도함수의 활용

029-` 5 029-` -7 030-` y=3x-2 030-` 8

031-` -8 032-` -5 033-` 1+'7 034-` 0 034-` 7

035-` ⑴ 풀이 참조 ⑵ (2, 6) 036-` -10 036-` ④ 037-` -1…a…0 037-` 9 038-` 13 038-` 27

039-` ④ 040-` 3 040-` 0<a<

041-` -2 042-` 22 042-` 50 043-` 2'5 043-` 2 044-`

045-` -17<a<-12 046-` -1<a<1 047-` 4 047-` k<0

048-` 1<t<2 048-` 40 049-` ㄴ, ㄷ 050-` 256p cm‹

12'33 112

유제 S U M M A C U M L A U D E

유`제 곡선 y=g(x) 위의 점 (2, g(2))에서의 접선의 방정식

이 y=-2x+5이므로 g(2)=1, g'(2)=-2 h(x)=f(x)g(x)로 놓으면

h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

이때 곡선 y=f(x)g(x) 위의 점 (2, f(2)g(2))에서 의 접선의 기울기는 곡선 y=h(x) 위의 x=2인 점에서 의 접선의 기울기와 같으므로 구하는 접선의 기울기는

h'(2)=f'(2)g(2)+f(2)g'(2)

=3¥1+5¥(-2)=-7 -7

030

^-` f(x)=2x¤ -5x+6으로 놓으면 f'(x)=4x-5

접점의 좌표를 (t, 2t¤ -5t+6)이라 하면

직선 x+3y-1=0, 즉 y=- x+ 에 수직인 접선 의 기울기는 3이므로

f'(t)=4t-5=3에서 t=2

따라서 접점의 좌표는 (2, 4)이므로 구하는 접선의 방정 식은

y-4=3(x-2) ∴ y=3x-2

y=3x-2

030

^-` f(x)=x‹ -3x¤ -3x+a로 놓으면 f'(x)=3x¤ -6x-3

접점의 좌표를 (t, t‹ -3t¤ -3t+a)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 -6이므로

f'(t)=3t¤ -6t-3=-6에서 3t¤ -6t+3=0 t¤ -2t+1=0, (t-1)¤ =0 ∴ t=1

따라서 접점의 좌표는 (1, -6¥1+9), 즉 (1, 3)이므로 x=1, y=3을 y=x‹ -3x¤ -3x+a에 대입하면

3=1-3-3+a ∴ a=8 8

113 113

031

^-` f(x)=3x¤ -4x+4로 놓으면 f'(x)=6x-4

접점의 좌표를 (t, 3t¤ -4t+4)라 하면 이 점에서의 접 선의 기울기는 f'(t)=6t-4이므로 접선의 방정식은

y-(3t¤ -4t+4)=(6t-4)(x-t) yy ㉠ 이 접선이 점 (0, 1)을 지나므로

1-(3t¤ -4t+4)=-6t¤ +4t -3t¤ +4t-3=-6t¤ +4t 3t¤ =3 ∴ t=—1

⁄t=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은

⁄ y-11=-10(x+1) ∴ y=-10x+1

¤t=1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은

⁄ y-3=2(x-1) ∴ y=2x+1

따라서 a=-10, b=1, c=2, d=1 또는 a=2, b=1, c=-10, d=1이므로

ab+cd=-8 -8

032

^-` 직선 2x-y+3=0, 즉 y=2x+3을 x축 의 방향으로 -m만큼, y축의 방향으로 -n만큼 평행이 동한 직선의 방정식은

y+n=2(x+m)+3

∴ y=2x+2m-n+3 yy ㉠

이때 직선 ㉠은 곡선 y= x¤ +2에 접하게 된다.

f(x)= x¤ +2로 놓으면 f'(x)= x

접점의 좌표를 {t, t¤ +2}라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 2이므로

t=2 ∴ t=4

따라서 접점의 좌표는 (4, 6)이고, 이 점이 직선 ㉠ 위에 있으므로

6=8+2m-n+3 ∴ 2m-n=-5 -5 112

114

112 114

114

033

^{-` 함수 f(x)=} x‹ +2x¤ -3x-1은 닫힌 구간 [-a, a]에서 연속이고 열린구간 (-a, a)에서 미 분가능하다.

