삼각함수`⑵

04

1 삼각함수의 여러 가지 공식

⑴ 배각의 공식

삼각함수의 덧셈정리 sin(a+b), cos(a+b), tan(a+b)에서 b 대신 a를 대입하면 다음과 같은 배각의 공식을 얻을 수 있다.

① sin 2a=2 sin a cos a

② cos 2a=cos¤ a-sin¤ a=2 cos¤ a-1=1-2 sin¤ a

③ tan 2a=

⑵ 반각의 공식

배각의 공식 cos 2a=2 cos¤ a-1=1-2 sin¤ a에서 a 대신 ;2ƒ;를 대입하면 다음과 같은 반각의 공식을 얻을 수 있다.

① sin¤ ;2ƒ;= ② cos¤ ;2ƒ;= ③ tan¤ ;2ƒ;=

⑶ 곱을 합 또는 차로 고치는 공식

① sin a cos b=;2!; {sin(a+b)+sin(a-b)}

② cos a sin b=;2!; {sin(a+b)-sin(a-b)}

③ cos a cos b=;2!; {cos(a+b)+cos(a-b)}

④ sin a sin b=-;2!; {cos(a+b)-cos(a-b)}

⑷ 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

① sin A+sin B=2 sin cos

② sin A-sin B=2 cos sin

③ cos A+cos B=2 cos cos

④ cos A-cos B=-2 sin sin A-B 2 A+B

2

A-B 2 A+B

2

A-B 2 A+B

2

A-B 2 A+B

2

1-cos a 1+cos a 1+cos a

2 1-cos a

2 2 tan a 1-tan¤ a

2 삼각방정식

⑴ 삼각방정식의 일반해 임의의 정수 n에 대하여

① sin x=a(|a|…1)의 한 해가 a이면 x=np+(-1)« a

② cos x=a(|a|…1)의 한 해가 a이면 x=2np—a

③ tan x=a의 한 해가 a이면 x=np+a

⑵ 삼각방정식의 풀이

① 방정식 f(x)=a(a는 상수)의 실근은 두 함수 y=f(x), y=a의 그래프의 교점의 x좌표와 같다.

② 방정식 f(x)=a(a는 상수)의 실근의 개수는 두 함수 y=f(x), y=a의 그래프의 교점의 개수와 같다.

04 삼각함수`⑵

33

유형

1

배각의 공식

출제유형 삼각함수의 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기 각 h에 관한 삼각함수에서 각이 2h인 삼각함 수의 값을 구할 때, 배각의 공식을 이용하여 문제를 해결 할 수 있도록 한다.

필수유형

sin h-cos h= 일 때, sin 4h의 값은? {단, ;4“;<h<;2“;}

① -;2@5$; ② -;2@5@; ③ -;2@5!;

④ -;2!5(; ⑤ -;2!5*;

'∂10 5

그림과 같이 ∠B가 직각인 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등 분선이 변 BC와 만나

는 점을 D라 하자. AB”=3, BD”=2일 때, CD”의 길이는?

① ;;™5£;; ② ;;™5¢;; ③ 5

④ ;;™5§;; ⑤ ;;™5¶;;

0 2

2 이상의 자연수 n에 대하여 그 림과 같이 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 n인 원 O 위를 움직이는 동점 P가 있다. 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1 인 원에 점 O에서 이 원에 그은

접선이 만나는 두 점을 각각 A, B라 하고, ∠AOB=h«이 라 하자. log =k log 2일 때, 실수 k의 값 은?

① -;4!; ② -;3!; ③ -;2!;

④ -;3@; ⑤ -;4#;

n sin h«

2

¡¶ n=2

0 4

|출제의도| 삼각함수의 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값 을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

sin h-cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h=;5@;

1-2 sin h cos h=;5@;, 2 sin h cos h=;5#;

∴ sin 2h=;5#;

;2“;<2h<p이므로 cos 2h<0

cos 2h=-"√1-s√in¤ 2h=-æ≠1-;2ª5;=-;5$;

∴ sin 4h=sin 2¥2h

∴ sin 4h=2 sin 2h cos 2h

∴ cos 4h=2_;5#;_{-;5$;}

∴ cos 4h=-;2@5$;

① '∂105

B C

D A

3

2

O A h«

P

n 1

B

tan ;2Ω;=;3!;일 때, tan 2h의 값은?

