01 ① x가 분모에 있으므로 일차방정식이 아니다.
③ 미지수가 1개인 일차방정식이다.
④ x의 차수가 2이므로 일차방정식이 아니다.
⑤ 식을 정리하면 -3y-4=0이므로 미지수가 1개인 일차방 정식이다.
02 등식을 정리하면 (a-3)x+(6+b)y-12=0이고, 이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면 a-3+0, 6+b+0이어 야 한다.
∴ a+3, b+-6
03 3x+y=15에 각각 대입해보면
ㄱ. 3_1+13+15 ㄴ. 3_2+9=15 ㄷ. 3_3+7+15 ㄹ. 3_4+3=15 ㅁ에서 0은 자연수가 아니다. ㅂ. 3_6+1+15 따라서 주어진 일차방정식의 해는 ㄴ, ㄹ이다.
04 x=5, y=3을 ax-4y=3에 대입하면 5a-12=3, 5a=15 ∴ a=3
05 x=4, y=2를 각각 대입하여 등식이 모두 성립하는 연립방정 식을 찾는다.
① [ 4-2+-1
2_4+2=10 ② [ 4+2=6 4-2_2=0 ③ [ 2_4+3_2=14
4_4-3_2+4 ④ [ 4+2_2=8 2_4-3_2+4 ⑤ [ 4+4_2=12
2_4-5_2+2
따라서 (4, 2)를 해로 갖는 연립방정식은 ②이다.
06 x=b, y=1을 3x+4y=1에 대입하면 3b+4=1, 3b=-3 ∴ b=-1 x=-1, y=1을 2x-ay=-5에 대입하면 -2-a=-5, -a=-3 ∴ a=3 ∴ a-b=3-(-1)=4
②
③
②
③
②
4
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01 ② 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 ② 06 4 07 8 08x=-1, y= 12 09 ③
10 x=4, y=1 11 ②
12 x=4, y=6 13 1 14 ④
15 ③ 16 ③
본교재 055, 057쪽
07 ㉠을 x에 대하여 풀면 x=-2y+7이므로 ㉡에 대입하면 4y-2(-2y+7)=5, 4y+4y-14=5, 8y=19 ∴ a=8
08 [ x-2y=-2 yy ㉠
3x+8y=1 yy ㉡ 에서 ㉠을 x에 대하여 풀면 x=2y-2 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 3(2y-2)+8y=1 6y-6+8y=1, 14y=7 ∴ y= 12 y= 12 을 ㉢에 대입하면 x=1-2=-1
09 x를 소거하려면 x의 계수의 절댓값을 같게 한 후 빼면 되므로 필요한 식은 ㉠_4-㉡_5이다.
①에서 ㉠-㉡_2는 y를 소거하기 위한 식이다.
10 [ x+2y=6 yy ㉠ x-3y=1 yy ㉡ 에서 ㉠-㉡을 하면 5y=5 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 x+2=6 ∴ x=4
11 괄호를 풀어 정리하면 [ 4x+3y=-2 yy ㉠ 2x-3y=-10 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 6x=-12 ∴ x=-2
x=-2를 ㉠에 대입하면 -8+3y=-2, 3y=6 ∴ y=2
12 ( { 9
12 x+1
3 y=4 yy ㉠ 12 x+1
5 y=16
5 yy ㉡
에서 ㉠_6, ㉡_10을 하면
[ 3x+2y=24 yy ㉢ 5x+2y=32 yy ㉣
㉢-㉣을 하면 -2x=-8 ∴ x=4
x=4를 ㉢에 대입하면 12+2y=24, 2y=12 ∴ y=6
13 [ 0.3x+0.5y=0.7 yy ㉠
0.2x+0.3y=0.4 yy ㉡ 에서 ㉠_10, ㉡_10을 하면 [ 3x+5y=7 yy ㉢
2x+3y=4 yy ㉣ ㉢_2-㉣_3을 하면 y=2
y=2를 ㉣에 대입하면 2x+6=4, 2x=-2 ∴ x=-1 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=-1+2=1이다.
