EXERCISESt=2일 때 점 P의 속도가 4이므로

12-4m+n=4 ∴ 4m-n=8 yy ㉠ t=3일 때 점 P의 가속도가 6이므로

18-2m=6 ∴ m=6

m=6을 ㉠에 대입하면 24-n=8 ∴ n=16 따라서 점 P의 시각 t에서의 위치가 x=t‹ -6t¤ +16t이 므로 t=1에서의 점 P의 위치는

1-6+16=11 11

15

t초 후의 가장 바깥쪽 원의 반지름의 길이가 10t cm이므로 가장 바깥쪽 원의 넓이를 S cm¤ 라 하면

S=p¥(10t)¤ =100pt¤

양변을 t에 대하여 미분하면

=200pt

따라서 3초 후의 가장 바깥쪽 원의 넓이의 변화율은

200p¥3=600p (cm¤ /s) ⑤

125dSdt 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 방정식 x› -2x¤ +k=0이 서로 다른 네 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-k가 서 로 다른 네 점에서 만나야 하므로

-1<-k<0 ∴ 0<k<1 0<k<1

13

x‹ -3x¤ >-x¤ -k에서 x‹ -2x¤ +k>0

f(x)= x‹ -2x¤ +k로 놓으면 f'(x)=x¤ -4x=x(x-4)

이때 1<x<3에서 f'(x)<0이므로 함수 f(x)는 구간 (1, 3)에서 감소한다.

즉, 1<x<3에서 f(x)>0이 성립하려면 f(3)æ0이어 야 하므로

9-18+kæ0 ∴ kæ9

따라서 실수 k의 최솟값은 9이다. 9

14

점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면

v= =3t¤ -2mt+n, a=dv=6t-2m 125dt

125dxdt 113 113

113

O 1

-1

-1

x y=-k y y=f{x}

x f '(x)

f(x)

y -1 y 0 y 1 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ -1 ↗ 0 ↘ -1 ↗

01 9 02 ② 03 21 04 7 05 5 06 ① 07 6 08kæ0 09 4 101157'32

EXERCISES

S U M M A C U M L A U D E 본문 208`~`209쪽

01

f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f '(x)=3x¤ +2ax+b

두 점 (2, 4), (-1, 1)을 지나는 직선의 방정식은 y-4= (x-2) ∴ y=x+2 즉, 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식이 y=x+2이므로 f'(2)=1에서 12+4a+b=1

∴ 4a+b=-11 yy ㉠

곡선 y=f(x)가 두 점 (2, 4), (-1, 1)을 지나므로 4=8+4a+2b+c에서 4a+2b+c=-4 yy ㉡ 1=-1+a-b+c에서 a-b+c=2 yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-3, b=1, c=6 따라서 f(x)=x‹ -3x¤ +x+6이므로

f(3)=27-27+3+6=9

곡선 y=f(x) 위의 점 (2, 4)에서의 접선 이 점 (-1, 1)에서 이 곡선과 만나고, 두 점 (2, 4), (-1, 1)을 지나는 직선의 방정식이 y=x+2이므로 그 래프의 개형을 그려 보면 다음 그림과 같다.

즉, 방정식 f(x)-(x+2)=0의 실근이 -1, 2(중근) 이므로

f(x)-(x+2)=(x-2)¤ (x+1) {-1,`1}

{2,`4}

O x

y

y=x+2 y=f(x)

1112-1-21-4

∴ f(x)=x‹ -3x¤ +x+6

∴ f(3)=27-27+3+6=9 9

02

f(x)=3x‹ 으로 놓으면 f '(x)=9x¤

점 (a, 0)에서 곡선에 그은 접선이 곡선과 만나는 접점 의 좌표를 (p, 3p‹ )이라 하면 접선의 기울기는

f '(p)=9p¤ 이므로 접선의 방정식은

y-3p‹ =9p¤ (x-p) ∴ y=9p¤ x-6p‹

이 접선이 점 (a, 0)을 지나므로 0=9ap¤ -6p‹

∴ a= p (∵ p+0) yy ㉠

마찬가지로 점 (0, a)에서 곡선에 그은 접선이 곡선과 만나는 접점의 좌표를 (q, 3q‹ )이라 하면 접선의 기울기 는 f'(q)=9q¤ 이므로 접선의 방정식은

y-3q‹ =9q¤ (x-q) ∴ y=9q¤ x-6q‹

이 접선이 점 (0, a)를 지나므로

a=-6q‹ yy ㉡

이때 두 접선이 평행하다는 조건에 의하여 9p¤ =9q¤

그런데 p=q가 될 수는 없으므로 q=-p q=-p를 ㉡에 대입하면 a=6p‹

a=6p‹ 을 ㉠에 대입하면 6p‹ = p 9p‹ -p=0, p(3p+1)(3p-1)=0

∴ p= (∵ a>0이므로 ㉠에 의하여 p>0)