① -;;™7¢;; ② -3 ③ ;7(;

④ 3 ⑤ ;;™7¢;;

0 1

sin› ;1…2;+sin› ;1∞2;p+sin› ;1¶2;p+sin› ;1!2!;p의 값은?

① 1 ② ;4%; ③ ;2#;

④ ;4&; ⑤ 2

0 3

고난도

유형

2

반각의 공식

출제유형 삼각함수의 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기 각 h에 관한 삼각함수에서 각이 ;2Ω;인 삼각함 수의 값을 구할 때, 반각의 공식을 이용하여 문제를 해결할 수 있도록 한다.

필수유형

tan ;2Ω;+cot ;2Ω;=;;¡6£;;일 때, cos h의 값은? {단, 0<h<;2“;}

① ;1∞3; ② ;1§3; ③ ;1¶3;

④ ;1•3; ⑤ ;1ª3;

|출제의도| 삼각함수의 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값 을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

cot ;2Ω;= 이므로 tan ;2Ω;+ =;;¡6£;;

양변에 6 tan ;2Ω;를 곱하여 정리하면 6 tan¤ ;2Ω;-13 tan ;2Ω;+6=0

{2 tan ;2Ω;-3}{3 tan ;2Ω;-2}=0

∴ tan ;2Ω;=;2#; 또는 tan ;2Ω;=;3@;

0<h<;2“;이므로 0<;2Ω;<;4“;

0<tan ;2Ω;<1이므로 tan ;2Ω;=;3@;

tan¤ ;2Ω;= =;9$;

9-9 cos h=4+4 cos h

∴ cos h=;1∞3;

① 1-cos h

1+cos h

1 tan ;2Ω;

1 tan ;2Ω;

그림과 같이 점 A에서 원 x¤ +y¤ =9에 접선을 그을 때 생기는 두 접점을 각각 B, C라 하고, ∠BAC=h라 하자.

sin¤ ;4Ω;=;1¡0;일 때, 삼각형 ABC의 넓이는?

(단, 0<h<p)

0 8

3'ƒ1+ƒcos h-3'ƒ1-ƒcos h=2'2일 때, sin¤ ;2Ω; cos¤ ;2Ω;=;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오.

(단, p, q는 서로소인 자연수이다.)

0 7

sin¤ 22.5˘+cos¤ 67.5˘의 값은?

① ② ③

④ ⑤ 3+'2

2 2+'2

2

3-'2 2 2-'2

2 1-'2

2

0 5

h가 제`3사분면의 각이고, sin h=- 일 때, tan ;2Ω;의 값은?

① -3'6 ② -2'6 ③ -'6

④ '6 ⑤ 2'6

2'6

0 6

7

y

O x

A

B _3 C

_3 3 3

h

① ;;¡2ª5¡;; ② ;;¡2ª5™;; ③ ;;¡2ª5¢;;

④ ;;¡2ª5§;; ⑤ ;;¡2ª5•;;

04 삼각함수`⑵

35

sin 50˘+sin 10˘

cos 50˘+cos 10˘

|출제의도| 삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식을 이 용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

sin 50˘+sin 10˘=2 sin cos sin 50˘+sin 10˘=2 sin 30˘ cos 20˘

sin 50˘+sin 10˘=2¥;2!; cos 20˘=cos 20˘

cos 50˘+cos 10˘=2 cos cos cos 50˘+cos 10˘=2 cos 30˘ cos 20˘

cos 50˘+cos 10˘=2¥ cos 20˘='3 cos 20˘

∴ = = =

sin 50˘+sin 10˘

cos 50˘+cos 10˘

'32 sin 20˘-sin 60˘+sin 100˘

cos 20˘-cos 60˘+cos 100˘

11

cos¤ 20˘-cos¤ 40˘

sin 20˘

cos 2a cos 4a`cos 8a sin 2a+sin 6a+sin 10a+sin 14a

12

0…x…p일 때, 함수

y=sin {x-;3“;} sin {x-;3@;p}-2 sin¤ x+1 의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-2m의 값 은?

① ;;¡4£;; ② ;;¡4∞;; ③ ;;¡4¶;;

④ ;;¡4ª;; ⑤ ;;™4¡;;

14

유형

4

삼각함수의 최대와 최소

출제유형 여러 가지 공식을 이용하여 삼각함수의 최댓값 과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기 여러 가지 공식이나 삼각함수의 합성을 이용 하여 하나의 삼각함수로 나타내어 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있도록 한다.

