2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅱ 수능완성

차 . 례

-

유형편

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C

o n t e n t s

01방정식 박현숙 4 02 부등식 박현숙 12 대단원 마무리 윤영진`, 박현숙 20 03 삼각함수`⑴ 김재진 24 04 삼각함수`⑵ 김재진 32 대단원 마무리 윤영진`, 김재진 40 05 함수의 극한 남선주 44 06 함수의 연속 남선주 52 대단원 마무리 윤영진`, 남선주 60 07 미분계수와 도함수 박현숙 64 08 여러 가지 함수의 미분법 김재진 72 09 여러 가지 함수의 도함수 남선주 80 10 도함수의 활용`⑴ 김용준 86 11 도함수의 활용`⑵ 김용준 94 12 도함수의 활용`⑶ 김용준 102 대단원 마무리 윤영진`, 김용준 108 단원명 집필자 페이지

구 . 성 . 및 . 활 . 용 . 법

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S

t r u c t u r e

●EBSi홈페이지(www.ebsi.co.kr)로 들어오셔서 회원으로 등록하세요. ●본 교재의 방송 내용은 EBSi 홈페이지를 통해 다시 보실 수 있습니다. (VOD 무료 서비스 실시) 1. 개념 설명 단원별로 주요 개념과 공식을 정리하여 확인할 수 있도록 구성하였다. 2. 출제유형 및 출제유형잡기 수능에서 자주 출제되는 유형을 설명하고, 이에 따른 출제유형잡기를 제시하여 수능에 대비할 수 있도 록 하였다. 3. 필수유형 출제유형에 제시된 유형의 대표 기출문제와 유제들로 유형별 학습을 할 수 있도록 하였다. 4. 신유형 새로운 유형의 문제를 통해 기본 개념과 응용력을 키울 수 있도록 하였다. 5. 대단원 마무리 대단원별 수능 실전 문항을 난이도별로 나누어 구성하여 다양한 실전 유형을 충분히 연습할 수 있도록 하였다. •계획을 세워 자신의 실력에 따라 적절하게 강의를 활용한다. •교재를 통한 예습은 절대적이고 필수적이다. •강의하시는 선생님들이 중요하다고 하신 부분은 별도로 표시하고 복습한다. •인터넷 방송을 활용하여 자신이 취약한 부분은 반복 학습한다.

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구성

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활용법

방정식

01

1 분수방정식 ⑴ 분수방정식의 뜻 방정식x- _{=0, +;2!;=} 와 같이 분모에 미지수가 들어 있는 방정식을 분수방정식이라 하고, 다항방정식과 분수방정식을 통틀어 유리방정식이라 한다. ⑵ 분수방정식의 풀이 ① 분수방정식의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고친다. ② ①`에서 얻은 다항방정식을 푼다. ③ ②`에서 얻은 근 중에서 주어진 분수방정식의 분모가 0이 되게 하는 무연근을 제외한다. ⑶ 여러 가지 분수방정식의 풀이 ① 통분이 쉽도록 적당한 항끼리 짝을 지어 통분한다. ② 분자의 차수가 분모의 차수보다 높거나 같을 때에는 분자를 분모로 나누어 분자의 차수를 낮게 고친다. ③ 공통부분이 있으면 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한다. ⑷ 분수방정식의 활용 ① 구하는 값을 미지수 x로 놓는다. 이때, 문제의 조건에 맞게 x의 값의 범위를 정한다. ② 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 분수방정식을 만든다. ③ ②의 분수방정식을 푼다. ④ ③에서 구한 근 중에서 x의 값의 범위를 만족시키고 무연근이 아닌 것을 찾는다. 4 112_{x¤ -4} 1 112_x-2 1 1123_2x+1 2 무리방정식 ⑴ 무리방정식의 뜻 방정식15x+2 =5, x+15x+3 =3과 같이 미지수에 대한 무리식을 포함하고 있는 방정식을 무리방정식이라 한다. ⑵ 무리방정식의 풀이 ① 각 항을 적당히 이항한 후, 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다. ② ①에서 얻은 다항방정식을 푼다. ③ ②에서 얻은 근 중에서 처음 무리방정식을 만족시키지 않는 무연근은 제외한다. ⑶ 여러 가지 무리방정식의 풀이 ①13A =B의 꼴 : 양변을 제곱하여 근호를 없앤다. ②13A+13B =C의 꼴 : 13A =C-13B의 꼴로 변형하고 양변을 제곱한 후 ①의 꼴로 정리하여 다시 양변을 제곱한 다. ③ 공통부분이 있는 무리방정식 : 공통부분을 한 문자로 치환한 후 무리방정식을 푼다. ⑷ 무리방정식의 실근의 개수 무리방정식 !%f(x)=g(x)의 실근은 두 함수 y=!%f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표이므로 두 함수의 그 래프를 이용하여 무리방정식의 실근의 개수를 구한다.

01 방정식

₅

유형 간단한 분수방정식의 풀이

1

출제유형 간단한 분수방정식을 푸는 계산 능력을 측정하 는 유형의 문제가 출제된다. 출제유형잡기 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방 정식으로 고쳐서 방정식을 푼 후 분모를 0이 되게 하는 무 연근을 제외한다. 필수유형 분수방정식 - _{=;3!;의 모든 실근의 곱은?} ① -10 ② -6 ③ 0 ④ 6 ⑤ 10 2 111214_{x¤ +3x-4} 1 114_x-1 |출제의도| 간단한 분수방정식의 근을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| - _=;3!;에서 - _=;3!; 양변에 분모의 최소공배수 3(x-1)(x+4)를 곱하면 3(x+4)-6=(x-1)(x+4) 3x+12-6=x¤ +3x-4, x¤ =10 ∴ x=-1410 또는 x=1410 이 값들은 모두 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 주어진 방정식의 근이다. 따라서 모든 실근의 곱은 1410 ¥(-1410 )=-10 ① |다른 풀이| 주어진 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수 3(x-1)(x+4)를 곱하면 3(x+4)-6=(x-1)(x+4) 3x+12-6=x¤ +3x-4, x¤ =10 x¤ -10=0은 x=1과 x=-4를 근으로 가지지 않으므로 x¤ -10=0의 두 근은 모두 주어진 분수방정식의 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 두 근의 곱은 -10이다. 2 1111112_(x-1)(x+4) 1 113_x-1 2 111124_{x¤ +3x-4} 1 113_x-1 분수방정식 = 의 모든 실근의 합은? ① ;2!; ② 1 ③ ;2#; ④ 2 ⑤ ;2%; 3x-2 1122_x+4 2 1123_2x-1

0

1

분수방정식 +1= - 의 모든 실근의 곱은? ① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8 x¤ +x+1 11113_x 6x¤ -1 11133 x(x-1) 7 114_x-1

0

2

분수방정식 + =k의 모든 실근의 합이 1 일 때, 상수 k의 값은? (단, k+0) ① -1 ② -;2!; ③ ;2!; ④ 1 ⑤ ;2#; 2 113_x+2 1 113_x-1

0

3

유형 여러 가지 분수방정식의 풀이

2

출제유형 복잡한 분수방정식을 푸는 계산 능력을 측정하 는 유형의 문제가 출제된다. 출제유형잡기 ① 분자의 차수가 분모보다 높거나 같으면 분자를 분모로 나누어 분자의 차수를 분모의 차수보다 낮게 고친다. ② 적당한 항끼리 묶어 통분한 다음 다항방정식을 만든다. ③ 중복되는 것이 있으면 한 문자로 치환하여 풀거나 부분 분수로 분해하여 푼다. 필수유형 분수방정식 + = + 의 실근이 삼차 방정식 x‹ +2x¤ -ax+4=0을 만족시킬 때, 상수 a의 값은? ① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9 x-5 113_x-4 x-5 113_x-6 x+3 113_x+4 x+3 113_x+2 |출제의도| 복잡한 분수방정식의 근을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 주어진 방정식의 분자의 차수를 낮추어 정리하면 {1+ }+{1- }={1+ }+{1- } - = -= = 양변을 2로 나눈 후 분모의 최소공배수 (x+2)(x+4)(x-6)(x-4)를 곱하면 (x-6)(x-4)=(x+2)(x+4) x¤ -10x+24=x¤ +6x+8 16x=16 ∴ x=1 x=1은 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 주어진 방정식의 근이다. 따라서 x=1이 삼차방정식 x‹ +2x¤ -ax+4=0의 근이므로 1+2-a+4=0 ∴ a=7 ④ 2 1111113_(x-6)(x-4) 2 11111155_(x+2)(x+4) (x-4)-(x-6) 111111135_(x-6)(x-4) (x+4)-(x+2) 111111135_(x+2)(x+4) 1 113_x-4 1 113_x-6 1 113_x+4 1 113_x+2 1 113_x-4 1 113_x-6 1 113_x+4 1 113_x+2 분수방정식 + =3의 모든 실근의 합은? ① ;2!; ② ;2#; ③ ;2%; ④ ;2&; ⑤ ;2(; 2x¤ 112_x+2 x+2 121_x¤

0

4

분수방정식 x¤ + -2x+ =2의 모든 실근의 곱 은? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4 2 1_x 1 14_x¤

