 1 1134_x-1 lim x⁄-¶ f{x}=-_x-11 x y O 1 1 1 1134_x-1 따라서 x의 값이 0이 아니면서 0에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 한없이 커지므로 {1+ }=¶ ⑵ f(x)= 이라 하면 함수 y=f(x)의 그래프 는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 2가 아니면서 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 한없이 커지므로 =¶ ⑶ f(x)=3- 이라 하면 함수 y=f(x)의 그 래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 1이 아니면서 1에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지 므로 {3- }=-¶ ⑴ ¶ ⑵ ¶ ⑶ -¶

004

⑴ f(x)=(x-3)¤ 이라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 1 112544 |x-1| lim x⁄1 3 1 f{x}=3-|x-1| 1 x y O 1 1112_|x-1| 3 11123_(x-2)¤ lim x⁄2 f{x}= {x-2}@ 3 x y O 2 3 11123_(x-2)¤ 1 13_x¤ lim x⁄0

⑶ f(x)=1 ⑷ f(x)=1 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1

006

f(x)=g 에서 f(x)=1이므로 f(x)= f(x)=1이어야 한다. 즉, f(x)= (x¤ -2x+a)=-1+a=1 ∴ a=2 f(x)= (2x+b)=2+b=1 ∴ b=-1 a=2, b=-1

007

⑴ 3(x¤ +2x-6) =3 (x¤ +2x-6) =3{ x¤ +2 x- _6} =3(3¤ +2¥3-6)=27 ⑵ (2x¤ +x-4)(3x+1) = (2x¤ +x-4)¥ (3x+1) ={2 x¤ + x- _4}{3 x+ _1} =(2¥1¤ +1-4)(3¥1+1) =-4 ⑶ = = =-⑷ =_{11112111122533}lim'ƒ2+x-lim'ƒ2-xx⁄2 x⁄2 limx x⁄2 'ƒ2+x-'ƒ2-x 11111124_x lim x⁄2 2 1 1₃ limx¤ +limx-lim2 x⁄0 x⁄0 x⁄0 111211111334_5limx+lim3 x⁄0 x⁄0 lim(x¤ +x-2) x⁄0 111211133_lim(5x+3) x⁄0 x¤ +x-2 11112_5x+3 lim x⁄0 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1 x¤ -2x+a (xæ1) 2x+b (x<1) lim x⁄2+ lim x ⁄0-따라서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 한없이 커지므로 (x-3)¤ =¶ ⑵ f(x)= =-2x+4(x+0)라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 x의 값이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 음수이 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 =-¶ ⑴ ¶ ⑵ -¶

005

함수 y=f(x)의 그래프에서 ⑴ f(x)=0 ⑵lim f(x)=1 x ⁄1-lim x⁄1+ O -1 1 2 1 2 x y y=f{x} -2x¤ +4x 1111334_x lim x⁄¶ f{x}= x -2x@+4x x y O 4 -2x¤ +4x 1111344_x lim x⁄-¶ f{x}={x-3}@ x y O 3 9

APPLICATION = = =1 ⑴ 27 ⑵ -4 ⑶ - ⑷ 1

008

⑴ = = = ⑵ = = =-⑶ = _{ ¥ _} = = =2 ⑷ = { ¥ } = = _{10('ƒ4+x+'ƒ4-x )=40} ⑴ ⑵ - ⑶ 2 ⑷ 40

009

⑴ = =10=0 3 2 4 7 1-13+13_{x x¤ x‹} 11111135_{2 1} 3+13+13 x¤ x‹ lim x⁄¶ 2x¤ -4x+7 111113_{3x‹ +2x+1} lim x⁄¶ 4 1₃ 1 1₃ lim x⁄0 20x('ƒ4+x+'ƒ4-x ) 11111111133_2x lim x⁄0 'ƒ4+x+'ƒ4-x 111111235 'ƒ4+x+'ƒ4-x 20x 111111235 'ƒ4+x-'ƒ4-x lim x⁄0 20x 111111235 'ƒ4+x-'ƒ4-x lim x⁄0 x+2 1111235 "√x¤ -3 +1 lim x⁄2 x¤ -4 11111111233 (x-2)("√x¤ -3+1) lim x⁄2 "√x¤ -3 +1 111123 "√x¤ -3 +1 "√x¤ -3 -1 111123_x-2 lim x⁄2 "√x¤ -3 -1 111123_x-2 lim x⁄2 4 1 1₃ x+4 111145_{x¤ -x-3} lim x⁄0 x(x+4) 11111235_{x(x¤ -x-3)} lim x⁄0 x¤ +4x 111114_{x‹ -x¤ -3x} lim x⁄0 1 1 1₃ 1 111145_{x¤ -x+1} lim x⁄-1 x+1 111111113_{(x+1)(x¤ -x+1)} lim x⁄-1 x+1 11344_{x‹ +1} lim x⁄-1 2 1₃ 'ƒ2+2-'ƒ2-2 11111134₂

øπ

lim2+limx-x⁄2 x⁄2

øπ

lim2-limxx⁄2 x⁄2 1112111111111335_limx x⁄2 ⑵ = =-¶ ⑶ = =-⑷ = = = ⑸ = =2 ⑹ x=-t로 치환하면 x⁄-¶일 때 t ⁄¶이므로 = = = =-x⁄ -¶이므로 x<0이다. 따라서 x=-"çx¤ 임에 주의한다. = = =⑴ 0 ⑵ ¶ ⑶ -⑷11₃ ⑸ 2 ⑹ -11₃ 1 1₂ 1 1₃ 2 -Æ1…+1Δ3 +2_x¤ 11111233334₃ -Æ4…+1 -1_x lim x⁄-¶ "√x¤ +≈2 11134+2_x 1111111 "4√x¤ +ç3x 111133-1_x lim x⁄-¶ "√x¤ +≈2+2x 1111114 "4√x¤ +ç3x-x lim x⁄-¶ 1 1 1₃ 1-2 112₂₊₁ 2 Æ1…+ 2˚34 -2_t¤ 1111133₃ Æ4¬- ¬1 +1_t lim t⁄¶ "√t¤ +2-2t 1111134 "4√t¤ -3Ωt+t lim t⁄¶ "√x¤ +≈2+2x 1111114 "4√x¤ +ç3x -x lim x⁄-¶ 2 1111112_{1 1} Æ1…+ 13 - 1_{x¤ x} lim x⁄¶ 2x 1111334 "√x¤ +≈1-1 lim x⁄¶ 1 1 1₃ 1 1 2+1-13 x x¤ 1111125_{9 4} 6-1+13 x x¤ lim x⁄-¶ 2x¤ +x-1 111113_{6x¤ -9x+4} lim x⁄-¶ (2x-1)(x+1) 111111234_{6x¤ -9x+4} lim x⁄-¶ 1 1 1₂ 2 5 -1+1+13 x x¤ 1111112_{1 6} 2-1+13 x x¤ lim x⁄¶ -x¤ +2x+5 111111_{2x¤ -x+6} lim x⁄¶ 4 x+2-1 x 111133₁ 5+1 x lim x⁄-¶ x¤ +2x-4 11111_5x+1 lim x⁄-¶

010

⑴ (-2x¤ +3x-1) = _{x¤ {-2+ -} }=-¶ ⑵ ("√x¤ +≈7-x) = _{[("√x¤ +≈7 -x)¥ ]} = = =0 ⑶ x=-t로 치환하면 x⁄-¶일 때 t ⁄¶이므로 ("√x¤ +ç4x-"çx¤ ) = _{("t√¤ -4t-"≈t¤ )} = _{[("t√¤ -4t -t)¥ ]} = = = =-2 ⑴ -¶ ⑵ 0 ⑶ -2

011

⑴ [ - ] = [ ¥ ] = =-⑵ x=-t로 치환하면 x⁄-¶일 때 t ⁄¶이므로 x¤ {1+ } = _{t¤ {1- }} = _{[t¤ ¥ ]} = 111111112t¤ 9t¤ +1+3t"√9t¤ +1 lim t⁄¶ ("√9t¤ +1-3t)("√9t¤ +1+3t) 11111111111125 "√9t¤ +1 ("√9t¤ +1+3t) lim t⁄¶ 3t 11123 "√9t¤ +1 lim t⁄¶ 3x 1111 "√9x¤ +1 lim x⁄-¶ 1 1 1₄ -x-4 1112344_4(x+2)¤ lim x⁄0 -x(x+4) 111114_4(x+2)¤ 1 1_x lim x⁄0 1 1₄ 1 11123_(x+2)¤ 1 1_x lim x⁄0 -4 112₁₊₁ -4 11112333₄ Æ1…- 1 +1_t lim t⁄¶ -4t 1111235 "t√¤ -4t +t lim t⁄¶ "t√¤ -4t +t 1111235 "t√¤ -4t +t lim t⁄¶ lim t⁄¶ lim x⁄-¶ 7 1_x 11111234₇ Æ1…+ 13 +1_x¤ lim x⁄¶ 7 1111233 "√x¤ +≈7+x lim x⁄¶ "√x¤ +≈7+x 1111233 "√x¤ +≈7+x lim x⁄¶ lim x⁄¶ 1 13_x¤ 3 1_x lim x⁄¶ lim x⁄¶ = = = ⑴ - ⑵

