25. 전기용량 (Capacitance)
• 축전기 (Capacitor)와 전기용량 (Capacitance)
25장 읽고 있자
q = CV C = q/V
25장 읽고 있자 ……
• 전기용량 계산하기 : 평행판 축전기, 원통형 축전기 축전기의 직렬연결과 병렬연결
• 축전기의 직렬연결과 병렬연결
• 축전기의 전기 퍼텐셜에너지와 에너지 밀도
d
A + + + + a
- - - - -
b L
a
C1 C2
b C3
C
a b
≡
지난 시간에 … 지난 시간에 …
Electric potential energy (U)
m]
N [J
= ⋅
•
−
=
•
−
=
−
= ∫
∞∫
∞r r
q
d s q E d s
F W
U r r r r
Electric potential (V) : 단위 전하당 U Electric potential (V) : 단위 전하당 U
J/C]
[V(volt)
=
•
−
=
−
=
≡ ∫
∞r
E d s q
W q
V U r r
∫
∞q q
∑
∑ =
=
N n Nr V q
V 4
1
점 전하πε
=
= n n
n 1
4 πε
o 1r
∫
= r
V dq
πε 4
연속 전하
1 ∫ r
πε
o4
⎥ ⎤
⎢ ⎡ ∂ + ∂ + ∂
=
∇
≡
= V z
V y V x
dV V
E r r ˆ ˆ ˆ
V ÅÆ E
⎥
⎢ ⎦
⎣ + ∂
+ ∂
− ∂
=
∇
−
≡
−
= z
y z x y
V x s
E d r
V ÅÆ E축전기 (capacitor)
• A capacitor is a device whose purpose is to store electrical energy which can then be released in a controlled manner energy which can then be released in a controlled manner during a short period of time.
A i i f 2 i ll d d
• A capacitor consists of 2 spatially separated conductors which can be charged to +q and -q respectively.
축전기의 전기용량 (capacitance)
CV V q
C ≡ q ⇔ = V
C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐) C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)
전기용량의 단위 : 1 f d (F) 1 l b/ lt (C/V) 전기용량의 단위 : 1 farad (F) = 1 coulomb/volt (C/V)
•실제로 쓰이는 단위:실제로 쓰이는 단위
▸micro-farad (μF) = 10-6 F
▸nano-farad (nF) = 10-9 F
▸pico-farad (pF) = 10p (p ) -12 F
축전기 대전시키기
+q(t) -q(t)
확인문제 1. 전기용량은 증가? 감소? 그대로?
(a) q 가 2배 될 때 (b) V 가 3배 될 때
25-3. 전기용량 계산하기
(1) 극판에 전하 q 가 있다고 가정 (2) Gauss 법칙 Æ E 계산
(3) E -> V 계산 (3) E -> V 계산 (4) C = q/V
평행판 축전기
Ed ds
E Eds s
d E
V f d
i • = = =
−
=
∫ ∫
−+∫
0r r
A d
A V
C = q = ε
o 극판 사이의 유전상수와극판의 모양 (면적과 간격)에만 의존
Practical Application: Microphone
(“condenser”) ( condenser )
d
Current sensor Current sensor Battery
Moveable plate Fixed plate
Sound waves incident
Æ pressure oscillations
Æ oscillating plate separation d Æ oscillating capacitance ( ) Æ oscillating charge on plate
~ 1 C d
Æ oscillating charge on plate
Æ oscillating current in wire ( ) Æ oscillating electrical signal
I dQ
= dt
Æ oscillating electrical signal
Question
I h b l h f Q i l d lid
• In each case below, a charge of +Q is placed on a solid spherical conductor and a charge of -Q is placed on a concentric conducting spherical shell. g p
– Let V1
be the potential difference between the spheres with (a
1, b).
– Let V2
be the potential difference between the spheres with (a
2, b).
– What is the relationship between V1
and V
2? (Hint – think about parallel plate capacitors.)
a2 +Q
-Q -Q
+Q 2
a1 +Q
(a) V
1< V
2(b) V
1= V
2(c) V
1> V
2b b
• What we have here are two spherical capacitors.
• Intuition: for parallel plate capacitors: V = (Q/C) = (Qd)/(A ε
0).( )
1 2( )
1 2( )
1 2Therefore you might expect that V1 > V2 since (b-a1) > (b-a2).
• In fact this is the case as we can show directly from the definition of V!
원통형 축전기 원통형 축전기
⎟ ⎞
⎜ ⎛
∫
∫
+= q
b1 = q ⎜ ⎝ ⎛ b ⎟ ⎠ ⎞
= ∫
−+∫ a
b L
dr q r L
Eds q V
o b
o a
2 ln 1
2 πε πε
) / 2 ln(
a b
L V
C = q = πε
o 극판 사이의 유전상수 극판의 모양에만 의존)
(
구형 축전기
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
=
=
= ∫
+Eds q ∫ dr q b
V
b1 1
4 1
4
2⎞
⎛ ab
q
판 사이의 전상수⎠
∫ ⎝
∫
−4 πε
o ar
24 πε
oa b
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
= b a
ab V
C q 4 πε
o 극판 사이의 유전상수 극판의 모양에만 의존고립된 도체 구의 전기용량
b ⎞
⎛ 4 ( )
4 C R a R
a b
ab V
C q
o⎟ ⎯
b⎯ → ⎯ =
o=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
= πε
→∞πε
25-4. 축전기의 연결
동일전압 : V =Vj
병렬연결
총 전하량 :
∑
=
= n
j
qj
q
1
V C C
V V C q
q eq
n
j j j
n
j j n
j
j ⎟⎟⎠ =
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
=
∑ ∑ ∑
=
=
=1 1 1
∑
=
=
nj
j
eq
C
C
1
동일 전하량 : q =qj
직렬연결 총 전압 :
∑
=
= n
j
Vj
V
1
동일 전하량 : q qj
직렬연결
n n
j
n q ⎜⎛ ⎟⎞ q
∑
∑
∑
11 ∑
n1
j j eq
j j
j j
j C
q q C
C V q
V ⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
=
=
∑ ∑ ∑
=
=
=1 1 1
1
∑
=
=
j j
eq
C
C
1C
질문
C
C C
C C
C Configuration A
Configuration B Configuration C Three configurations are constructed using identical capacitors
Configuration B Configuration C
Which of these configurations has the lowest overall capacitance?