0

6

분수방정식 + = + 의 실근 을 a라 할 때, 40a¤ 의 값을 구하시오. 1 113_x+4 1 113_x+3 1 113_x+6 1 113_x+1

0

5

01 방정식

₇

유형 근에 대한 조건이 주어진 경우

3

출제유형 분수방정식이 근을 가지지 않을 때 또는 근을 가 질 때, 미지수에 대한 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 미지수를 포함한 분수방정식을 미지수를 포 함한 다항방정식으로 변형한 후 주어진 근의 조건을 활용 한다. 필수유형 분수방정식 =0이 오직 한 개의 근을 가지도록 하 는 상수 a의 값은? ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 ⑤ 11 x¤ +ax-4 111214_{x¤ -x} |출제의도| 분수방정식이 한 개의 근을 가지도록 하는 조건을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 분수방정식 =0의 양변에 분모의 최소공배수 x¤ -x를 곱하면 x¤ +ax-4=0 yy㉠ 이때, 위의 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=a¤ +16>0 이므로 두 개의 실근을 가진다. 그러나 문제에서 분수방정식이 오직 한 개의 근을 가진다고 하였으므 로 분모 x¤ -x=0이 되는 x의 값 중 하나를 무연근으로 가진다. x¤ -x=0, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 ⁄x=0을 ㉠에 대입하면 -4+0이 되므로 무연근이 될 수 없다. ¤x=1을 ㉠에 대입하면 1+a-4=0 ∴ a=3 ⁄, ¤에 의하여 구하는 a의 값은 3이다. ① x¤ +ax-4 111124_{x¤ -x} 집합 [x| + = _{]=u이기 위} 한 모든 상수 a의 값의 합은? ① -5 ② -3 ③ -1 ④ 1 ⑤ 3 a 111224_{x¤ +x-6} 2 113_x+3 1 113_x-2

0

7

분수방정식 + =2가 단 하나의 실근 a를 가질 때, k+a의 값은? (단, k는 실수이다.) ① ;2!; ② :¡8¶: ③ ;4(; ④ :¡8ª: ⑤ ;2%; 1 1214_{x¤ -4} k 113_x+2

0

8

x에 대한 방정식 ax+2=2x-a의 근이 존재하지 않 을 때, 분수방정식 + =-1의 모든 실근의 곱은? (단, a는 상수이다.) ① -5 ② -4 ③ -3 ④ -2 ⑤ -1 1 113_x+2 1 112_x-a

0

9

유형 무리방정식의 풀이 및 근의 개수

4

출제유형 간단한 무리방정식의 해를 구하거나 근을 가지 지 않을 때 또는 근을 가질 때, 미지수의 값을 구하는 문 제가 출제된다. 출제유형잡기 양변을 제곱하거나, 근호가 쉽게 없어지도록 항을 적당히 이항한 후, 제곱하여 다항방정식으로 고쳐 근 을 구한다. 무연근을 제외한 근을 구하거나 구한 근과 무 연근의 관계를 이용한다. 필수유형 무리방정식 !%2x¤ -%10x+9 =x-2의 실근을 a라 할 때, a¤ +3a의 값은? ① 24 ② 28 ③ 32 ④ 36 ⑤ 40 |출제의도| 주어진 무리방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이 다. |풀이| 무리방정식 "√2x¤ √-10√x+9=x-2의 양변을 제곱하면 2x¤ -10x+9=x¤ -4x+4 x¤ -6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5 ⁄x=1을 주어진 무리방정식에 대입하면 1+-1이므로 무연근이다. ¤x=5를 주어진 무리방정식에 대입하면 1550-550+9 =5-2, 3=3 이므로 실근이다. 따라서 a=5이므로 a¤ +3a=25+15 =40 ⑤ 무리방정식 !(%x-1%)(x%+%2)+2=(x-2)'ƒx+1의 모든 실근의 곱은? ① -8 ② -6 ③ -4 ④ 4 ⑤ 6

10

방정식 153x-2 -15x+8 =4의 실근을 a, 방정식 153x-2 +15x+8 =4의 실근을 b라 할 때, a-b의 값 은? ① 39 ② 40 ③ 41 ④ 42 ⑤ 43

11

방정식 x¤ +8x-2!%x¤ +%8x+5=10의 모든 실근의 합은? ① -16 ② -12 ③ -8 ④ -4 ⑤ 0

12

01 방정식

₉

무리방정식 !%(a+2)%x+a+3 =x가 실근을 가지기 위한 실수 a의 값이 될 수 있는 것은? (단, a+-2) ① -3 ② -4 ③ -5 ④ -6 ⑤ -7

13

무리방정식!%x¤ -x+k =2x-1이 오직 하나의 실근 만을 가지도록 하는 실수 k의 최솟값은? ① ;4!; ② ;8#; ③ ;2!; ④ ;8%; ⑤ ;4#;

14

유형 분수방정식, 무리방정식과 함수의 그래프

5

출제유형 그래프를 이용하여 실근의 개수를 구하는 문제 들이 출제된다. 출제유형잡기 ⑴ 분수방정식 f(x)=g(x)의 실근은 두 함 수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표이 다. 이때, 교점의 x좌표 중 주어진 분수방정식의 분모 를 0이 되게 하는 값은 제외한다. ⑵ 무리방정식 "√f(x)=g(x)의 실근 HjK f(x)={g(x)}¤ 이고 f(x)æ0, g(x)æ0을 만 족시키는 x의 값 HjK 두 함수 y=f(x), y={g(x)}¤ 의 그래프의 교점 의 x좌표 중 f(x)æ0, g(x)æ0인 x의 값 필수유형 대칭축이 x=-2인 이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같 다. 방정식 "√f(-√x)+5=f(-x)-1의 모든 실근의 합은? ① -4 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 4 2011. 9. 평가원 |출제의도| 그래프가 주어진 무리방정식의 근을 구할 수 있는 지를 묻는 문제이다. |풀이| !$f(-$x)+5=f(-x)-1 yy㉠ 에서 f(-x)=t로 치환하면 '∂t∂+5=t-1 양변을 제곱하여 풀면 t¤ -3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 ∴ t=4 (∵ t=-1은 무연근) 즉, 방정식 ㉠의 실근은 이차방 정식 f(-x)=4의 실근과 같다. 이차방정식 f(-x)=4의 실근 은 그림과 같이 이차함수 y=f(-x)의 그래프와 직선 y=4의 교점의 x좌표인 a, b인데 이차함수 y=f(-x)의 그래프의 대칭축이 x=2이므로 두 실근 a, b 에 대하여 =2가 성립한다. 따라서 모든 실근의 합은 a+b=2¥2=4 ⑤ a+b 112₂ y y=f(x) y=f(_x) x _2 a b 2 4 O y y=f(x) x _2 O 고난도

최고차항의 계수가 1인 이차함수 y=f(x)의 그래프 가 그림과 같을 때, 분수방정식 =1의 모든 실 근의 합은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 y=f(x) y x O 3 _1 3x-1 1211_f(-x)

15

그림은 삼차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)의 그래프를 나타낸 것이다. 두 집합 A={x| f(x)=g(x)} B=[x| + _=0] 에 대하여 두 집합 A, B의 합집합 A'B의 부분집합 의 개수는? (단, t>8인 상수이다.) ① 2 ② 4 ③ 8 ④ 16 ⑤ 32 1 121_g(x) 1 121_f(x) y=»(x) y _y=f(x) k _k x O 34 8 t

16

이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다. 무리방정 식!%f(x)-1+f(x)=7의 모든 실근의 합은? ① -4 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 4 y y=f(x) x O 1 3 3 2

17

사차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다. 무리방정 식 f(x)=!%f(x)-1+3의 서로 다른 실근의 개수를 a, 서로 다른 실근 중에서 양의 실근의 개수를 b라 할 때, a+b의 값은?