012

모든 양의 실수 x에 대하여 >0, >0이므로 …f(x)… 의 각 변에 역수를 취하면 … … 이때 = = 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 =

013

⑴ =2에서 x⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (2x¤ +ax+b)=0이므로 2+a+b=0 ∴ b=-a-2 이제 주어진 식에 b=-a-2를 대입하여 정리하면 = = = = =2 4+a=6 ∴ a=2 ∴ b=-2-2=-4 4+a 1135₃ 2(x+1)+a 1111133_x+2 lim x⁄1 2(x+1)(x-1)+a(x-1) 1111111111132_(x+2)(x-1) lim x⁄1 2x¤ +ax-a-2 11111122_{x¤ +x-2} lim x⁄1 2x¤ +ax+b 111112_{x¤ +x-2} lim x⁄1 lim x⁄1 2x¤ +ax+b 111112_{x¤ +x-2} lim x⁄1 1 1₃ 1 1 1₃ 1 1133_f(x) lim x⁄¶ 1 1₃ x¤ +1 11335_3x¤ lim x⁄¶ x¤ +4 11155_{3x¤ +9} lim x⁄¶ x¤ +1 11335_3x¤ 1 1133_f(x) x¤ +4 11155_{3x¤ +9} 3x¤ +9 11155_{x¤ +4} 3x¤ 11335_{x¤ +1} 3x¤ +9 11155_{x¤ +4} 3x¤ 11335_{x¤ +1} 1 12₁₈ 1 1₄ 1 1 122₁₈ 1 112₉₊₉ 1 11111233212_{1 1} 9+1+3Æ9…+1 t¤ t¤ lim t⁄¶

APPLICATION ⑵ = 에서 x_{⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로} (분자)⁄ 0이다. 즉, ("√x¤ +≈a-b)=0이므로 'ƒ4+a -b=0 ∴ b='ƒa+4 이제 주어진 식에 b='ƒa+4를 대입하여 정리하면 = = _{ ¥ _} = = = = = 'ƒa+4=5, a+4=25 ∴ a=21, b='ƒ21+4=5 ⑶ =b (단, b+0)에서 x⁄ 2일 때 (분자) ⁄ 0이고 0이 아닌 극한값이 존재 하므로 (분모)⁄ 0이다. 즉, (x¤ +ax)=0이므로 4+2a=0 ∴ a=-2 이제 주어진 식에 a=-2를 대입하여 정리하면 = = = =2=b ∴ a=-2, b=2 ⑷ =1에서 x⁄ 3일 때 (분자) ⁄ 0이고 0이 아닌 극한값이 존재 x-3 1111234 "√x¤ +≈a+b lim x⁄3 x+2 1144_x lim x⁄2 (x-2)(x+2) 11111123_x(x-2) lim x⁄2 x¤ -4 1112_{x¤ -2x} lim x⁄2 x¤ -4 1112_{x¤ +ax} lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ -4 1112_{x¤ +ax} lim x⁄2 2 1₅ 2 1114 'ƒa+4 4 11124 2'ƒa+4 x+2 11111113 "√x¤ +≈a+'ƒa+4 lim x⁄2 (x+2)(x-2) 111111111112 (x-2)("√x¤ +≈a+'ƒa+4) lim x⁄2 "√x¤ +≈a+'ƒa+4 11111113 "√x¤ +≈a+'ƒa+4 "√x¤ +≈a-'ƒa+4 11111113_x-2 lim x⁄2 "√x¤ +≈a-'ƒa+4 11111113_x-2 lim x⁄2 "√x¤ +≈a-b 1111234_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 2 1₅ "√x¤ +≈a-b 1111234_x-2 lim x⁄2 하므로 (분모)⁄ 0이다. 즉, ("√x¤ +≈a+b)=0이므로 'ƒ9+a+b=0 ∴ b=-'ƒa+9 이제 주어진 식에 b=-'ƒa+9를 대입하여 정리하면 = = _{ ¥ _} = = = =1 'ƒa+9 =3, a+9=9 ∴ a=0, b=-'9=-3 ⑴ a=2, b=-4 ⑵ a=21, b=5 ⑶ a=-2, b=2 ⑷ a=0, b=-3

014

=4이므로 a=4 또 =1에서 x⁄ -1일 때 (분모)⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0이다. 즉, (4x¤ +bx+c)=0이므로 4-b+c=0 ∴ c=b-4 이제 주어진 식에 c=b-4를 대입하여 정리하면 = = 111134131123(4x¤ -4)+(bx+b) (x+3)(x+1) lim x⁄-1 4x¤ +bx+b-4 1111123242_{x¤ +4x+3} lim x⁄-1 4x¤ +bx+c 11113244_{x¤ +4x+3} lim x⁄-1 lim x⁄-1 4x¤ +bx+c 11113244_{x¤ +4x+3} lim x⁄-1 ax¤ +bx+c 11113244_{x¤ +2x+5} lim x⁄¶ 2'ƒa+9 11124₆ "√x¤ +≈a+'ƒa+9 11111113_x+3 lim x⁄3 (x-3)("√x¤ +a+'ƒa+9 ) 1111111111133_(x+3)(x-3) lim x⁄3 "√x¤ +≈a+'ƒa+9 11111113 "√x¤ +≈a+'ƒa+9 x-3 11111113 "√x¤ +≈a-'ƒa+9 lim x⁄3 x-3 11111113 "√x¤ +≈a-'ƒa+9 lim x⁄3 x-3 1111234 "√x¤ +≈a+b lim x⁄3 lim x⁄3

= = = =1 ∴ b=10, c=10-4=6 ∴ a+b+c=4+10+6=20 20 -8+b 1113₂ 4(x-1)+b 1111125_x+3 lim x⁄-1 4(x+1)(x-1)+b(x+1) 111134131111123_(x+3)(x+1) lim x⁄-1

015

⑴ [-2, 1] ⑵ (3, 5) ⑶ (-¶, 2]

016

y="√9-xΩ¤ HjK x¤ +y¤ =9(yæ0)이므로 함수 y="√9-xΩ¤ 의 그래프는 원점을 중심으로 하고 반지 름의 길이가 3인 원의 윗쪽 반원을 나타낸다. 따라서 정의역과 치역을 구간의 기호로 나타내면 정의역：[ -3, 3 ], 치역：[ 0, 3 ] 정의역：[-3, 3], 치역：[0, 3]

017

⑴ 주어진 함수 f(x)에서 ⁄ f(2)=3 ¤ f(x)= = (x+2)=4 ‹ f(x)+f(2) 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다. ⑵ 주어진 함수g(x)에서 ⁄ _{g(1)=1¤ =1} ¤ _g(x)= x¤ =1, ¤ g(x)= (2-x)=1 ¤이므로 g(x)=1 ‹ g(x)=g(1) 따라서 함수 g(x)는 x=1에서 연속이다. ⑴ 불연속 ⑵ 연속 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1-lim x⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ -4 11344_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2

2. 함수의 연속

2. 함수의 연속

015 ⑴ [-2, 1] ⑵ (3, 5) ⑶ (-¶, 2] 016 정의역：[-3, 3], 치역：[0, 3] 017 ⑴ 불연속 ⑵ 연속 018 연속 019 ⑴ (-¶, ¶) ⑵ (-¶, -3), (-3, 3), (3, ¶) 020 ⑤ 021 풀이 참조 022 ㈎ : 연속, ㈏ : 사잇값의 정리 023 풀이 참조 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

APPLICATION

018

f(x)는 열린구간 (0, 1)에서 연속이고 = = (x-2)=-2=f(0) = = (x-2)=-1=f(1) 따라서 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이다. 연속

019

⑴ 두 함수 f(x)=2x, g(x)=|x+1|은 모 든 실수 x에서 연속이므로 두 함수의 합성함수인 ( fΩg)(x)=f(g(x))=2|x+1| 도 불연속점을 갖지 않아 모든 실수에서 연속이다. 따라서 함수 fΩg는 구간 (-¶, ¶)에서 연속이다. ⑵ 함수 fΩg를 구하면 (fΩg)(x)=f(g(x))= = 즉, 분모가 0이 되는 x=—3을 제외한 실수 전체에서 연속이다. 따라서 함수 fΩg는 구간 (-¶, -3), (-3, 3), (3, ¶)에서 연속이다. ⑴ (-¶, ¶) ⑵ (-¶, -3), (-3, 3), (3, ¶)

