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지난 시간에 … 지난 시간에 …

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Academic year: 2022

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(1)

25. 전기용량 (Capacitance)

• 축전기 (Capacitor)와 전기용량 (Capacitance)

25장 읽고 있자

q = CV C = q/V

25장 읽고 있자 ……

• 전기용량 계산하기 : 평행판 축전기, 원통형 축전기 축전기의 직렬연결과 병렬연결

• 축전기의 직렬연결과 병렬연결

• 축전기의 전기 퍼텐셜에너지와 에너지 밀도

d

A + + + + a

- - - - -

b L

a

C1 C2

b C3

C

a b

(2)

지난 시간에 … 지난 시간에 …

Electric potential energy (U)

m]

N [J

= ⋅

=

=

= ∫

r r

q

d s q E d s

F W

U r r r r

Electric potential (V) : 단위 전하당 U Electric potential (V) : 단위 전하당 U

J/C]

[V(volt)

=

=

=

≡ ∫

r

E d s q

W q

V U r r

q q

=

=

N n N

r V q

V 4

1

점 전하

πε

=

= n n

n 1

4 πε

o 1

r

= r

V dq

πε 4

연속 전하

1 ∫ r

πε

o

4

⎥ ⎤

⎢ ⎡ ∂ + ∂ + ∂

=

= V z

V y V x

dV V

E r r ˆ ˆ ˆ

V ÅÆ E

⎢ ⎦

⎣ + ∂

+ ∂

− ∂

=

= z

y z x y

V x s

E d r

V ÅÆ E

(3)

축전기 (capacitor)

• A capacitor is a device whose purpose is to store electrical energy which can then be released in a controlled manner energy which can then be released in a controlled manner during a short period of time.

A i i f 2 i ll d d

• A capacitor consists of 2 spatially separated conductors which can be charged to +q and -q respectively.

(4)

축전기의 전기용량 (capacitance)

CV V q

Cq ⇔ = V

C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐) C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)

전기용량의 단위 : 1 f d (F) 1 l b/ lt (C/V) 전기용량의 단위 : 1 farad (F) = 1 coulomb/volt (C/V)

•실제로 쓰이는 단위:실제로 쓰이는 단위

▸micro-farad (μF) = 10-6 F

▸nano-farad (nF) = 10-9 F

▸pico-farad (pF) = 10p (p ) -12 F

(5)

축전기 대전시키기

+q(t) -q(t)

확인문제 1. 전기용량은 증가? 감소? 그대로?

(a) q 가 2배 될 때 (b) V 가 3배 될 때

(6)

25-3. 전기용량 계산하기

(1) 극판에 전하 q 가 있다고 가정 (2) Gauss 법칙 Æ E 계산

(3) E -> V 계산 (3) E -> V 계산 (4) C = q/V

평행판 축전기

Ed ds

E Eds s

d E

V f d

i • = = =

=

∫ ∫

+

0

r r

A d

A V

C = q = ε

o 극판 사이의 유전상수와

극판의 모양 (면적과 간격)에만 의존

(7)

Practical Application: Microphone

(“condenser”) ( condenser )

d

Current sensor Current sensor Battery

Moveable plate Fixed plate

Sound waves incident

Æ pressure oscillations

Æ oscillating plate separation d Æ oscillating capacitance ( ) Æ oscillating charge on plate

~ 1 C d

Æ oscillating charge on plate

Æ oscillating current in wire ( ) Æ oscillating electrical signal

I dQ

= dt

Æ oscillating electrical signal

(8)

Question

I h b l h f Q i l d lid

• In each case below, a charge of +Q is placed on a solid spherical conductor and a charge of -Q is placed on a concentric conducting spherical shell. g p

– Let V1

be the potential difference between the spheres with (a

1

, b).

– Let V2

be the potential difference between the spheres with (a

2

, b).

– What is the relationship between V1

and V

2

? (Hint – think about parallel plate capacitors.)

a2 +Q

-Q -Q

+Q 2

a1 +Q

(a) V

1

< V

2

(b) V

1

= V

2

(c) V

1

> V

2

b b

• What we have here are two spherical capacitors.

• Intuition: for parallel plate capacitors: V = (Q/C) = (Qd)/(A ε

0).

( )

1 2

( )

1 2

( )

1 2

Therefore you might expect that V1 > V2 since (b-a1) > (b-a2).

• In fact this is the case as we can show directly from the definition of V!

(9)

원통형 축전기 원통형 축전기

⎟ ⎞

⎜ ⎛

+

= q

b

1 = q b

= ∫

+

a

b L

dr q r L

Eds q V

o b

o a

2 ln 1

2 πε πε

) / 2 ln(

a b

L V

C = q = πε

o 극판 사이의 유전상수 극판의 모양에만 의존

)

(

(10)

구형 축전기

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

=

= ∫

+

Eds qdr q b

V

b

1 1

4 1

4

2

⎛ ab

q

판 사이의 전상수

∫ ⎝

4 πε

o a

r

2

4 πε

o

a b

⎟ ⎠

⎜ ⎞

= −

= b a

ab V

C q 4 πε

o 극판 사이의 유전상수 극판의 모양에만 의존

고립된 도체 구의 전기용량

b

⎛ 4 ( )

4 C R a R

a b

ab V

C q

o

⎟ ⎯

b

⎯ → ⎯ =

o

=

⎜ ⎞

= −

= πε

πε

(11)

25-4. 축전기의 연결

동일전압 : V =Vj

병렬연결

총 전하량 :