18

y y=f(x) x O 1 2 5 ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6

01 방정식

₁₁

유형 분수방정식, 무리방정식의 활용

6

출제유형 방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 외 적 문제가 출제된다. 출제유형잡기 무리방정식에 관련된 문제는 피타고라스의 정리, 좌표평면에서의 두 점 사이의 거리 공식 등을 이용 하고, 분수방정식에 관련된 문제는 무엇을 x로 나타낼 것 인지 정하여 방정식을 세운 후 방정식 활용 문제에 자주 사용되는 공식을 이용한다. ⑴ 속력¥시간¥거리에 관한 문제 (시간)= , (거리)=(시간)_(속력) ⑵ 농도에 관한 문제 (소금물의 농도)= _100(%) ⑶ 일에 관한 문제 전체 일의 양을 1이라 할 때, 일정한 시간 동안 할 수 있는 일의 양은 다음과 같다. (한 시간 동안 할 수 있는 일의 양) =121111111111111 (일을 모두 마치는 데 걸리는 시간) (소금의 양) 121111_{(소금물의 양)} (거리) 121_(속력) 필수유형 정문에서 후문까지의 산책로의 거리가 12 km인 공원이 있다. 갑은 정문에서 산책로를 따라 후문으로 갈 때에는 시속 x km 의 일정한 속력으로 걸어서 가고 후문에서 산책로를 따라 정문 으로 올 때에는 걸을 때의 속력보다 시속 10 km 더 빠르게 자 전거를 타고 일정한 속력으로 왔더니 2시간 45분이 걸렸다. 이때, x의 값은? (단, 후문에서 자전거로 옮겨타는 시간은 무시한다.) ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 |출제의도| 속력과 시간, 거리와의 관계를 이용하여 분수방정 식을 만들고 이를 풀 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 후문에서 산책로를 따라 정문으로 올 때의 속력은 시속 (x+10)km 이므로 + _=2+;4#;, + _=:¡4¡: 양변에 분모의 최소공배수 4x(x+10)을 곱하면 48(x+10)+48x=11x(x+10) 48x+480+48x=11x¤ +110x 11x¤ +14x-480=0, (x-6)(11x+80)=0 ∴ x=6 또는 x=-;1*1); 이때, x>0이므로 x=6 ③ 12 1213_x+10 12 12_x 12 1213_x+10 12 12_x A 그릇에는 농도가 10 %의 소금물 100 g이 들어 있 고, B 그릇에는 농도가 6.5 %의 소금물 200 g이 들어 있 다. A 그릇에 물 a g을 붓고, B 그릇에는 물 3a g을 부 은 후, 농도를 비교하였더니 A 그릇의 소금물의 농도가 B 그릇의 소금물의 농도의 2배였다. 이때, 상수 a의 값 은? ① 130 ② 140 ③ 150 ④ 160 ⑤ 170

19

좌표평면 위에 세 점 A(1, 2), B(4, 5), C{a, ;;¡3¡;;} 이 있다. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점을 P, 선분 BC 를 3:2로 외분하는 점을 Q, 점 C에서 x축에 내린 수선 이 x축과 만나는 점을 H라 한다. PQ”+OH”=10을 만 족시킨다고 할 때, 7a의 값을 구하시오. (단, a>4이고, 점 O는 원점이다.)

20

신유형

부등식

02

1 고차부등식 ⑴ 고차부등식의 뜻 x‹ -2x¤ +x-2>0, x› +x‹ -3x¤ -x+2<0과 같이 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 f(x)>0, f(x)<0, f(x)æ0, f(x)…0의 꼴로 정리하였을 때, f(x)가 삼차의 다항식이면 삼차부등식이라 하고 사차의 다 항식이면 사차부등식이라 한다. 또, 삼차 이상의 부등식을 통틀어 고차부등식이라 한다. ⑵ 고차부등식의 풀이 ① 부등식의 최고차항의 계수가 양수가 되도록 변형하여 f(x)>0, f(x)<0, f(x)æ0, f(x)…0의 꼴로 정리한다. ② f(x)를 계수가 실수인 범위에서 인수분해한다. ③ 방정식 f(x)=0의 해를 경계로 하여 구간을 나눈 다음, f(x)의 부호를 조사하여 주어진 부등식의 해를 구한다. ⑶ 완전제곱식 또는 항상 양의 인수를 가지는 고차부등식의 풀이 ① 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0일 때, f(x)g(x)>0 HjK g(x)>0 ② (x-a)¤ f(x)>0 HjK x+a이고 f(x)>0 ③ (x-a)¤ f(x)æ0 HjK x=a 또는 f(x)æ0 ④ (x-a)¤ f(x)<0 HjK x+a이고 f(x)<0 ⑤ (x-a)¤ f(x)…0 HjK x=a 또는 f(x)…0 2 분수부등식 ⑴ 분수부등식 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 f(x)>0, f(x)<0, f(x)æ0, f(x)…0의 꼴로 정리하였을 때, f(x)가 분수식이면 이 부등식을 분수부등식이라 한다. 또, 일차부등식, 이차부등식, 고차부등식, 분수부등식을 통틀어 유리 부등식이라 한다. ⑵ 분수부등식의 풀이 ① 주어진 부등식을 이항하여 다음과 같은 꼴로 정리한다. ① >0, <0, æ0, …0 ② 양변에 {g(x)}¤ 을 곱하여 일차부등식, 이차부등식 또는 고차부등식으로 바꾼다. ③ ②에서 얻은 부등식을 풀어 근을 구하고 g(x)=0이 되게 하는 x의 값은 제외한다. ⑶ 분수부등식의 동치 관계 ① >0 HjK f(x)g(x)>0 ② <0 HjK f(x)g(x)<0 ③ æ0 HjK f(x)g(x)æ0이고 g(x)+0 ④ …0 HjK f(x)g(x)…0이고 g(x)+0 ⑤ …0 HjK g(x)<0 또는 f(x)=0 (단, g(x)+0) ⑷ 연립부등식 고차부등식이나 분수부등식으로 세워진 연립부등식은 각각의 부등식의 해를 구하여 그 공통 범위를 찾는다. |f(x)| 12124_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x)

02 부등식

₁₃

유형 고차부등식의 풀이

1

출제유형 고차부등식의 해를 구하는 계산 문제가 출제되 거나 특별한 인수를 가지는 고차부등식이 문제로 출제된다. 출제유형잡기 ⁄f(x)>0, f(x)<0, f(x)æ0, f(x)…0 ¤의 꼴로 정리한 후 f(x)를 인수분해하여 해집합을 구 한다. ¤(x-a)n 을 포함하는 고차부등식은 n이 짝수인 경우 와 홀수인 경우로 나누어 풀면 편리하다. 필수유형 삼차부등식 -x‹ +5x¤ -2x-8æ0을 만족시키는 자연수 x의 개수는? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4 |출제의도| 삼차부등식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| -x‹ +5x¤ -2x-8æ0, x‹ -5x¤ +2x+8…0 f(x)=x‹ -5x¤ +2x+8이라 하면 f(-1)=-1-5-2+8=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x+1을 인수로 가진다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 -1 -5 -2 -8 -1 -1 -1 -6 -8 -1 -1 -6 -8 -0 f(x)=x‹ -5x¤ +2x+8=(x+1)(x¤ -6x+8) f(x)=(x+1)(x-2)(x-4) 따라서 (x+1)(x-2)(x-4)…0을 만족시키는 범위를 수직선에 나타내면 다음과 같다. ∴ x…-1 또는 2…x…4 따라서 이 범위에 속하는 자연수 x는 2, 3, 4의 3개이다. ④ _1 _ _ + + 2 4 x 부등식 (x-4)(x-1)(x+1)¤ …0을 만족시키는 정 수 x의 개수는? ① 5 ② 4 ③ 3 ④ 2 ⑤ 1

0

1

부등식 (x-3)‹ (x-1)>0의 해가 x>a 또는 x<b 일 때, a+b의 값은? ① -2 ② 0 ③ 2 ④ 4 ⑤ 6

0

2

다음 중 세 집합 A={x|(x-1)¤ (x-3)>0} B={x|(x-3)(x¤ +x+1)æ0} C={x|(x+1)‹ (x-3)æ0} 사이의 포함 관계를 바르게 나타낸 것은? ① A,B,C ② A,C,B ③ B,A,C ④ B,C,A ⑤ C,B,A

0

3

유형 고차부등식의 작성

2

출제유형 부등식의 해가 주어지고 미지수를 구하는 문제 가 출제된다. 출제유형잡기 부등식 f(x)>0, f(x)æ0, f(x)<0, f(x)…0의 해가 주어진 경우 부등식의 해의 경곗값이 방 정식 f(x)=0의 근임을 이용한다. 필수유형 부등식 x› +ax¤ >bx‹ +cx+4의 해가 x<-1 또는 1<x<2 또는 x>2일 때, 상수 a, b, c에 대하여 a¤ +b¤ +c¤ 의 값을 구하시오. |출제의도| 부등식의 해집합이 주어진 경우 부등식에 있는 미 지수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 사차항의 계수가 1인 사차부등식의 해가 x<-1 또는 1<x<2 또는 x>2 이므로 구하고자 하는 사차부등식은 (x+1)(x-1)(x-2)¤ >0 (x+1)(x-1)(x-2)¤ =(x¤ -1)(x¤ -4x+4) (x+1)(x-1)(x-2)¤=x› -4x‹ +3x¤ +4x-4 이므로 x› -4x‹ +3x¤ +4x-4>0 x› +3x¤ >4x‹ -4x+4 위의 부등식이 x› +ax¤ >bx‹ +cx+4와 같아야 하므로 a=3, b=4, c=-4 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =9+16+16 =41 41 x› -bx‹ +ax¤ -cx-4>0에서 f(x)=x› -bx‹ +ax¤ -cx-4로 놓으면 주어진 조건을 만족시키는 사차함수 y=f(x)의 그래프의 개 형은 다음과 같이 그려진다. x _1 O 1 2 y _y=f(x) 부등식 x‹ +ax¤ +bx-6>0의 해가 -3<x<-1 또는 x>c일 때, 상수 a, b, c에 대하여 abc의 값은? ① 20 ② 10 ③ 0 ④ -10 ⑤ -20

0

4

부등식 x› -6x‹ +ax¤ +bx+4…0의 해가 x=1 또는 x=2일 때, 상수 a, b에 대하여 a-b의 값은? ① 1 ② 9 ③ 17 ④ 25 ⑤ 33