020

두 함수 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이므 로 f(x)=f(a), g(x)=g(a) ① {2f(x)+4g(x)}=2f(a)+4g(a)이므로 2f(x)+4g(x)는 x=a에서 연속이다. ② {5f(x)-g(x)}=5f(a)-g(a)이므로 5f(x)-g(x)는 x=a에서 연속이다. ③ {4f(x)g(x)}=4f(a)g(a)이므로 4f(x)g(x)는 x=a에서 연속이다. lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄a 1 111_{x¤ -9} 1 111123_{x¤ +1-10} lim x ⁄1-(x-1)(x-2) 111111544_x-1 lim x ⁄1-x¤ -3x+2 1111244_x-1 lim x ⁄1-lim x⁄0+ (x-1)(x-2) 11111125_x-1 lim x⁄0+ x¤ -3x+2 1111244_x-1 lim x⁄0+ ④ {4g(x)}¤ ={4g(a)}¤ 이므로 {4g(x)}¤ 은 x=a에서 연속이다. ⑤ [ -2g(x)]에서 g(a)=0이면 가 정의되지 않으므로 -2g(x)는 x=a에서 반 드시 연속이라 할 수 없다. 따라서 x=a에서 반드시 연속이라 할 수 없는 것은 ⑤이 다. ⑤

021

⑴ 함수 f(x)=|x-2|+|x+3|은 닫힌구 간 [-5, 2]에서 연속이므로 최대・최소 정리에 의하 여 이 구간에서 f(x)는 최댓값과 최솟값을 갖는다. [참고]닫힌구간 [-5, 2]에서 함수 y=f(x)의 그래 프는 다음 그림과 같다. ⑵따라서 f(x)는 x=-5에서 최댓값 9, 구간 [-3, 2]에서 최솟값 5를 갖는다. ⑵ 함수 f(x)=g 은 x=1에서 불연속이므 로 닫힌구간 [-1, 1]에서 최대・최소 정리를 적용할 수 없다. 따라서 그래프를 직접 그려 알아보아야 한다. 닫힌구간 [-1, 1]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 다 음 그림과 같다. y=f{x} x y O 1 1 -1 -1 x-1 (x>0) x+1 (x…0) O 5 2 -3 -5 9 x y y=f{x} f(x) 1134_g(x) f(a) 1135_g(a) f(x) 1135_g(x) lim x⁄a lim x⁄a

⑵따라서 이 구간에서 f(x)는 최댓값은 갖지만 최솟값 은 갖지 않는다. [참고] f(x)는 x=0에서 최댓값 1을 갖는다. 풀이 참조

022

함수 f(x)=x¤ -4는 열린구간(-¶, ¶) 에서 이므로 닫힌구간 [1, 2]에서도 연속이다. 또 f(1)+f(2)이고 f(1)<-'2<f(2), 즉 -3<-'2<0이므로 에 의하여 f(c)=-'2인 c가 열린구간 (1, 2)에 적어도 하나 존 재한다. ㈎ : 연속, ㈏ : 사잇값의 정리

023

⑴ f(x)=x‹ -4x¤ +4라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고 f(1)=1-4+4=1>0, f(2)=2‹ -4¥2¤ +4=-4<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 x‹ -4x¤ +4=0은 열린구간 (1, 2)에 서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ⑵ f(x)=x¤ ‚ ⁄ · -2019x+1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고 f(1)=1-2019+1=-2017<0, f(2)=2¤ ‚ ⁄ · -2_2019+1 =2(2¤ ‚ ⁄ ° -2019)+1>0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 x¤ ‚ ⁄ · -2019x+1=0은 열린구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 풀이 참조 사잇값의 정리 연속

024

⑴ Dy=f(3)-f(1) =(3¤ -3¥3)-(1¤ -3¥1)=2 이므로 = = =1 ⑵ Dy=f(a+h)-f(a)

={(a+h)¤ -3(a+h)}-(a¤ -3a) =(2a-3)h+h¤

이므로

= =

=2a-3+h ⑴ 1 ⑵ 2a-3+h

025

=

={(a+1)¤ -2(a+1)}-(a¤ -2a) =2a-1 즉, 2a-1=5이므로 a=3 3 f(a+1)-f(a) 111111245_(a+1)-a Dy 1444_Dx (2a-3)h+h¤ 11111224_h f(a+h)-f(a) 111111244_(a+h)-a Dy 1444_Dx 2 1₂ f(3)-f(1) 11112344_3-1 Dy 1444_Dx 024 ⑴ 1 ⑵ 2a-3+h 025 3 026 ⑴ 12 ⑵ - 027 3 028 2 029 미분가능하지 않고, 불연속이다. 030 ⑴ f '(x)=1 ⑵ f '(x)=0 ⑶ f '(x)=3x¤

031 ⑴ y'=0 ⑵ y'=9x° ⑶ y'=20x⁄ ·

⑷ y'=0 032 ⑴ y'=-16x‹ +24x¤ -6 ⑵ y'=10x› +40x‹ -20x-2 033 -20 1 1₄ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

1. 미분계수와 도함수

II

다항함수의 미분법

APPLICATION

026

⑴ f'(1) = = = = (3Dx+12)=12 ⑵ f'(-2)= = = = =- ⑴ 12 ⑵

-027

곡선 y=f(x) 위의 점 (0, 0)에서의 접선의 기울기는 f'(0)이므로 f '(0)= f '(0)= f '(0)= {(Dx)¤ +3}=3 3

028

곡선 y=f(x) 위의 점 (a, a¤ -5a)에서의 접선의 기울기는 f'(a)이므로 f '(a)= f '(0)= f '(0)= f '(0)= (Dx+2a-5)=2a-5 즉, 2a-5=-1이므로 a=2 2 lim Dx⁄0 (Dx)¤ +(2a-5)Dx 111111112555_Dx lim Dx⁄0

{(a+Dx)¤ -5(a+Dx)}-(a¤ -5a) 111111111111112524_Dx lim Dx⁄0 f(a+Dx)-f(a) 1111111355_Dx lim Dx⁄0 lim Dx⁄0 (Dx)‹ +3Dx 11111255_Dx lim Dx⁄0 f(0+Dx)-f(0) 1111111355_Dx lim Dx⁄0 1 1₄ 1 1 1₄ 1 111125_-4+2Dx lim Dx⁄0 Dx 111413_-4+2Dx 11112443_Dx lim Dx⁄0 1 1 111415-1344_{-2+Dx -2} 1111111244_Dx lim Dx⁄0 f(-2+Dx)-f(-2) 111111111355_Dx lim Dx⁄0 lim Dx⁄0 3(Dx)¤ +12Dx 1111113553_Dx lim Dx⁄0 {3(1+Dx)¤ +6(1+Dx)+3}-(3¥1¤ +6¥1+3) 11111111111111111335_Dx lim Dx⁄0 f(1+Dx)-f(1) 1111111355_Dx lim Dx⁄0

029

= = =¶ = = =¶ ¶는 수렴값이 아닌 발산하는‘상태’이므로 x=0에서 미분가능하지 않다. 한편 = =-1 한편 = =1 로 좌극한과 우극한이 다르므로 x=0에서 불연속이다. [참고] 주어진 함수의 그래프를 그려 보면 x=0에서 불 연속이라는 것은 쉽게 알 수 있다. x=0에서 불연속이므 로 x=0에서 미분가능하지 않음은 자명하다. 미분가능하지 않고, 불연속이다.

