정적분

⑴ 0 ⑵ ⑶ - ⑷

-058

-` :)a (4x-1)dx=[2x¤ -x]a)=2a¤ -a 즉, 2a¤ -a=6이므로 2a¤ -a-6=0

(2a+3)(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a>0) 2

059

-` 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 려면 x=2에서 연속이어야 하므로

(x¤ -6x+10)= (4x-a) 2=8-a ∴ a=6

∴:)3 f(x)dx

=:)2 (x¤ -6x+10)dx+:@3 (4x-6)dx

=[ x‹ -3x¤ +10x]2)+[2x¤ -6x]3@

= +{-(-4)}

=

059

^{-` f(x)=}g 이므로

-3…x…0일 때, f(x)=2x+6 0…x…2일 때, f(x)=6

∴:_2# xf(x)dx=:_0# x(2x+6) dx+:)2 6x dx

=:_0# (2x¤ +6x) dx+:)2 6x dx

=[ x‹ +3x¤ ]0_#+[3x¤ ]2)

=-9+12

=3 3

123

2x+6 (x…0) 6 (xæ0)

12443 144

1223 12323 113

lim

x⁄2+

lim

x

⁄2-111723 12154

12814

060

^{-` |2x¤ -4x|}

=g 이고 k>2이므로

:)k |2x¤ -4x|dx

=:)2 (-2x¤ +4x)dx+:@k (2x¤ -4x)dx

=[- x‹ +2x¤ ]2)+[ x‹ -2x¤ ]k@

= +[ k‹ -2k¤ -{- }]

= k‹ -2k¤ +

따라서 k‹ -2k¤ + =16이므로 k‹ -3k¤ -16=0, (k-4)(k¤ +k+4)=0

∴ k=4 (∵ k는 실수) 4

061

^-` f(-x)=-f(x)이므로 f(x)는 홀함수 이다.

따라서 (x¤ -2x+7)f(x)=x¤ f(x)-2xf(x)+7f(x) 에서 x¤ f(x), 7f(x)는 홀함수이고 -2xf(x)는 짝함수 이다.

∴:_2@ (x¤ -2x+7)f(x)dx

=:_2@ x¤ f(x) dx-:_2@ 2x f(x) dx+:_2@ 7f(x) dx

=0-2:_2@ xf(x)dx+0

=-2_2:)2 xf(x)dx

=-2_2_6=-24 -24

062

-` 조건 ㈏에 의해 f(x)=f(x+3)이므로 12163

123

12163 123

183 123

183

123 123

2x¤ -4x (x…0 또는 xæ2) -2x¤ +4x (0…x…2)

유`제 :₂₀₁₉²⁰²¹f(x) dx=:₂₀₁₆²⁰¹⁸f(x) dx=:₂₀₁₃²⁰¹⁵f(x) dx

=y=:#5 f(x) dx=:)2 f(x) dx

∴:₂₀₁₉²⁰²¹f(x) dx=:)2 f(x) dx

=:)2 (x‹ -x¤ -2x) dx

=[ x› - x‹ -x¤ ]2)

=-

-063

^-` 주어진 등식의 양변에 x=3을 대입하면 0=27+9a-45+36, 9a=-18

∴ a=-2 한편

:#/ (x-t)f(t)dt

=x:#/ f(t)dt-:#/ tf(t)dt

이므로 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 :#/ (x-t)f(t)dt=(x‹ -2x¤ -15x+36)' :#/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x¤ -4x-15

∴:#/ f(t)dt=3x¤ -4x-15 양변을 다시 x에 대하여 미분하면

f(x)=6x-4

f(3)=18-4=14이므로 b=14

∴ a+b=-2+14=12 12

064

^{-` f(x)=}:)/ (t-a)(t-4) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f'(x)=(x-a)(x-4) 125dxd

183 18

13 113 114

f'(x)=0에서 x=a 또는 x=4

즉, f(x)는 x=a일 때 극대, x=4일 때 극소이다.