0

5

자연수 a에 대하여 부등식 (x-3)(x-7)(x-a)…0 을 만족시키는 자연수 x의 개수가 6이 되도록 하는 모든 a의 값의 합은? ① 11 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 19

0

6

참고 고난도

02 부등식

₁₅

유형 분수부등식의 풀이

3

출제유형 분수부등식의 해를 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 >0, <0 , æ0 , …0의 꼴로 변형한 후 양변에 분모의 제곱인 {g(x)}¤ 을 곱하여 f(x)g(x)>0, f(x)g(x)<0, f(x)g(x)æ0, f(x)g(x)…0의 꼴로 고친 후 해를 구한 다. 이때, 구한 해 중에서g(x)=0을 만족시키는 해는 제 외한다. f(x) 121 g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) f(x) 121_g(x) 필수유형 분수부등식 …0을 만족시키는 모든 자연수 x의 값의 합은? ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20 (x-3)(x-6) 11111133_x-1 |출제의도| 분수부등식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이 다. |풀이| …0의 양변에 (x-1)¤ 을 곱하면 (x-3)(x-6)(x-1)…0, x+1 ∴ x<1 또는 3…x…6 따라서 구하고자 하는 자연수 x는 3, 4, 5, 6 이므로 모든 x의 값의 합은 18이다. ④ 삼차함수의 그래프의 개형을 다음과 같이 나타낸 다음 풀면 더 간단하 다. O 1 3 6 y=(x_1)(x_3)(x_6) y x 1 _ _ + + 3 6 x (x-3)(x-6) 12131112_x-1 분수부등식 + æ2를 만족시키는 정수 x 의 개수는? ① 5 ② 4 ③ 3 ④ 2 ⑤ 1 2 113_x+1 x 113_x-1

0

7

부등식 …0을 만족시키는 정수 x의 개수는? ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14 x¤ -6x-27 11111113_|(x-1)(x-3)|

0

8

자연수 n에 대하여 a_«=1+;n!;- - 일 때, a™_a£_y_a˚>100을 만족시키는 양의 정수 k의 최 솟값을 구하시오. 1 15_n‹ 1 15_n¤

0

9

참고 신유형

유형 부등식의 해의 개수와 미정계수의 결정

4

출제유형 미정계수가 포함된 부등식에서 해를 구하거나 그 미지수를 결정하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 미지수가 취하는 범위에 따라 부등식의 해를 구한다. 또, 해가 주어진 분수부등식의 미지수를 구할 때에 는 먼저 고차부등식을 만들어 본다. 필수유형 두 집합 A=[x| < _{], B=[x| <0]} 에 대하여 A=B가 성립하도록 하는 상수 a의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 3x-2 111_x-1 -4 111223_{x¤ +x+2} a 111223_{x¤ -x+1} |출제의도| 두 집합이 같도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있는 지를 묻는 문제이다. |풀이| 집합 A에서 모든 실수 x에 대하여 x¤ -x+1={x-;2!;}2 +;4#;>0 x¤ +x+2={x+;2!;}2 +;4&;>0 이므로 < 의 양변에 (x¤ -x+1)(x¤ +x+2)를 곱하면 a(x¤ +x+2)<-4(x¤ -x+1) 전개한 후 정리하면 (a+4)x¤ +(a-4)x+(2a+4)<0 yy㉠ 집합 B에서 양변에 (x-1)¤ 을 곱하면 (x-1)(3x-2)<0 3x¤ -5x+2<0 yy㉡ 두 부등식 ㉠, ㉡의 해가 같으므로 = = 위의 연립방정식을 풀면 a=-1 ② 2a+4 1125₂ a-4 115_-5 a+4 115₃ -4 111223_{x¤ +x+2} a 111223_{x¤ -x+1} 분수부등식 …0을 만족시키는 정수 x가 3개만 존재하도록 하는 모든 정수 a의 값의 곱은? ① -5 ② -1 ③ 1 ④ 3 ⑤ 5 (x+3)(x-a) 11111214_(x-1)¤

10

두 집합 A, B를 각각 A={x|x‹ -x¤ -4x+4>0} B={x|x¤ +ax+b…0} 이라 할 때, A'B={x|x>-2} A;B={x|-1…x<1} 을 만족시키는 상수 a, b에 대하여 a-10b의 값을 구하 시오.

11

두 집합 A={x|x¤ -ax+x-a…0} B={x|x‹ -2x¤ -5x+6>0} 에 대하여 A;B에 속하는 정수의 개수가 3이 되도록 하 는 정수 a의 값을 구하시오.

12

02 부등식

₁₇

유형 여러 가지 연립부등식의 해

5

출제유형 연립부등식의 문제는 2개의 분수부등식 또는 2 개의 고차부등식 또는 분수부등식과 고차부등식이 연립된 형태로 출제된다. 이때, 해를 구하거나 또는 해가 조건으 로 주어지는 경우가 많다. 출제유형잡기 각각의 부등식의 해집합을 구한 후 교집합을 찾는다. 이때, 분수부등식이 연립된 경우 분모를 0이 되게 하는 값은 제외한다. 필수유형 ( …-1 연립부등식{ 을 만족시키는 정수 x의 개수는? 9 …0 ① 5 ② 4 ③ 3 ④ 2 ⑤ 1 x-4 111214_{x¤ +5x+6} 3 113_x-2 |출제의도| 주어진 연립부등식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| …-1에서 +1…0 …0, …0 양변에 (x-2)¤ 을 곱하면 (x+1)(x-2)…0, x+2 ∴ -1…x<2 yy㉠ …0에서 분모를 인수분해하면 …0 양변에 (x+2)¤ (x+3)¤ 을 곱하면 (x+3)(x+2)(x-4)…0, x+-3, x+-2 ∴ x<-3 또는 -2<x…4 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 수직선에 나타내면 다음과 같다. ∴ -1…x<2 따라서 이 범위에 속하는 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다. ③ _3 _2 _1 2 4 x ㉡ ㉡ ㉠ x-4 1111115 (x+2)(x+3) x-4 11111_{x¤ +5x+6} x+1 113_x-2 3+(x-2) 11111_x-2 3 113_x-2 3 113_x-2 연립부등식 을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은? ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 x‹ +4x¤ +x-6æ0 g_{x¤ -4x-5<0}

13

연립부등식 을 만족시키는 x 의 값 중 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, Mm의 값은? ① -6 ② -5 ③ -3 ④ -2 ⑤ -1 x¤ (x+1)(x-6)…0 (x+2)(x-1) 1111121æ0_x-5 ( { ª

14

0<a…3일 때, 연립부등식 ( …0 { 9 …0 을 만족시키는 자연수 x의 개수는? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 (x-4)(x-9) 11311115_x-a (x-7)(x-a) 11311115_x+1

15

신유형

유형 분수부등식과 함수의 그래프

6

출제유형 그래프가 주어지고 주어진 분수부등식의 해를 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 æ0의 해를 구하는 경우 [ 또는 [ 인 범위를 구한다. f(x)…0 g(x)<0 f(x)æ0 g(x)>0 f(x) 121_g(x) 필수유형 삼차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 분수부등식 …0을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은? f(x) 121_g(x) |출제의도| 그래프가 주어진 분수부등식의 해집합을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| …0 HjK _{[ 또는 [} ⁄_[ 에서 ⁄f(x)æ0 HjK -1…x…2 또는 xæ4 ⁄g(x)<0 HjK x<0 ⁄위의 연립부등식의 공통 범위를 수직 선에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⁄따라서 공통 범위는 -1…x<0 ¤_[ 에서 ⁄f(x)…0 HjK x…-1 또는 2…x…4 ⁄g(x)>0 HjK x>0 ⁄위의 연립부등식의 공통 범위를 수직 선에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⁄따라서 공통 범위는 2…x…4 ⁄, ¤에서 구하고자 하는 정수 x는 -1, 2, 3, 4이므로 모든 정수 x의 값의 합은 -1+2+3+4=8 ⑤ f(x)…0 g(x)>0 f(x)æ0 g(x)<0 f(x)…0 g(x)>0 f(x)æ0 g(x)<0 f(x) 121_g(x) x _1 0 2 4 x _1 0 2 4 두 이차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 분수부등식 æ0을 만족시키는 정수 x의 개수는? f(x-1) 12112 g(x+1)

16

두 삼차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, x축 위의 7개의 실수 a, b, c, 0, d, e, f 중 분수부등식 … -f(x)의 해집합의 원소의 개수는? 2{ f(x)}¤ 11124 g(x) { f(x)}‹ 1112 {g(x)}¤

17

y=f(x) y=»(x) y x O _1 2 3 O 1 _1 2 4 y y=»(x) y=f(x) x ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4 ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 y _y=f(x) y=»(x) x O a b c d e f ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6