030

⑴ f '(x)= = = 1=1 ⑵ f '(x)= ⑵ f '(x)= 1122-2=0 Dx lim Dx⁄0 f(x+Dx)-f(x) 111111124_Dx lim Dx⁄0 lim Dx⁄0 (x+Dx)-x 11111235_Dx lim Dx⁄0 f(x+Dx)-f(x) 111111124_Dx lim Dx⁄0 O 1 -1 x y y=f{x} x 1_x lim x⁄0+ x 153 |x| lim x⁄0+ x 13545_-x lim x⁄0-x 153 |x| lim x⁄0-1 153 |x| lim x⁄0+ x 153-0 |x| 11124_x lim x⁄0+ f(x)-f(0) 1111144_x-0 lim x⁄0+ 1 153 |x| lim x⁄0-x 153-0 |x| 11124_x lim x⁄0-f(x)-f(0) 1111144_x-0 lim

x⁄0-⑶ f '(x)= ⑶ f '(x)= ⑶ f '(x)= ⑶ f '(x)= {3x¤ +3xDx+(Dx)¤ }=3x¤ ⑴ f '(x)=1 ⑵ f '(x)=0 ⑶ f '(x)=3x¤

031

⑴ 상수함수이므로 y'=0 ⑵ (xn_)'=nxn-1 이므로 y'=9x° ⑶ (xn_)'=nxn-1 이므로 y'=20x⁄ · ⑷ 상수함수이므로 y'=0 ⑴ y'=0 ⑵ y'=9x° ⑶ y'=20x⁄ · ⑷ y'=0

032

⑴ y=-4x› +8x‹ -6x+9에서 y '=(-4x› )'+(8x‹ )'+(-6x)'+(9)' =-16x‹ +24x¤ -6 ⑵ y=(2x‹ -2x)(x¤ +5x+1)에서 y '=(2x‹ -2x)'(x¤ +5x+1) y '= +(2x‹ -2x)(x¤ +5x+1)' y '=(6x¤ -2)(x¤ +5x+1) y '= +(2x‹ -2x)(2x+5) y '=6x› +30x‹ +4x¤ -10x-2 y '= +4x› +10x‹ -4x¤ -10x y '=10x› +40x‹ -20x-2 ⑴ y'=-16x‹ +24x¤ -6 ⑵ y'=10x› +40x‹ -20x-2

033

h'(x)=2f '(x)g(x)+2f(x)g'(x)이므로 h'(5)=2f '(5)g(5)+2f(5)g'(5) =2¥6¥(-3)+2¥4¥2 =-36+16=-20 -20 lim Dx⁄0 3x¤ Dx+3x(Dx)¤ +(Dx)‹ 11111111111545_Dx lim Dx⁄0 {(x+Dx)‹ -3}-(x‹ -3) 1111111111415_Dx lim Dx⁄0 f(x+Dx)-f(x) 111111124_Dx lim Dx⁄0

034

⑴ f(x)=(2x-1)(3x-1)로 놓으면 f '(x)=2(3x-1)+(2x-1)¥3 =12x-5 따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=12¥1-5=7 ⑵ 구하는 접선은 점 (1, 2)를 지나고 기울기가 7인 직 선이므로 y-2=7(x-1) ∴ y=7x-5 ⑴ 7 ⑵ y=7x-5

035

f(x)=3x¤ -5x+4로 놓으면 f '(x)=6x-5 점 (2, 6)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=6¥2-5=7 이므로 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 - 이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 1 1₇

2. 도함수의 활용

034 ⑴ 7 ⑵ y=7x-5 035 y=- x+ 036 y=4x+5 037 y=-2x+2, y=-6x+2 038 -5, 3 039 — 040 - 041 풀이 참조 042 구간 (-¶, ¶)에서 증가 043 풀이 참조 044 ⑴ 극댓값：-1, 극솟값：-5 ⑵ 극솟값：0 045 풀이 참조 046 최댓값：5, 최솟값：없다. 047 2 048 1 049 c<48 050 풀이 참조 051 ⑴ 속도：5, 가속도：12 ⑵ 20 052 20.4 cm¤ /s 4 1₃ '3 155₃ 44 144₇ 1 1₇ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

APPLICATION y-6=- (x-2) ∴ y=- x+ y=- x+

036

f(x)=-x¤ +2x+4로 놓으면 f '(x)=-2x+2 접점의 좌표를 (a, f(a))라 하면 f '(a)=-2a+2 그런데 접선의 기울기가 4이므로 -2a+2=4 ∴ a=-1 따라서 접점의 좌표가 (-1, 1)이므로 구하는 접선의 방 정식은 y-1=4{x-(-1)} ∴ y=4x+5 y=4x+5

037

f(x)=x¤ -4x+3으로 놓으면 f '(x)=2x-4

접점의 좌표를 (a, a¤ -4a+3)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=2a-4이므로 접선의 방정식은

y-(a¤ -4a+3)=(2a-4)(x-a) yy ㉠ 이 접선이 점 (0, 2)를 지나므로

2-(a¤ -4a+3)=-a(2a-4) -a¤ +4a-1=-2a¤ +4a a¤ =1 ∴ a=—1 ⁄a=1일 때, ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-2x+2 ¤a=-1일 때, ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-6x+2 y=-2x+2, y=-6x+2

038

f(x)=x¤ -x+2, g(x)=cx-x¤ 으로 놓고, 접점의 x좌표를 a라 하면 x=a에서의 함숫값끼리, 또 미분계수끼리 서로 같아야 한다.

즉, f(a)=g(a)이고, f '(a)=g'(a)이어야 한다. 44 144₇ 1 1₇ 44 1 14444₇ 1 1 1₇ 1

1₇ ⁄ f(a)=g(a) : a¤ -a+2=ca-a¤

∴ ca=2a¤ -a+2 yy ㉠

¤ _{f '(a)=g'(a)：각 함수의 도함수가} f '(x)=2x-1, g'(x)=c-2x이므로

2a-1=c-2a ∴ c=4a-1 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면

(4a-1)¥a=2a¤ -a+2, 2a¤ =2 ∴ a=—1 a=-1을 ㉡에 대입하면 c=-5 a=1을 ㉡에 대입하면 c=3 -5, 3

039

함수 f(x)=-x‹ +x+1은 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고 열린구간 (-1, 1)에서 미분가 능하다. 이때 f(-1)=f(1)=1이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재 한다. f '(x)=-3x¤ +1이므로 f '(c)=-3c¤ +1=0 c¤ = ∴ c=— —

040

함수 f(x)=x‹ -3x는 닫힌구간 [-2, 2]에 서 연속이고 열린구간 (-2, 2)에서 미분가능하므로 평 균값 정리에 의하여 =f'(c) 인 c가 열린구간 (-2, 2)에 적어도 하나 존재한다. f '(x)=3x¤ -3이므로 =3c¤ -3 3c¤ -3=1, c¤ = ∴ c=— 따라서 실수 c의 값의 곱은 - ¥ =--₁4 3 4 1 1₃ 2 135 '3 2 135 '3 2 135 '3 4 1₃ 2-(-2) 1112325_2-(-2) f(2)-f(-2) 1111141_2-(-2) '3 135₃ '3 1 13355₃ 1 1₃

041

h(x)={ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ 으로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면 h'(x)=2f(x)f '(x)+2g(x)g'(x) 이때 f '(x)=g(x), g'(x)=-f(x)이므로 h'(x)=2f(x)f '(x)+2g(x)g'(x) =2f(x)g(x)+2g(x){-f(x)}=0 평균값 정리의 따름정리에 의하여 h(x)는 상수함수가 된다. 조건에서 h(0)={ f(0)}¤ +{ g(0)}¤ =0¤ +1¤ =1 ∴ h(x)=1 따라서 모든 x에 대하여 { f(x)}¤ +{ g(x)}¤ =1임을 알 수 있다. 풀이 참조

042

a<b인 임의의 두 실수 a, b에 대하여 f(a)-f(b)={2(a-1)‹ +1}-{2(b-1)‹ +1} =2{(a-1)‹ -(b-1)‹ } 그런데 a<b이므로 a-1<b-1 즉, (a-1)‹ <(b-1)‹ 이므로 f(a)-f(b)<0 ∴ f(a)<f(b) 따라서 함수 f(x)=2(x-1)‹ +1은 구간 (-¶, ¶) 에서 증가한다. 구간 (-¶, ¶)에서 증가

043

⑴ f(x)=-x› +8x¤ +3에서 f '(x)=-4x‹ +16x=-4x(x+2)(x-2) f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=2 실수 전체의 구간을 x=-2, x=0, x=2를 기준으 로 네 구간 x<-2, -2<x<0, 0<x<2, x>2 로 나누고, 증감표를 만들면 다음과 같다. x f '(x) f(x) y -2 y 0 y 2 y + 0 - 0 + 0 -↗ 19 ↘ 3 ↗ 19 ↘ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¶, -2 ], [ 0, 2 ]에서 증가하고, 구간 [ -2, 0 ], [ 2, ¶)에서 감소한다. ⑵ f(x)=-4x‹ +6x¤ -3x-2에서 f'(x)=-12x¤ +12x-3=-12{x¤ -x+ } =-12{x- }¤ …0 이 항상 성립하므로 함수 f(x)는 구간 (-¶, ¶)에 서 감소한다. 풀이 참조

044

⑴ f(x)=-x‹ -3x¤ -1에서 f '(x)=-3x¤ -6x=-3x(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극댓값 -1, x=-2 에서 극솟값 -5를 갖는다. ⑵ f(x)=x› -32x+48에서 f'(x)=4x‹ -32=4(x-2)(x¤ +2x+4) f'(x)=0에서 x=2 (∵ x¤ +2x+4>0) 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 따라서 함수f(x)는 x=2에서 극솟값 0을 갖는다. ⑴ 극댓값 : -1, 극솟값 : -5 ⑵ 극솟값 : 0