따라서 a= ¥ = 이므로 90a=90¥ =20

②

03

함수 f(x)는 모든 실수 x에서 미분가능하므로 모든 실수 x에서 연속이다.

함수 f(x)는 닫힌구간 [x-4, x+3]에서 연속이고 열 린구간 (x-4, x+3)에서 미분가능하므로 평균값 정리 에 의하여

129 129

113 123 113

123 123

EXERCISES

=f'(c)

인 c가 열린구간 (x-4, x+3)에 적어도 하나 존재한다.

이때 x-4<c<x+3에서 x⁄ ¶이면 c ⁄ ¶이므로 { f(x+3)-f(x-4)}

=7

=7 f'(c)

=7¥3 (∵ f'(x)=3)

=21 21

04

f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c에서 f '(x)=3x¤ +2ax+b

㈎에서 f(-1)=12이므로

-1+a-b+c=12 ∴ a-b+c=13 yy ㉠

㈏에서 f '(x)=0의 두 근이 a와 b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=- , ab=

또 f(a)=a‹ +aa¤ +ba+c, f(b)=b‹ +ab¤ +bb+c 이므로

f(a)-f(b)

=(a‹ -b‹ )+a(a¤ -b¤ )+b(a-b)

=(a-b){a¤ +ab+b¤ +a(a+b)+b}

이때 f(a)-f(b)=4(b-a)이므로

4(b-a)=(a-b){a¤ +ab+b¤ +a(a+b)+b}

a¤ +ab+b¤ +a(a+b)+b=-4

∴ (a+b)¤ -ab+a(a+b)+b=-4 a+b=- 와 ab= 를 위의 식에 대입하면

a¤ - +a¥{- }+b=-4

- a¤ + b=-4 ∴ a¤ -3b=18 yy ㉡ 한편 f '(-1)=3-2a+b이므로 함수 y=f(x)의 그래 프 위의 점 (-1, 12)에서의 접선의 방정식은

123 129

1452a3 1b3

149

1b3 1452a3

1b3 1352a3

lim

xڦ

lim

cڦ

f(x+3)-f(x-4) 111111112(x+3)-(x-4) lim

xڦ

lim

xڦ

f(x+3)-f(x-4)

111111112(x+3)-(x-4) y-12=(3-2a+b){x-(-1)}

∴ y=(3-2a+b)x-2a+b+15

㈐에서 이 접선의 x절편이 1이므로 0=(3-2a+b)-2a+b+15

∴ b=2a-9 yy ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 a¤ -3(2a-9)=18 a¤ -6a+9=0, (a-3)¤ =0 ∴ a=3 a=3을 ㉢에 대입하면 b=6-9=-3 a=3, b=-3을 ㉠에 대입하면 3+3+c=13

∴ c=7

∴ a+b+c=3+(-3)+7=7 7

05

주어진 함수 y=f'(x)의 그래프에서 f'(x)의 값이 존재하면서 f'(x)=0을 만족시키는 x의 값 중에 서 그 값의 좌우에서 f'(x)의 부호가 양에서 음으로 바 뀌는 것은 3개, 음에서 양으로 바뀌는 것은 1개이다.

즉, 함수 f(x)가 극대가 되게 하는 x의 값은 3개, 극소 가 되게 하는 x의 값은 1개이다.

그런데 f'(x)의 값이 존재하지 않는 x의 값에서도 그 값 의 좌우에서 f'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 함수 f(x)는 극소가 된다. 이러한 x의 값은 1개가 있고, 그 값 을 c라 하면 점 (c, f(c))는 함수 y=f(x)의 그래프에 서 뾰족한 점으로 나타난다.