02 부등식

₁₉

유형 고차, 분수부등식의 활용

7

출제유형 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 외 적 문제가 출제된다. 출제유형잡기 어떤 것을 미지수 x로 놓을 것인가를 정한 후 (시간)= (소금물의 농도)= _100(%) 등의 공식을 이용한다. (소금의 양) 111121_{(소금물의 양)} (거리) 121_(속력) 필수유형 그림과 같이 밑면이 정삼각형이고 높이가 밑면의 한 변의 길이 의 2배인 삼각기둥 A가 있다. 이 삼각기둥 A의 밑면의 길이를 모두 2만큼 늘리고 높이를 반으로 줄였을 때의 삼각기둥을 B 라 하자. 삼각기둥 A의 밑면의 한 변의 길이를 x라 할 때, 삼각 기둥 A의 부피가 삼각기둥 B의 부피보다 작도록 하는 자연수 x의 최댓값을 구하시오. A B x |출제의도| 문장제로 주어진 실생활 문제를 부등식으로 나타내 어 그 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 삼각기둥 A의 밑면의 한 변 의 길이가 x이므로 높이는 2x이다. 따라서 삼각기둥 B 의 밑면의 한 변의 길이는 x+2이고 높이는 x이다. 두 삼각기둥 A, B의 부피를 각각 VA, VB라 하면 VA= x¤ ¥2x= x‹ , VB= (x+2)¤ ¥x VA<VB에서 x‹ < x(x+2)¤ 양변에 를 곱하면 2x‹ <x(x¤ +4x+4) x(x¤ -4x-4)<0 ∴ x<2-212 또는 0<x<2+212 이때, x는 길이이므로 0<x<2+212 2<212 <3이므로 4<2+212 <5 따라서 이 범위에 속하는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 최댓값은 4이다. 4 4 12₁₃ 13 12₄ 13 12₂ 13 12₄ 13 12₂ 13 12₄ A B x x 2x x+2 농도가 6 %인 소금물 300 g이 비커에 담겨 있다. 이 소금물의 농도가 10 % 이상이 되도록 비커를 가열하여 물을 증발시킬 때, 증발되는 물의 양의 최솟값은? (단, 단위는g이다.) ① 100 ② 110 ③ 120 ④ 130 ⑤ 140

18

A 지점에서 B 지점까지의 거리는 40 km이다. 갑이 A 지점에서 출발해서 B 지점까지 달리는데 10 km까지 는 시속 x km로 달리다가 나머지 구간은 시속 2 km만 큼 더 빨리 달렸더니 A 지점에서 출발해서 B 지점까지 시속 x km로 달렸을 때보다 30분 빨리 도착했다. A 지 점에서 B 지점까지 시속(x+v)km로 달렸을 때, 걸린 시간이 3시간 이하가 되기 위한 v의 최솟값은? (단, 각 구간에서의 속력은 일정하다.) ① :¡3º: ② :¡3¡: ③ 4 ④ :¡3£: ⑤ :¡3¢:

19

고난도

무리방정식 x¤ +4x-6!%x¤ +4x-1 =-7의 모든 근의 합은? ① -8 ② -6 ③ -4 ④ -2 ⑤ 0

0

1

함수 f(x)= 에 대하여 방정식 f(x)+f-1(x)=4의 근은? (단, f-1 (x)는 함수 f(x)의 역함수이다.) ① ;2!; ② 1 ③ ;2#; ④ 2 ⑤ ;2%; x 113_x-1

0

3

최고차항의 계수가 1인 이차식 f(x)에 대하여 f(1)=f(6)=6일 때, 방정식 + _=;2#;을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 합은? ① 5 ② 7 ③ 9 ④ 11 ⑤ 13 2 1123333_f(x)+2 1 1123333_f(x)-1

0

4

분수방정식 + =0이 근을 가지지 않도록 하는 모든 상수 a의 값의 합은? ① -;3%; ② -;3$; ③ -1 ④ -;3@; ⑤ -;3!; 1 11113_{x¤ +x-2} a 1123_{x¤ -1}

0

2

대단원

마무리

L

evel

- 1

대단원 마무리

₂₁

함수 f(x)=1+ 에 대하여 f(x)<f(f(x))의 해집합을 S라 할 때, 다음 중 옳은 것은? ① S,{x|-2<x<0} ② S,{x|x<0} ③ S,{x|-2<x<1} ④ S,{x|-1<x<2} ⑤ S,{x|x>0} 1 113_x-1

0

6

두 함수 f(x)=x‹ +x¤ -1, g(x)=2x-1에 대하여 부등식 (f Á`g)(x)<(g Á`f )(x)의 해가 x<a일 때, 상수 a의 값은? ① -;3!; ② -;2!; ③ -;3@; ④ -;6%; ⑤ -1

0

7

일차식 f(x)와 이차식g(x)에 대하여 부등식 …0의 해가 x…-1 또는 4<x…5일 때, 부등식 …0을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은? (단, f(x), g(x)는 모두 최고차항의 계수가 1이다.) ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 f(x¤ -5) 121124 g(x) g(x) 121_f(x)

0

8

삼차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 `g(x)= -이라 한다. 방정식g(x)=-;2!;의 실근의 개수를 a, 모든 근의 곱을 b라 할 때, a+b의 값을 구하시오. 1 12114_f(x+2) 1 121_f(x) O 1 3 3 _1 y=f(x) y x

0

5

연립부등식 1… …4의 해가 a…x…b일 때, 두 실수 a, b에 대하여 14ab의 값은?

① 16 ② 20 ③ 24 ④ 28 ⑤ 32

x+1 1123_2x-1

0

1

x에 대한 무리방정식15x-3 +1=ax가 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 실수 a의 값의 범위가 a…a<b 일 때, b-a의 최댓값은? ① ;6!; ② ;5!; ③ ;4!; ④ ;3!; ⑤ ;2!;

0

2

갑, 을 두 사람이 48 km 떨어진 결승점을 향해 같은 지점에서 동시에 출발하였다. 갑의 속력이 을의 속력보다 시속 6 km 더 빠르며 을보다 1시간 20분 먼저 결승점에 도착했다고 한다. 갑의 속력을 시속 a`km, 을의 속력 을 시속 b`km라 할 때, 2a+b의 값은? ① 42 ② 44 ③ 46 ④ 48 ⑤ 50

0

4

두 삼차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같다. 분수방정식 =0의 실근을 a라 할 때, -10a의 값을 구하시오. f(x+1) 12112_g(x+2)

0

3

y y=»(x) y=f(x) x O 1 2 4 5 _1

대단원

마무리

L

evel

- 2

대단원 마무리

₂₃

두 삼차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식 - =1- 의 서로 다른 실근의 개수는? ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6 2 11121_f(x)g(x) 1 121_f(x) 2 121_g(x)

0

7

갑은 그림과 같이 어느 관광지의 A 지점에서 출발하여 B 지점을 거쳐 C 지점 까지 시속 x km의 일정한 속력으로 자전거를 타고 간 후 자전거의 속도를 시속 4 km만큼 줄인 후 D 지점에 도착하였다. 이때, 걸린 시간을 측정해 보니 A 지 점에서 D 지점까지 직선 거리를 A 지점에서 C 지점으로 갈 때의 자전거의 속 력의 3배의 속력으로 일정하게 자동차로 이동하였을 때보다 2시간 30분이 더 걸렸다. 자동차의 속력을 구하시오. (단, 속력의 단위는 km/시이다.)

0

8

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 두 조건을 만족시킨다. 무리방정식!%f(x)%-x+3 =f(x)-x+1을 만족시키는 실근의 개수는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

0

6

(가) 0…x…2일 때, f(x)=4|x-1|+1 (나) f(x)=f(x+2) 두 삼차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 æ0을 만족시키는 정수 x의 값은? ① -1 ② 0 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4 f(x) 12115 g(x-1) y y=»(x) y=f(x) x O 1 4 _2 _1 O 1 _1 _2 2 y _y=»(x) y=f(x) x A B C D 8`km 6`km 20`km 24`km

0

5

삼각함수`⑴

03

1 삼각함수의 정의

오른쪽 그림과 같이 x축의 양의 방향을 시초선으로 하여 h만큼 회전한 동경 OP가 중 심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원과 만나는 점을 P(x, y)라 하면

sin h=;r};, cos h=;r{;, tan h=;[}; (x+0)

이것의 역수로 정의되는 함수를 차례대로 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고 기호로 다음과 같이 나타낸다.

cosec h=;]R; (y+0), sec h=;[R; (x+0), cot h=;]{; (y+0)

3 삼각함수의 덧셈정리

⑴ sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin(a-b)=sin a cos b-cos a sin b ⑵ cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b

⑶ tan(a+b)=

tan(a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b

tan a+tan b 1-tan a tan b

4 삼각함수의 합성

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin(h+a) {단, cos a= , sin a= } 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 P(a, b)를 잡으면 동경 OP가 x축의 양의 방 향과 이루는 각 a에 대하여

cos a= , sin a=

이다. 따라서

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ _{cos h}}

a sin h+b cos h_{="√a¤ +b¤ (cos a`sin h+sin a`cos h)} a sin h+b cos h_{="√a¤ +b¤ sin(h+a)}

이와 같이 a sin h+b cos h(a+0, b+0)를 r sin(h+a)(r>0, 0…a<2p)의 꼴로 변형하는 것을 삼각함수의 합 성이라 한다. b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ 2 삼각함수 사이의 관계 ⑴ sin¤ h+cos¤ h=1 ⑵ 1+tan¤ h=sec¤ h ⑶ 1+cot¤ h=cosec¤ h y x x y O P(x,`y) r h _r _r r r y x O P(a,`b) a¤¿¿+b¤¿¿ ? √ a a b 참고

03 삼각함수`⑴

₂₅

유형

삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계

1

출제유형 삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계를 이용

해서 cosec h, sec h, cot h의 값을 구하는 문제가 출제 된다.