045

⑴ f(x)=x‹ -3x¤ +3x+2에서 f '(x)=3x¤ -6x+3=3(x-1)¤ 1 1₂ 1 1₄ x f '(x) f(x) y -2 y 0 y - 0 + 0 -↘ -5 ↗ -1 ↘ (극소) (극대) x f'(x) f(x) y 2 y - 0 + ↘ 0 ↗ (극소)

APPLICATION f '(x)=0에서 x=1 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 따라서 함수 f(x)는 극값을 갖지 않고, f(1)=3, f(0)=2이므로 y=f(x)의그래프는다음그림과같다. ⑵ f(x)=x› -4x‹ +2에서 f '(x)=4x‹ -12x¤ =4x¤ (x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극솟값 -25를 갖고, f(0)=2이므로 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 풀이 참조 2 3 -25 O x y _y=f{x} O x y _y=f{x} 1 2 3

046

f(x)=-x› +4x‹ +2x¤ -12x-4에서 f '(x)=-4x‹ +12x¤ +4x-12 =-4x¤ (x-3)+4(x-3) =-4(x-3)(x¤ -1) =-4(x-3)(x-1)(x+1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 (∵ -2<x<3) 구간 (-2, 3)에서 함수 f(x)의 증감표를 만들고, 이를 이용하여 y=f(x)의 그래프를 그리면 다음과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 최댓값 5를 갖고, 최 솟값은 존재하지 않는다. 최댓값：5, 최솟값：없다.

047

f(x)=3x› -4x‹ -6으로 놓으면 f '(x)=12x‹ -12x¤ =12x¤ (x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 함수 f(x)의 증감표를 만들고, 이를 이용하여 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다. O 1 5 -4 -1 3 -2 -11 -20 x y y=f{x} x f '(x) f(x) (-2) y -1 y 1 y (3) + 0 - 0 + (-20) ↗ 5 ↘ -11 ↗ (5) x f '(x) f(x) y 1 y + 0 + ↗ 3 ↗ x f '(x) f(x) y 0 y 3 y - 0 - 0 + ↘ 2 ↘ -25 ↗ (극소) x f '(x) f(x) y 0 y 1 y - 0 - 0 + ↘ -6 ↘ -7 ↗

따라서 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수 는 2이다. 2

048

f(x)=g(x) HjK x‹ =x-10 HjK x‹ -x+10=0 이므로 h(x)= x‹ -x+10으로 놓으면 h'(x)=x¤ -1=(x+1)(x-1) h'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 함수 h(x)의 증감표를 만들고, 이를 이용하여 y=h(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다. 따라서 함수 y=h(x)의 그래프가 x축과 한 점에서 만 나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 1이다. 1 y=h{x} 32 3 28 10 1 -1 3 O x y 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ O 1 -7 -6 x y _y=f{x} y -1 y 1 y + 0 - 0 + ↗ 1232₃ ↘ 1228₃ ↗ x h'(x) h(x)

049

-32x-x› -c=0에서 -32x-x› =c f(x)=-32x-x› 으로 놓으면 f '(x)=-32-4x‹ =-4(x‹ +8) =-4(x+2)(x¤ -2x+4) f '(x)=0에서 x=-2 (∵ x¤ -2x+4>0) 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 방정식 -32x-x› -c=0이 서로 다른 두 실근을 가지 려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=c가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 c의 값은 함수 f(x)의 극댓값 보다 작아야 한다. 이때 함수 f(x)의 극댓값이 48이므로 구하는 c의 값의 범위는 c<48이다. c<48

050

3x› æ4x‹ -1에서 3x› -4x‹ +1æ0 f(x)=3x› -4x‹ +1로 놓으면 f '(x)=12x‹ -12x¤ =12x¤ (x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 함수 f(x)의 증감표를 만들고, 이를 이용하여 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다. O -2 48 x y y=f{x} y=c x f '(x) f(x) y -2 y + 0 -↗ 48 ↘ x f '(x) f(x) y 0 y 1 y - 0 - 0 + ↘ 1 ↘ 0 ↗

APPLICATION 즉, f(x)의 최솟값은 0이므로 f(x)æ0 따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 3x› æ4x‹ -1이 성 립한다. 풀이 참조

051

점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a 라 하면 v= =3t¤ -6t-4, a= =6t-6 ⑴ t=3에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=3¥3¤ -6¥3-4=5, a=6¥3-6=12 따라서 속도는 5, 가속도는 12이다. ⑵ 점 P가 출발한 후 다시 원점을 지날 때는 x=0이므로 t‹ -3t¤ -4t=0에서 t(t+1)(t-4)=0 ∴ t=4(∵ t>0) 따라서 t=4일 때의 점 P의 속도는 3¥4¤ -6¥4-4=20 ⑴ 속도 : 5, 가속도 : 12 ⑵ 20

052

t초 후의 정사각형의 한 변의 길이는 (5+0.6t) cm이므로 정사각형의 넓이를 S cm¤ 라 하면 S=(5+0.6t)¤ =25+6t+0.36t¤ 양변을 t에 대하여 미분하면 =6+0.72t 이때 정사각형의 한 변의 길이가 17 cm이므로 5+0.6t=17 ∴ t=20 따라서 20초 후의 정사각형의 넓이의 변화율은 6+0.72¥20=20.4 (cm¤ /s) 20.4 cm¤ /s dS 124_dt dv 125_dt dx 125_dt 1 1 O x y y=f{x}

053

⑴: f(x)dx=x¤ -3x+C에서 f(x)=(x¤ -3x+C)' =2x-3 ⑵: (x+1)f(x)dx=2x‹ -6x+C에서 (x+1)f(x)=(2x‹ -6x+C)' =6x¤ -6 =6(x+1)(x-1) ∴ f(x)=6(x-1) ⑴ f(x)=2x-3 ⑵ f(x)=6(x-1)

054

: (ax¤ +ax-b)dx=cx‹ -3x¤ +5x+C에서 ax¤ +ax-b=(cx‹ -3x¤ +5x+C)' =3cx¤ -6x+5 두 식을 비교하면 a=3c, a=-6, -b=5 ∴ a=-6, b=-5, c=-2 a=-6, b=-5, c=-2 053 ⑴ f(x)=2x-3 ⑵ f(x)=6(x-1) 054 a=-6, b=-5, c=-2 055 ⑴ x¤ +2x+3 ⑵ x¤ +2x+C 056 C 057 a=2, b=-4, c=-2 058 ⑴ x‡ +C ⑵ x⁄ ⁄ +C ⑶ x⁄ fl +C 059 ⑴ xfi +x‹ +4x¤ +x+C ⑵ 2x‹ + x¤ +2x+C ⑶ x‹ -2tx¤ +t¤ x+C ⑷ x‹ + tx¤ +t¤ x+C 060 0 1 1₂ 1 1₃ 4 1₃ 7 1₂ 1 12₁₆ 1 12₁₁ 1 1₇ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

1. 부정적분

III

다항함수의 적분법

055

⑴ [: f(x) dx]=f(x)이므로 [: (x¤ +2x+3) dx]=x¤ +2x+3 ⑵: [ f(x)]dx=f(x)+C이므로 : [ (x¤ +2x+3)]dx=x¤ +2x+C ⑴ x¤ +2x+3 ⑵ x¤ +2x+C

056

: [ f(x)]dx- [: f(x) dx] ={ f(x)+C}-f(x) =C 이때 문제에 주어진 f(0)=5라는 조건은 아무런 영향을 주지 않는다. C

057

적분 후 미분하면 원래 함수가 나온다. 즉, [: (ax‹ +4x-2) dx]=ax‹ +4x-2이므로 ax‹ +4x-2=2x‹ -bx+c ∴ a=2, b=-4, c=-2 a=2, b=-4, c=-2

058

⑴: xfl dx= xfl ±⁄ +C= x‡ +C ⑵: x⁄ ‚ dx= x⁄ ‚ ±⁄ +C= x⁄ ⁄ +C ⑶: x⁄ fi dx= x⁄ fi ±⁄ +C= x⁄ fl +C ⑴ x‡ +C ⑵ x⁄ ⁄ +C ⑶ x⁄ fl +C

