일주일에 10만 개의 건전지를 생산하고 있는 어떤 공장에 서는 불량률을 고려하여 매주 월요일에 생산된 건전지 중 일부 를 교환용으로 보유하려고 한다. 불량률을 알아보기 위하여 건 전지 중 400개를 임의로 추출하여 검사하였더니 이 중 8개의 건전지가 불량품이었다. 전체 건전지 중 불량품이 차지하는 비 율을 신뢰도 95 %로 추정할 때, 10만 개 중 나올 수 있는 불량 품의 개수의 최솟값은? (단, 확률변수 Z가 표준정규분포를 따 를 때 P(0…Z…1.96)=0.4750이다.) 3점
① 628 ② 632 ③ 636
④ 640 ⑤ 644
9
행렬 A=· ‚로 나타내어지는 일차변환을 f라 하
하자. 점 P¡(1, 2)에 대하여 f(P«)=Pn+1(n=1, 2, 3, y)이 라 하고, 점 P«과 직선 y=x 사이의 거리를 d«이라 하자.
d«의 값은? 3점
① '2 ② 2 ③ 2'2
④ 4 ⑤ 4'2
¡¶ n=1
;2!; 0 0 ;2!;
10
기상청에서 발표한 자료에 의하면 어느 지역에 있는 사람 들은 불쾌지수가 70일 때는 아무도 불쾌감을 느끼지 않으며 불 쾌지수가 75일 때는 이 지역 사람들의 10 %가 불쾌감을 느낀 다고 한다. 이 지역에 있는 사람들 중 불쾌지수가 A(Aæ70) 일 때 불쾌감을 느끼는 사람의 비율을 B %라 하면 A와 B 사 이에 다음의 관계식이 성립한다고 한다.
A=70-k+logå {B+;;¡3º;;}
(단, a>0, a+1, k는 상수이다.) 불쾌지수가 80일 때, 이 지역에 있는 사람들 중 불쾌감을 느끼 는 사람의 비율은 몇 %인가? 4점
① 42 ② 46 ③ 50
④ 54 ⑤ 58
11
그림과 같이 함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점
P(a, f(a)), Q(a+1, f(a+1))이 있다. 원점 O에 대하여 함수g(a)를
g(a)=OP≥•OQ≥
로 정의할 때, 함수g(a)에 대한 설명으로 옳은 것만을보기에 서 있는 대로 고른 것은? 4점
12
y
y=f(x)
a+1
a O x
P Q 1
_1 1
ㄱ. 불연속점은 3개이다.
ㄴ. a=1에서 연속이다.
ㄷ. 최솟값은 -;4%;이다.
보기
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
실전모의고사 1회
5
상자 A에는 크기와 모양이 같은 흰 공 3개와 검은 공 2개 가 들어 있고, 상자 B에는 크기와 모양이 같은 흰 공 2개와 검 은 공 3개가 들어 있다. 영희가 상자 A에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공이 적어도 1개 나오면 꺼낸 2개의 공을 상 자 B에 넣고, 흰 공이 하나도 나오지 않으면 꺼낸 공은 어느 상 자에도 넣지 않으며 다시 상자 A에서 임의로 2개의 공을 동시 에 꺼내어 상자 B에 넣는 시행을 한다. 영희가 이 시행을 한 번 한 후 상자 B에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 2개 의 공이 모두 검은 공일 확률은? 3점
① ;7!; ② ;3§5; ③ ;5!;
④ ;3•5; ⑤ ;3ª5;
13
A¡’B¡”=1이고 ∠B¡=90˘인 직각이등변삼각형 B¡A¡C¡이 있다. 빗변 A¡C¡의 중점을 A™라 하고, A’™B™”=A’¡A™”이고
∠B™=90˘인 직각이등변삼각형 B™A™C™를 A’¡C¡”의 연장선 위 에 꼭짓점이 A™, C¡, C™의 순서로 놓이도록 그림과 같이 만 들자. 빗변 A™C™의 중점을 A£이라 하고, A’£B£”=A’™A£”이고,
∠B£=90˘인 직각이등변삼각형 B£A£C£을 A’¡C¡”의 연장선 위 에 꼭짓점이 A£, C™, C£의 순서로 놓이도록 만들자. 모든 자연 수 n에 대하여 A’«C«”의 중점을 A«≠¡이라 하고,
A«’≠’¡’B’«≠¡”=A«’A’«≠¡”이고 ∠B«≠¡=90˘인 직각이등변삼각형 B«≠¡A«≠¡C«≠¡을 A’¡C¡”의 연장선 위에 꼭짓점이 A«≠¡, C«, C«≠¡의 순서로 놓이도록 만들자. 이때, C’«C’«≠¡”의 값은?
4점
¡¶ n=1
14
그림과 같이 제1사분면에서 곡선 y=e2x 위를 움직이는 점 P(t, e2t)에 대하여 직선 OP의 기울기가 최소가 되는 순간, 곡선 y=e2x과 y축 및 선분 OP로 둘러싸인 부분의 넓이는?