g g p
a) Configuration A b) Configuration B c) Configuration C
질문
Two identical parallel plate
capacitors are shown in an end- view in A) of the figure.
Each has a capacitance of C.
If the two are joined together as shown in B), forming a single capacitor, what will be the final capacitance?
a) C/2 b) C c) 2C
Examples:
C bi ti f C it
Combinations of Capacitors
C
3a
a b
≡
C
1C
2C
b
C3
is in series with the parallel combination on C
1and C
2. i.e.,
2 1
3
1 1
1
C C
C
C = + + ⇒
3 2
1
2 1
3
( )
C C
C
C C
C C
+ +
= +
2 1
3
질문
A circuit consists of three unequal capacitors
C
1,C
2, andC
3 which are connected to a battery of emfΕ
. The capacitors obtain chargesQ
1Q
2, Q and have voltages across their plates V V
andV
Q
3, and have voltages across their platesV
1, V
2, andV
3. C
eq is the equivalent capacitance of the circuit.Check all of the following that apply:
a) Q1= Q2 b) Q2= Q3 c) V2= V3 d) E = V1 e) V1 < V2 f) Ceq > C1
Wh t i th i l t it C f th
질문
• What is the equivalent capacitance, Ceq
, of the combination shown?
o
C C C
C
eq(a) C
eq= (3/2)C (b) C
eq= (2/3)C (c) C
eq= 3C
o
(a) C
eq(3/2)C (b) C
eq( /3)C (c) C
eq3C
C C C ≡ C C
11 1
1 = + C
C = C C
C
C = + = 3
C C C
1= +
1
2
C = C
eqC C 2 2 = +
=
25-5. 전기장에 저장된 퍼텐셜에너지
축전기에 전하 q‘ 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V‘ 일 때
축전기의 퍼텐셜에너지
축전기에 전하 q 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V 일 때, 전하 dq‘ 를 더 채우는데 드는 에너지
' ' '
' q dq dq
V
dW = = dq dq C
V dW
따라서, 빈 축전기에 전하를 q 까지 채우는데 드는 에너지 Æ 저장된 퍼텐셜에너지
2 0
2
2 1 ' 2
' CV
C dq q
C
W = ∫
qq = = U = 2 q C
2= 1 2 CV
2에너지 밀도 : 단위 부피당 퍼텐셜 에너지
2 2
2 1 1
2
1 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= d
V CV Ad
Ad
u U ε
o 0 22
1 E u = ε
⎠
⎝
⎠
⎝
d C =ε0 A
2
Vd E =
25-6. 유전체를 넣은 축전기
1837년 Michel Faraday 실험 :
평판 축전기의 전극 사이에 끼워 넣는 물질에 따라 전기용량이 달라짐.
q
C
CV q =
C V = q
증가 감소
κC
증가
κ : 유전상수 (dielectric constant)
0
0
κε
ε →
유전율 변화0 0
κε σ ε
σ → =
= E
E κ0 전기장 감소
E = E
→
25-7. 유전체 : 원자의 관점
영구 전기 쌍극자
극성 유전체
전기 쌍극자 모멘트
유도
비극성 유전체
전기 쌍극자
모멘트 E’
0
E ' E
E v r r +
=
즉, 진공 중 보다Electric field 감소25-8. 유전체와 Gauss 법칙
ε
0κε
0A E A
d E
q = ε ∫ E r ⋅ d A r = ε E A q q ' ε ∫ E r d A r ε EA
q = ε
0∫ ⋅ = ε
0 0A E
0= q
EA A
d E q
q − ' = ε
0∫ ⋅ = ε
0A
q E q '
ε
= −
0
A
0
ε ε
0A
q
E = E
0= κ
q q q − ' =
전기장 감소
E A
κε
0κ κ
전기장 감소
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
= κ
1 1 ' q
q
q 감소∫
유전체에서의 Gauss 법칙
ε
0∫ κ E r ⋅ d A r = q
일반화된 Gauss 법칙 일반화된 Gauss 법칙
∫ E r ⋅ d A r = q
∫ κ r r
ε
0: 전기변위 (electric displacement)
E D r r
κε
0=
∫ D r ⋅ d A r = q
∫
전하는 도체표면의 자유전하만 고려하면 된다.
κ
가 상수가 아닌 (즉, 위치에 따라 다른) 일반적인 경우도 성립한다.25. Summary 5 Su a y
전기용량 (capacitance)
V C ≡ q
V
A
Q Q a-Q
d
A
+ + + +
ab
r +Q
-Q +Q a
d - - - - -
Parallel Plates
b L
Cylindrical
b
Spherical Parallel Plates
d C ∝ A
Cylindrical
) / ln(b a C ∝ L
Spherical a b C ab
∝ −
q A
d
E ⋅ =
∫ κ r r
ε
Gauss 법칙
ε
0∫ κ E ⋅ d A = q
Gauss 법칙