10
1 접선의 방정식
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다음이 성립한다.
⑴ 접선의 기울기와 미분계수의 관계
곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f '(a)`와 같다.
⑵ 접선의 방정식
곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-f(a)=f '(a)(x-a)
3 롤의 정리
함수 f(x)가 닫힌 구간[a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면
f '(c)=0
인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.
4 평균값의 정리
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능하면
=f '(c)
인 c가 a`와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.
f(b)-f(a) b-a
2 접점을 지나고 접선에 수직인 직선의 방정식
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))를 지나고, 점 P에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은
y-f(a)=- 1 (x-a)(단, f'(a)+0) f '(a)
f(a)
y=f(x)
O
P(a,`f(a))
a y
x
f(a)
y=f(x)
O
P(a,`f(a))
a y
x
f(a)=f(b)
y=f(x)
O a c¡ c™ b
y
x
O a
`f(a)
`f(b)
y=f(x)
c b
y
x
10 도함수의 활용`⑴
87
유형
1
곡선 위의 점에서의 접선의 방정식출제유형 미분을 이용하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 곡선 위의 점 (x¡, f(x¡))에서의 접선의 기 울기 f'(x¡)`을 구하고 이를 이용하여 접선의 방정식 y-f(x¡)=f '(x¡)(x-x¡)을 구한다.
필수유형
곡선 y=tan x 위의 점{;4“;, 1}에서의 접선이 곡선 y=-x¤ +a에 접할 때, 상수 a의 값은?
① -;6“; ② -;4“; ③ -;3“;
④ -;2“; ⑤ -p
|출제의도| 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
곡선 y=tan x에서 y'=sec¤ x이므로 점 {;4“;, 1}에서의 접선의 기울 기는
sec¤ ;4“;= = = =2
따라서 점 {;4“;, 1}에서의 접선의 방정식은
y-1=2 {x-;4“;} ∴ y=2x-;2“;+1 yy`㉠ 직선 ㉠이 곡선 y=-x¤ +a에 접하므로
2x-;2“;+1=-x¤ +a
x¤ +2x-;2“;+1-a=0` yy`㉡
㉡이 중근을 가지므로 이 방정식의 판별식을 D라 하면
=1-{-;2“;+1-a}=;2“;+a=0
∴ a=-;2“;
④ D
4
1
;4@;
1 '2 {12}¤
2 1
cos¤ ;4“;
곡선 y=sec x` 위의 점 {;3“;, 2}에서의 접선의 기울기 가 m일 때, 실수 m의 값은?
① '3 ② 2'3 ③ 3'3
④ 4'3 ⑤ 5'3
0 1
함수 y='2 sin x 위의 점 {;4“;, 1}에서의 접선이 원 (x-a)¤ +{y-;4“;}¤ =1의 중심을 지날 때, 상수 a의 값 은?
① ② ③
④ ;2“;-1 ⑤ p-1
p-1 2 p-2
4 p-1
4
0 2
유형
2
기울기가 주어진 접선의 방정식출제유형 접선의 기울기를 이용하여 접점의 좌표를 구하고 이를 이용하여 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 주어진 기울기 m이 되도록 하는 접점의 x`좌 표 x=t를 구한 후 y-f(t)=m(x-t)로 접선의 방정 식을 구한다.
필수유형
곡선 y=x‹ -x+1에 접하고 기울기가 2인 접선은 2개 있다.
이 두 접선의 방정식을 각각 y=2x+a, y=2x+b라 할 때, 두 상수 a, b에 대하여 a-b의 값은? (단, a>b)
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
|출제의도| 기울기가 주어진 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
함수 y=x‹ -x+1에서 y'=3x¤ -1이므로 기울기가 2인 접선의 접 점의 x좌표를 t라 하면
3t¤ -1=2 3t¤ =3, t¤ =1 t=-1 또는 t=1
그러므로 접점의 좌표는 (-1, 1), (1, 1)이다.
점 (-1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=2 {x-(-1)}
y=2x+3
점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=2(x-1)
y=2x-1
따라서 a=3, b=-1(∵ a>b)이므로 a-b=4
④ 곡선 y=xe¤ ≈ +sin 3x-3 위의 점 (0, -3)에서의 접
선과 x`축과의 교점의 좌표가 (a, 0)일 때, 상수 a의 값 은?
① -1 ② -;4#; ③ ;2!;
④ ;4#; ⑤ 1
0 3
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 곡선 y=f(x)와 직선 y=x+2가 x=-1, x=2, x=5에서 그림과같이만나고 있다. 곡선 y=f(x) 위의 점
(2, f(2))에서의 접선의 방정식이 y=ax+b일 때, 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
0 4
① 8 ② 10 ③ 12
④ 14 ⑤ 16
y=f(x)
y=x+2
O 2 5
y
_1 x 신유형
10 도함수의 활용`⑴
89
그림과 같이 곡선 y=e≈ +e—≈ 위를 움직이는 점 P(a, b)가 있다. 점 P와 두 점 A(0, -3), B(2, 0)에 대하여 삼각형 PAB의 넓이가 최소가 되게 하는 상수 a 의 값은?