이때 f(x)의 극솟값이 - 이므로

f(4)=:)4 (t-a)(t-4)dt

=:)4 {t¤ -(a+4)t+4a} dt

=[ t‹ - t¤ +4at]4)

= -8(a+4)+16a=-8a=8 ∴ a=1

따라서 f(x)는 x=1에서 극댓값을 가지므로 구하는 극 댓값은

f(1)=:)1 (t-1)(t-4)dt=:)1 (t¤ -5t+4)dt

=[ t‹ - t¤ +4t]1)=

064

^-` 주어진 그래프에 의해

f(x)=ax(x-4)=a(x-2)¤ -4a(a>0) 로 놓을 수 있다.

이때 함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식은 x=2이 고, f(x)의 최솟값이 -4이므로 f(2)=-4에서

-4a=-4 ∴ a=1

∴ f(x)=x(x-4)=x¤ -4x

F(x)=:)/ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)

f(x)=0에서 x=0 또는 x=4

이때 함수 F(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

12116 111

1226 152

113

183 12643

112a+42 113

183

x f(x) F(x)

y +

↗ 0 0 (극대)

y

-↘ 4 0 (극소)

y +

↗

따라서 F(x)는 x=4에서 극소이므로 극솟값은 F(4)=:)4 f(t)dt=:)4 (t¤ -4t)dt

=[ t‹ -2t¤ ]4)

=-

-065

^-` F'(x)=f(x)라 하면 :_!^-1+hf(x) dx

=

=F'(-1)=f(-1)

따라서 f(-1)=-1이므로 a-b+1=-1

∴ a-b=-2 yy ㉠

또 f(2)=11에서 4a+2b+1=11

∴ 2a+b=5 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3

∴ ab=3 3

065

^-` F'(t)=f(t)라 하면 :@/ f(t) dt

=

= ¥

= F'(2)= f(2)

=

따라서 =6이므로 12+2a=24

∴ a=6 6

12+2a 1122334 12+2a 1122334

114 114

1124x+21 F(x)-F(2)

1111112x-2 lim

x⁄2

F(x)-F(2) 1111112x¤ -4 lim

x⁄2

11245x¤ -41 lim

x⁄2

F(-1+h)-F(-1) 11111111125h lim

h⁄0

11h lim

h⁄0

12323 132

1223 113

066

-` 곡선 y=2x‹ +3x¤ 과 x축의 교점의 x좌 표는 2x‹ +3x¤ =0에서

x¤ (2x+3)=0

∴ x=- 또는 x=0

따라서 곡선 y=2x‹ +3x¤ 과 x축 및 두 직선 x=-2, x=1로 둘러싸인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.

색칠한 부분의 넓이를 S라 하면 S=:_-2¹|2x‹ +3x¤ |dx S=-:_-2^-;2#;(2x‹ +3x¤ )dx+:

-;2#;

1(2x‹ +3x¤ )dx

S=-[ x› +x‹ ]_-2^-;2#;+[ x› +x‹ ]¹

-;2#;

S= +

S= 51

14416 151

1444416 1447532 1442732

112 112

1 -2

-3 - 2

y=2x#+3x@

O x y 132

066-` 066-` 2

067-` 9 068-` 068-`

069-` - 069-` 6

070-` 2'2 071-` 17 072-` 9 073-` ㄱ, ㄷ 073-` ㄴ, ㄷ

118'69

123 123712

125116

유제 S U M M A C U M L A U D E

3. 정적분의 활용

유`제

066

^-` 곡선 y=2x‹ 과 x축 및 두 직선 x=-2, x=a로 둘러싸인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.

∴:_a@ |2x‹ |dx=-:_0@ 2x‹ dx+:)a 2x‹ dx

=-[ x› ]0_@+[ x› ]a)=8+ a›

따라서 a› +8=16이므로 a› =16

∴ a=2 (∵ a>0) 2

067

^-` 곡선 y=x¤ +1을 x축에 대하여 대칭이동 한 곡선의 방정식은 y=-x¤ -1

이 곡선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 7 만큼 평행이동한 곡선의 방정식은

y=-(x+1)¤ -1+7=-(x+1)¤ +6

∴g(x)=-(x+1)¤ +6=-x¤ -2x+5 두 곡선 y=x¤ +1, y=g(x)의 교점의 x좌표는 x¤ +1=-x¤ -2x+5에서

x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=1

따라서 두 곡선 y=x¤ +1, y=g(x)로 둘러싸인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.