059

⑴: (5x› +3x¤ +8x+1)dx ⑴=5: x› dx+3: x¤ dx+8: xdx+: dx ⑴=xfi +x‹ +4x¤ +x+C 1 12₁₆ 1 12₁₁ 1 1₇ 1 1 122₁₆ 1 11245₁₅₊₁ 1 1 122₁₁ 1 11245₁₀₊₁ 1 1 1₇ 1 1155₆₊₁ d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx ⑵: (2x+1)(3x+2)dx =: (6x¤ +7x+2)dx =6: x¤ dx+7: xdx+2: dx =2x‹ + x¤ +2x+C ⑶: (2x-t)¤ dx=: (4x¤ -4tx+t¤ )dx =4: x¤ dx-4t: xdx+t¤ : dx = x‹ -2tx¤ +t¤ x+C ⑷: dx+: dx ⑷=: dx-: dx ⑷=: dx ⑷=: dx ⑷=: (x¤ +tx+t¤ )dx ⑷=: x¤ dx+t: xdx+t¤ : dx ⑷= x‹ + tx¤ +t¤ x+C ⑴ xfi +x‹ +4x¤ +x+C ⑵ 2x‹ + x¤ +2x+C ⑶ x‹ -2tx¤ +t¤ x+C ⑷ x‹ + tx¤ +t¤ x+C

060

f '(x)=3x¤ -8x+2이므로 f(x)=: f'(x)dx=: (3x¤ -8x+2)dx =x‹ -4x¤ +2x+C 1 1₂ 1 1₃ 4 1₃ 7 1₂ 1 1 1₂ 1 1 1₃ (x-t)(x¤ +tx+t¤ ) 11111111345_x-t x‹ -t‹ 11334_x-t t‹ 1155_x-t x‹ 1155_x-t t‹ 1155_t-x x‹ 1155_x-t 4 1 1₃ 7 1 1₂

APPLICATION 이때 f(0)=3이므로 C=3 따라서 f(x)=x‹ -4x¤ +2x+3이므로 f(3)=27-36+6+3=0 0

061

⑴:!2 2xdx=[x¤ ]2!=4-1=3 ⑵:)3 (-2x¤ +x)dx=[- x‹ + x¤ ]3) ={-18+ }-0=-⑶:_2@ (x‹ -1)dx=[ x› -x]2_@ =(4-2)-(4+2)=-4 ⑴ 3 ⑵ - ⑶ -4

062

⑴:@2 (5x¤ -9)dx=0 ⑵:)- 1 (x‹ +2x+2)dx=[ x› +x¤ +2x]-)1 ={ +12}0=⑴ 0 ⑵

-063

⑴:)1 (x¤ +3x)dx+:)1 (-x¤ +5x)dx =:)1 {(x¤ +3x)+(-x¤ +5x)} dx =:)1 8xdx=[4x¤ ]1)=4 3 1₄ 3 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ 27 144₂ 1 1₄ 27 1 122₂ 9 1₂ 1 1₂ 2 1₃

2. 정적분

061 ⑴ 3 ⑵ - ⑶ -4 062 ⑴ 0 ⑵ -063 ⑴ 4 ⑵ ⑶ - ⑷ -6 064 5 065 ⑴ ⑵ 16 066 80 067 f(x)=3x¤ +4x-4, a=-3 16 12₃ 4 1₃ 8 1₃ 3 1₄ 27 12₂ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

∴:_3!|2-x|dx =:_2! (2-x)dx+:@3 (-2+x)dx =[2x- x¤ ]2_!+[-2x+ x¤ ]3@ =[2-{- }]+[- -(-2)] =5 5

065

⑴ 정적분:_1! (x‹ +5x¤ -6x+1)dx에서 x‹ -6x는 홀함수이고, 5x¤ +1은 짝함수이므로 :_1! (x‹ +5x¤ -6x+1)dx =:_1! (x‹ -6x)dx+:_1! (5x¤ +1)dx =0+2:)1 (5x¤ +1)dx=2 [ x‹ +x]1) =2_ = ⑵ f(x)=|x|라 하면 f(-x)=|-x|=|x|=f(x) 이므로 함수 f(x)는 짝함수이다. ∴:_4$ |x|dx=2:)4 xdx=2 [ x¤ ]4) =2_8=16 ⑴ ⑵ 16

066

xæ0일 때 함수 f(x)의 주기가 2이므로 :)2 f(x)dx=:@4 f(x)dx=:$6 f(x)dx =:^8 f(x)dx=10 ∴:)8 f(x)dx=:)2 f(x)dx+:@4 f(x)dx +:$6 f(x)dx+:^8 f(x)dx =4_10=40 16 12₃ 1 1₂ 16 1 122₃ 8 1₃ 5 1₃ 3 1₂ 5 1₂ 1 1₂ 1 1₂ ⑵:_0! (x¤ +1)dx+:)1 (x¤ +1)dx =:_1! (x¤ +1)dx=[ x‹ +x]1_! = _{-{- }=} ⑶:_2@ (2x‹ -x¤ )dx-:@- 2 (-2x‹ +4x+1)dx =:_2@ (2x‹ -x¤ )dx+:_2@ (-2x‹ +4x+1)dx =:_2@{(2x‹ -x¤ )+(-2x‹ +4x+1)} dx =:_2@ (-x¤ +4x+1)dx =[- x‹ +2x¤ +x]2_@ = - =-⑷:_1@ (x¤ -2x+2)dx-3:_1@ (3x¤ -1)dx =:_1@ (x¤ -2x+2)dx-:_1@ (9x¤ -3)dx =:_1@{(x¤ -2x+2)-(9x¤ -3)} dx =:_1@ (-8x¤ -2x+5)dx =[- x‹ -x¤ +5x]1_@ = - =-6 ⑴ 4 ⑵ ⑶ - ⑷ -6

064

2-x=0에서 x=2이므로 |2-x| =g 2-x (x…2) -2+x (xæ2) y=|2-x| O -1 2 3 x y 4 1₃ 8 1₃ 22 12₃ 4 1₃ 8 1₃ 4 1 1₃ 26 12₃ 22 12₃ 1 1₃ 8 1 1₃ 4 1₃ 4 1₃ 1 1₃

APPLICATION 또 f(-x)=f(x)에서 f(x)는 짝함수이므로 :_8* f(x)dx=2:)8 f(x)dx=2_40=80 80

067

주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 :_-3xf(t)dt=f(x)=(x‹ +2x¤ -4x+a)' =3x¤ +4x-4 ∴ f(x)=3x¤ +4x-4 한편 주어진 등식의 양변에 x=-3을 대입하면 :_-3-3f(t)dt=0이므로 -27+18+12+a=0 ∴ a=-3 f(x)=3x¤ +4x-4, a=-3 d 125_dx

068

곡선 y=x‹ -3x¤ +2x와 x축의 교점의 x좌 표는 x‹ -3x¤ +2x=0에서 x(x-1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 곡선 y=x‹ -3x¤ +2x와 x축으로 둘러싸인 도형 은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다. 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)2 |x‹ -3x¤ +2x|dx S=:)1 (x‹ -3x¤ +2x)dx-:!2 (x‹ -3x¤ +2x)dx S=[ x› -x‹ +x¤ ]1)-[ x› -x‹ +x¤ ]2! S= _{-{- }=}

069

포물선 y=ax¤ +bx+c와 x축의 서로 다른 두 교점의 x좌표가 a, b `(a<b)이면 방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 실근이 a, b이다. 따라서 ax¤ +bx+c=a(x-a)(x-b)이므로 넓이 S는 S=:Ú’ |ax¤ +bx+c|dx S=:Ú’ |a(x-a)(x-b)|dx 1 1₂ 1 1 1₂ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ y=x#-3x@+2x x O 1 2 y

3. 정적분의 활용

068 069 풀이 참조 070 071 4 072 23,14462₃ 073 40m, 90m 37 144₁₂ 1 1₂ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

S=|a|:Ú’ {-(x-a)(x-b)} dx

S=-|a|:Ú’ {x¤ -(a+b)x+ab } dx

S=-|a|[ x‹ - (a+b)x¤ +abx]’Ú

S_{=-|a|[ (b‹ -a‹ )- (a+b)(b¤ -a¤ )}

+ab(b-a)]

S=- (b-a){2(b¤ +ab+a¤ )-3(a+b)¤ +6ab } S= (b-a)(b¤ -2ab+a¤ ) S= (b-a)‹ 풀이 참조

070

두 곡선 y=-x‹ +2x¤ , y=x¤ -2x의 교점 의 x좌표는 -x‹ +2x¤ =x¤ -2x에서 x‹ -x¤ -2x=0, x(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다. 구하는 넓이를 S라 하면 S=:_0!{(x¤ -2x)-(-x‹ +2x¤ )} dx +:)2 {(-x‹ +2x¤ )-(x¤ -2x)} dx S=:_0! (x‹ -x¤ -2x)dx+:)2 (-x‹ +x¤ +2x)dx x y=-x#+2x@ y=x@-2x O 2 -1 y |a| 125₆ |a| 125₆ |a| 125₆ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₃ S=[ x› - x‹ -x¤ ]0_!+[- x› + x‹ +x¤ ]2) S= + S=