따라서 구하는 x의 값의 개수는 3+1+1=5 5

06

f(x)=-2x› +8x‹ +4(a-2)x¤ -8ax에서 f'(x)=-8x‹ +24x¤ +8(a-2)x-8a

=-8(x-1)(x¤ -2x-a)

사차함수 f(x)가 극솟값을 갖지 않으려면 삼차방정식 f'(x)=0이 허근 또는 중근을 가져야 한다.

이때 삼차방정식 f'(x)=0의 한 실근이 x=1이므로

⁄ 허근을 갖는 경우

이차방정식 x¤ -2x-a=0의 판별식을 D라 하면

=1+a<0 ∴ a<-1

¤ 중근을 갖는 경우

이차방정식 x¤ -2x-a=0이 x=1을 근으로 가질 때 1-2-a=0 ∴ a=-1

이차방정식 x¤ -2x-a=0이 중근을 가질 때 이차방정식 x¤ -2x-a=0의 판별식을 D라 하면

=1+a=0 ∴ a=-1

⁄, ¤에 의하여 a…-1 ①

07

두 점 P(-1, -1), Q(2, 8)을 지나는 직선의 방정식은

y-8= (x-2)

∴ 3x-y+2=0 yy ❶

곡선 y=x‹ 위를 움직이는 점 A의 좌표를

(a, a‹ ) (-1<a<2)이라 하면 점 A와 직선 PQ 사이 의 거리는

= (∵ -1<a<2) 또 PQ”="√(-1-2)¤ +√(-1-8)¤ =3'∂10 삼각형 APQ의 넓이를 S(a)라 하면

S(a)= ¥3'∂10¥

S(a)= (3a-a‹ +2) yy ❷

S'(a)= (3-3a¤ )=- (a+1)(a-1) S'(a)=0에서 a=1 (∵ -1<a<2)

-1<a<2에서 함수 S(a)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

192 132

132

(2-a)(a+1)¤

1111111 '∂10 112

(2-a)(a+1)¤

1111111 '∂10

|3a-a‹ +2|

1111123

"√3¤ +(-1)¤

15113-1-8-1-2 15D4

15D4

a S'(a) S(a)

(-1) y 1 y (2)

+ 0

-↗ 극대 ↘

따라서 S(a)는 a=1일 때 극대이면서 최대이므로 삼각 형 APQ의 넓이의 최댓값은

S(1)= ¥(3-1+2)=6 yy ❸

6

08

-x‹ +4x¤ -9x…-2x¤ +kx에서 -x‹ +6x¤ -9x…kx

f(x)=-x‹ +6x¤ -9x로 놓으면

f'(x)=-3x¤ +12x-9=-3(x-1)(x-3) f'(x)=0에서 x=1 또는 x=3

xæ0에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 y=kx의 그래프는 원점을 지나는 직선이므로 xæ0에서 f(x)…kx가 성립하려면 kæ0

kæ0

09

h(t)=f(t)-g(t)라 하면 x y

O

1 3

-4

y=f{x} y=kx 132

x f'(x)

f(x)

0 y 1 y 3 y

- 0 + 0

-0 ↘ -4 ↗ 0 ↘

채점 기준 배점

❶ 두 점 P, Q를 지나는 직선의 방정식 구하기

❷ 점 A의 좌표를 (a, a‹ )으로 놓고, 삼각형 APQ 의 넓이를 a에 대한 식으로 나타내기

❸ 삼각형 APQ의 넓이의 최댓값 구하기

20 % 30 % 50 %

EXERCISES

h'(t)=f'(t)-g'(t)=3t¤ -12t+a

t=1에서 두 점 P, Q가 만나므로 h(1)=0에서

h'(t)=3t¤ -12t+9=3(t-1)(t-3) h'(t)=0에서 t=1 또는 t=3

V= (4+t)¤ (12-t) (0…t<12)

(4+t)¤ (12-t)=15'3에서 192-16t+96t-8t¤ +12t¤ -t‹ =360

t‹ -4t¤ -80t+168=0, (t-2)(t¤ -2t-84)=0

∴ t=2 또는 t=1+'∂85 (∵ 0…t<12) 11111123-h f(1+h)-f(1)

11111123h lim

h⁄0

112

f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-h) 111111111111123442h lim

h⁄0

f(1+h)-f(1-h) 11111111442h lim

h⁄0

lim

x⁄1

f(1+h)-f(1) 11111123h lim

h⁄0

f(a-h)-f(a) 111111234-h lim

h⁄0

-f(a-h)+f(a) 11111111h lim

h⁄0

f(-a+h)-f(-a) 11111111234h lim

ㄷ.