0 9
곡선 y=ln(x-1)에 접하고 직선 y=x+2에 평행한 직선의 y절편은?
① -3 ② -2 ③ -1
④ 1 ⑤ 2
0 5
곡선 y=tan x {0<x<;2“;}에 접하고 직선
x+2y+3=0에 수직인 직선의 방정식은 y=ax+b이 다. 두 상수 a, b에 대하여 a-2b의 값은?
① -2p ② -p ③ 0
④ p ⑤ 2p
0 6
곡선 y=cos x {-;2“;<x<;2“;}에 접하고 기울기가 - 인 접선의 방정식은 '3x+2y=a이다. 이때, 상 수 a의 값은?
① 1+;3“; ② 1+ p ③ '3+;3“;
④ '3+'3p ⑤ 2+;3“;
3
'3 3 '3
2
0 8
두 곡선 y=e≈ 과 y=x¤ 에 대하여 기울기가 1인 접선의 방정식을 각각 y=x+a, y=x+b라 할 때, a-b의 값 은? (단, a, b는 상수이다.)
① ;4!; ② ;2!; ③ ;4#;
④ 1 ⑤ ;4%;
0 7
①;e!; ② ln 2 ③ 1
④ ln 3 ⑤ 2ln 2
O 2
B P
A _3
y y=e≈¿¿+e—≈
x
유형
3
매개변수로 나타내어진 함수에서의 접선의 방정식 x=1-cos `h, y=h-sin h에 대하여 h=;3“;에 대응하는 점에서의 접선의 방정식이
x=1-cos ;3“;=1-;2!;=;2!;
y=;3“;-sin
;3“;=;3“;-이므로 접점의 좌표는 {;2!;, ;3“;- }이고
=sin`h, =1-cos h
∴ = =
10 도함수의 활용`⑴
91
유형
4
곡선 밖의 점에서의 접선의 방정식출제유형 미분을 이용하여 곡선 밖의 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 미분을 이용하여 함수 f(x)의 도함수를 구 하고 접점의 좌표 (t, f(t))에서 접선의 방정식
y-f(t)=f '(t)(x-t)를 구한다. 이때, 이 접선이 곡선 밖의 점 (x¡, y¡)을 지나는 조건을 이용하여 t의 값을 구 한 후 접선의 방정식에 대입한다.
필수유형
점 (-1, 0)에서 곡선 y=ln(x+1)에 그은 접선의 방정식을 y=f(x)라 할 때, f(2)의 값은?
① ;e!; ② ;e@; ③ ;e#;
④ ;e$; ⑤ ;e%;
|출제의도| 곡선 밖의 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구 할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
함수 y=ln(x+1)에서 y'= 이므로 접점의 좌표를 (t, ln(t+1))이라 하면 접선의 방정식은
y-ln(t+1)= (x-t) yy㉠
㉠은 점 (-1, 0)을 지나므로 0-ln(t+1)= (-1-t) -ln(t+1)=-1, ln(t+1)=1
t+1=e, t=e-1 yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 y-ln e=;e!;{x-(e-1)}
y-1=;e!;(x-e+1), y=;e!;x+;e!;
∴ f(x)=;e!;x+;e!;
∴ f(2)=;e#;
③ 1
t+1 1 t+1
1 x+1
점 (0, -1)에서 곡선 y=lnx+x에 그은 접선의 방 정식이 y=ax+b일 때, 두 상수 a, b에 대하여 ab의 값 은?
① -4 ② -2 ③ 2
④ 4 ⑤ 8
13
점 (2, 2)를 지나고 곡선 y= 에 접하는 직선은 2개 있다. 두 접선의 기울기를 각각 m¡, m™라 할 때, m¡+m™의 값은?
① ;3@; ② ;9&; ③ ;9*;
④ ;;¡9º;; ⑤ ;;¡9¡;;
x
14
x+1원점에서 두 곡선 y=e≈ , y=ln x에 그은 두 접선이 이 루는 예각을 h라 할 때, tan h의 값은?
① e-;e!; ② ③ ;2!;{e-;e!;}
④ e+1 ⑤ ;2!;{;e!;+1}
2
e-2 e
15
유형
5
두 곡선이 공통접선을 가질 조건출제유형 미분을 이용하여 두 곡선이 공통접선을 가지도 록 하는 조건을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 미분을 이용하여 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 도함수 f'(x)와 g'(x)를 구하고 접점의 x좌 표를 x=t라 하면 f(t)=g(t), f'(t)=g'(t)임을 이용 하여 접점의 x좌표와 미지수의 값을 구한다.