071

두 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 서로 역함수 관계이므로 다음 그림의 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같다. 따라서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 5¥5-1¥1-2:!5 f(x)dx=25-1-20 =4 4

072

6초 후의 점 P의 위치를 x라 하면 x=5+:)6 (t¤ -4t+3)dt=5+[ t‹ -2t¤ +3t]6) x=5+18=23 한편 6초 동안 점 P가 움직인 거리를 s라 하면 s=:)6 |t¤ -4t+3|dt 이고 s는 다음 그림의 색칠한 부분의 넓이의 합과 같다. y=t@-4t+3 3 6 1 t O y 1 1₃ O 1 5 5 1 x y y=f{x} y=g{x} 37 12₁₂ 37 1 122₁₂ 8 1₃ 5 12₁₂ 1 1₃ 1 1₄ 1 1₃ 1 1₄

APPLICATION ∴ s=:)6 |t¤ -4t+3|dt ∴ s=:)1 (t¤ -4t+3)dt-:!3 (t¤ -4t+3)dt ∴ s= +:#6 (t¤ -4t+3)dt ∴ s=[ t‹ -2t¤ +3t]1)-[ t‹ -2t¤ +3t]3! ∴ s= +[ t‹ -2t¤ +3t]6# ∴ s= _{-{- }+18} ∴ s= 따라서 6초 후의 점 P의 위치는 23이고 점 P가 출발하 여 6초 동안 움직인 거리는 이다. 23,

073

t초 후 물 로켓의 지면으로부터의 높이를 xm 라 하면 x=0+:)t (30-10t)dt=30t-5t¤ (m) 따라서 t=4일 때, 물 로켓의 지면으로부터의 높이는 x=30_4-5_4¤ =40(m) 또 물 로켓이 지면에 떨어지면 x=0이므로 30t-5t¤ =0에서 5t(t-6)=0 ∴ t=0 또는 t=6 즉, 물 로켓이 지면에 떨어지는데 걸리는 시간은 6초이다. 이때 v(t)=30-10t(m/s)이므로 0…t…3에서 v(t)æ0, 3…t…6에서 v(t)…0이다. 따라서 물 로켓이 움직인 거리는 :)6 |30-10t|dt =:)3 (30-10t)dt+:#6 (-30+10t)dt =[30t-5t¤ ]3)+[-30t+5t¤ ]6# =45+45=90(m) 40m, 90m 62 144₃ 62 1 14444₃ 62 144₃ 4 1₃ 4 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃

1. 함수의 극한

I

함수의 극한과 연속

001

-` ㄱ. f(x)= =x+4 (x+4)라 하면 =8 ㄴ. f(x)= =g 이라 하면 =1, =-1 따라서 lim 112544_|x+2|x+2 의 값은 존재하지 않는다. x⁄-2 x y O -1 1 -2 y=f{x} x+2 112544 |x+2| lim x ⁄-2-x+2 112544 |x+2| lim x⁄-2+ 1 (x>-2) -1 (x<-2) x+2 112544_|x+2| x y O 4 8 y=f{x} x¤ -16 112524_x-4 lim x⁄4 x¤ -16 112524_x-4 유제 S U M M A C U M L A U D E ㄷ. 0…x<1일 때 [x-2]=-2 ∴ = =1 -1…x<0일 때 [x-2]=-3 ∴ = = 따라서 의 값은 존재하지 않는다. 이상에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ뿐이다. ㄱ

002

-` [x]=3, [x]=2이므로 + = + =4+ =

002

-` n은 자연수이므로 [x¤ ]=n¤ , [2x]=2n, [x¤ ]=n¤ -1, [2x]=2n-1 우극한을 구해 보면 {[x¤ ]+k[2x]}=n¤ +k¥2n 좌극한을 구해 보면 {[x¤ ]+k[2x]}=n¤ -1+k(2n-1) 이때 f(x)의 값이 존재하려면 우극한과 좌극한이 같아야 하므로 n¤ +k¥2n=n¤ -1+k(2n-1), 0=-1-k ∴ k=-1 -1 lim x⁄n lim x ⁄n-lim x⁄n+ lim x ⁄n-lim x ⁄n-lim x⁄n+ lim x⁄n+ 9 1<sub>2</sub> 9 1 1<sub>2</sub> 1 1<sub>2</sub> 2¤ -3 1123<sub>2</sub> 3¤ +3 1123<sub>3</sub> [x]¤ -x 11125<sub>[x]</sub> lim x⁄3-[x]¤ +x 11125<sub>[x]</sub> lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x⁄3+ x-2 112544<sub>[x-2]</sub> lim x⁄0 x y O 1 … … 1 -1 y= [x-2] x-2 1 2 2 3 2 1<sub>3</sub> 0-2 1125<sub>-3</sub> x-2 112544<sub>[x-2]</sub> lim x ⁄0-0-2 1125<sub>-2</sub> x-2 112544<sub>[x-2]</sub> lim x⁄0+ 001-` ㄱ 002-` 002-` -1 003-` ㄱ, ㄴ 004-` 004-` -2 005-` ⑴ -3 ⑵ 005-` 7 005-` 006-` ㄱ, ㄴ 007-` 3 007-` 0 008-` -4 008-` -9 009-` 12 010-` 11 8 3 1₂ 9 1₄ 2 1₃ 9 1₂

유`제

003

-` ㄱ. f(x)=t로 놓으면 x⁄ 1-일 때 t ⁄ 2-이므로 f(f(x))= f(t)=1 (참) ㄴ. f(x)=t로 놓으면 x⁄ 2+일 때 t ⁄ 0+이므로 f( f(x))= f(t)=0 (참) ㄷ. f(x)=1이므로 f { f(x)}=f(1)=0 f(x)=2이므로 f { f(x)}=f(2)=2 ∴ f { f(x)}+f { f(x)} (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ

004

-` 3g(x)-f(x)=h(x)라 하면 h(x)=4이므로 함수의 극한에 대한 성질에 의하여 g(x)= = = ∴ { f(x)-g(x)}= f(x)- g(x) =3- =

004-`

3f(x)+g(x)=h(x), f(x)-g(x)=k(x)라 하면 f(x)= ,g(x)= 이때 h(x)=10, k(x)=6이므로 함수의 극한 에 대한 성질에 의하여 f(x)= =4, g(x)=111110-3¥6 =-2 4 lim x⁄2 10+6 111₄ lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 h(x)-3k(x) 1111112₄ h(x)+k(x) 1111124₄ 2 1₃ 2 1 1₃ 7 1₃ lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 7 1₃ 3+4 112₃ f(x)+h(x) 111112₃ lim x⁄3 lim x⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1-lim x⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim t⁄0+ lim x⁄2+ lim t ⁄2-lim x⁄1-∴ = = =-2 -2

005

-` =4를 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형하자. ⑴ = = = =-3 ⑵ = _[ + _] = + _[ ¥ _] = + ¥ = +4¥ = ⑴ -3 ⑵

005

-` = =11125+3¤ =7 7 2-3¥0 f(x) 5+[113]_x ¤ 1111122_{f(x) 1} 2-113¥1 x x lim x⁄¶ 5x¤ +{ f(x)}¤ 1111122_{2x¤ -f(x)} lim x⁄¶ 9 1₄ 9 1 1₄ 1 1₂ 1 1₄ 1 112_x+1 lim x⁄1 f(x) 1123_x-1 lim x⁄1 1 1₄ 1 112_x+1 f(x) 1123_x-1 lim x⁄1 1 11111114 ('ßx +1)(x+1) lim x⁄1 f(x) 1123_{x¤ -1} 'ßx-1 1115_{x¤ -1} lim x⁄1 'ßx-1+f(x) 111111_{x¤ -1} lim x⁄1 4-1 112_3-4 f(x) lim112-lim1 x⁄1 x-1 x⁄1 111211111111335_f(x) lim (x¤ +x+1)-lim112 x⁄1 x⁄1 x-1 ) \ ‘ \ º f(x) x-1 112-112_{x-1 x-1} 1111111_{x‹ -1 f(x)} 1124-112_{x-1 x-1} ( \ “ \ 9 lim x⁄1 f(x)-x+1 1111125_{x‹ -1-f(x)} lim x⁄1 f(x) 112_x-1 lim x⁄1 4 11_-2 lim f(x)_x⁄2 11113_limg(x) x⁄2 f(x) 112_g(x) lim x⁄2