=

= =0 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

03

^[전략]h(x)=f(x)g(x)이므로

h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)임을 이용한다.

h(x)=f(x)g(x)에서

h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) 이 식의 양변에 x=2를 대입하면

h'(2)=f '(2)g(2)+f(2)g'(2) yy ㉠ 한편 함수 y=f(x)의 그래프를 보면 x=2에서의 접선 의 기울기가 0이므로 f '(2)=0이고, 점 (2, 3)을 지나 므로 f(2)=3임을 알 수 있다.

f'(2)=0, f(2)=3을 ㉠에 대입하면 h'(2)=3g'(2)

이때 h'(2)=6이므로 3g'(2)=6

∴ g'(2)=2 2

04

^[전략]f(x)=x¤ +ax+b, g(x)=x¤ +bx+a로 놓고, f(p)=0, g(p)=0, f '(p)g'(p)=-1임을 이용한다.

f(x)=x¤ +ax+b, g(x)=x¤ +bx+a로 놓으면 두 곡 선이 모두 점 (p, 0)을 지나므로

f(p)=p¤ +ap+b=0 yy ㉠ g(p)=p¤ +bp+a=0 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 (a-b)p-(a-b)=0

∴ p=1 (∵ a+b)

즉, 두 곡선의 교점의 좌표는 (1, 0)이다.

p=1을 ㉠에 대입하면 1+a+b=0

∴ a+b=-1

두 곡선의 교점 (1, 0)에서의 접선의 기울기를 각각 구 하면

|h|-|h|

111132h lim

h⁄0

|h|-|-h|

1111152h lim

h⁄0

f(1+h)-f(1-h) 11111111342h lim

h⁄0

f '(x)=2x+a에서 2+a g'(x)=2x+b에서 2+b 이때 두 접선이 수직이므로

(2+a)(2+b)=-1, 4+2(a+b)+ab=-1

∴ ab=-5-2(a+b)=-5-2¥(-1)

=-3 (∵ a+b=-1) -3

05

^[전략]연결된 그래프 전체를 나타내는 함수를 f(x)로 놓 은 후 f(x)가 x=0, x=1에서 연속이고 미분가능함을 이용한다.

연결된 그래프 전체를 나타내는 함수를 f(x)라 하면

f(x)=

미분가능하면 연속이므로 함수 f(x)는 x=0, x=1에 서도 연속이어야 한다. 즉, x=0, x=1에서 각각의 우극 한과 좌극한이 같아야 하므로

(ax‹ +bx¤ +cx+1)= 1

∴ 1=1

0= (ax‹ +bx¤ +cx+1)

∴ 0=a+b+c+1 yy ㉠

또 미분가능하면 x=0, x=1에서 각각의 우미분계수와 좌미분계수가 같아야 하므로

f '(x)=

에서

(3ax¤ +2bx+c)= 0

∴ c=0 yy ㉡

0= (3ax¤ +2bx+c)

∴ 0=3a+2b+c yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=-3, c=0

∴ a¤ +b¤ +c¤ =2¤ +(-3)¤ +0¤ =13 13 lim

x

⁄1-lim

x⁄1+

lim

x

⁄0-lim

x⁄0+

( 0 (x<0) { 3ax¤ +2bx+c (0<x<1) 9 0 (x>1)

lim

x

⁄1-lim

x⁄1+

lim lim

x⁄0-x⁄0+

( 1 (x<0)

{ ax‹ +bx¤ +cx+1 (0…x…1)

9 0 (x>1)

EXERCISES

06

^[전략]f(x)=x« +5x로 놓은 후 미분계수의 정의를 이용 할 수 있도록 식을 변형한다.

f(x)=x« +5x로 놓으면 f(1)=6이므로

a«= = =f'(1)

이때 f'(x)=nx^n-1+5이므로 f'(1)=n+5 따라서a«=n+5이므로

a«= (n+5)= +5¥100=5550 5550

07

^[전략]f(x)의 최고차항을 ax« (a+0)으로 놓고, 주어진 식을 이용하여 n의 값을 구한다.

f(x)g(x)=f(x)+g(x)+2x‹ -4x¤ +2x-1에서 f(x)g(x)-f(x)-g(x)

=2x‹ -4x¤ +2x-1 yy ㉠

f(x)의 최고차항을 ax« (a+0)이라 하면 g(x)의 최고 차항은 anx^n-1이다.

