(홀함수)'=(짝함수) (홀함수)_(짝함수)=(홀함수)
함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 f(x)는 홀함수이다. 즉,
f(-x)=-f(x)
를 만족시킨다. f(x)가 홀함수이므로 f '(x)는 짝함수이 고 xf '(x)는 홀함수와 짝함수의 곱으로 이루어진 함수이 므로 홀함수이다.
∴:-11f '(t)(1-t)dt
∴=:-11f '(t)dt-:-11tf '(t)dt
∴=2:)1 f'(t)dt
∴=2[f(t)]1)
∴=2{ f(1)-f(0)}
한편 주어진 조건에서 f(1)=6이고 f(-x)=-f(x) 에 x=0을 대입하면
f(0)=0
∴:-11f '(t)(1-t)dt=2{ f(1)-f(0)}
=2_(6-0)
=12 ③
09
[전략]나머지정리와 정적분으로 나타내어진 함수의 미분을 이용하여 g(-1)의 값을 구한다.다항식 f(x)를 (x+1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x) 라 하면
x‹ -2ax¤ +:-1xg(t)dt=(x+1)¤ Q(x)+2x+1 yy ㉠
㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -1-2a=-1 ∴ a=0
㉠에 a=0을 대입하면
x‹ +:-1xg(t)dt=(x+1)¤ Q(x)+2x+1 위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
3x¤ +g(x)=2(x+1)Q(x)+(x+1)¤ Q'(x)+2
∴g(x)=-3x¤ +2(x+1)Q(x)
+(x+1)¤ Q'(x)+2
따라서 g(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
g(-1)=-3+2=-1 ⑤
10
[전략]::AAbb`f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고 f(x)=g(x)+k 임을 이용한다.:)1 f(t)dt=k (k는 상수)라 하면
f(x)=2x‹ -3x¤ +x:)1 f(t)dt+:)1 f(t)dt f(x)=2x‹ -3x¤ +kx+k
로 놓을 수 있다. 이때
:)1 f(t)dt=:)1 (2t‹ -3t¤ +kt+k)dt :)1 f(t)dt=[ -t‹ + +kt]1)
:)1 f(t)dt= k- =k
∴ k=1
∴ f(x)=2x‹ -3x¤ +x+1
곡선 y=f(x)-1=2x‹ -3x¤ +x=x(2x-1)(x-1) 의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
이때 y=:)t { f(x)-1} dx는 구간[0, ]에서 양의 값,
구간[ , 1]에서 음의 값, 구간 [1, ¶)에서 양의 값
을 가지므로 음의 값을 모두 더해주었을 때, 즉 t=1일 때 y의 값은 최소가 된다.
112 112
O x
y
y=f{x}-1
-12
1 112
132
124kt¤2 2345t›2
EXERCISES
∴ (최솟값)=:)1 { f(x)-1} dx
∴ (최솟값)=:)1 (2x‹ -3x¤ +x)dx
∴ (최솟값)=[ -x‹ + ]1)=0
[참고] x축 위에서 0부터 까지의 거리가 이고,
에서 1까지의 거리도 이므로 삼차함수 y=f(x)-1=2x‹ -3x¤ +x
의 그래프는 점 { , 0}에 대하여 대칭이다.
따라서 구간[0, ]에서의 정적분의 값과 구간 [ , 1]에서의정적분의값은절댓값은같고부호만다르
므로 그 합은 0이다. ④
11
[전략]g(x)=::@@//``f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하여 g(x)가 극대일 때의 x의 값 a를 구한다.g(x)=:@/ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)=f(x)=x(x+2)(x+4)
g'(x)=0에서 x=-4 또는` x=-2 또는 x=0 함수g(x)의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.
즉, g(x)는 x=-2에서 극댓값을 가지므로 a=-2
∴g(-2)=:@- 2 f(t)dt
∴g(-2)=-:_2@ f(t)dt
∴g(-2)=-:_2@ t(t+2)(t+4)dt 112
112 112
112 112
112 112
2344x¤2 2344x›2
∴g(-2)=-:_2@ (t‹ +6t¤ +8t)dt
∴g(-2)=-2:)2 6t¤ dt
∴g(-2)=-2[2t‹ ]2)
∴g(-2)=-2_16=-32 ⑤
12
[전략]ㄷ. g'(x)를 구한 후 증감표를 이용하여 함수 y=g(x)의 그래프의 개형을 그려 본다.ㄱ. f(-x)=-f(x)이므로 f(x)는 홀함수이다.
∴g(2)=:_2@ f(t)dt=0 (참) ㄴ. f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면
= :_/@ f(t)dt
=
=F'(-2)=f(-2)
=-8+8=0 (참)
ㄷ. g(x)=:_/@ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)=f(x)=x‹ -4x=x(x+2)(x-2) g'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=2 함수g(x)의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.
