03
1 삼각함수의 정의
오른쪽 그림과 같이 x축의 양의 방향을 시초선으로 하여 h만큼 회전한 동경 OP가 중 심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원과 만나는 점을 P(x, y)라 하면
sin h=;r};, cos h=;r{;, tan h=;[}; (x+0)
이것의 역수로 정의되는 함수를 차례대로 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고 기호로 다음과 같이 나타낸다.
cosec h=;]R; (y+0), sec h=;[R; (x+0), cot h=;]{; (y+0)
3 삼각함수의 덧셈정리
⑴ sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin(a-b)=sin a cos b-cos a sin b
⑵ cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b
⑶ tan(a+b)=
tan(a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b
tan a+tan b 1-tan a tan b
4 삼각함수의 합성
a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin(h+a) {단, cos a= , sin a= } 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 P(a, b)를 잡으면 동경 OP가 x축의 양의 방 향과 이루는 각 a에 대하여
cos a= , sin a=
이다. 따라서
a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ cos h}
a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ (cos a`sin h+sin a`cos h) a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin(h+a)
이와 같이 a sin h+b cos h(a+0, b+0)를 r sin(h+a)(r>0, 0…a<2p)의 꼴로 변형하는 것을 삼각함수의 합 성이라 한다.
b
"√a¤ +b¤
a
"√a¤ +b¤
b
"√a¤ +b¤
a
"√a¤ +b¤
b
"√a¤ +b¤
a
"√a¤ +b¤
2 삼각함수 사이의 관계
⑴ sin¤ h+cos¤ h=1
⑵ 1+tan¤ h=sec¤ h
⑶ 1+cot¤ h=cosec¤ h
y
x x y
O P(x,`y)
r h
_r _r
r r
y
O x
P(a,`b) a¤¿¿+b¤¿¿
? √
a a b 참고
03 삼각함수`⑴
25
유형
1
삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계출제유형 삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계를 이용 해서 cosec h, sec h, cot h의 값을 구하는 문제가 출제 된다.
출제유형잡기 sec h, cosec h, cot h의 뜻을 알고 삼각함 수 사이의 관계식을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있 도록 한다.
필수유형
=2`일 때, cot¤ h의 값은?
①;4!; ② ;3!; ③ ;2!;
④ ;3@; ⑤ ;4#;
1+cos¤ h 1-cos¤ h
원점 O와 점 P(1, -'3)을 지나는 동경 OP가 나타내 는 각의 크기를 h라 할 때, cosec¤ h+2 sec h+tan¤ h 의 값은?
① ;;¡3º;; ② 5 ③ ;;™3º;;
④ ;;™3∞;; ⑤ 10
0 2
{1-cosec¤ ;3“;}{1+sec¤ ;4“;}의 값은?
① -2 ② -1 ③ 1
④ 2 ⑤ 3
0 1
그림과 같이 원 x¤ +y¤ =1 위의 제1사분면 위의 점 P¡에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q¡이라 하고, 삼각 형 P¡OQ¡의 넓이를 S¡이라 하자. 점 Q¡에서 원 x¤ +y¤ =1에 접선을 그을 때 점 P¡이 아닌 접점을 P™, 직 선 Q¡P™가 y축과 만나는 점을 Q™라 하고, 삼각형 P™OQ™
의 넓이를 S™라 하자. 점 Q™에서 원 x¤ +y¤ =1에 접선을 그을 때 점 P™가 아닌 접점을 P£, 직선 Q™P£이 x축과 만 나는 점을 Q£이라 하고, 삼각형 P£OQ£의 넓이를 S£이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 삼각형 P«OQ«의 넓이 S«에 대하여 S«=50이다.
cosec¤ h+sec¤ h=;pQ;일 때, p+q의 값을 구하시오.
(단, ∠P¡OQ¡=h이고, p, q는 서로소인 자연수이다.)