㉠의 양변의 차수를 비교하면 n+(n-1)=3 ∴ n=2

즉, f(x)는 이차함수이므로 f(x)=ax¤ +bx+c (b, c는 상수)라 하면

g(x)=2ax+b

f(x),g(x)를 주어진 식에 대입하면 (ax¤ +bx+c)(2ax+b)

=(ax¤ +bx+c)+(2ax+b)+2x‹ -4x¤ +2x-1 2a¤ x‹ +3abx¤ +(2ac+b¤ )x+bc

=2x‹ +(a-4)x¤ +(2a+b+2)x+b+c-1 이 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로

2a¤ =2, 3ab=a-4,

2ac+b¤ =2a+b+2, bc=b+c-1 2a¤ =2에서 a=—1

⁄a=-1인 경우

-3b=-5, -2c+b¤ =b, bc=b+c-1 위의 세 식을 만족시키는 b, c의 값은 존재하지 않는다.

100¥101 11112

¡100 n=1

¡100 n=1

f(x)-f(1) 111114x-1 lim

x⁄1

x« +5x-6 11111x-1 lim

x⁄1

¤a=1인 경우

3b=-3, 2c+b¤ =b+4, bc=b+c-1 위의 세 식을 만족시키는 b, c의 값은

b=-1, c=1

따라서 f(x)=x¤ -x+1이므로

f(1)=1-1+1=1 ④

08

^[전략]공통인 접선과 두 곡선의 접점의 x좌표를 각각 a, b로 놓은 후 a, b 사이의 관계를 알아본다.

g(x)=x‹ +5,

h(x)=x‹ +1로 놓고, 오른 쪽 그림과 같이 두 곡선 y=g(x), y=h(x)의 공통 인 접선과 두 곡선의 접점의 x좌표를 각각 a, b라 하면 g'(a)=h'(b)이다.

이때g'(x)=3x¤ , h'(x)=3x¤ 이므로 3a¤ =3b¤ ∴ b=—a

그런데 a+b이므로 b=-a

이제 두 점 (a, a‹ +5), (-a, -a‹ +1)에서의 접선의 방정식을 각각 구해 보자.

⁄ 곡선 y=g(x) 위의 점 (a, a‹ +5)에서의 접선의 방 정식은

y-(a‹ +5)=3a¤ (x-a)

∴ y=3a¤ x-2a‹ +5 yy ㉠

¤ 곡선 y=h(x) 위의 점 (-a, -a‹ +1)에서의 접선 의 방정식은

y-(-a‹ +1)=3a¤ (x+a)

∴ y=3a¤ x+2a‹ +1 yy ㉡ 이때 ㉠, ㉡이 일치해야 하므로

-2a‹ +5=2a‹ +1

4a‹ =4 ∴ a=1 (∵ a는 실수) a=1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은

y=3x+3

O 1 5

a x b

y

y=h{x}

y=g{x}

따라서 f(x)=3x+3이므로

f(10)=3¥10+3=33 33

09

^[전략]삼각형 ABC의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 C는 그 점에서의 접선의 기울기가 직선 AB의 기울기와 같음을 이용한다.

삼각형 ABC의 넓이가 최대가 되도록 하려면 직선 AB 로부터 점 C까지의 거리가 최대가 되어야 하므로 다음 그림과 같이 점 C에서의 접선의 기울기는 직선 AB의 기 울기, 즉 점 A에서의 접선의 기울기와 같아야 한다.

