2008학년도 9월 고2 나형 전국연합학력평가 문제지

‘나’형

2008학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명

수험번호

2

1

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. ◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다. ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

__{   }   의 값은? [2점] ① _   ② _   ③  ④  ⑤ 

2.

두 행렬 



 



     

 

    에 대하여 행렬   _{ 의}  성분은? [2점] ①   ②   ③   ④  ⑤ 

3.

_{  }   이고 _  일 때,  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

  _{ 일 때, 의 값은? [3점]} ①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

2

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‘나’형

5.

상수 에 대하여     , _{     }   _{일 때,}  _  의 가수는? [3점] ① _   ② _   ③ _   ④ _   ⑤ _  

6.

이차정사각행렬  의  성분 _가 _      _  _       ≠ 로 주어질 때, _{의 모든 성분의 합은? [3점]} ①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

세 수 _{  }    



   의 대소를 바르게 비교한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

8.

그림과 같이 네 점  ,       로 만들어진 사다리꼴 에서 두 대각선 , 의 교점을  라 하자.  에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용 하여



  



 

 

  

 

   와 같이 나타낼 때, 상수  의 합  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

3

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‘나’형

9.

다음은 가 무리수임을 증명한 것이다. < 증명 > 가 유리수라고 가정하자.   _ (, 은 서로소인 자연수) ⋯ ㉠ 로 놓으면     이므로 (가) 이다. ㉠에서    이므로  나   이때, (가) 이므로  나 은 (다) 이고 은 가 되어 모순이다. 따라서 는 무리수이다. 위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①      짝수 ②      홀수 ③     짝수 ④      홀수 ⑤      짝수

10.

양의 실수  에 대하여 연산 ◈을 ◈      로 정의할 때, ◈ 



_{ ◈ }  



의 값은? (단,  는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

11.

이차정사각행렬   에 대하여 의 역행렬이 존재하고  ,  일 때,  의 역행렬을   로 나타내는 과정이다. _{  … ㉠} ∴  _{ (가)} 또한



(가)



 … ㉡ ㉠, ㉡에서 (나) 또, _{ 이므로} _{}   ∴   (다) 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [3점] (가) (나) (다) ①  ≠   ② _{   } ③     ④     ⑤  ≠  

12.

실수  에 대하여 두 행렬   를 



 



    





     라 하자.  일 때,  _{의 모든 성분의 합은? (단,  는} 단위행렬이다.) [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

4

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‘나’형

13.

그림과 같이 원 밖의 한 점 에서 원에 한 접선과 한 할선을 그을 때, 접점을  라 하고 원이 할선과 만나는 두 점을 각각   라 하자. 또, ∠의 이등분선과 할선의 교점을 라 하자. 네 선분 , , , 의 길이를 각각    라 할 때,    를 성분으로 하는 이차정사각행렬  를 

 

    라 하자. <보기>에서 역행렬이 항상 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  ㄴ.  ㄷ.  ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14.

 에 관한 연립방정식

 

   

 

  





     

 

  가     이외의 해를 가질 때, 자연수  의 합  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

15.

다음 조건을 만족시키는 실수  에 대하여 점  가 나 타내는 영역의 넓이는? [4점] (가) 이차방정식       은 서로 다른 두 허근 을 갖는다. (나)  의 지표가 이다. ① _   ②  ③ _   ④  ⑤ _  

16.

용액의 수소이온 농도 _{와 수산화이온 농도 }_{에 대하여}    _{× }   이 성립하고, 용액의 산성도를 나타내는 는     로 정의된다. 이때,    인 용액의 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

5

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‘나’형

17.

자연수 에 대하여  의 지표를 ,  의 지표를 이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.   ㄴ.    ㄷ. 의 자릿수와 의 자릿수의 합은 의 자릿수와 같다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18.

두 이차정사각행렬   가 , _{ 를 만족} 한다. 다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 영행렬이고  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ. _ ㄷ. _ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19.

컴퓨터의 저장장치인 하드디스크에 표시되어 있는 (기가 바이트)는 (바이트)를 나타낸다. 그런데 컴퓨터의 운 영체제는 를 로 인식하기 때문에 하드디스크에 표시된 용량과 컴퓨터 운영체제가 인식하는 용량이 달라 사용자 를 혼란스럽게 한다. 예를 들어 로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치하면 컴 퓨터는 _{ × }   로 인식한다. 어떤 사람이 로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치했을 때, 컴퓨터가 인식하는 용량을 다음 상용로그표를 이용하여 구한 것은? (단, 바이트는 컴퓨터 저장장치 용량의 기본 단위이다.) [4점] 수                      ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯                                                        ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯            ① 약  ② 약  ③ 약  ④ 약  ⑤ 약 

수 리 영 역

6

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‘나’형

20.

각 면에     가 하나씩 적혀 있는 정사면체 주사위를 두 번 던져 서 바닥에 닿는 면에 적혀 있는 수를 차례로  라 하자. 임의의 실수  에 대하여 행렬



   



    의 역 행렬이 존재하도록 하는 순서쌍  의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

21.

세 자리 자연수 에 대하여  와 



   의 가수의 합이 이다. 의 지표를 , 가수를 라 할 때, 의 값은? [4점] ① _   ② _   ③ _   ④ _   ⑤ _  

단답형(22 ~ 30)

22.

 일 때,      의 값을 구하시오. [3점]

23.

행렬 



   



에 대하여  _{의 모든 성분의 합을  이라} 할 때, _   의 값을 구하시오. [3점]

수 리 영 역

7

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‘나’형

24.

집합 







 



_  



_  는 이 아닌 정수



의 원소 중 자연수인 것들의 합을 구하시오. [3점]

25.

이차정사각행렬 가 _{  }

 

  

 

  를 만족한 다. 

 

  

 

  가 되는 상수  에 대하여   의 값을 구하시오. (단,  는 단위행렬이고  는 영행렬이다.) [3점]

26.

역행렬을 갖는 행렬 



 



   가    _{ 를 만족한다.} 이때, 상수  에 대하여  의 값을 구하시오. (단,  는 영행 렬이다.) [3점]

27.

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬   에 대하여  ,   일 때, 행렬  를   라 하면 _{  이다. 의 값을 구하시오. (단,  는 단위행렬이고}  는 영행렬이다.) [4점]

수 리 영 역

8

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‘나’형

28.

양의 실수 에 대하여 의 네제곱근 중 실수인 것을   (  )라 하고, 의 세제곱근 중 실수인 것을 ,  의 세제곱근 중 실수인 것을 라 한다. 이때, _    _    을 만족하는 의 값을 구하시오. [4점]

29.

양의 실수   에 대하여 행렬 

 

    가 다음 조건을 만족한다. (가) _{ } (나) 함수      의 최솟값이 이다.    의 값을 구하시오. (단,  는 영행렬이다.) [4점]

30.

그림과 같이 반지름의 길이가 _인 세 원 _ _ _의 중심 과 반지름의 길이가 _인 두 원 _, _의 중심이 모두 한 직선 위에 있다. 두 원 _ _는 외접하고, 두 원 _ _이 외접한다. 두 원 _ _은 만나지 않는다. 원 _은 원 _에 내접하고 원 _에 외접한다. 원 _는 원 _ 에 외접하고 원 _와 만나지 않는다. 원 _과 원 _의 중심거리가 이고 원 _과 원 _의 중심거 리가 일 때, _, _에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용하여



_ _



  



    



 



과 같이 나타낼 수 있다.  의 값을 구하시오. (단, _ _) [4점]