=

= n

j

qj

q

1

V C C

V V C q

q eq

n

j j j

n

j j n

j

j ⎟⎟ =

⎜⎜

=

=

=

∑ ∑ ∑

=

=

=1 1 1

=

=

n

j

j

eq

C

C

1

동일 전하량 : q =qj

직렬연결 총 전압 :

=

= n

j

Vj

V

1

동일 전하량 : q qj

직렬연결

n n

j

n q q

1

1

n

1

j j eq

j j

j j

j C

q q C

C V q

V =

=

=

=

∑ ∑ ∑

=

=

=1 1 1

1

=

=

j j

eq

C

C

1

(12)

C

질문

C

C C

C C

C Configuration A

Configuration B Configuration C Three configurations are constructed using identical capacitors

Configuration B Configuration C

Which of these configurations has the lowest overall capacitance?

g g p

a) Configuration A b) Configuration B c) Configuration C

(13)

질문

Two identical parallel plate

capacitors are shown in an end- view in A) of the figure.

Each has a capacitance of C.

If the two are joined together as shown in B), forming a single capacitor, what will be the final capacitance?

a) C/2 b) C c) 2C

(14)

Examples:

C bi ti f C it

Combinations of Capacitors

C

3

a

a b

C

1

C

2

C

b

C3

is in series with the parallel combination on C

1

and C

2

. i.e.,

2 1

3

1 1

1

C C

C

C = + + ⇒

3 2

1

2 1

3

( )

C C

C

C C

C C

+ +

= +

2 1

3

(15)

질문

A circuit consists of three unequal capacitors

C

1,

C

2, and

C

3 which are connected to a battery of emf

Ε

. The capacitors obtain charges

Q

1

Q

2

, Q and have voltages across their plates V V

and

V

Q

3, and have voltages across their plates

V

1

, V

2, and

V

3

. C

eq is the equivalent capacitance of the circuit.

Check all of the following that apply:

a) Q1= Q2 b) Q2= Q3 c) V2= V3 d) E = V1 e) V1 < V2 f) Ceq > C1

(16)

Wh t i th i l t it C f th

질문

• What is the equivalent capacitance, Ceq

, of the combination shown?

o

C C C

C

eq

(a) C

eq

= (3/2)C (b) C

eq

= (2/3)C (c) C

eq

= 3C

o

(a) C

eq

(3/2)C (b) C

eq

( /3)C (c) C

eq

3C

C C CC C

1

1 1

1 = + C

C = C C

C

C = + = 3

C C C

1

= +

1

2

C = C

eq

C C 2 2 = +

=

(17)

25-5. 전기장에 저장된 퍼텐셜에너지

축전기에 전하 q‘ 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V‘ 일 때

축전기의 퍼텐셜에너지

축전기에 전하 q 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V 일 때, 전하 dq‘ 를 더 채우는데 드는 에너지

' ' '

' q dq dq

V

dW = = dq dq C

V dW

따라서, 빈 축전기에 전하를 q 까지 채우는데 드는 에너지 Æ 저장된 퍼텐셜에너지

2 0

2

2 1 ' 2

' CV

C dq q

C

W = ∫

q

q = = U = 2 q C

2

= 1 2 CV

2

에너지 밀도 : 단위 부피당 퍼텐셜 에너지

2 2

2 1 1

2

1 ⎟

⎜ ⎞

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

= ⎛

= d

V CV Ad

Ad

u U ε

o 0 2

2

1 E u = ε

d C =ε0 A

2

Vd E =

(18)

25-6. 유전체를 넣은 축전기

1837년 Michel Faraday 실험 :

평판 축전기의 전극 사이에 끼워 넣는 물질에 따라 전기용량이 달라짐.

q

C

CV q =

C V = q

증가 감소

κC

증가

κ : 유전상수 (dielectric constant)

0

0

κε

ε →

유전율 변화

0 0

κε σ ε

σ =

= E

E κ0 전기장 감소

E = E

(19)

25-7. 유전체 : 원자의 관점

영구 전기 쌍극자

극성 유전체

전기 쌍극자 모멘트

유도

비극성 유전체

전기 쌍극자

모멘트 E’

0

E ' E

E v r r +

=

즉, 진공 중 보다Electric field 감소

(20)

25-8. 유전체와 Gauss 법칙

ε

0

κε

0

A E A

d E

q = ε ∫ E rd A r = ε E A q q ' εE r d A r ε EA

q = ε

0

∫ ⋅ = ε

0 0

A E

0

= q

EA A

d E q

q − ' = ε

0

∫ ⋅ = ε

0

A

q E q '

ε

= −

0

A

0

ε ε

0

A

q

E = E

0

= κ

q q q − ' =

전기장 감소

E A

κε

0

κ κ

전기장 감소

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

= κ

1 1 ' q

q

q 감소

유전체에서의 Gauss 법칙

ε

0

κ E rd A r = q

(21)

일반화된 Gauss 법칙 일반화된 Gauss 법칙

E r d A r = q

κ r r

ε

0

: 전기변위 (electric displacement)

E D r r

κε

0

=

D r d A r = q

전하는 도체표면의 자유전하만 고려하면 된다.

κ

가 상수가 아닌 (즉, 위치에 따라 다른) 일반적인 경우도 성립한다.

(22)

25. Summary 5 Su a y

전기용량 (capacitance)

V Cq

V

A

Q Q a

-Q

d

A

+ + + +

a

b

r +Q

-Q +Q a

d - - - - -

Parallel Plates

b L

Cylindrical

b

Spherical Parallel Plates

d CA

Cylindrical

) / ln(b a CL

Spherical a b C ab

∝ −

q A

d

E ⋅ =

κ r r

ε

Gauss 법칙

ε

0

κ Ed A = q

Gauss 법칙

참조

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