y=x@+1

y=g{x}

x y

O -2 1 112

112 112

112 a -2

y=2x#

O x y

색칠한 부분의 넓이를 S라 하면

S=:_1@{(-x¤ -2x+5)-(x¤ +1)} dx S=:_1@ (-2x¤ -2x+4)dx

S=[- x‹ -x¤ +4x]1_@=9 9

068

^-` 곡선 y=-x‹ -x¤ +x와 직선 y=-x의 교점의 x좌표는 -x‹ -x¤ +x=-x에서

x‹ +x¤ -2x=0, x(x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=1

따라서 곡선 y=-x‹ -x¤ +x와 직선 y=-x로 둘러싸 인 도형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.

색칠한 부분의 넓이를 S라 하면 S=:_0@{-x-(-x‹ -x¤ +x)} dx

+:)1 {(-x‹ -x¤ +x)-(-x)} dx S=:_0@ (x‹ +x¤ -2x)dx+:)1 (-x‹ -x¤ +2x)dx S=[ x› + x‹ -x¤ ]0_@+[- x› - x‹ +x¤ ]1)

S= + =

068

^-` f(x)=x¤ -x라 하면 f'(x)=2x-1 접점의 좌표를 (t, t¤ -t)라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는 2t-1이므로 접선의 방정식은

123712 137

12212 12125 183

113 114 113

114

x O

-2

1 y

y=-x#-x@+x y=-x

123

y-(t¤ -t)=(2t-1)(x-t)

∴ y=(2t-1)x-t¤ yy ㉠ 이 직선이 점 (1, -1)을 지나므로

-1=2t-1-t¤ , t¤ -2t=0 t(t-2)=0 ∴ t=0 또는 t=2

⁄t=0일 때, ㉠에서 y=-x

¤t=2일 때, ㉠에서 y=3x-4

따라서 곡선에 그은 두 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도 형은 다음 그림의 색칠한 부분이다.

색칠한 부분의 넓이를 S라 하면 S=:)1 {(x¤ -x)-(-x)} dx

+:!2 {(x¤ -x)-(3x-4)} dx S=:)1 x¤ dx+:!2 (x¤ -4x+4)dx

S=[ x‹ ]1)+[ x‹ -2x¤ +4x]2!

S= +

S=

069

-` 삼차방정식 -x‹ +4x+a=0의 근 중 가 장 큰 값을 a (a>0)라 하면

-a‹ +4a+a=0

∴ a=a‹ -4a yy ㉠

S¡=S™이므로

123 12

13 113 113

113 113

2 1 O x -1

-4 y

y=-x y=x@-x

y=3x-4

:)” (-x‹ +4x+a)dx=0 [- x› +2x¤ +ax]”)=0

- a› +2a¤ +aa=0, a› -8a¤ -4aa=0

∴ a‹ -8a-4a=0 (∵ a>0) yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

a‹ -8a-4(a‹ -4a)=0, -3a‹ +8a=0 a(3a¤ -8)=0

∴ a= (∵ a>0)

∴ a={ }‹ -4_

∴ a=-

-069

^-` y=x¤ -6x+a=(x-3)¤ -9+a에서 곡 선 y=x¤ -6x+a는 직선 x=3에 대하여 대칭이므로 곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 A는 직선 x=3 에 의해 이등분된다.

따라서 위의 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같 으므로

:)3 (x¤ -6x+a)dx=0

[ x‹ -3x¤ +ax]3)=0 3a-18=0

∴ a=6 6

113

3

O x

y y=x@-6x+a

118'69 18'6

119155

1152'63 1152'63

1152'63 114

114

유`제

070

^-` 곡선 y=x¤ -ax와 직선 x=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 S(a)라 하면

S(a)=-:)a (x¤ -ax)dx+:A44 (x¤ -ax)dx S(a)=-[ x‹ - ax¤ ]a)+[ x‹ - ax¤ ]4A

S(a)= a‹ -8a+

S'(a)=a¤ -8=(a+2'2 )(a-2'2 ) S'(a)=0에서 a=2'2 (∵ 0<a<4)

따라서 S(a)는 a=2'2일 때 최소이다. 2'2

071

^-` 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이고

f'(x)=3x¤ +1>0

이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가한다.

또한 곡선 y=f(x)는 두 점 (1, 1), (2, 9)를 지난다.