8
x=-1, y= 12
③
x=4, y=1
②
x=4, y=6
1
14 [ 2x+y+7=3x-4y
3x-4y=4x+4y+6 에서 식을 정리하면 [ -x+5y=-7 yy ㉠
-x-8y=6 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 13y=-13 ∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면 -x-5=-7 ∴ x=2
15 [ x+2y=0 yy ㉠
3x+4y=kx yy ㉡ 에서 ㉠_2를 하여 정리하면 [ 2x+4y=0
(3-k)x+4y=0
x=0, y=0 이외의 해를 가지려면 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져야 하므로 3-k=2 ∴ k=1
16 [ ax-2y=3 yy ㉠
2x-4y=b yy ㉡ 에서 ㉠_2를 하면 [ 2ax-4y=6
2x-4y=b
해가 없으려면 2a=2, b+6 ∴ a=1, b+6
④
③
③
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01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 ③ 05 ③ 06 ② 07 ①, ④ 08 ② 09 ⑤ 10 ⑤ 11- 12 12 ④ 13 3 14 1 15 ① 16 ① 17 ④ 18 ⑤ 19 2 20 ⑤ 21 2 22 8 23 3 24x=2, y=- 12 25a=- 52 , b+-6 26 8 27 풀이 참조 28 0 29 4 30 310
본교재 058 ~ 061쪽
01 ⑤ 식을 정리하면 2y+3=0이므로 미지수가 1개인 일차방정 식이다.
02 ㄱ. xy=30 ㄴ. x+y=15 ㄷ. 500x+1000y=4500 ㄹ. y=pxÛ`
따라서 미지수가 2개인 일차방정식인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
⑤
②
03 등식을 정리하면 (a-2)x+2y-4=0이고, 이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면 a-2+0이어야 한다.
∴ a+2
04 2x-3y=20에 각각 대입해보면
① 2_1-3_(-6)=20 ② 2_4-3_(-4)=20 ③ 2_5-3_(-3)+20 ④ 2_7-3_(-2)=20 ⑤ 2_10-3_0=20
따라서 주어진 일차방정식의 해가 아닌 것은 ③이다.
05 구하는 순서쌍의 개수는 (3, 16), (6, 12), (9, 8), (12, 4)의 4개이다.
06 일차방정식 3x-y=-2에 x=-a+2, y=a를 대입하면 3(-a+2)-a=-2, -4a=-8 ∴ a=2
07 x=2, y=3을 각각 대입하여 등식이 모두 성립하는 연립방정 식을 찾는다.
① [ 2+2_3=8
3_2-3=3 ② [ 2+3+6 2-3+2 ③ [ 2_2+3+5
2-2_3+0 ④ [ 2+3_3=11 4_2-3=5 ⑤ [ 4_2+7_3+27
3_2+2_3+14
따라서 x=2, y=3을 해로 갖는 연립방정식은 ①, ④이다.
08 x=2, y=-3을 2x+ay=-5에 대입하면 4-3a=-5, -3a=-9 ∴ a=3 x=2, y=-3을 bx-5y=21에 대입하면 2b+15=21, 2b=6 ∴ b=3 ∴ ab=3_3=9
09 [ 2x=y+4 yy ㉠
2x-3y=20 yy ㉡ 에서 ㉠을 ㉡에 대입하면 y+4-3y=20, -2y=16 ∴ y=-8
y=-8을 ㉠에 대입하면
2x=-8+4, 2x=-4 ∴ x=-2
따라서 a=-2, b=-8이므로 a-b=-2-(-8)=6
10 x를 소거하려면 x의 계수의 절댓값을 같게 한 후 빼면 되므로 필요한 식은 ㉠_2-㉡_3이다.
④에서 ㉠_3+㉡_4는 y를 소거하기 위한 식이다.
④
③
③
②
①, ④
②
⑤
⑤
11 x의 값이 y의 값보다 3만큼 크므로 x=y+3 [ x=y+3 yy ㉠
2x-y=5 yy ㉡ 에서 ㉠을 ㉡에 대입하면 2(y+3)-y=5, 2y+6-y=5 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 x=2
x=2, y=-1을 ax+y=-2에 대입하면 2a-1=-2, 2a=-1 ∴ a=- 12
12 두 연립방정식의 해가 서로 같으므로 [ 6x+y=8 yy ㉠
4x+y=4 yy ㉡ 에서 ㉠-㉡을 하면 2x=4 ∴ x=2
x=2를 ㉡에 대입하면 8+y=4 ∴ y=-4 x=2, y=-4를 [ ax-by=16bx-ay=14 에 대입하면 [ 2a+4b=16 yy ㉢
4a+2b=14 yy ㉣
㉢-㉣_2를 하면 -6a=-12 ∴ a=2
a=2를 ㉣에 대입하면 8+2b=14, 2b=6 ∴ b=3 ∴ a+b=2+3=5
13 x`:`y=1`:`3에서 y=3x [ 2x-y=-1 yy ㉠
y=3x yy ㉡ 에서 ㉡을 ㉠에 대입하면 2x-3x=-1, -x=-1 ∴ x=1
x=1을 ㉡에 대입하면 y=3
x=1, y=3을 ax-2y=-3에 대입하면 a-6=-3 ∴ a=3
14 세 일차방정식을 모두 만족하는 해는 연립방정식 [ 4x-y=-3 yy ㉠
2x-3y=11 yy ㉡ 의 해와 같다.