(단, 점 O는 원점이고 e는 자연로그의 밑이다.) 3점
16
이차정사각행렬 A=¶ •과 임의의 실수 p, q에 대 하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, E는 단위행렬이다.) 4점 -1 1
-1 1
15
A¡ A™
B¡
B™
B£ B¢
A£ C¡ A¢ C™ C£ C¢
y 1
① ② 1 ③ '2
④ '3 ⑤ 2
"3 2
y y=e¤`≈
O x
P(t, e¤`†`)
① ;4E;-;2!; ② ;2E;-;2!; ③ ;4E;+;2!;
④ ;3E;-;4!; ⑤ ;2E;+;2!;
ㄱ. A¤ -A는 역행렬을 가진다.
ㄴ. A+pE는 역행렬을 가진다.
ㄷ. A¤ -qA-2q¤ E는 역행렬을 가진다.
보기
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
실전 모의고사 1 회
두 함수 f(x)=ex-e¤ , g(x)=x¤ +x+k에 대하여 함 수 h(x)=f(g(x))라 하자. 방정식 h(x)_h'(x)=0이 오직 하나의 실근을 가지도록 하는 정수 k의 최솟값은?
(단, 중근은 한 개의 근으로 생각한다.) 4점
① -2 ② -1 ③ 1
④ 2 ⑤ 3
18
첫째항이 1인 수열 {a«}에 대하여 S«= a˚라 할 때, 2 이상의 자연수 n에 대하여
a«= , S«+0, S«+—;2!;
이 성립한다. 다음은 수열 {a«}의 일반항을 구하는 과정이다.
2S«¤
2S«+1
¡n
17
k=12 이상의 자연수 n에 대하여
a«=S«-Sn-1 yy㉠
이므로 S«-Sn-1=
(S«-Sn-1)(2S«+1)=2S«¤
S«에 대하여 정리한 다음 역수를 취하면
= +
를 얻는다.
한편, = =1이므로 = 이다.
∴ S«=
㉠에서 a«= (næ2)
∴ a«=‡ (næ2) 1 (n=1) (다)
(다) 1
1 (나) S«
1 a¡
1 S¡
1 (가) Sn-1 1
S«
2S«¤
2S«+1
(나)
위의(가),(나),(다)에 들어갈 값 또는 식을 각각 p, f(n), g(n) 이라 할 때, 의 값은? 4점
① 15 ② 20 ③ 25
④ 30 ⑤ 35
p f~(10)g~(10)
a가 a+-;2!;인 실수일 때, x에 대한 함수 f(x)=;3!;x‹ +(a-1)x¤ -3a(a+2)x+1
의 극댓값을g(a), 극솟값을 h(a)라 하고, 함수 k(a)를 다음 과 같이 정의하자.
k(a)= g(a)+h(a) {a+-;2!;}
b {a=-;2!;}
함수 k(a)가 모든 실수 a에서 연속일 때, 상수 b의 값은? 4점
① ;2%; ② ;;¡4£;; ③ ;2&;
④ ;;¡4¶;; ⑤ ;2(;
({ 9
19
실전모의고사 1회
7
™H™+™H£+™H¢+y+™Hª+™H¡º의 값을 구하시오.
3점
22
-1<x<2에 대하여 f(x)=:!/`` tan[;6“;(t+1)]dt로 정 의된 함수 f(x)에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고 른 것은? 4점
21
방정식 3cos 2x+1=0을 만족시키는 x의 값을 a, b라 할 때, 60cos(b-a)의 값을 구하시오.
{단, 0<a<;2“;<b<p} 3점
23
ㄱ. f~'(0)=
ㄴ. (f-1)'(0)=
ㄷ. f~''(0)=;2#;p 1 '3 1 '3 보기
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
그림과 같이 두 곡선 y=2≈ , y={;4!;}x-m의 교점을 A라 하고, 두 곡선 y=2≈ , y={;4!;}x-m이 y축과 만나는 점을 각각
B, C라 하자. AB”=AC”일 때, 음수 m의 값은?
(단, 점 O는 원점이다.) 4점
20
y=2≈
y={;4!;}
O C A
B y
x
x_m
① 3log™ ② 3log™
③ 3log¢ ④ 3log¢
⑤ 3log• '5-1 2
'5-1 2 '5-1
3
'5-1 2 '5-1
3
실전 모의고사 1 회
그림과 같이 AB”=3, AD”=2인 직사각형 ABCD의 내 부의 점 P가
1+AP”æ(점 P에서 BC”에 이르는 거리)
를 만족시킨다. 점 P가 나타내는 도형의 넓이를 S라 할 때, 3S 의 값을 구하시오. 3점
24
등비수열 {a«}에 대하여 a¡+a™+a£+y+a™º=513 a¡+a£+a∞+y+a¡ª=171 일 때,
a¡+a∞+aª+a¡£+a¡¶=;pQ;
가 성립한다. 이때, p+q의 값을 구하시오.