즉, =f '(a)=f '(c)이어야 한다.

f(x)=a£x‹ +a™x¤ +a¡x+aº (aº, a¡ a™ a£은 상수, a£+0)이라 하면

f '(x)=3a£x¤ +2a™x+a¡

=f '(a)이려면

=3a£a¤ +2a™a+a¡

a£(a¤ +ab+b¤ )+a™(a+b)+a¡=3a£a¤ +2a™a+a¡

a£(2a¤ -ab-b¤ )+a™(a-b)=0

∴ a£(2a+b)+a™=0 yy ㉠ 또 f '(a)=f '(c)이려면

3a£a¤ +2a™a+a¡=3a£c¤ +2a™c+a¡

3a£(a¤ -c¤ )+2a™(a-c)=0

∴ 3a£(a+c)+2a™=0 yy ㉡

㉠에서 a™=-a£(2a+b)를 ㉡에 대입하면 3a£(a+c)-2a£(2a+b)=0

a£(b‹ -a‹ )+a™(b¤ -a¤ )+a¡(b-a) 1111111111111115b-a f(b)-f(a)

1111155b-a f(b)-f(a) 1111155b-a

a c b

y=f{x}

O A

C B

x y

3(a+c)-2(2a+b)=0 (∵ a£+0) 3a+3c-4a-2b=0, 3c=a+2b

∴ c= ①

10

^[전략]삼차함수 f(x)가 구간 (m, n)에서 증가하려면 m<x<n에서 f '(x)æ0이어야 함을 이용한다.

함수 f(x)가 구간 (0, 1)에서 증가하려면 0<x<1에 서 f '(x)æ0이어야 한다.

f(x)=x‹ -2x¤ +ax-1에서 f '(x)=3x¤ -4x+a f '(x)=3{x- }¤

+a-이므로 f '{ }=a- æ0이어야 한다.

∴ aæ

따라서 a의 최솟값은 이다.

11

^[전략]함수 f(x)가 x=m에서 극값을 가지면 f '(m)=0임을 이용한다.

f(x)=-x‹ +ax¤ -bx+c에서 f '(x)=-3x¤ +2ax-b

함수 f(x)가 x=2에서 극값을 가지므로

f '(2)=0 ∴ -12+4a-b=0 yy ㉠ 또 = 에서 x⁄-1일 때 (분모) ⁄0이 고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다.

즉, f(x)=0이므로

f(-1)=1+a+b+c=0 yy ㉡

= [ ¥ ]

=-1f '(-1) 12

1133x-11 f(x)-f(-1) 11111134x+1 lim

x⁄-1

1123x¤ -1f(x) lim

x⁄-1

lim

x⁄-1

112 1123x¤ -1f(x) lim

x⁄-1

143 14

13 143

143 123

143 123

1a+2b 11113155

EXERCISES

이므로 - f '(-1)= , f '(-1)=-1

∴ -3-2a-b=-1 yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a= , b=- , c=

∴ a-b-3c= -{- }-3¥ =-1

②

12

^[전략]삼차방정식 f(x)=0의 세 실근이 a, 3a, 5a이므 로 f(x)=c(x-a)(x-3a)(x-5a)로 놓고, a, b가 이차방정식 f '(x)=0의 두 근임을 이용한다.

삼차방정식 f(x)=0의 세 실근이 a, 3a, 5a이므로 f(x)=c(x-a)(x-3a)(x-5a)로 놓으면

f '(x)=c(x-3a)(x-5a)

+c(x-a)(x-5a)+c(x-a)(x-3a)

=c(3x¤ -18ax+23a¤ )

이때 f'(x)=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근 과 계수의 관계에 의하여

a+b=6a, ab= a¤

∴ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)

∴ a‹ +b‹=(6a)‹ -3¥ a¤ ¥6a

∴ a‹ +b‹=216a‹ -138a‹ =78a‹ 78a‹

13

^[전략]f '(x)=0의 한 근이 -1과 0 사이, 다른 한 근은 2와 3 사이에 있음을 이용한다.

함수 f(x)가 구간 (-1, 0)과 구간 (2, 3)에서 극값을 갖는다는 것은 함수 f(x)의 도함수

f '(x)=ax¤ -(a+1)x-4에 대하여 이차방정식 f'(x)=0의 한 근이 -1과 0 사이, 다른 한 근은 2와 3 사이에 있음을 의미한다. 이때 a의 값의 부호에 따라 다 음의 두 가지 경우가 가능하다.