이때 롤의 정리를 만족시키려면 f(-a)=f(a)이어야 하므로

- a‹ +2a¤ +3a-1= a‹ +2a¤ -3a-1

a‹ -6a=0, a‹ -9a=0

a(a+3)(a-3)=0 ∴ a=3 (∵ a는 자연수) 한편 롤의 정리에 의하여 f'(c)=0인 c가 열린구간 (-3, 3)에 적어도 하나 존재한다.

f'(x)=x¤ +4x-3이므로 f'(c)=c¤ +4c-3=0

∴ c=-2+'7 (∵ -3<c<3)

∴ a+c=3+(-2+'7 )=1+'7 1+'7

034

^{-` 함수} g(x)=f'(x)=3x¤ +4x+2는 닫힌 구간 [-1, 1]에서 연속이고 열린구간 (-1, 1)에서 미 분가능하므로 평균값 정리에 의하여

=g'(c)

인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재한다.

g'(x)=6x+4이므로

=6c+4, 6c+4=4

∴ c=0 0

034

^{-` 함수 f(x)=} x‹ +x¤ +2x는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하므 로 평균값 정리에 의하여

=f'(c)

인 c가 열린구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.

f(b)-f(a) 111113b-a

113 111131-(-1)9-1

g(1)-g(-1) 11111131-(-1) 123

113 113

113 =m에서 f'(c)=m

f'(x)=x¤ +2x+2이므로

m=f'(c)=c¤ +2c+2=(c+1)¤ +1 이때 0<c<2이므로 2<m<10

따라서 정수 m은 3, 4, 5, y, 9이므로 그 개수는 7이

다. 7

035

^{-` ⑴} OAPB에서 △OAB의 넓이는 일정 하므로 △ABP의 넓이가 최대일 때 OAPB의 넓 이도 최대가 된다. 발전예제 035에서 점 P의 x좌표가 닫힌구간에서 평균값 정리를 만족시키는 값임을 보였 으므로 점 P에서의 접선의 기울기는 직선 AB의 기울 기와 같음을 알 수 있다.

두 점 A(4, 0), B(0, 4)이므로 점 P에서의 접선의 기울기는 =-1이 된다.

⑵ f(x)=-x¤ +3x+4로 놓으면 f'(x)=-2x+3

점 P의 x좌표를 c라 하면 OAPB의 넓이가 최대일 때 점 P에서의 접선의 기울기는 -1이므로

f'(c)=-2c+3=-1 ∴ c=2 따라서 점 P의 좌표는 (2, 6)이다.

⑴ 풀이 참조 ⑵ (2, 6)

036

^-` f(x)=x‹ -6x¤ +ax+3에서 f'(x)=3x¤ -12x+a

이때 함수 f(x)가 감소하는 x의 값의 범위가 -1…x…b 이므로 이차방정식 f'(x)=0의 두 근은 -1, b이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

-1+b=4, -1¥b= ∴ a=-15, b=5

∴ a+b=-10 -10

1a3 11450-44-0 f(b)-f(a) 111113b-a

유`제

036

^-` 다음 그림과 같이 함수 y=f'(x)의 그래프 가 x축과 만나는 점의 x좌표를 차례로 a, b, c, d라 하자.

① 구간 (-¶, a)에서 f'(x)<0이므로 f(x)는 감소 한다.

② 구간 (-3, b)에서 f'(x)>0이므로 f(x)는 증가 한다.

③ 구간 (-1, c)에서 f'(x)<0이므로 f(x)는 감소 한다.

⑤ 구간 (3, d)에서 f'(x)>0이므로 f(x)는 증가한다.

따라서 옳은 것은 ④이다. ④

037

^-` 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 f(x)는 항상 증가하거나 항상 감 소해야 한다.

그런데 f(x)=x‹ +3ax¤ -3ax-5는 삼차항의 계수가 양수이므로 항상 증가하는 경우만 가능하다.

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실 수 x에 대하여 f '(x)=3x¤ +6ax-3aæ0이어야 한다.