㉠_3-㉡을 하면 10x=-20 ∴ x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 -8-y=-3 ∴ y=-5 x=-2, y=-5를 ax-2y=8에 대입하면
-2a+10=8, -2a=-2 ∴ a=1
15 [ bx+ay=1
ax-by=5 에 x=2, y=3을 대입하면 [ 3a+2b=1 yy ㉠
2a-3b=5 yy ㉡
㉠_2-㉡_3을 하면 13b=-13 ∴ b=-1 b=-1을 ㉠에 대입하면 3a-2=1, 3a=3 ∴ a=1 ∴ b-a=-1-1=-2
- 12
④
3
1
①
16 x=3, y=-2를 cx-y=-10에 대입하면 3c+2=-10, 3c=-12 ∴ c=-4 A, B가 구한 해를 ax+by=4에 각각 대입하면 [ 3a-2b=4 yy ㉠
-2a+2b=4 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 a=8
a=8을 ㉡에 대입하면 -16+2b=4, 2b=20 ∴ b=10 ∴ a+b+c=8+10+(-4)=14
17 [ ax+5y=-10 yy ㉠
4x+3y=7 yy ㉡ 의 해를 x=m, y=n이라고 하 면
[ 3x-2y=19 yy ㉢
11x+by=9 yy ㉣ 의 해는 x=m+1, y=n+1이다.
㉡에 x=m, y=n을 대입하고, ㉢에 x=m+1, y=n+1을 대입하면
[ 4m+3n=7
3(m+1)-2(n+1)=19 이고 이 식을 정리하면 [ 4m+3n=7 yy ㉤
3m-2n=18 yy ㉥
㉤_2+㉥_3을 하면 17m=68 ∴ m=4 m=4를 ㉥에 대입하면
12-2n=18, -2n=6 ∴ n=-3
x=m=4, y=n=-3을 ax+5y=-10에 대입하면 4a-15=-10, 4a=5 ∴ a= 54
x=m+1=5, y=n+1=-2를 11x+by=9에 대입하면 55-2b=9, -2b=-46 ∴ b=23
∴ 4a+b=4_ 54 +23=28
18 괄호를 풀어 정리하면 [ 4x-3y=9 yy ㉠ 2x-3y=3 yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 2x=6 ∴ x=3
x=3을 ㉡에 대입하면 6-3y=3, -3y=-3 ∴ y=1 따라서 연립방정식의 해는 (3, 1)이다.
19 ( { 9
-5(x+y)+3
4 = -2+3y5 yy ㉠ 10 -2x+1 1
2 (y-x)=2 yy ㉡ 에서 ㉠_20, ㉡_10을 하면
[ -25(x+y)+15=-8+12y 1-20x+5y-5x=20
이 식을 정리하면 [ 25x+37y=23 yy ㉢ -25x+5y=19 yy ㉣ ㉢+㉣를 하면 42y=42 ∴ y=1
①
④
⑤
y=1을 ㉣에 대입하면
-25x+5=19, -25x=14 ∴ x=- 1425
이때 주어진 연립방정식의 해가 {- ab , c}(a, b는 서로소인 자연수)이므로 a=14, b=25, c=1
∴ 2a-b-c=2_14-25-1=2
20 ({ 9
x3 -y 5 =31
15 yy ㉠ 0.5x+0.3y=1.9 yy ㉡
에서 ㉠_15, ㉡_10을 하면
[ 5x-3y=31 yy ㉢ 5x+3y=19 yy ㉣
㉢+㉣을 하면 10x=50 ∴ x=5
x=5를 ㉣에 대입하면 25+3y=19, 3y=-6 ∴ y=-2 ∴ x+y=5+(-2)=3
21 [ (x+2)`:`(y+1)=4`:`3
x-y=-2 에서 [ 3(x+2)=4(y+1) x-y=-2 괄호를 풀어 정리하면 [ 3x-4y=-2 yy ㉠
x-y=-2 yy ㉡ ㉠-㉡_3을 하면 -y=4 ∴ y=-4
y=-4를 ㉡에 대입하면 x+4=-2 ∴ x=-6 따라서 a=-6, b=-4이므로 b-a=-4-(-6)=2이다.