¡60 n=1
0 3
|출제의도| 삼각함수 사이의 관계를 이용해서 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
=2에서 1+cos¤ h=2-2 cos¤ h
∴ cos¤ h=;3!;
1+tan¤ h=sec¤ h이므로
tan¤ h=3-1=2 {∵ sec¤ h= =3}
∴ cot¤ h=
∴ cot¤ h=;2!;
③ [다른 풀이]
cos¤ h=;3!;이므로 sin¤ h=;3@;
∴ cosec¤ h=;2#;
∴ cot¤ h=cosec¤ h-1
∴ cot¤ h=;2#;-1=;2!;
1 tan¤ h
1 cos¤ h 1+cos¤ h
1-cos¤ h
y
O x Q£
Q™
P£
Q¡
P™
P¡
_1 1 1
…
_1 h 고난도
유형
2
삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 삼각함수의 값 구하기출제유형 30˘, 45˘, 60˘와 같은 특수각을 이용하여 삼각함 수의 값을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수 의 값을 구할 수 있어야 한다.
15˘, 75˘와 같이 특수각이 아닌 경우에도 15˘=45˘-30˘, 75˘=45˘+30˘
임을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있도록 한다.
필수유형
12 sin 105˘_cos 75˘의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
|출제의도| 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 특수각이 아닌 삼 각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
sin 105˘=sin(60˘+45˘)
=sin 60˘`cos 45˘+cos 60˘`sin 45˘
= ¥ +;2!;¥
=
cos 75˘=cos(45˘+30˘)
cos 75˘=cos 45˘ cos 30˘-sin 45˘ sin 30˘
cos 75˘= ¥ - ¥;2!;
cos 75˘=
∴ 12 sin 105˘_ cos 75˘=12¥ ¥
∴ 12 sin 105˘_ cos 75˘=3
③ '6-'2
4 '6+'2
4 '6-'2
4
'2 2 '3
2 '2
2 '6+'2
4
'2 2 '2
2 '3
2
10(sin 15˘+cos 15˘)¤ 의 값은?
① 9 ② 11 ③ 13
④ 15 ⑤ 17
0 4
tan ;1∞2;p-cot ;1∞2;p의 값은?
① '2 ② '3 ③ 2
④ 2'2 ⑤ 2'3
0 5
30(sin 105˘-cos 105˘)(sin 165˘+cos 165˘)의 값은?
① -5'3 ② -8'3 ③ -10'3
④ -12'3 ⑤ -15'3
0 6
03 삼각함수`⑴
27
유형
3
사인과 코사인의 덧셈정리출제유형 특수각이 아닌 일반각에 대한 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 사인과 코사인의 덧셈정리를 이용하여 삼각 함수의 값을 구할 수 있도록 한다.
필수유형
sin a=;7%;, sin b= 일 때, sin(a+b)= 을 만족시키는 정수 m, n에 대하여 m+n의 값은?
{단, 0<a<;2“;, ;2“;<b<p}
① 1 ② 3 ③ 5
④ 7 ⑤ 9
m+n'3 21 '6
3
|출제의도| 사인의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
0<a<;2“;이므로 cos a>0
;2“;<b<p이므로 cos b<0 cos a="1√-sin¤ a=æ≠1-{;7%;}¤ =
cos b=-"1√-sin¤ b=-æ≠1-{ }¤
=-∴ sin(a+b)=sin a`cos b+cos a sin b
∴ sin(a+b)=;7%;¥{- }+ ¥
∴ sin(a+b)=
따라서 m=12, n=-5이므로 m+n=7
④ 12-5'3
21
'63 2'67 '33
'33 '63
2'67
cos h=;5#;일 때, sin{h-;6“;}의 값은? {단, 0<h<;2“;}
① ②
③ ④
⑤ 4'3-3 10
3'3-2 10 3-'3
10
3'3-4 10 2'3-3
10
0 7
△ABC에서
sin(A-B)+cos(A+B)
=sin(A+B)+cos(A-B) 가 성립할 때, tan(B+C)의 값은?
① 1 ② ;2#; ③ 2
④ ;2%; ⑤ 3
0 8
제2사분면에서 원 x¤ +y¤ =1 위의 임의의 점을 P(a, b)라 하고, 제1사분면에서 원 x¤ +y¤ =4 위의 임 의의 점을 Q(c, d)라 하자. ∠POQ=h라 할 때, 옳은 것 만을보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 0<h<p, 점 O는 원점이다.)
10
그림과 같이 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 5 인 반원 위의 네 점 A, B, C, D에 대하여 AB”=6, AC”=8 일 때, BC”=;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. (단, 점 A와 점 D는 지름의 양 끝점이고, p, q는 서로소인 자연수이 다.)
