‹ ›
ㄱ. g(1)=0이지만 f(1)=0이라고 할 수 없다. (거짓) ㄴ. g'(x)=f '(x)이고 g'(1)æ0이므로
f '(1)æ0 (거짓) ㄷ. f(1)=f(2)이면
g(2)=f(2)-f(1)=0
이므로 x=2는 방정식g(x)=0의 근이다.
이때 2>1이므로 해당하는 그래프는 ¤와 ›이다.
또g'(1)=f '(1)>0이므로 해당하는 그래프는
¤ 와 › 중에서 ›뿐이다.
따라서 g'(2)=0이고 g'(2)=f '(2)이므로 f'(2)=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. ㄷ
08
조건 ㈎에서f(x)g(x)=x‹ +4x¤ -x-4
=x¤ (x+4)-(x+4)
=(x¤ -1)(x+4)
=(x-1)(x+1)(x+4)
조건 ㈏에서 f '(x)=1이므로 f(x)=x+C 조건 ㈎, ㈏에 의해 f(x), g(x)가 되는 경우는 다음과 같다.
1
y=g{x}
1 x x
y=g{x}
1
x y=g{x}
1 x y=g{x}
f(x)=x-1, g(x)=(x+1)(x+4)=x¤ +5x+4 f(x)=x+1,g(x)=(x-1)(x+4)=x¤ +3x-4 f(x)=x+4,g(x)=(x-1)(x+1)=x¤ -1 이때 조건 ㈐에서g(x)-x+1=2:!/ f(t)dt를 만족시 키는 경우, 즉g'(x)-1=2f(x)를 만족시키는 경우는
f(x)=x+1, g(x)=x¤ +3x-4
∴:)2 { f(x)+g(x)} dx
=:)2 {(x+1)+(x¤ +3x-4)} dx
=:)2 (x¤ +4x-3)dx
=[ x‹ +2x¤ -3x]2)
=
09
F(x)=:)/ f(t) dt의 양변을 x에 대하여 미분 하면F'(x)=f(x)=x‹ -12x+k
이때 함수 F(x)가 오직 하나의 극값을 가지려면 삼차방 정식 F'(x)=0, 즉 f(x)=0이 오직 하나의 실근을 갖 거나 중근과 다른 한 실근을 가져야 한다.
즉, (극댓값)_(극솟값)æ0이어야 한다.
f(x)=x‹ -12x+k에서
f'(x)=3x¤ -12=3(x+2)(x-2) f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
이때 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.
즉, f(x)는 x=-2, x=2에서 극값을 가지므로 f(-2)f(2)æ0, (-8+24+k)(8-24+k)æ0
144143 114
144443 113
(k+16)(k-16)æ0 ∴ k…-16 또는 kæ16
따라서 양수 k의 최솟값은 16이다. ②
10
F'(x)=f(x)이므로xf(x)=F(x)-3x› +6x‹ 의 양변을 x에 대하여 미분 하면
f(x)+xf'(x)=f(x)-12x‹ +18x¤
xf'(x)=-12x‹ +18x¤
∴ f'(x)=-12x¤ +18x 양변을 x에 대하여 적분하면
f(x)=: (-12x¤ +18x) dx=-4x‹ +9x¤ +C 이때 f(0)=2이므로 C=2
∴ f(x)=-4x‹ +9x¤ +2 yy ❶
∴ :!x¤f(t) dt
=
= [ _(x+1)]
=2F'(1)=2f(1)
=2_(-4+9+2)=14 yy ❷
14 F(x¤ )-F(1)
1111112x¤ -1 lim
x⁄1
F(x¤ )-F(1) 1111112x-1 lim
x⁄1
112x-11 lim
x⁄1
채점 기준 배점
❶ 함수 f(x) 구하기
❷ 1 :!x¤f(t)dt의 값 구하기 112x-1
lim
x⁄1
50 % 50 %
x f'(x)
f(x)
y -2 y 2 y
+ 0 - 0 +
↗ (극대) ↘ (극소) ↗
EXERCISES
⑵:Ab v(t)dt는 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변 화량을 나타내고,
:Ab |v(t)|dt는 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인
거리를 나타낸다. 풀이 참조
01
⑴ -A, 0⑵ xº+:atv(t)dt,:abv(t)dt
02
⑴ 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로둘러싸인 도형의 넓이는:Ab |f(x)|dx이다. (거짓)
⑵ 속도와 속력의 차이는 방향을 생각하느냐 생각하지 않 느냐에 있다. 즉,
(속력)=|(속도)|
따라서 시간-속력 그래프는 항상 x축 위 또는 x축 위쪽에 존재하므로 어떤 구간에서 적분하더라도 그 구 간에서 움직인 거리가 나온다. 움직인 거리는 항상 0 이상이므로 정적분의 값은 항상 0 이상이다. (참)
⑴ 거짓 ⑵ 참
03
⑴ 서로 역함수 관계인 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 S라 하 면 이것은 직선 y=x와 y=f(x)의 그래프로 둘러싸 인 도형의 넓이의 2배이다.즉, 직선 y=x와 y=f(x)의 교점의 x좌표를 각각 a, b라 하면