이차방정식 f'(x)=0의 판별식을 D라 하면

=9a¤ +9a…0, a¤ +a…0

a(a+1)…0 ∴ -1…a…0 -1…a…0

037

-` f(x)=-x‹ +3x¤ +ax+1에서 f'(x)=-3x¤ +6x+a=-3(x-1)¤ +a+3 함수 f(x)가 구간 (-1, 2)에서 증가하려면

13D4

O -1

-3 2 3 x

a c d

b y

y=f '{x}

-1<x<2에서 f'(x)æ0이어야 하므로 다음 그림에서 f'(-1)=a-9æ0 ∴ aæ9

따라서 실수 a의 최솟값은 9이다. 9

038

-` f(x)=x› +ax‹ +3bx¤ +x+1에서 f '(x)=4x‹ +3ax¤ +6bx+1

함수 f(x)가 x=-1에서 극댓값 4를 가지므로 f '(-1)=0에서 -4+3a-6b+1=0

∴ a-2b=1 yy ㉠

f(-1)=4에서 1-a+3b-1+1=4

∴ a-3b=-3 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=4

∴ a+b=13 13

038

^-` f(x)=x‹ +ax+b에서

f '(x)=3x¤ +a=3x¤ -(-a) (∵ -a>0) f '(x)=3{x+æ≠ } {x-æ≠ }=0

따라서 함수 f(x)는 x=-æ≠ 일 때 극댓값 -a,

x=æ≠ 일 때 극솟값 a를 가지므로

f {-æ≠ }=- æ≠ -aæ≠ +b=-a

f {æ≠ }= æ≠ +aæ≠ +b=a 앞의 두 식을 변끼리 더하면

2b=0 ∴ b=0

1344-a3 1344-a3

1344-a3 1344-a3

1344-a3 1344-a3

1344-a3 1344-a3

1344-a3

1344-a3 1344-a3 1344-a3

O 1 2 -1

x a+3

y

y=f`'{x}

또 앞의 두 식을 변끼리 빼면 æ≠ +2aæ≠ =2a

æ≠ =2a, æ≠ =

= ∴

a=-∴ 4(b-a)=4[0-{- }]=27 27

039

^-` f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 찾으면 x=a, x=b, x=d

x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양`(+)에서 양`(+) 으로 유지되므로 f(a)는 극값이 아니다.

x=b의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양`(+)에서 음`(-) 으로 바뀌므로 f(b)는 극댓값이다.

x=d의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음`(-)에서 양`(+) 으로 바뀌므로 f(d)는 극솟값이다.

또한 f '(x)>0이면 함수 f(x)는 증가하고, f '(x)<0 이면 함수 f(x)는 감소하므로 구간 (b, d)에서만 감소 하는 그래프를 찾으면 된다.

따라서 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ④

이다. ④

040

-` f(x)=-x‹ +3x¤ -ax+11에서 f '(x)=-3x¤ +6x-a

삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 f'(x)=0의 판별식을 D라 하면

=9-3a>0 ∴ a<3

따라서 조건을 만족시키는 자연수 a는 1, 2이므로 그 합

은 1+2=3 3

13D4

144274 144274 194

1344-a3

132 1344-a3 1344-a3

1444a3

1344-a3 1344-a3

12344-2a3

040

^{-` f(x)=} x‹ -2(a-1)x¤ -16ax-1에서 f '(x)=x¤ -4(a-1)x-16a

삼차함수 f(x)가 0<x<2에서 극댓값은 갖지 않고 극 솟값을 가지려면 이차방정식 f'(x)=0이 0<x<2에서 실근 1개를 가져야 한다.

⁄ f '(0)<0에서 -16a<0 ∴ a>0

¤ f '(2)>0에서 4-8(a-1)-16a>0 24a<12 ∴ a<

⁄, ¤의 공통 범위를 구하면 0<a<

f '(x)=x¤ -4(a-1)x-16a

=(x+4)(x-4a) f '(x)=0에서 x=-4 또는 x=4a

삼차함수 f(x)가 0<x<2에서 극솟값을 가져야 하는데,

⁄4a<-4이면 x=4a에서 극대이고, x=-4에서 극소이다. (×)

¤4a=-4이면 극값을 갖지 않는다. (×)

‹4a>-4이면 x=-4에서 극대이고, x=4a에서 극소이다. ( ) 따라서 0<4a<2이어야 하므로

0<a< 0<a<

041

-` f(x)=x› +2(a-1)x¤ +4ax에서 f'(x)=4x‹ +4(a-1)x+4a

=4(x+1)(x¤ -x+a)

사차함수 f(x)가 극댓값을 갖지 않으려면 삼차방정식 f'(x)=0이 허근 또는 중근을 가져야 한다.