필수유형
x>0에서 두 함수
f(x)=x‹ +2x¤ +ax, g(x)=2x¤ +a+1
의 그래프가 x=t에서 공통접선을 가질 때, 두 상수 a, t에 대 하여 a+t의 값은?
① -1 ② -2 ③ -3
④ -4 ⑤ -5
|출제의도| 미분을 이용하여 주어진 두 곡선이 공통접선을 가 지도록 하는 조건을 묻는 문제이다.
|풀이|
두 함수 f(x)=x‹ +2x¤ +ax,g(x)=2x¤ +a+1에서 f '(x)=3x¤ +4x+a, g'(x)=4x
두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 접점의 x좌표를 x=t(t>0)라 하면 f(t)=g(t), f'(t)=g'(t)이므로
⁄f(t)=g(t)에서
⁄t‹ +2t¤ +at=2t¤ +a+1
⁄t‹ +at=a+1 yy㉠
¤f '(t)=g'(t)에서
⁄3t¤ +4t+a=4t
⁄a=-3t¤ yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 t‹ +(-3t¤ )t=-3t¤ +1 t‹ -3t‹ =-3t¤ +1 2t‹ -3t¤ +1=0 (t-1)¤ (2t+1)=0
∴ t=1 (∵ t>0) yy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 a=-3
∴ a+t=-3+1=-2
②
0<x<;2“;에서 두 함수 f(x)=sin x와
g(x)=-cos x+a의 그래프가 한 점에서 접할 때, 상 수 a의 값은?
① 1 ② '2 ③ '3
④ 2 ⑤ '5
16
직선 y=mx가 점 P(a, b)에서 곡선 y=e;2{;과 서로 접할 때, 점 P를 지나고 직선 y=mx에 수직인 직선의 y 절편은? (단, m은 상수이다.)
① e+;e!; ② e+;e@; ③ e+;e$;
④ 2e+;e!; ⑤ 2e+;e@;
17
두 곡선 y=;2¡e;x¤ +a와 y=bx-3x ln x가 x=e에 서 공통접선을 가질 때, 두 상수 a, b에 대하여 ;7™e;a+b 의 값을 구하시오.
18
10 도함수의 활용`⑴
93
유형
6
평균값의 정리출제유형 미분을 이용하여 평균값의 정리를 만족시키는 c 의 값을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, 열린 구간 (a, b)에서 미분가능하면 =f '(c) 를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재 함을 이용한다.
f(b)-f(a) b-a
필수유형
함수 f(x)=e≈ 에 대하여 등식
=f '(1+hh)(0<h<1, h>0) 를 만족시키는 h를 h에 관한 식으로 옳게 나타낸 것은?
① ln(e˙ +1) ② ln(e˙ -1) ③ ;h!; ln(e˙ -1)
④ ln` ⑤ ;h!; ln`e˙ -1 h e˙ -1
h
f(1+h)-f(1) h
|출제의도| 평균값의 정리를 응용한 문제를 풀 수 있는지를 묻 는 문제이다.
|풀이|
f '(x)=e≈ 이므로 f '(1+hh)=e1+hh
=f '(1+hh)에서
=e1+hh
=e¥ehh
ehh=
식의 양변에 자연로그를 취하면 hh=ln
∴ h=;h!; ln
⑤
함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 미분가능하므로 함수 f(x)는 닫힌 구간 [1, 1+h]에서 연속이고, 열린 구간 (1, 1+h)에서 미분가능하 다.
따라서 평균값의 정리에 의하여
=f '(c) (1<c<1+h) 를 만족시키는 c가 적어도 하나 존재한다.
f(1+h)-f(1) h
e˙ -1 h e˙ -1
h e˙ -1
h e(e˙ -1)
h e⁄ ±˙ -e
h
f(1+h)-f(1) h
함수 y=sin x에 대하여 닫힌 구간[-;6%;p, ;6%;p]에서 평균값의 정리를 만족시키는 상수를 각각 c¡, c™라 할 때, cos (c¡+c™)의 값은?
① 0 ② ;2!; ③
④ '3 ⑤ 1
2
'2 2
19
함수 f(x)= 에 대하여 집합 A를
A=[a|a= , 2…x¡<x™…3]
으로 정의할 때, 다음 중 옳은 것은?
① -;4(;<A ② -;4%;<A ③ -;4!;<A
④ ;4#;<A ⑤ ;4&;<A f(x™)-f(x¡)
x™-x¡
x+1
20
x-1 신유형참고