145233 145233

183 144163 153

183 144163 153

112 112

위 두 가지 경우의 공통점은 -1과 0 사이, 2와 3 사이 에 f '(x)=0의 근이 존재한다는 것과 근의 좌우에서 f '(x)의 부호가 반대라는 것이다. 즉, 다음 부등식이 성 립한다.

f '(-1) f '(0)<0, f '(2) f '(3)<0 f '(-1)f '(0)<0에서

(2a-3)¥(-4)<0, 2a-3>0

∴ a> yy ㉠

또 f '(2) f '(3)<0에서

(2a-6)(6a-7)<0 ∴ <a<3 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

<a<3 ③

14

^[전략]주어진 조건에 맞게 함수 f(x)의 증감표를 만들어 생각해 본다.

ㄱ. a=b=c이면 함수 f(x)는 오직 한 개의 극값만을 갖는다. 그러나 이 정보로부터 방정식 f(x)=0이 실 근을 갖는지는 알 수 없다.

반례로 f(x)= (x-1)› +1인 경우 f '(x)=(x-1)‹ 이지만 모든 실수 x에 대하여

(x-1)› +1æ1이므로 방정식 f(x)=0은 실근을 갖지 않게 된다. (거짓)

ㄴ. 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

⁄a=b<c인 경우 f '(x)=(x-a)¤ (x-c) 114

114 13

12

176 132

a<0인 경우 a>0인 경우

-1 0 1 2 3 x y=f`'{x}

x y=f`'{x}

-1 0 1 2 3

함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

그런데 조건에서 f(a)<0이므로 f(c)<0이다.

즉, 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖 는다.

¤a=b>c인 경우 f '(x)=(x-a)¤ (x-c)

함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

그런데 조건에서 f(a)<0이므로 f(c)<0이다.

즉, 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖 는다.

⁄, ¤로부터 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근 을 갖는다. (참)

ㄷ. a<b<c인 경우

f '(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

그런데 조건에서 f(b)<0이므로 f(a)<0, f(c)<0 이다.

즉, 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

15

^[전략]먼저 x의 값의 범위를 구한 후 함수 f(x)의 증감 표를 만들어 최댓값과 최솟값을 구한다.

x f '(x)

f(x)

y a y b y c y

- 0 + 0 - 0 +

↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x f '(x)

f(x)

y a y c y

- 0 - 0 +

↘ ↘ 극소 ↗

x f '(x)

f(x)

y c y a y

- 0 + 0 +

↘ 극소 ↗ ↗

부등식 4x¤ +4x-3…0에서

(2x+3)(2x-1)…0 ∴ - …x…

f(x)=x¤ (x+3)=x‹ +3x¤ 에서 f'(x)=3x¤ +6x=3x(x+2)

f'(x)=0에서 x=0 {∵ - …x… }

- …x… 에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음 과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=- 에서 최댓값 , x=0 에서 최솟값 0을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은

+0= ④

16

^[전략]상자의 높이를 x로 놓은 후 상자의 부피를 x에 대 한 함수로 나타낸다.

상자의 높이를 x라 하면

AC”= ”= x

따라서 내부에 있는 정육각형의 한 변의 길이는

6'ß3- x

이때 0<6'ß3- x<6'ß3이므로 0<x<9

상자의 밑면의 넓이는 한 변의 길이가 {6'ß3- x}인 정삼각형 6개의 넓이의 합과 같고, 상자의 높이는 x이므 로 상자의 부피를 V(x)라 하면

12442'ß33 12442'ß33

12442'ß33

153'ß33 112344tan60˘x

60æ

3 x

x

´3

B C A 127

1228 12278

12278 132

112 132

112 132

112 132

x

f '(x)

f(x)

- y 0 y

- 0 +

↘ 0 ↗ 7

18 144278

112 132

EXERCISES

V(x)=6¥ {6'ß3- x}¤ ¥x

V(x)= x{6'ß3- x}¤

V'(x)= {6'ß3- x}¤

+3'ß3x{6'ß3- x}¥{- }

V'(x)={6'ß3- x}(27-9x) V'(x)=0에서 x=3 (∵ 0<x<9)

0<x<9에서 함수 V(x)의 증감표를 만들면 다음과

f(-'2)=k- <0 jjK k<

f(1)= +k>0 jjK

k>-f('2)=k+ <0 jjK

k<-위 세 부등식을 동시에 만족시키는 k의 값의 범k<-위는

k<-위 세 부등식을 동시에 만족시키는 k의 값의 범k<-위는

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