이때g(-2)=g(2)=0이고 g(0)=:_0@ f(t)dt g(0)=:_0@ (t‹ -4t)dt
g(0)=[ t› -2t¤ ]0_@=4
이므로 함수 y=g(x)의 그래프를 그리면 다음 그림 과 같다.
114
F(x)-F(-2) 112511112x-(-2) lim
x⁄-2
1125x+21 lim
x⁄-2
1125x+2g(x) lim
x⁄-2
x g'(x)
g(x)
y -4 y -2 y 0 y
- 0 + 0 - 0 +
↘ (극소) ↗ (극대) ↘ (극소) ↗
x g'(x)
g(x)
y -2 y 0 y 2 y
- 0 + 0 - 0 +
↘ (극소) ↗ (극대) ↘ (극소) ↗
따라서 방정식g(x)=n의 실근의 개수는 곡선 y=g(x)와 직선 y=n의 교점의 개수와 같으므로 서 로 다른 네 실근을 갖기 위한 자연수 n의 개수는 1, 2, 3의 3이다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ
13
[전략]두 곡선과 직선의 위치 관계를 파악한 후 위쪽에 있 는 그래프의 식에서 아래쪽에 있는 그래프의 식을 뺀 식을 적분한다.포물선 A : y=x¤ 을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 -3만큼 평행이동하면 포물선
B : y=(x-3)¤ -3이 되므로 공통접선과 포물선 A의 접점 (a, a¤ )을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 점 (a+3, a¤ -3)은 포물선 B에서의 접점이 된다.
따라서 공통접선의 기울기가 =-1이므
로 직선 m의 기울기도 -1이 된다.
한편 두 포물선의 교점의 x좌표는 x¤ =(x-3)¤ -3에서 x¤ =x¤ -6x+6
6x=6 ∴ x=1
(a¤ -3)-a¤
111125433(a+3)-a O
A B
x {a,`a@}
{a+3,`a@-3}
-3 3 y
O 4
-2 2 x
y=n y=g{x}
y 따라서 직선 m은 기울기가 -1이고 점 (1, 1)을 지나
므로 직선 m의 방정식은
y=-(x-1)+1 ∴ y=-x+2 직선 m이 포물선 A와 만나는 점의 x좌표는 x¤ =-x+2에서 x¤ +x-2=0
(x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
앞에서와 같이 평행이동을 생각하면 S¡=S™
∴ S¡+S™=2:_1@{(-x+2)-x¤ } dx
=2:_1@ (-x¤ -x+2)dx
=2[- x‹ - x¤ +2x]1_@
=2_ =9 9
14
[전략]함수 f(x)가 x=t에서 극값 0을 갖는다.˙˙kk f'(t)=0, f(t)=0
함수 f(x)=x‹ +ax¤ +bx+2에 대하여 f(x)+f(-x)=4가 성립하므로
(x‹ +ax¤ +bx+2)+(-x‹ +ax¤ -bx+2)=4 2ax¤ +4=4, ax¤ =0 ∴ a=0
한편 함수 f(x)=x‹ +bx+2가 x=t에서 극값 0을 갖 는다고 하면
f '(t)=3t¤ +b=0 yy ㉠ f(t)=t‹ +bt+2=0 yy ㉡ 이어야 한다.
192 112 113 O
A B
1 -2
2
x
m S¡
S™
y
EXERCISES
㉠에서 b=-3t¤ 을 ㉡에 대입하면 t‹ +(-3t¤ )¥t+2=0
t‹ -1=0, (t-1)(t¤ +t+1)=0
∴ t=1 (∵ t는 실수) t=1이므로 b=-3t¤ 에서
b=-3
∴ f(x)=x‹ -3x+2=(x+2)(x-1)¤
곡선 y=f(x)와 직선 y=0, 즉 x축으로 둘러싸인 도형 은 다음 그림의 색칠한 부분이다.
따라서 구하는 넓이는 :-21(x‹ -3x+2)dx
=[ x› - x¤ +2x]1_@
= ③
15
[전략]두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 직선 y=x에 대하 여 서로 대칭인 것을 이용하면 구하고자 하는 부분의 넓이 를 a, b에 대한 식으로 나타낼 수 있다.함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 f(k)=2b를 만족시키는 k의 값은 하나뿐이다.
k의 값을 구하면
k‹ +(a-2)k¤ +(b-2a)k=2b (k-2)(k¤ +ak+b)=0 ∴ k=2
f(x)=x‹ +(a-2)x¤ +(b-2a)x가 실수 전체의 집합 에서 증가하고 f(0)=0이므로 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.