S=2:Ab |f(x)-x|dx
01 ⑴ -A, 0 ⑵ xº+:at v(t)dt, :ab v(t)dt 02 ⑴ 거짓 ⑵ 참 03 풀이 참조
Review Quiz
S U M M A C U M L A U D E 본문 303쪽3. 정적분의 활용
0136 02 5 03 04 05 1
06 4 07 ③ 08 19 09 ① 125
143 12325
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 304`~`305쪽01
f'(x)=x¤ -4이므로 f(x)= x‹ -4x+C 이때 f(2)=0이므로f(2)= -8+C=0 ∴ C=
∴ f(x)= x‹ -4x+
곡선 y= x‹ -4x+ 과 x축의 교점의 x좌표는
x‹ -4x+ =0에서 x‹ -12x+16=0 (x+4)(x-2)¤ =0 ∴ x=-4 또는 x=2
따라서 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 는
:_2$ { x‹ -4x+ }dx
=[ x› -2x¤ + x]2_$=36 36
02
곡선 y=-x¤ +ax와 x축의 교점의 x좌표는 -x¤ +ax=0에서 -x(x-a)=0∴ x=0 또는 x=a
따라서 곡선 y=-x¤ +ax(a>3)와 x축 및 두 직선 12163
12121
12163 113
-4 2
y
O x
y=f{x}
12163 113
12163 113
12163 113
12163 183
113
x=1, x=3으로 둘러싸인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.
이때 색칠한 부분의 넓이가 이므로 :!3 (-x¤ +ax)dx=[- x‹ + x¤ ]3!
:!3 (-x¤ +ax)dx=4a- =
4a=20 ∴ a=5 5
03
두 곡선 y=x¤ , y=x‹ -2x의 교점의 x좌표는 x¤ =x‹ -2x에서 x‹ -x¤ -2x=0x(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2
이때 A<B이므로
A=:_0!{(x‹ -2x)-x¤ } dx=:_0! (x‹ -x¤ -2x)dx A=[ x› - x‹ -x¤ ]0_!= yy ❶ B=:)2 {x¤ -(x‹ -2x)} dx
B=:)2 (-x‹ +x¤ +2x)dx 12125 113
114
-1 O 2 x
y y=x@
y=x#-2x A
B 144343 144263
1a2 113 144343 O
1 3 a y=-x@+ax y
x
EXERCISES
B=[- x› + x‹ +x¤ ]2)= yy ❷∴ = = yy ❸
04
f(x)=-x¤ +3x로 놓으면 f '(x)=-2x+3이므로 x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-2+3=1
따라서 원점을 지나면서 이 접선과 평행한 직선의 방정식 은 y=x
곡선 y=-x¤ +3x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 -x¤ +3x=x에서 x¤ -2x=0
x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2
따라서 구하는 도형의 넓이는
:)2 {(-x¤ +3x)-x} dx=:)2 (-x¤ +2x)dx :)2 {(-x¤ +3x)-x} dx=[- x‹ +x¤ ]2) :)2 {(-x¤ +3x)-x} dx= 4
13 14
13 113 2 3
O x
y y=x
y=-x@+3x
12325 15
12232 12125 118
13 15AB
183 113
114
05
색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로:)2 {x¤ (x-2)-ax(x-2)} dx=0 :)2 {x‹ -(a+2)x¤ +2ax} dx=0 [ x› - (a+2)x‹ +ax¤ ]2)=0 4- (a+2)+4a=0
a= ∴ a=1 1
06
곡선 y=x¤ -2x와 직선 y=ax의 교점의 x좌 표는 x¤ -2x=ax에서x¤ -(a+2)x=0, x{x-(a+2)}=0
∴ x=0 또는 x=a+2
따라서 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이는
:)a — 2 {ax-(x¤ -2x)} dx
=:)a — 2 {-x¤ +(a+2)x} dx
=[- x‹ + x¤]a)— 2
=
이때 곡선 y=x¤ -2x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓 이는
:)2 (-x¤ +2x)dx=[- x‹ +x¤ ]2) :)2 (-x¤ +2x)dx=4
13 113 (a+2)‹
11116 112a+22 113
O 2
a+2
x y
y=ax y=x@-2x 143
143 183
113 114
채점 기준 배점
❶ A의 값 구하기
❷ B의 값 구하기
❸ ;bA;의 값 구하기
50 % 40 % 10 %
이므로
= _
∴ (a+2)‹ =4 4