이때 삼차방정식 f'(x)=0의 한 실근이 x=-1이므로 112 112

11 12 112

2

0 x

y=f`'{x}

113

유`제

⁄ 허근을 갖는 경우

이차방정식 x¤ -x+a=0의 판별식을 D라 하면 D=1-4a<0 ∴ a>

¤ 중근을 갖는 경우

이차방정식 x¤ -x+a=0이 x=-1을근으로가질 때 1+1+a=0 ∴ a=-2

이차방정식 x¤ -x+a=0이 중근을 가질 때 이차방정식 x¤ -x+a=0의 판별식을 D라 하면

D=1-4a=0 ∴ a=

⁄, ¤에 의하여 a=-2 또는 aæ 이므로 실수 a의

최솟값은 -2이다. -2

042

^-` f(x)=x‹ +3x¤ -9x+a에서 f'(x)=3x¤ +6x-9=3(x+3)(x-1) f'(x)=0에서 x=1 (∵ -1…x…3)

구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음 과 같다.

따라서 함수 `f(x)는 x=3에서 최댓값 a+27, x=1에서 최솟값 a-5를 갖는다.

이때 함수 f(x)의 최솟값이 -10이므로 a-5=-10 ∴ a=-5 따라서 함수 f(x)의 최댓값은

a+27=-5+27=22 22

042

^{-` f(x)=ax‹ - ax¤ +b에서}

f'(x)=3ax¤ -9ax=3ax(x-3) 192

114 114 114

x f'(x)

f(x)

-1 y 1 y 3

- 0 +

a+11 ↘ a-5 ↗ a+27

f'(x)=0에서 x=3 (∵ 2…x…4)

구간 [2, 4]에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

따라서 함수 `f(x)는 a>0이므로 x=4에서 최댓값 -8a+b,

x=3에서 최솟값 - a+b를 갖는다.

즉, -8a+b=9, - a+b=-2 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=25

∴ ab=50 50

043

^-` 점 P의 좌표를 (t, t¤ )이라 하면 점 P와 점 (5, -1) 사이의 거리는

"√(t-5)¤ +(t¤ +1)¤ ="√t› +3t¤ -10t+26 f(t)=t› +3t¤ -10t+26이라 하면

f'(t)=4t‹ +6t-10=2(t-1)(2t¤ +2t+5) f'(t)=0에서 t=1 (∵ 2t¤ +2t+5>0) 함수 f(t)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 f(t)는 t=1일 때 극소이면서 최소이므로 최솟 값은 f(1)=1+3-10+26=20이다.

따라서 구하는 거리의 최솟값은

'∂20=2'5 2'5

043

^-` 점 P의 좌표를 (a, -a¤ +3a) (0<a<3) 이라 하고 삼각형 POH의 넓이를 S(a)라 하면

12272 12272 x

f '(x)

f(x)

2 y 3 y 4

- 0 +

-10a+b ↘ -27a+b ↗ -8a+b 122

t f'(t)

f(t)

y 1 y

- 0 +

↘ 극소 ↗

S(a)= ¥a¥(-a¤ +3a)=- a‹ + a¤ 에서

S'(a)=- a¤ +3a=- a(a-2) S'(a)=0에서 a=2 (∵ 0<a<3)

0<a<3에서 함수 S(a)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

따라서 함수 S(a)는 a=2일 때 극대이면서 최대이므로 삼각형 POH의 넓이의 최댓값은

S(2)=- ¥2‹ + ¥2¤ =2 2

044

^-` 원형의 색종이를 다음과 같이 잘라 내어 만 든 정육각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 x, 높이를 h라 하자.

밑면의 넓이는 한 변의 길이가 x인 정삼각형 6개의 넓이 의 합과 같으므로 정육각뿔의 부피는

¥{6¥ x¤ }¥h= x¤ h yy ㉠ 그림 ㈏에서 x¤ +h¤ =1이므로

x¤ =1-h¤ yy ㉡

정육각뿔의 부피를 V(h)라 하고 ㉡을 ㉠에 대입하면 V(h)= (1-h¤ )h= (h-h‹ )에서

V'(h)=135'32 (1-3h¤ ) 135'32 135'32

135'32 135'34

113

㈎ ㈏

1 x

1

x h

x 132

112

132 132

132 112 112

a S'(a)

S(a)

(0) y 2 y (3)

+ 0

-↗ 극대 ↘

V'(h)=0에서 h= (∵ h>0) 함수 V(h)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

따라서 함수 V(h)는 h= 일 때 극대이면서 최대이

므로 정육각뿔의 부피가 최대일 때의 높이는 이다.