005

-` x-2=t로 놓으면 x=t+2이고 x⁄ 2일 때 t ⁄ 0이므로 = =6 ∴ = = _[ ¥ _] = ¥ = ¥ =6¥ =

006

-` { f(x)-g(x)}=a, g(x)=b라 하면 f(x)= [{ f(x)-g(x)}+g(x)] f(x)= { f(x)-g(x)}+ g(x) =a+b 로 f(x)의 값이 존재한다. ㄱ. x⁄ 0일 때 함수 f(x)의 우극한과 좌극한은 같으므 로 절댓값 기호를 포함한 함수 |f(x)|의 우극한과 좌극한도 달라지지 않는다. 따라서 |f(x)|의 값은 존재한다. ㄴ. f(x)=k (k는 상수)라 할 때, { f(x)}¤ = { f(x)¥f(x)} = f(x) f(x)=k¥k=k¤ 이므로 { f(x)}¤ 의 값은 존재한다. ㄷ. (반례) f(x)= 일 때, f(x)=-1이지만 f(x)=t라 하면 (fΩf)(x)= f(t)= 이 되어lim (fΩf)(x)의 값은 존재하지 않는다. x⁄0 t-1 1155_t+1 lim t⁄-1 lim t⁄-1 lim x⁄0 lim x⁄0 x-1 1133_x+1 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 3 1₂ 3 1 1₂ 1 1₄ 1 1₄ f(t) 115_t lim t⁄0 1 112_x+2 lim x⁄2 f(x-2) 11122_x-2 lim x⁄2 1 112_x+2 f(x-2) 11122_x-2 lim x⁄2 f(x-2) 1112111_(x+2)(x-2) lim x⁄2 f(x-2) 11122_{x¤ -4} lim x⁄2 f(t) 115_t lim t⁄0 f(x-2) 11122_x-2 lim x⁄2 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ

007

-` x¤ +2>0이므로 3x¤ +x-6<(x¤ +2)f(x)<3x¤ +x+4 의 각 변을 x¤ +2로 나누면 <f(x)< 이때 = =3이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 f(x)=3 3

007

-` f(x)=g 로부터 0<x…2인 모든 x에 대하여 0…f(x)…2가 성립하고 f(x)=f(x+2)이므로 모든 양의 실수 x에 대하여 0…f(x)…2가 성립한다. 이때 x>0이므로 … … 가 성립하고 = =0이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 =0 0

008

-` =3에서 x⁄ -1일 때 (분자) ⁄ 0이고 0이 아닌 극한값이 존재 하므로 (분모)⁄ 0이다. 즉, (x¤ -b)=0이므로 1-b=0 ∴ b=1 b=1을 주어진 식에 대입하면 lim x⁄-1 x¤ +(a+1)x+a 1555111115555_{x¤ -b} lim x⁄-1 f(x) 155555555_x lim x⁄¶ 2 1_x lim x⁄¶ 0 1_x lim x⁄¶ 2 1_x f(x) 14444445_x 0 1_x 2x (0<x…1) -2x+4 (1<x…2) lim x⁄¶ 3x¤ +x+4 111122_{x¤ +2} lim x⁄¶ 3x¤ +x-6 111122_{x¤ +2} lim x⁄¶ 3x¤ +x+4 111122_{x¤ +2} 3x¤ +x-6 111122_{x¤ +2}

유`제 = = = = =3 -1+a=-6 ∴ a=-5 ∴ a+b=-4 -4

008

-` f(x)=1에서 주어진 함수 f(x)의 분 자 부분은 이차항의 계수가 1인 이차식임을 알 수 있다. ∴ a=0, b=1 ∴ f(x)= f(x)=2에서 x⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값 이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (x¤ +cx+d)=0이므로 4+2c+d=0 ∴ d=-2c-4 이것을 f(x)=2에 대입하면 f(x)= = = = =2 ∴ c=6, d=-16 ∴ a+b+c+d=0+1+6+(-16) =-9 -9

009

-` 주어진 조건에 의하여 f(1)=f(2)=0이 므로 f(x)=(x-1)(x-2)(ax+b) (a, b는 상수) yy ㉠ 4+c 112₅ x+c+2 111234_x+3 lim x⁄2 (x-2)(x+2)+c(x-2) 111111111113_(x-2)(x+3) lim x⁄2 x¤ +cx-2c-4 1111111_(x-2)(x+3) lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ +cx+d 1111233_{x¤ +x-6} lim x⁄¶ -1+a 1112_-2 x+a 1125_x-1 lim x⁄-1 (x+1)(x+a) 155511115552_(x+1)(x-1) lim x⁄-1 x¤ +(a+1)x+a 1555111115555_{x¤ -1} lim x⁄-1 x¤ +(a+1)x+a 1555111115555_{x¤ -b} lim x⁄-1 로 놓을 수 있다. ㉠을 주어진 식에 각각 대입하면 = = (x-2)(ax+b) =-a-b=2 yy ㉡ = = (x-1)(ax+b) =2a+b=-4 yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-2, b=0 ∴ f(x)=-2x(x-1)(x-2) ∴ f(-1)=12 12

010

-` 두 원 C¡ : x¤ +y¤ =1 yy ㉠ C™ : (x-1)¤ +y¤ =r¤ yy ㉡ 에서 ㉠-㉡을 하면 x¤ -(x-1)¤ =1-r¤ , 2x-1=1-r¤ ∴ x= (2-r¤ ) 따라서 f(r)= (2-r¤ )이므로 = = = = 11 8 1 1 1₈ 1 11115₂₍₂₊₂₎ 1 11115_{2(2+r¤ )} lim r⁄'2-2-r¤ 11111112_{2(2+r¤ )(2-r¤ )} lim r ⁄'2-f(r) 1123_4-r› lim r⁄'2-1 1₂ 1 1₂ lim x⁄2 (x-1)(x-2)(ax+b) 11111111115_x-2 lim x⁄2 f(x) 112_x-2 lim x⁄2 lim x⁄1 (x-1)(x-2)(ax+b) 11111111115_x-1 lim x⁄1 f(x) 112_x-1 lim x⁄1

011-`

f(x)=0, f(x)=2이므로 f(x)+ f(x) 즉, f(x)의 값은 존재하지 않는다. ∴ a=1 함수 f(x)의 그래프가 x=0, x=1, x=3인 점에서 끊 어져 있으므로 f(x)는 x=0, x=1, x=3에서 불연속 이다. ∴ b=3 ∴ ab=3 3

012

-` 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이 므로 x=-1과 x=1에서 연속일 때의 a, b의 값을 구 하면 된다. 즉, ⁄ x=-1에서 연속이므로 f(x)=f(-1)이어 야 한다. f(x)= 4x(x-2)=12, f(-1)=2+a+2b 이므로 12=2+a+2b ∴ a+2b=10 yy ㉠ ¤x=1에서 연속이므로 f(x)=f(1)이어야 한다. f(x)= 4x(x-2)=-4, f(1)=2-a+2b 이므로 -4=2-a+2b ∴ a-2b=6 yy ㉡ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄-1-lim x⁄-1-lim x⁄-1-lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1-lim x⁄1+ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=1 ∴ ab=8 [참고]⁄에서 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(-1) 이 성립해야 한다. 이때 우극한과 함숫값이 일치함은 함수식으로부터 확인 할 수 있으므로 f(x)=f(-1) 이 성립하는지만 확인하면 된다 (¤도 마찬가지이다.) 8

012

-` 함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 f(x)=f(a) (∵ 우극한과 함숫값이 같으므로) 이어야 하므로

a¤ +3a-4=-a¤ +3a-2 2a¤ -2=0, (a+1)(a-1)=0 ∴ a=-1 또는 a=1 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 -1이다. -1

013

-` 함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 연속이 므로 x=-1에서도 연속이어야 한다. 즉, =c yy ㉠ ㉠에서 x⁄ -1일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하 므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (x‹ +ax+b)=0이므로 -1-a+b=0 ∴ b=a+1 b=a+1을 ㉠에 대입하여 정리하면 = = 11111244x¤ -x+a+1=c yy ㉡ x+1 lim x⁄-1 (x+1)(x¤ -x+a+1) 111111111233_(x+1)¤ lim x⁄-1 x‹ +ax+a+1 11111144_(x+1)¤ lim x⁄-1 lim x⁄-1 x‹ +ax+b 1111244_(x+1)¤ lim x⁄-1 lim x⁄a-lim x ⁄-1-lim x⁄-1+ lim x

⁄-1-2. 함수의 연속

011-` 3 012-` 8 012-` -1 013-` a=-3, b=-2, c=-3 013-` 2 013-` 3 014-` ③ 014-` ⑤ 015-` ㄱ, ㄴ 015-` ㄱ, ㄷ 016-` ㄹ 017-` -4<a<6 017-` 3 018-` 2 유제 S U M M A C U M L A U D E