출제유형잡기 sec h, cosec h, cot h의 뜻을 알고 삼각함 수 사이의 관계식을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있 도록 한다. 필수유형 =2`일 때, cot¤ h의 값은? ①;4!; ② ;3!; ③ ;2!; ④ ;3@; ⑤ ;4#; 1+cos¤ h 1-cos¤ h 원점 O와 점 P(1, -'3)을 지나는 동경 OP가 나타내 는 각의 크기를 h라 할 때, cosec¤ h+2 sec h+tan¤ h 의 값은? ① ;;¡3º;; ② 5 ③ ;;™3º;; ④ ;;™3∞;; ⑤ 10

0

2

{1-cosec¤ ;3“;}{1+sec¤ ;4“;}의 값은? ① -2 ② -1 ③ 1 ④ 2 ⑤ 3

0

1

그림과 같이 원 x¤ +y¤ =1 위의 제1사분면 위의 점 P¡에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q¡이라 하고, 삼각 형 P¡OQ¡의 넓이를 S¡이라 하자. 점 Q¡에서 원 x¤ +y¤ =1에 접선을 그을 때 점 P¡이 아닌 접점을 P™, 직 선 Q¡P™가 y축과 만나는 점을 Q™라 하고, 삼각형 P™OQ™ 의 넓이를 S™라 하자. 점 Q™에서 원 x¤ +y¤ =1에 접선을 그을 때 점 P™가 아닌 접점을 P£, 직선 Q™P£이 x축과 만 나는 점을 Q£이라 하고, 삼각형 P£OQ£의 넓이를 S£이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 삼각형 P«OQ«의 넓이 S«에 대하여 S«=50이다. cosec¤ h+sec¤ h=;pQ;일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, ∠P¡OQ¡=h이고, p, q는 서로소인 자연수이다.) 60 ¡ n=1

0

3

|출제의도| 삼각함수 사이의 관계를 이용해서 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| =2에서 1+cos¤ h=2-2 cos¤ h ∴ cos¤ h=;3!; 1+tan¤ h=sec¤ h이므로 tan¤ h=3-1=2 {∵ sec¤ h= =3} ∴ cot¤ h= ∴ cot¤ h=;2!; ③ [다른 풀이] cos¤ h=;3!;이므로 sin¤ h=;3@; ∴ cosec¤ h=;2#; ∴ cot¤ h=cosec¤ h-1 ∴ cot¤ h=;2#;-1=;2!; 1 tan¤ h 1 cos¤ h 1+cos¤ h 1-cos¤ h y x O Q£ Q™ P£ Q¡ P™ P¡ _1 1 1 … _1 h 고난도

유형 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 삼각함수의 값 구하기

2

출제유형 30˘, 45˘, 60˘와 같은 특수각을 이용하여 삼각함 수의 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수 의 값을 구할 수 있어야 한다. 15˘, 75˘와 같이 특수각이 아닌 경우에도 15˘=45˘-30˘, 75˘=45˘+30˘ 임을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있도록 한다. 필수유형 12 sin 105˘_cos 75˘의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 |출제의도| 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 특수각이 아닌 삼 각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| sin 105˘=sin(60˘+45˘)

=sin 60˘`cos 45˘+cos 60˘`sin 45˘

= ¥ _+;2!;¥

=

cos 75˘=cos(45˘+30˘)

cos 75˘=cos 45˘ cos 30˘-sin 45˘ sin 30˘

cos 75˘= ¥ - ¥_;2!; cos 75˘= ∴ 12 sin 105˘_ cos 75˘=12¥ ¥ ∴ 12 sin 105˘_ cos 75˘=3 ③ '6-'2 4 '6+'2 4 '6-'2 4 '2 2 '3 2 '2 2 '6+'2 4 '2 2 '2 2 '3 2 10(sin 15˘+cos 15˘)¤ 의 값은? ① 9 ② 11 ③ 13 ④ 15 ⑤ 17

0

4

tan ;1∞2;p-cot ;1∞2;p의 값은? ① '2 ② '3 ③ 2 ④ 2'2 ⑤ 2'3

0

5

30(sin 105˘-cos 105˘)(sin 165˘+cos 165˘)의 값은?

① -5'3 ② -8'3 ③ -10'3

④ -12'3 ⑤ -15'3

03 삼각함수`⑴

₂₇

유형 사인과 코사인의 덧셈정리

3

출제유형 특수각이 아닌 일반각에 대한 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 사인과 코사인의 덧셈정리를 이용하여 삼각 함수의 값을 구할 수 있도록 한다. 필수유형

sin a=;7%;, sin b= 일 때, sin(a+b)= 을

만족시키는 정수 m, n에 대하여 m+n의 값은? {단, 0<a<;2“;, ;2“;<b<p} ① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9 m+n'3 21 '6 3 |출제의도| 사인의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이|

0<a<;2“;이므로 cos a>0

;2“;<b<p이므로 cos b<0

cos a="1√-sin¤ a=æ≠1-{;7%;}¤ =

cos b=-"1√-sin¤ b=-æ≠1-{ }¤ =-∴ sin(a+b)=sin a`cos b+cos a sin b

∴ sin(a+b)=;7%;¥{- }+ ¥ ∴ sin(a+b)= 따라서 m=12, n=-5이므로 m+n=7 ④ 12-5'3 21 '6 3 2'6 7 '3 3 '3 3 '6 3 2'6 7 cos h=;5#;일 때, sin{h-;6“;}의 값은? {단, 0<h<;2“;} ① ② ③ ④ ⑤ 4'3-3 10 3'3-2 10 3-'3 10 3'3-4 10 2'3-3 10

0

7

△ABC에서 sin(A-B)+cos(A+B) =sin(A+B)+cos(A-B) 가 성립할 때, tan(B+C)의 값은? ① 1 ② ;2#; ③ 2 ④ ;2%; ⑤ 3

0

8

제2사분면에서 원 x¤ +y¤ =1 위의 임의의 점을 P(a, b)라 하고, 제1사분면에서 원 x¤ +y¤ =4 위의 임 의의 점을 Q(c, d)라 하자. ∠POQ=h라 할 때, 옳은 것 만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 0<h<p, 점 O는 원점이다.)

10

그림과 같이 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 5 인 반원 위의 네 점 A, B, C, D에 대하여 AB”=6, AC”=8 일 때, BC”=;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. (단, 점 A와 점 D는 지름의 양 끝점이고, p, q는 서로소인 자연수이 다.)

0

9

A D O C B 8 6 5 유형 탄젠트의 덧셈정리

4

출제유형 도형이나 실생활과 관련하여 일반각에 대한 삼 각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있도록 한다. 필수유형 삼차방정식 x‹ -7x¤ +12x-6=0의 세 근이 tan a, tan b,

tan c일 때, tan(a+b+c)의 값은? {단, 0<a<b<c<;2“;}

① -;1∞1; ② -;1¢1; ③ -;1£1; ④ -;1™1; ⑤ -;1¡1; |출제의도| 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구 할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 0<a<b<c<;2“;이므로 tan a<tan b<tan c

x‹ -7x¤ +12x-6=(x-1)(x¤ -6x+6)=0에서 x=1 또는 x=3-'3 또는 x=3+'3 ∴ tan a=1 이차방정식 x¤ -6x+6=0의 두 근이 tan b, tan c이므로 근과 계수 의 관계에 의하여 tan b+tan c=6 tan b tan c=6 tan(b+c)= tan(b+c)=-;5^; ∴ tan(a+b+c)=tan {a+(b+c)} ∴ tan(a+b+c)= ∴ tan(a+b+c)= ∴ tan(a+b+c)=-;1¡1; ⑤ 1-;5^; 1-{-;5^;} tan a+tan(b+c) 1-tan a tan(b+c) tan b+tan c 1-tan b tan c 신유형 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ. 삼각형 POQ의 넓이의 최댓값은 1이다. ㄴ. (ad-bc)¤ +(ac+bd)¤ =2 ㄷ. PQ”='2일 때, '2 cos {h+;4“;}=3-'7₄ 이다. 보기

03 삼각함수`⑴

₂₉

A D h B C P Q 그림과 같은 정사각형 ABCD에서 선분 AD를 3：1 로 내분하는 점을 P, 선분 CD의 중점을 Q라 하자. ∠PBQ=h일 때, `tan h의 값은?

12

① ;2!; ② 1 ③ ;2#; ④ 2 ⑤ ;2%; P 4`m A B C x`m a b 2`m 10`m 그림과 같이 지면에서 높이가 2 m인 가로등을 지면에 서 높이가 10 m인 건물로부터 각각 4 m, x m 떨어진 지 점에 설치하였다. 가로등의 등 맨 위 지점을 각각 점 A, B라 하고, 두 점 A, B를 연결한 직선과 건물이 만나는 점 을 C라 하자. ∠PAC=a, ∠PBC=b라 할 때, tan(a+b)=-;7^;이다. 이때, `x의 값은? (단, 0<x<4이고, 가로등과 건물의 폭은 무시한다.)