045

^-` x‹ -3x¤ -9x+a+12=0에서 x‹ -3x¤ -9x+12=-a

f(x)=x‹ -3x¤ -9x+12로 놓으면 f'(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 방정식 x‹ -3x¤ -9x+12=-a가 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두 개의 음의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-a의 교점의 x좌표가

17 12

-1

-15 3

O x

y

y=-a y=f{x}

135'33 1'3 133553 135'33

135'33

h

V'(h) V(h)

(0) y y

+ 0

-(0) ↗ 극대 ↘

1455'ß33

x f'(x)

f(x)

y -1 y 3 y

+ 0 - 0 +

↗ 17 ↘ -15 ↗

유`제 한 개는 양수, 두 개는 음수이어야 하므로

12<-a<17 ∴ -17<a<-12

-17<a<-12

046

^-` 곡선 y=4x‹ -2x와 직선 y=x+a가 서 로 다른 세 점에서 만나려면 방정식 4x‹ -2x=x+a가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

4x‹ -2x=x+a에서 4x‹ -3x=a f(x)=4x‹ -3x로 놓으면

f '(x)=12x¤ -3=3(2x+1)(2x-1) f '(x)=0에서 x=- 또는 x=

함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=a가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 -1<a<1

4x‹ -2x=x+a에서 4x‹ -3x-a=0 g(x)=4x‹ -3x-a로 놓으면

g'(x)=12x¤ -3=3(2x+1)(2x-1) g'(x)=0에서 x=- 또는 x=

삼차방정식g(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 하 므로 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 한다.

112 112

O x

y y=f{x}

y=a

-1 -2

1 1

-1 -2

112 112

x

f '(x) f(x)

y - y y

+ 0 - 0 +

↗ 1 ↘ -1 ↗

112 112

즉,g{- }_g{ }<0에서

(1-a)(-1-a)<0, (a-1)(a+1)<0

∴ -1<a<1 -1<a<1

047

^-` f(x)=2x› +k‹ x+6으로 놓으면 f '(x)=8x‹ +k‹ =(2x+k)(4x¤ -2kx+k¤ ) f '(x)=0에서 x=- k (∵ 4x¤ -2kx+k¤ >0) 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

즉, 함수 f(x)의 최솟값이 - k› +6이므로 모든 실수

x에 대하여 f(x)æ0이 성립하려면 - k› +6æ0이어 야 한다.

- k› +6æ0에서 k› -16…0

(k+2)(k-2)(k¤ +4)…0 ∴ -2…k…2 따라서 0이 아닌 정수 k는 -2, -1, 1, 2이므로 그 개 수는 4이다.

[참고] f '(x)에 포함되어 있는 4x¤ -2kx+k¤ 을 살펴보 자. 이 식의 값은 k+0일 때, 항상

4x¤ -2kx+k¤ ={2x- }¤ + k¤ >0 이 된다. 따라서 f '(x)=0은 한 실근만 가진다.

4

047

^-` x› -4x‹ >-4x¤ +k에서 x› -4x‹ +4x¤ -k>0

f(x)=x› -4x‹ +4x¤ -k로 놓으면

f '(x)=4x‹ -12x¤ +8x=4x(x-1)(x-2) 134

1k2 138

138 138 112 112 112

x

f '(x)

f(x)

y - k y

- 0 +

↘ -138 k› +6 ↗ 112

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2 {∵ <x<3}

구간 { , 3}에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)의 최솟값이 -k이므로 구간 { , 3}

에서 f(x)>0이 성립하려면

-k>0 ∴ k<0 k<0

048

-` 두 점 P, Q의 속도를 각각 v∏, vŒ라 하면 v∏=2t-4, vŒ=6t-6

이때 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이면 v∏vŒ<0이므로

(2t-4)(6t-6)<0, (t-1)(t-2)<0

∴ 1<t<2 1<t<2

048

^-` 물체의 t초 후의 속도를 v m/s라 하면 v= =20-10t

지면에 수직으로 쏘아 올린 물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0 m/s이므로

20-10t=0 ∴ t=2 즉, t=2일 때 물체의 높이는

20¥2-5¥2¤ =20 (m)

