벡터와 스칼라
스칼라
단일 숫자로 표현되는 간단한 양
벡터
방향 성분을 갖고, 도식적으로 표현
그림 7.1
3
→
→
≠ BA
AB
a
=
→
AB
=
−
a
→
BA
등가 벡터
크기와 방향이 같은 두 벡터는 등가이다.
그림 7.2
위치 벡터: 공간 상의 특정 위치를 표시, 자유롭게 이동할 수 없음
자유 벡터: 자유로운 평행 이동 가능 4
→
→
= CD
AB
벡터 합
삼각기법 (triangle law)
그림 7.3
점 C와 점 B가 만날때 까지 를 평행 이동
그림 7.4
5
→
→
+ CD
AB
→
CD
→
→
→
=
+
CD
AD
AB
c
b
a
+
=
(
a
b
)
c
a
(
b
c
)
a
b
b
a
+
+
=
+
+
+
=
+
벡터 합
차량의 이동
그림 7.5
변위벡터 : A점에서 B점으로의 움직임
A,B,C는 위치를 나타내는 고정점 각 변위벡터들은 고정
변위벡터 와 의 결합결과
6
→
→
→
=
+
BC
AC
AB
→
AB
→
AB
→
BC
벡터 합
두 힘의 합력
그림 7.6
2N의 힘 F1은 아래쪽 수직 방향
3N의 힘 F2는 오른쪽 수평 방향
삼각 기법을 이용한 두 힘의 합
방향: 수직에 대한θ의 각도
크기:
7
2
1 F
F
R= +
2
3
tanθ=
N
N 13
3
22+ 2 =
벡터 차
그림 7.10
그림7.11 그림7.12
8
( )
b
a
b
a− = + −
( )
→
→
→
→
→
→
→
=
+
=
+
=
−
+
=
−
=
−
→
=
DB
AB
DA
DA
AB
DA
AD
b
a
b
a
b
b
( )
→
→
→
→
→
→
→
=
+
=
+
=
−
+
=
−
=
−
→
=
BD
AD
BA
BA
AD
BA
AB
a
b
a
b
a
a
스칼라에 의한 벡터 곱셈
스칼라 배 (scalar multiple)
: 벡터 의 크기가 k배 됨
그림 7.16
임의의 스칼라 k와 임의의 벡터
와
에 대해
9
a
k
a
a
b
(
)
(
)
( )
a
a
a
a
a
b
a
b
a
kl
l
k
l
k
l
k
k
k
k
=
+
=
+
+
=
+
스칼라에 의한 벡터 곱셈
예제
그림 7.16 : 와 을 와 로 표현
10
→
CA
→
CM
a
b
(
a b
)
b
a
+
−
=
−
=
=
+
=
+
→
→
→
→
→
→
AC
CA
AC
AC
BC
AB
−
+
−
=
−
=
=
+
=
→
→
→
→
→
→
a
b
a
2
1
2
1
2
1
CM
BA
BM
BM
CB
CM
단위벡터와 직교벡터
단위벡터
길이가 1인 벡터
: 의 길이
직교벡터
두 벡터 와 의 사이각이 90°일 경우 (두 벡터가 수직일 경우)
두 벡터는 직교(orthogonal)한다
11
a
a
a =
ˆ
a
a
a
b
직교 좌표 성분
직교 좌표의 단위 벡터
x축의 단위벡터
y축의 단위벡터
그림 7.19
점 P의 좌표 (x, y)
12
i
i
x
OM =
→
j
j
y
MP =
→
r
=
→
OP r =r
j
i
r=OP=OM+MP=x +y
→
→
→
2
2
y
x
r= +
( )
x y
OP
y
x
OP
, = = ,
=
=→ r →
r
직교 좌표 성분
그림 7.21
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1 ,
a
b
a
b
a
b
a
b
AB
a
b
a
b
AB
b
b
OB
a
a
OA
−
+
−
=
−
+
−
=
−
=
−
+
−
=
−
=
+
=
=
+
=
=
→
→
→
→
j
i
a
b
j
i
a
b
j
i
b
j
i
a
13
3차원 직교 좌표 성분
그림 7.22
k
j
i
r x y z
OP= = + +
→
(
2 2
)
2
2
2
z
y
x
BP
OB
+
+
=
+
=
r
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1 ,
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
AB
a
b
a
b
a
b
AB
b
b
b
OB
a
a
a
OA
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
=
−
+
−
+
−
=
−
=
+
+
=
=
+
+
=
=
→
→
→
→
k
j
i
a
b
k
j
i
a
b
k
j
i
b
k
j
i
a
14
영벡터
모든 성분이 0인 벡터
길이가 0이며, 임의의 방향을 가짐
스칼라 0
벡터 0
15
선형조합, 종속, 그리고 독립
선형 조합 (linear combination)
임의의 스칼라곱을 한 벡터들의 합
스칼라곱과벡터합으로 구성
c는 a와 b의 선형 종속
선형 종속
벡터 {a, b, c}는 선형 종속
b
a
c=k
1 +k
2
0
,
1
1
1
2
1
≠
−
= k
k
k
k c b
a
0
,
1
2
1
≠
−
= k
k
k
k c a
b
16
선형조합, 종속, 그리고 독립
선형 종속과 독립의 정의
만약 다음 식을 만족하는 영이 아닌 스칼라 상수 k1, k2, … , kn들이
존재하면, n개의 벡터로 구성된 집합 {a
1, a
2, … , a
n}은 선형 종속
이다.