0 9
A D
O B C 6 8
5
유형
4
탄젠트의 덧셈정리출제유형 도형이나 실생활과 관련하여 일반각에 대한 삼 각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있도록 한다.
필수유형
삼차방정식 x‹ -7x¤ +12x-6=0의 세 근이 tan a, tan b, tan c일 때, tan(a+b+c)의 값은? {단, 0<a<b<c<;2“;}
① -;1∞1; ② -;1¢1; ③ -;1£1;
④ -;1™1; ⑤ -;1¡1;
|출제의도| 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구 할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
0<a<b<c<;2“;이므로 tan a<tan b<tan c
x‹ -7x¤ +12x-6=(x-1)(x¤ -6x+6)=0에서 x=1 또는 x=3-'3 또는 x=3+'3
∴ tan a=1
이차방정식 x¤ -6x+6=0의 두 근이 tan b, tan c이므로 근과 계수 의 관계에 의하여
tan b+tan c=6 tan b tan c=6 tan(b+c)=
tan(b+c)=-;5^;
∴ tan(a+b+c)=tan {a+(b+c)}
∴ tan(a+b+c)=
∴ tan(a+b+c)=
∴ tan(a+b+c)=-;1¡1;
⑤ 1-;5^;
1-{-;5^;}
tan a+tan(b+c) 1-tan a tan(b+c) tan b+tan c
1-tan b tan c 신유형
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. 삼각형 POQ의 넓이의 최댓값은 1이다.
ㄴ. (ad-bc)¤ +(ac+bd)¤ =2
ㄷ. PQ”='2일 때, '2 cos {h+;4“;}=3-'7이다.
4 보기
03 삼각함수`⑴
29
A D
h
B C
P
Q
그림과 같은 정사각형 ABCD에서 선분 AD를 3：1 로 내분하는 점을 P, 선분 CD의 중점을 Q라 하자.
∠PBQ=h일 때, `tan h의 값은?
12
① ;2!; ② 1 ③ ;2#;
④ 2 ⑤ ;2%;
P
4`m
A B C
x`m
a b
2`m
10`m
그림과 같이 지면에서 높이가 2 m인 가로등을 지면에 서 높이가 10 m인 건물로부터 각각 4 m, x m 떨어진 지 점에 설치하였다. 가로등의 등 맨 위 지점을 각각 점 A, B라 하고, 두 점 A, B를 연결한 직선과 건물이 만나는 점 을 C라 하자. ∠PAC=a, ∠PBC=b라 할 때,
tan(a+b)=-;7^;이다. 이때, `x의 값은?
(단, 0<x<4이고, 가로등과 건물의 폭은 무시한다.)
14
① 1 ② ;3$; ③ ;3%;
④ 2 ⑤ ;3&;
A
B C
M a
c
b 3
그림과 같이 ∠A가 직각인 삼각형 ABC가 있다. 변 BC의 중점 M에 대하여 A’M”=3, AB”:AC”=2:'5이 고 ∠ABC=a, ∠AMB=b, ∠CAM=c라 할 때,
`tan(a-b+c)의 값은?
13
이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 tan 40˘, tan 110˘일 때, 두 상수 a, b에 대하여 의 값은?
① -'3 ② - ③
④ 1 ⑤ '3
'3 3 '3
3
a 1-b
11
① ② ③
④ ⑤ '5
5 '5
10
'5 15 '5
20 '5
25
유형
5
두 직선이 이루는 각의 크기2x-y+6=0에서 y=2x+6 3x-4y-8=0에서 y=;4#;x-2 이므로
tan a=2, tan b=;4#;
∴ tan h=tan(a-b)
∴ tan h=
03 삼각함수`⑴
31
y=5 cos x+2 sin{x-;6“;}
y=5 cos x+2{sin x cos ;6“;-cos x sin ;6“;}
y=5 cos x+2{ sin x-;2!; cos x}
y='3 sin x+4 cos x
y='∂19 {sin x¥ +cos x¥ }
y='∂19 sin(x+a) {단, sin a= , cos a= } -'∂19…'∂19 sin(x+a)…'∂19이므로
M='∂19, m=-'∂19
∴ M-m='∂19-(-'∂19 )=2'∂19
⑤
(단, 0…h<2p)
① 2'2 ② 3 ③ '∂10