22 [ 3(2x+y)=2x+5
2x`:`3y=2`:`1 에서 [ 6x+3y=2x+5 6y=2x 이므로 [ 4x+3y=5 yy ㉠
x-3y=0 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 5x=5 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 4+3y=5, 3y=1 ∴ y= 13 따라서 x=1, y= 13 을 ax-3y=7에 대입하면 a-1=7 ∴ a=8
23 ({ 9
0.75x-0.5y=2 yy ㉠ 65 x+2
5 y=2 yy ㉡ 에서 ㉠_100, ㉡_5를 하면 [ 75x-50y=200
6x+2y=10 이므로 [ 3x-2y=8 yy ㉢ 3x+y=5 yy ㉣ ㉢-㉣을 하면 -3y=3 ∴ y=-1
y=-1을 ㉣에 대입하면 3x-1=5, 3x=6 ∴ x=2 따라서 a=2, b=-1이므로 a-b=2-(-1)=3이다.
2
⑤
2
8
3
24 1x=A, 1y=B로 놓으면 [ 4A-B=4 yy ㉠ 6A+2B=-1 yy ㉡ ㉠_2+㉡을 하면 14A=7 ∴ A= 12 , 즉 x=2 A= 12 을 ㉠에 대입하면 2-B=4
∴ B=-2, 즉 y=- 12
따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=2, y=- 12 이다.
25 [ 3x-2y=4 yy ㉠ (a-2)x+3y=b yy ㉡ 에서 ㉠_(-3), ㉡_2를 하면
[ -9x+6y=-12 2(a-2)x+6y=2b
해가 없으므로 2(a-2)=-9, 2b+-12 ∴ a=- 52 , b+-6
26 [ -2x+3y=a yy ㉠
6x+by=3 yy ㉡ 에서 ㉠_(-3)을 하면 [ 6x-9y=-3a
6x+by=3
해가 무수히 많으므로 b=-9, -3a=3 ∴ a=-1, b=-9
(m+a+b)x+m+6=0에 a=-1, b=-9를 대입하면 (m-10)x+m+6=0 ∴ x= -m-6m-10
따라서 -m-6
m-10 =7이므로
-m-6=7m-70, -8m=-64 ∴ m=8
27 [ 3x+y=4 yy ㉠
6x+2y=8 yy ㉡ 에서 ㉠_2를 하면 [ 6x+2y=8 6x+2y=8 이 므로 x=1, y=1뿐만 아니라 3x+y=4를 만족하는 순서쌍 (x, y) 전체가 해가 된다.
따라서 주어진 연립방정식의 해는 무수히 많다.
28 x=2, y=2를 3x+ay=4에 대입하면 6+2a=4, 2a=-2 ∴ a=-1
즉 3x-y=4 yy 40 %
x=b, y=-7을 3x-y=4에 대입하면
3b+7=4, 3b=-3 ∴ b=-1 yy 40 %
∴ a-b=-1-(-1)=0 yy 20 %
x=2, y=- 12
a=- 52 , b+-6
8
풀이 참조
0
29 x=p, y=q를 3x+2y=8에 대입하면 3p+2q=8 [ 3p+2q=8 yy ㉠
p+q=3 yy ㉡ 에서
㉠-㉡_2를 하면 p=2 yy 30 %
p=2를 ㉡에 대입하면 2+q=3 ∴ q=1 yy 30 % 따라서 x=p=2, y=q=1을 ax-y=7에 대입하면 2a-1=7, 2a=8 ∴ a=4 yy 40 %
30 [ 3x-my=0
2x+y=4my, 즉 [ 3x-my=0 yy ㉠ 2x+(1-4m)y=0 yy ㉡ 에서 ㉠_2, ㉡_3을 하면
[ 6x-2my=0
6x+3(1-4m)y=0 yy 40 %
x=0, y=0 이외의 해를 가지려면 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져야 하므로
-2m=3(1-4m) yy 40 %
-2m=3-12m, 10m=3 ∴ m= 310 yy 20 %
4
310