만약 모든 ki가 영이 되어야만 위의 식이 성립할 경우, 주어진 벡터들
의 집합은 선형 독립 (linearly independent)이라고 한다.
0
a
a
a
+
k
+
+
k
n n =
k
1 1 2 2 ...
17
스칼라장과 벡터장
스칼라장의 예
공기로 채워진 방에서 (x,y,z)로 표시된 위치에서의 온도φ를 고려하면
φ= φ(x,y,z)
온도는 스칼라
벡터장의 예
유체의 이동 시 P(x,y,z)에서의 속도
벡터장
(
vx,vy,vz
)
=
v
k
j
i
v=vx +vy +vz
18
스칼라곱
스칼라곱 (내적)
스칼라곱의 결과는 스칼라
그림 7.25
a와 b가 평행하면
a와 b가 직교하면
θ
cos
b
a
b
a⋅ =
(
) (
)
(
a b
)
c a c b c
b
a
b
a
a
b
b
a
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
k
k
b
a
b
a⋅ =
0
=
⋅b
a
0
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
i
k
k
j
j
i
k
k
j
j
i
i 19
스칼라곱
a=a1i+a2j+a3k, b=b1i+b2j+b3k
일 때, 와
a ⋅b
?
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
1
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
a
a
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
⋅
+
+
+
⋅
+
+
+
⋅
=
+
+
⋅
+
+
=
⋅
k
k
j
k
i
k
k
j
j
j
i
j
k
i
j
i
i
i
k
j
i
k
k
j
i
j
k
j
i
i
k
j
i
k
j
i
b
a
a
a ⋅
2
2
3
2
2
2
1 a
a
a⋅ =a +a +a = 20
벡터곱
a
와 b의 벡터 곱
오른손 회전 법칙
그림 7.29, 그림 7.30
e
b
a
b
a× = sinθˆ
a
b
b
a× ≠ × 21
벡터곱
벡터곱 공식
a
와 b가 평행이면
단위벡터들의 벡터 곱
(
)
(
a b
) ( )
a b a
( )
b
c
a
b
a
c
b
a
a
b
b
a
k
k
k × = × = ×
×
+
×
=
+
×
×
−
=
×
0
=
×b
a
0
=
×
=
×
=
×i j j k k
i
j
k
i
i
j
k
k
i
j
j
i
k
i
k
j
k
j
i
−
=
×
−
=
×
−
=
×
=
×
=
×
=
×
,
,
,
,
22
벡터곱
a=a1i+a2j+a3k, b=b1i+b2j+b3k
일 때,
a×b
는?
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
i
) (
j
)
k
i
j
i
k
j
k
k
k
j
k
i
k
k
j
j
j
i
j
k
i
j
i
i
i
k
j
i
k
k
j
i
j
k
j
i
i
k
j
i
k
j
i
b
a
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
a
a
−
+
−
−
−
=
−
+
+
−
−
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
+
+
×
+
+
+
×
+
+
+
×
=
+
+
×
+
+
=
×
23
벡터곱
행렬식 (determinant)
k
j
i
b
k
j
i
a=a
1 +a
2 +a
3 , =b
1 +b
2 +b
3
(
) (
i
) (
j
)
k
k
j
i
b
a
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
3
2
1
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
−
+
−
−
−
=
=
×
24
다차원 벡터
n차원 벡터
4차원 벡터의 예
a
의 크기 (norm):
a와 b의 스칼라곱:
=
=
1
3
0
1
,
4
2
1
3
b
a
30
4
2
1
32+ 2+ 2+ 2 =
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 1 + 1 0 + 2 3 + 4 1 =13
=
⋅b
a
25