127 144444
132 114
-2 O 1 x
y y=f{x}
[그림 1] [그림 2]
이때:02bg(x)dx는 [그림 1]의 색칠한 부분의 넓이를 나 타낸다.
이제 다음 그림과 같은 방법을 이용하여 정적분의 값을 구 해 보자.
[그림 2]의 색칠한 부분의 넓이를 S라 하면 S=2bk-:)k f(x)dx
=4b-:)2 f(x)dx
=4b-:)2 {x‹ +(a-2)x¤ +(b-2a)x} dx
=4b-[ x› + x‹ + x¤]2)
=4b-4- -2(b-2a)
=2b+ a+ yy ㉠
따라서:02bg(x)dx의 최솟값은 2b+ a+ 의 최 솟값과 같다.
한편 f(x)=x‹ +(a-2)x¤ +(b-2a)x가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 모든 x에 대하여
f '(x)=3x¤ +2(a-2)x+(b-2a)æ0 이 성립한다. 즉, 이차방정식
3x¤ +2(a-2)x+(b-2a)=0의 판별식을 D라 하면
=(a-2)¤ -3(b-2a)=a¤ +2a+4-3b…0
∴ bæa¤ +2a+4 yy ㉡ 11114443
2444D4
143 143 143
143
8(a-2) 1112443
11234b-2a2 1134a-23
114
k k
k 2b
O
2b
O
2b
O
=
-O x
y y=g{x}
2b k
O x
y y=f{x}
2b
k
㉡을 이용하여 ㉠을 a에 대하여 나타내면
2b+ a+ æ2¥ + a+
= {(a+2)¤ +2}
이므로 2b+ a+ 는 a=-2일 때 최소가 된다.
따라서:02bg(x)dx의 최솟값은 a=-2일 때 이다.
⑤
16
[전략]기차의 시간에 따른 속도의 그래프를 그려 그래프와 t축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 기차가 이동한 거리임을 이용한다.1.6t=32에서 t=20이므로 A역을 출발한 기차는 속도 를 증가시켜 20초 후에 최고 속도 32 m/s에 도달하고, 이 속도로 한동안 등속운동한다.
한편 32-1.6t=0에서 t=20이므로 기차는 B역에 도착 하기 20초 전에 제동기를 걸어 속도를 떨어뜨리면서 B 역에 정차한다.
기차가 A역에서 B역까지 가는 데 등속운동한 시간을 x 초라 하면 기차의 시간에 따른 속도의 그래프는 다음 그 림과 같다.
이때 그래프와 t축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 기차가 이동한 거리인 3200 m를 나타내므로
¥20¥32+32x+ ¥20¥32=3200 32x=2560 ∴ x=80
따라서 기차가 A역에서 B역까지 가는 데 걸리는 시간은
20+80+20=120(초) 120초
112 112
O t(초)
속도 (m/s)
20 x 20
32
14 13 143
143 123
143 143 a¤ +2a+4 11114443 143
143
17
[전략]두 점 P, Q가 움직인 거리의 합이 26의 배수일 때 P, Q는 서로 만난다.그래프를 보면 출발한 지 t초 후의 점 P의 속력은 (4t+2) cm/s이고, 점 Q의 속력은 (2t+3) cm/s이다.
두 점 P, Q가 점 A를 출발한 후 10초 동안 움직인 거리 를 각각 s∏, sŒ라 하면
s∏=:010(4t+2)dt=[2t¤ +2t]1)0 =220(cm)
sŒ=:010(2t+3)dt=[t¤ +3t]1)0 =130(cm) 10초 동안 두 점이 움직인 거리의 합은
220+130=350(cm)이고 출발 후 움직인 거리의 합이 원의 둘레의 길이 26의 배수일 때마다 두 점은 만난다.
따라서 350÷26=13.46y이므로 두 점 P, Q는 10초 동안 13번 만나게 된다.
움직인 거리는 그래프에서 직선과 x축, y축 및 직선 t=10으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로 정 적분을 계산하는 대신 그래프에서 사다리꼴의 넓이로 구 할 수 있다. 즉,
s∏=;2!;_(2+42)_10=220
sŒ=;2!;_(3+23)_10=130 13번
18
[전략]❶ 속도 v(t)의 그래프를 그리고 x=1, x=2일 때 각각 움직인 거리를 구한다.❷ ㄷ. x의 값의 범위를 0<x<1일 때, 1<x<3일 때로 나누고, 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하여 비교 한다.
0<x<3인 실수 x에 대하여 점 P가 O
2 1 4
1 2 3 4 5 t v(t)
y=v(t)