14

① 1 ② ;3$; ③ ;3%; ④ 2 ⑤ ;3&; A B C M a c b 3 그림과 같이 ∠A가 직각인 삼각형 ABC가 있다. 변 BC의 중점 M에 대하여 A’M”=3, AB”:AC”=2:'5이 고 ∠ABC=a, ∠AMB=b, ∠CAM=c라 할 때, `tan(a-b+c)의 값은?

13

이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 tan 40˘, tan 110˘일 때, 두 상수 a, b에 대하여 의 값은? ① -'3 ② - ③ ④ 1 ⑤ '3 '3 3 '3 3 a 1-b

11

① ② ③ ④ ⑤ '5 5 '5 10 '5 15 '5 20 '5 25

유형 두 직선이 이루는 각의 크기

5

출제유형 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 두 직선이 이 루는 예각의 크기를 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 직선 y=mx+n이 x축의 양의 방향과 이루 는 각의 크기가 h이면 tan h=m임을 알고 탄젠트의 덧 셈정리를 이용하여 두 직선이 이루는 예각의 크기를 구할 수 있도록 한다. 필수유형 두 직선 2x-y+6=0, 3x-4y-8=0이 이루는 예각의 크기 를 h라 할 때, cot h의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 |출제의도| 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 그림과 같이 두 직선 2x-y+6=0, 3x-4y-8=0이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 2x-y+6=0에서 y=2x+6 3x-4y-8=0에서 y=;4#;x-2 이므로

tan a=2, tan b=;4#;

∴ tan h=tan(a-b) ∴ tan h= ∴ tan h= ∴ tan h=;2!; ∴ cot h= =2 ② 1 tan h 2-;4#; 1+2¥;4#; tan a-tan b 1+tan a tan b y 3x_4y_8=0 2x_y+6=0 x O _2 _3 6 ;3*; a a_b b 두 직선 y=-;3!;x+1, `y=ax+5가 이루는 예각의 크기가 45˘일 때, 양수 a의 값은? ① ;4!; ② ;3!; ③ ;2!; ④ ;3@; ⑤ ;4#;

15

8`km a b 8`km h 4`km 2번 국도 4`km 1번 국도 P Q O 그림은 중심이 O이고, 반지름의 길이가 r인 원형 공원 주변의 도로 모습으로 공원을 이용하는 사람들의 수가 점 점 늘어남에 따라 원형 공원 둘레 위의 두 지점 P, Q에서 각각 공원에 접하는 도로를 추가적으로 건설하려고 한다. 1번 국도와 2번 국도는 직각으로 교차되어 있고, 1번 국 도와 추가로 건설되는 도로가 이루는 각은 각각 a, b이 다. ∠POQ=h라 할 때, sec› h-tan› h의 값은?

(단, 도로의 폭은 무시한다.)

17

① ;;¡8¶;; ② ;1#6%; ③ ;4(; ④ ;1#6&; ⑤ ;;¡8ª;; 원 x¤ +y¤ =7 위의 점 A('3, -2)에서의 접선과 x축 이 이루는 예각의 크기를 h라 하자. 점 A를 지나고 x축 과 이루는 각의 크기가 h+60˘인 직선의 방정식이 y=mx+n일 때, 상수 m, n에 대하여 m¤ +n¤ 의 값은? ① 61 ② 66 ③ 71 ④ 76 ⑤ 81

16

신유형

03 삼각함수`⑴

₃₁

유형 삼각함수의 합성

6

출제유형 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각함수의 최댓값 과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 사인과 코사인의 각이 같아야 하므로 삼각함 수의 덧셈정리를 이용하여 각을 a sin h+b cos h의 꼴 로 변형하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있도 록 한다. 필수유형

함수 y=5 cos x+2 sin{x-;6“;}의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-m의 값은? ① 2'∂11 ② 2'∂13 ③ 2'∂15 ④ 2'∂17 ⑤ 2'∂19 |출제의도| 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이|

y=5 cos x+2 sin{x-;6“;}

y_{=5 cos x+2{sin x cos ;6“;-cos x sin ;6“;}} y_{=5 cos x+2{ sin x-;2!; cos x}} y_{='3 sin x+4 cos x}

y_{='∂19 {sin x¥} +cos x¥ }

y_{='∂19 sin(x+a) {단, sin a=} , cos a= } -'∂19…'∂19 sin(x+a)…'∂19이므로 M='∂19, m=-'∂19 ∴ M-m='∂19-(-'∂19 )=2'∂19 ⑤ '3 '∂19 4 '∂19 4 '∂19 '3 '∂19 '3 2 그림과 같이 반지름의 길이가 2, 중심각의 크기가 ;2“;인 부채 꼴 위의 점 P에 대하여 ∠AOP=h라 하고, 호 AB, 선분 AP, 선분 BP로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(h)라 할 때, f(h)의 최솟값은? ① p- ② p- ③ p-'2 ④ p-3'2₂ ⑤ p-2'2 '2 2 '2 4

20

그림과 같이 두 점 (-1, 0), (1, 0)을 중 심으로 하고 반지름의 길이가 각각 1인 두 원 O¡, O™가 원점에서 접하 고 있다. 원 O¡ 위의 점 P는 점 A(-1, 1)에서 출발하여 원 O¡ 위를 시계 반대 방향으로 매초 1의 일정한 속력으로 움직이고 있고, 원 O™ 위의 점 Q는 점 B(2, 0)에서 출발하여 원 O™ 위를 시 계 반대 방향으로 매초 1의 일정한 속력으로 움직이고 있 다. 두 점 P, Q가 두 점 A, B를 각각 출발하여 각각 두 원 O¡, O™ 위를 움직일 때, 두 점 P, Q 사이의 거리의 최 댓값은? ① 1+'5 ② 2+'2 ③ 1+'6 ④ 2+'3 ⑤ 1+2'2

21

cos h+'3 sin h=r sin(h+a)가 성립할 때, ra의 값은? (단, r>0, 0…a<2p) ① ;3“; ② ;3@;p ③ p ④ ;3$;p ⑤ ;3%;p

18

A P B O 2 h x, `y에 대한 연립방정식 ¶ •¶ •=¶ • 을 만족시키는 실수 x, `y에 대하여 x-y의 최댓값은? (단, 0…h<2p) ① 2'2 ② 3 ③ '∂10 ④ '∂11 ⑤ 2'3 2 1 x y cos h sin h -sin h -cos h

19

y x O O¡ O™ 1 _1 _2 2 A B P 1 _Q 고난도

삼각함수`⑵

04

1 삼각함수의 여러 가지 공식 ⑴ 배각의 공식

삼각함수의 덧셈정리 sin(a+b), cos(a+b), tan(a+b)에서 b 대신 a를 대입하면 다음과 같은 배각의 공식을 얻을 수 있다.

① sin 2a=2 sin a cos a

② cos 2a=cos¤ a-sin¤ a=2 cos¤ a-1=1-2 sin¤ a

③ tan 2a=

⑵ 반각의 공식

배각의 공식 cos 2a=2 cos¤ a-1=1-2 sin¤ a에서 a 대신 ;2ƒ;를 대입하면 다음과 같은 반각의 공식을 얻을 수 있다.

① sin¤ ;2ƒ;= ② cos¤ ;2ƒ;= ③ tan¤ ;2ƒ;=

⑶ 곱을 합 또는 차로 고치는 공식

① sin a cos b=;2!; {sin(a+b)+sin(a-b)} ② cos a sin b=;2!; {sin(a+b)-sin(a-b)} ③ cos a cos b=;2!; {cos(a+b)+cos(a-b)} ④ sin a sin b=-;2!; {cos(a+b)-cos(a-b)} ⑷ 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

① sin A+sin B=2 sin cos

② sin A-sin B=2 cos sin

③ cos A+cos B=2 cos cos

④ cos A-cos B=-2 sin sin A-B

2 A+B 2 A-B 2 A+B 2 A-B 2 A+B 2 A-B 2 A+B 2 1-cos a 1+cos a 1+cos a 2 1-cos a 2 2 tan a 1-tan¤ a 2 삼각방정식 ⑴ 삼각방정식의 일반해 임의의 정수 n에 대하여

① sin x=a(|a|…1)의 한 해가 a이면 x=np+(-1)« a ② cos x=a(|a|…1)의 한 해가 a이면 x=2np—a ③ tan x=a의 한 해가 a이면 x=np+a

⑵ 삼각방정식의 풀이

① 방정식 f(x)=a(a는 상수)의 실근은 두 함수 y=f(x), y=a의 그래프의 교점의 x좌표와 같다. ② 방정식 f(x)=a(a는 상수)의 실근의 개수는 두 함수 y=f(x), y=a의 그래프의 교점의 개수와 같다.