(단, p, q는 서로소인 자연수이다.) 3점
25
A D
B C
2
3
그림과 같이 원 x¤ +y¤ =1 위의 제1사분면에 있는 점 P 에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q라 하자. 또, 점 Q를 중심 으로 하고 반지름의 길이가 PQ”인 원이 x축과 만나는 점 중 원 x¤ +y¤ =1의 내부에 있는 점을 R라 하고 ∠POQ의 크기를 h 라 하자. 점 A(1, 0)에 대하여 =a일 때, 10a¤ 의 값을 구하시오. (단, 점 O는 원점이다.) 4점
h¥PR”
lim AQ”
h⁄+0
27
O 1
_1
P
A R _1
Q h y
x x¤`+y¤`=1
두 양수 a, b에 대하여 이차곡선 + =1 위의 두 점 에서의 접선이 점 (0, 1)에서 수직으로 만날 때, a+b의 최댓 값을 M이라 하자. 이때, M¤ 의 값을 구하시오. 3점
y¤
b¤
x¤
26
a¤실전모의고사 1회
9
A D
B C
O
좌표공간의 구 S：x¤ +y¤ +z¤ =4가 세 평면 z='3, z=0, z=-'3과 만나서 생기는 세 원을 각각 C¡, C™, C£이라 하자. C¡ 위의 점 P, C™ 위의 점 Q, C£ 위의 점 R가 다음 조건 을 만족시킨다.
29
그림과 같은 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O 라 하자. 일차변환 f가 나타내는 행렬이
¶ •
일 때, 일차변환 f에 의해 점 (1, -1)은 점 (4, 4)로 옮겨진다 고 한다. 이때, AD”¤ -AB”¤ 의 값을 구하시오. 4점
OB≥¥OC≥
OD≥¥OA≥
OA≥¥OB≥
OC≥¥OD≥
28
1보다 큰 상수 a에 대하여 ;a!;…x…a'a일 때, 함수f(x)=(ax¤ )1og¢ x의 최솟값은 2-;8!;이다. 이때, f(a'a)의 값 을 구하시오. 4점
30
(가) 선분 PR는 구 S의 지름이다.
(나) 삼각형 PQR를 xy평면에 정사영시킨 도형은 직각삼각 형이다.
평면 PQR와 xy평면이 이루는 각의 크기를 h라 할 때, 100cos¤ h의 값을 구하시오. 4점
모의고사
시간100
분 배점100
점문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.
배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
2 회
실전
함수 f(x)= 에 대하여 f~'(0)의 값은? 2점
① 1 ② ;2!; ③ ;3!;
④ ;4!; ⑤ ;5!;
sin x
2
x+20<x<2p일 때, 방정식 sin x sin 2x=cos x cos 2x 의 실근의 개수는? 2점
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
3
8;4!;_2-;4!;_log™ 4의 값은? 2점
① ;2!; ② 1 ③ '2
④ 2 ⑤ 2'2
1
다음 중 방정식[x]-2=0과 같은 해를 가지는 부등식은?
(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 3점
① æ0 ② æ0 ③ …0
④ x-3…0 ⑤ (x-2)(x-3)…0 x-2
x-2 x-3 x-3
x-2 x-2
x-3
4
실전모의고사 2회
11
=4일 때, 의 값은?
(단, a는 상수이다.) 3점
① ;3!; ② ;2!; ③ 1
④ 2 ⑤ 3
x› +ax¤
x¤ -1 lim
x⁄-1
x› +a lim x-1
x⁄1
6
두 일차변환
f : (x, y)⁄ (x+y, x-y), g:(x, y)⁄ (x, 3x+y) 에 대하여 합성변환g-1Ωf 를 나타내는 행렬은?
(단, g-1는g의 역변환이다.) 3점
①¶ • ②¶ •
③¶ • ④¶ •
⑤¶-1 -1• -2 -4
-1 -1 -2 -4 -2 -1
-1 -4
1 -1 2 -3 -1 -1
-2 -3
5
한 여성이 가임 기간 동안 낳는 평균 신생아의 수를 합계출산율이라 한다. 현재의 합계 출산율을 a, 아이를 낳을 때의 여성의 평균연령을 b라 하면 올해 태어나는 아이의 수가 Pº이 고 t년 후 그 해 태어나는 아이의 수가 P†일 때 `
P†={;2A;};bT;`Pº (Pº>0)
이라 한다. 현재의 합계 출산율이 1.3이고 아이를 낳을 때의 여 성의 평균연령이 30세일 때, 태어나는 아이의 수가 처음으로 올해 태어난 아이의 수의 ;2!; 이하가 되는 해는 몇 년 후인가?
(단, 합계 출산율은 매년 초에 조사하고, log 1.3=0.1139, log 2=0.3010으로 계산한다.) 4점
① 45 ② 47 ③ 49
④ 51 ⑤ 53
7
삼차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식
`f(x)-2="√f(x)의 서로 다른 실근의 개수는? 3점
8
O 6
_2 y
y=f(x)
x
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5