물체가 다시 지면으로 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 20t-5t¤ =0, t¤ -4t=0

t(t-4)=0 ∴ t=4 (∵ t>0) 즉, 물체가 다시 지면에 떨어지는 순간의 속도는

20-10¥4=-20 (m/s) 1344dxdt

112 112

112

x

f '(x)

f(x)

{ } y 1 y 2 y (3)

+ 0 - 0 +

{ 9 -k} ↗ 1-k ↘ -k ↗ (9-k) 1216

112

따라서 a=20, b=-20이므로

a-b=40 40

049

^-` ㄱ. v(c)=0이지만 t=c의 좌우에서 v(t) 의 부호가 바뀌지 않으므로 t=c일 때 점 P는 운동 방향을 바꾸지 않는다. (거짓)

ㄴ. t=a에서의 접선의 기울기가 0이므로 t=a일 때 점 P의 가속도는 0이다. (참)

ㄷ. v(b)=0, v(d)=0이고 t=b와 t=d의 좌우에서 각각 v(t)의 부호가 바뀌므로 t=b, t=d일 때 점 P 는 운동 방향을 바꾼다.

즉, 0<t<e에서 점 P는 운동 방향을 2번 바꾼다.

(참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

050

^-` t초 후의 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라 하면

r=5+t, h=7-t 원기둥의 부피를 Vcm‹ 라 하면

V=p(5+t)¤ (7-t) (0…t<7) 양변을 t에 대하여 미분하면

=2p(5+t)(7-t)+p(5+t)¤ ¥(-1)

=p(5+t){2(7-t)-(5+t)}

=3p(5+t)(3-t)

=0에서 t=3 (∵ 0…t<7) 따라서 구하는 부피는

p¥(5+3)¤ ¥(7-3)=256p (cm‹ ) 256p cm‹

1344dVdt 1344dVdt

유`제

051

^-` : (2x+1)f(x)dx=4x‹ +3x¤ +C의 양 변을 x에 대하여 미분하면

(2x+1)f(x)=(4x‹ +3x¤ +C)'

=12x¤ +6x

=6x(2x+1) 따라서 f(x)=6x이므로

f(3)=18 18

051

^-` 함수 F(x)가 f(x)의 한 부정적분이므로 F'(x)=f(x)

∴ f(x)=(2x‹ +ax¤ -bx+5)'

=6x¤ +2ax-b 이때 f(0)=-2이므로

-b=-2 ∴ b=2

또한 f '(x)=12x+2a이고 f '(0)=1이므로 2a=1 ∴ a=

∴ ab= ¥2=1 1

052

^{-` f(x)=}: [ (x¤ -6x)]dx f(x)=x¤ -6x+C

=(x-3)¤ -9+C 12dxd 112

112

이때 f(x)가 x=3일 때 최솟값 -9+C를 가지므로 -9+C=8 ∴ C=17

따라서 f(x)=x¤ -6x+17이므로

f(1)=1-6+17=12 12

052

^{-` f(x)=} [: (x‹ +2x¤ -2)dx]

f(x)=x‹ +2x¤ -2

이때 =F'(a)=f(a)=a이므로

a‹ +2a¤ -2=a, a‹ +2a¤ -a-2=0 (a+2)(a+1)(a-1)=0

∴ a=1 (∵ a>0) 1

053

^-` 주어진 두 식의 양변을 각각 적분하면 f(x)+g(x)=: (2x+2)dx

=x¤ +2x+C¡

f(x)g(x)=: (6x¤ +2x+4)dx

=2x‹ +x¤ +4x+C™

이때 f(0)=1, g(0)=2이므로 f(0)+g(0)=C¡=3 f(0)g(0)=C™=2

∴ f(x)+g(x)=x¤ +2x+3, f(x)g(x)=2x‹ +x¤ +4x+2

=(2x+1)(x¤ +2) 그런데 f(0)=1,g(0)=2이므로

f(x)=2x+1, g(x)=x¤ +2

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