04 삼각함수`⑵

₃₃

유형 배각의 공식

1

출제유형 삼각함수의 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 각 h에 관한 삼각함수에서 각이 2h인 삼각함 수의 값을 구할 때, 배각의 공식을 이용하여 문제를 해결 할 수 있도록 한다. 필수유형

sin h-cos h= _{일 때, sin 4h의 값은? {단, ;4“;<h<;2“;}}

① -;2@5$; ② -;2@5@; ③ -;2@5!; ④ -;2!5(; ⑤ -;2!5*; '∂10 5 그림과 같이 ∠B가 직각인 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등 분선이 변 BC와 만나 는 점을 D라 하자. AB”=3, BD”=2일 때, CD”의 길이는? ① ;;™5£;; ② ;;™5¢;; ③ 5 ④ ;;™5§;; ⑤ ;;™5¶;;

0

2

2 이상의 자연수 n에 대하여 그 림과 같이 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 n인 원 O 위를 움직이는 동점 P가 있다. 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1 인 원에 점 O에서 이 원에 그은 접선이 만나는 두 점을 각각 A, B라 하고, ∠AOB=h«이 라 하자. log =k log 2일 때, 실수 k의 값 은? ① -;4!; ② -;3!; ③ -;2!; ④ -;3@; ⑤ -;4#; n sin h« 2 ¶ ¡ n=2

0

4

|출제의도| 삼각함수의 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값 을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| sin h-cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h=;5@; 1-2 sin h cos h=;5@;, 2 sin h cos h=;5#; ∴ sin 2h=;5#;

;2“;<2h<p이므로 cos 2h<0

cos 2h=-"√1-s√in¤ 2h=-æ≠1-;2ª5;=-;5$; ∴ sin 4h=sin 2¥2h

∴ sin 4h=2 sin 2h cos 2h

∴ cos 4h=2_;5#;_{-;5$;} ∴ cos 4h=-;2@5$; ① '∂10 5 B D C A 3 2 O A h« P n 1 B tan ;2Ω;=;3!;일 때, tan 2h의 값은? ① -;;™7¢;; ② -3 ③ ;7(; ④ 3 ⑤ ;;™7¢;;

0

1

sin› ;1…2;+sin› ;1∞2;p+sin› ;1¶2;p+sin› ;1!2!;p의 값은?

① 1 ② ;4%; ③ ;2#;

④ ;4&; ⑤ 2

0

3

유형 반각의 공식

2

출제유형 삼각함수의 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 각 h에 관한 삼각함수에서 각이 ;2Ω;인 삼각함 수의 값을 구할 때, 반각의 공식을 이용하여 문제를 해결할 수 있도록 한다. 필수유형

tan ;2Ω;+cot ;2Ω;=;;¡6£;;일 때, cos h의 값은? {단, 0<h<;2“;}

① ;1∞3; ② ;1§3; ③ ;1¶3; ④ ;1•3; ⑤ ;1ª3; |출제의도| 삼각함수의 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값 을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| cot ;2Ω;= 이므로 tan ;2Ω;+ =;;¡6£;; 양변에 6 tan ;2Ω;를 곱하여 정리하면 6 tan¤ ;2Ω;-13 tan ;2Ω;+6=0 {2 tan ;2Ω;-3}{3 tan ;2Ω;-2}=0 ∴ tan ;2Ω;=;2#; 또는 tan ;2Ω;=;3@; 0<h<;2“;이므로 0<;2Ω;<;4“; 0<tan ;2Ω;<1이므로 tan ;2Ω;=;3@; tan¤ ;2Ω;= =;9$; 9-9 cos h=4+4 cos h ∴ cos h=;1∞3; ① 1-cos h 1+cos h 1 tan ;2Ω; 1 tan ;2Ω; 그림과 같이 점 A에서 원 x¤ +y¤ =9에 접선을 그을 때 생기는 두 접점을 각각 B, C라 하고, ∠BAC=h라 하자. sin¤ ;4Ω;=;1¡0;일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? (단, 0<h<p)

0

8

3'ƒ1+ƒcos h-3'ƒ1-ƒcos h=2'2일 때, sin¤ ;2Ω; cos¤ ;2Ω;=;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p, q는 서로소인 자연수이다.)

0

7

sin¤ 22.5˘+cos¤ 67.5˘의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 3+'2 2 2+'2 2 3-'2 2 2-'2 2 1-'2 2

0

5

h가 제`3사분면의 각이고, sin h=- 일 때, tan ;2Ω;의 값은? ① -3'6 ② -2'6 ③ -'6 ④ '6 ⑤ 2'6 2'6 7

0

6

y x O A B C _3 _3 3 3 h ① ;;¡2ª5¡;; ② ;;¡2ª5™;; ③ ;;¡2ª5¢;; ④ ;;¡2ª5§;; ⑤ ;;¡2ª5•;;

04 삼각함수`⑵

₃₅

sin 75˘ sin 15˘+sin 75˘ cos 15˘의 값을 계산하면

a+b'3일 때, ab의 값은? (단, `a, b는 유리수이다.)

① ;8!; ② ;1£6; ③ ;4!; ④ ;1∞6; ⑤ ;8#;

0

9

유형 곱을 합 또는 차로, 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

3

출제유형 삼각함수의 곱을 합 또는 차로, 합 또는 차를 곱 으로 고치는 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문 제가 출제된다. 출제유형잡기 특수각이 아닌 삼각함수의 합, 차 또는 곱을 구할 때, 삼각함수의 곱을 합 또는 차로, 합 또는 차를 곱으 로 고치는 공식을 이용하여 문제를 해결할 수 있도록 한다. 필수유형 의 값은? 3점 ① '3 ② '2 ③ ④ ⑤ 2009. 6. 평가원 '3 3 '2 2 '3 2 sin 50˘+sin 10˘ cos 50˘+cos 10˘ |출제의도| 삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식을 이 용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이|

sin 50˘+sin 10˘=2 sin cos

sin 50˘+sin 10˘=2 sin 30˘ cos 20˘

sin 50˘+sin 10˘=2¥;2!; cos 20˘=cos 20˘ cos 50˘+cos 10˘=2 cos cos

cos 50˘+cos 10˘=2 cos 30˘ cos 20˘

cos 50˘+cos 10˘=2¥ cos 20˘='3 cos 20˘

∴ = = = ⑤ '3 3 1 '3 cos 20˘ '3 cos 20˘ sin 50˘+sin 10˘ cos 50˘+cos 10˘ '3 2 50˘-10˘ 2 50˘+10˘ 2 50˘-10˘ 2 50˘+10˘ 2 고난도 의 값은? ① '2 ② '3 ③ 2 ④ 2'2 ⑤ 2'3

sin 20˘-sin 60˘+sin 100˘ cos 20˘-cos 60˘+cos 100˘

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의 값은? ① ② ③ ;2!; ④ ⑤ '3 2 '2 2 '3 4 '2 4 cos¤ 20˘-cos¤ 40˘ sin 20˘

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a_{=;9…6;일 때,} 의 값은? ① ② ③ ④ 2+'3₄ ⑤ 3+'3₄ 1+'3 4 3-'3 4 2-'3 4

cos 2a cos 4a`cos 8a sin 2a+sin 6a+sin 10a+sin 14a

0…x…p일 때, 함수

y=sin {x-;3“;} sin {x-;3@;p}-2 sin¤ x+1 의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-2m의 값 은? ① ;;¡4£;; ② ;;¡4∞;; ③ ;;¡4¶;; ④ ;;¡4ª;; ⑤ ;;™4¡;;

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유형 삼각함수의 최대와 최소

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출제유형 여러 가지 공식을 이용하여 삼각함수의 최댓값 과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 여러 가지 공식이나 삼각함수의 합성을 이용 하여 하나의 삼각함수로 나타내어 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있도록 한다. 필수유형

함수 y=2 sin¤ ;2{;+;2!; cos 2x의 최댓값을 M, 최솟값을 m 이라 할 때, M+m의 값은? ① 2 ② ;4(; ③ ;2%; ④ ;;¡4¡;; ⑤ 3 |출제의도| 배각의 공식과 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이|

y=2 sin¤ ;2{;+;2!; cos 2x

y=2¥ +;2!;(2cos¤ x-1) y_{=cos¤ x-cos x+;2!;} 에서 cos x=t로 놓으면 -1…cos x…1이므로 -1…t…1 y=t¤ -t+;2!; y_={t-;2!;}¤ +_{;4!; (-1…t…1)} 따라서 t=-1일 때, 최댓값 M=;2%;, t=;2!;일 때, 최솟값 m=;4!;을 가 진다. ∴ M+m=;2%;+;4!;=;;¡4¡;; ④ y t O _1 1 ;2!; ;2%; ;4!; ;2!; y=t¤¿¿_t+;2!; 1-cos x 2 함수 y=cos 2x+4 sin x-1의 최솟값은? ① -6 ② -5 ③ -4 ④ -3 ⑤ -2

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0…x…2p에서 함수 y=sin x+sin{x+;3“;}+cos{x+;6“;} 가 x=p에서 최댓값 M을 가질 때, pM의 값은? (단, p는 상수이다.) ① ;3“; ② ;3@;p ③ p ④ ;3$;p ⑤ ;3%;p

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