:!2 f(x)dx=A, :!9 g(x)dx=B라 하고 빗금 친 부분 의 넓이를 C라 하면

C=B

이므로 구하는 값은 다음 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같다.

1 1 2 9

2 9 x

y

y=x

y=g{x}

y=f{x}

O

B A C C C

12643 113

112 113 112

113

a S'(a)

S(a)

(0) y 2'2 y (4)

- 0 +

↘ (극소) ↗

∴:!2 f(x)dx+:!9 g(x)dx=A+B

=2_9-1_1

=17 17

072

^-` 원점에서 출발하여 원점으로 되돌아온다는 것은 위치의 변화량이 0이 될 때이다.

다시 원점으로 되돌아온 시각을 k라 하면 :)k (-t+3)dt=[- t¤ +3t]k)

:)k (-t+3)dt=- k¤ +3k=0

k¤ -6k=k(k-6)=0 ∴ k=0 또는 k=6 즉, k=0은 원점에서 출발하는 시각이고 k=6은 원점으 로 되돌아온 시각이다.

따라서 6초 동안의 움직인 거리를 구하면 된다.

이때 속도의 함수가 일차함수이고 원점에서 출발하여 원 점으로 되돌아왔기 때문에 속도가 0이 되는 시각(진행 방 향을 바꾸는 시각)까지의 움직인 거리를 구한 다음 2배를 해주면 보다 쉽게 움직인 거리를 구할 수 있다. 즉, v(t)=-t+3=0에서 t=3

∴ (움직인 거리)=2:)3 |-t+3|dt=2[- t¤ +3t]3)

=2_ =9 9

073

^-` ㄱ. t=4, t=6일 때, 운동 방향을 바꾸므로 점 P는 출발 후 운동 방향을 2번 바꿨다. (참)

192

112 112

112 1 1 9

2 x

y y=f{x}

O A B

ㄴ. :)4 v(t)dt= _(4+2)_2=6이므로 4초후에점 P는 원점으로 되돌아와 있지 않다. (거짓)

ㄷ. t=4일 때, 점 P의 위치는 6 (∵ ㄴ) t=6일 때, 점 P의 위치는

6+{- _2_2}=4 t=9일 때, 점 P의 위치는

4+ _3_2=7

따라서 점 P는 출발한 지 9초 후 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ

073

^-`

각 구간 [0, a], [a, b], [b, c], [c, d]에서 점 P가 움직 인 거리를 차례로 l¡, l™, l£, l¢라 하면

l¡=:)a |v(t)|dt, l™=:Ab |v(t)|dt l£=:Bc |v(t)|dt, l¢=:Cd |v(t)|dt

이때 주어진 조건에서:)a |v(t)|dt=:Ad |v(t)|dt이므로 l¡=l™+l£+l¢ yy ㉠

그래프에서 보면 t=a, t=c일 때 운동 방향을 바꾸므로 방향성을 고려하여 점 P의 위치를 예측하면 다음 그림과 같다.

x t=d t=b t=c l¢

l¢

l¡

l£ l™

t=a t=0

O a d t

l¡

l£

l™

l¢

c b v{t}

112 112

112 ㄱ. 앞의 그림에서 보면 오른쪽 방향으로 l¡만큼 이동한

후 왼쪽 방향으로 l™+l£만큼 이동하지만 다시 오른 쪽 방향으로 l¢만큼 이동하므로 점 P는 출발하고 나 서는 원점을 다시 지나지 않는다. (거짓)

ㄴ. :)c v(t)dt는 t=0에서 t=c까지의 위치의 변화량이

므로 l¡-l™-l£이고:Cd v(t)dt는 t=c에서 t=d까 지의 위치의 변화량이므로 l¢이다.

이때 ㉠에서 l¡-l™-l£=l¢이므로 :)c v(t)dt=:Cd v(t)dt (참)

ㄷ. :)b v(t)dt=l¡-l™, :Bd |v(t)|dt=l£+l¢이다.

이때 ㉠에서 l¡-l™=l£+l¢이므로 :)b v(t)dt=:Bd |v(t)|dt (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

EXERCISES

문서에서 숨마쿰라우데_수학2 서브노트 (페이지 47-55)