필수유형

함수 y=2 sin¤ ;2{;+;2!; cos 2x의 최댓값을 M, 최솟값을 m 이라 할 때, M+m의 값은?

① 2 ② ;4(; ③ ;2%;

④ ;;¡4¡;; ⑤ 3

|출제의도| 배각의 공식과 반각의 공식을 이용하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

y=2 sin¤ ;2{;+;2!; cos 2x

y=2¥ +;2!;(2cos¤ x-1) y=cos¤ x-cos x+;2!;

에서 cos x=t로 놓으면 -1…cos x…1이므로 -1…t…1 y=t¤ -t+;2!;

y={t-;2!;}¤ +;4!; (-1…t…1)

따라서 t=-1일 때, 최댓값 M=;2%;, t=;2!;일 때, 최솟값 m=;4!;을 가 진다.

∴ M+m=;2%;+;4!;=;;¡4¡;;

④ y

t O

_1 1

;2!;

;2%;

;4!;

;2!;

y=t¤¿¿_t+;2!;

1-cos x 2

함수 y=cos 2x+4 sin x-1의 최솟값은?

① -6 ② -5 ③ -4

④ -3 ⑤ -2

13

0…x…2p에서 함수

y=sin x+sin{x+;3“;}+cos{x+;6“;}

가 x=p에서 최댓값 M을 가질 때, pM의 값은?

(단, p는 상수이다.)

① ;3“; ② ;3@;p ③ p

④ ;3$;p ⑤ ;3%;p

15

04 삼각함수`⑵

37

A

O B

P

h 1

1 p ';6;

유형

5

삼각방정식의 일반해

출제유형 삼각방정식을 풀어서 방정식의 해를 구하거나 해의 합을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기 여러 가지 공식이나 삼각함수의 합성을 이용 하여 하나의 삼각함수로 나타내고 삼각방정식의 일반해를 구할 수 있도록 한다.

필수유형

0…x<2p일 때, 방정식

2 sin x-'3 sin 2x=1-cos 2x 를 만족시키는 서로 다른 모든 x의 값의 합은?

① 2p ② ;3&;p ③ 3p

④ ;;¡3º;;p ⑤ 4p

|출제의도| 배각의 공식과 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각방 정식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

sin 2x=2 sin x cos x, cos 2x=1-2 sin¤ x이므로 주어진 방정식 에 대입하면

2 sin x-2'3 sin x cos x=1-(1-2 sin¤ x) 2 sin¤ x+2'3 sin x cos x-2 sin x=0 2 sin x(sin x+'3 cos x-1)=0 2 sin x[2 sin {x+;3“;}-1]=0

∴ sin x=0 또는 sin{x+;3“;}=;2!;

⁄sin x=0일 때, x=0 또는 x=p

¤sin {x+;3“;}=;2!;일 때, ;3“;…x+;3“;<;3&;p이므로

⁄x+;3“;=;6%;p 또는 x+;3“;=;;¡6£;;p

⁄∴ x=;2“; 또는 x=;;¡6¡;;p

⁄, ¤에서 주어진 방정식을 만족시키는 서로 다른 모든 x의 값의 합은 0+p+;2“;+;;¡6¡;;p=;;¡3º;;p

④ 신유형

그림은 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 ;6“;인 부 채꼴 OBA에 선분 OB를 지름으로 하는 반원을 선분 OA와 점 O에서만 만나도록 그린 것이다. 반원의 둘레 위 의 점 P에 대하여 ∠POB=h라 할 때, 삼각형 OPA의 넓 이의 최댓값은?

17

① ;4!; ② ;8#; ③ ;2!;

④ ;8%; ⑤ ;4#;

x¤ +y¤ =4를 만족시키는 실수 x, y에 대하여

3y¤ -4xy의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m 의 값을 구하시오.

16

0…x…p일 때, 방정식 cos x+cos 3x=sin 4x를 만족시키는 모든 근의 합은?

① p ② ;2#;p ③ 2p

④ ;2%;p ⑤ 3p

20

0<x<p에서 방정식

sin 2x+cos 2x=sin 4x+cos 4x

의 근 중 가장 작은 근을 a, 가장 큰 근을 b라 할 때, b-a 의 값은?

① ;3“; ② ;2“; ③ ;3@;p

④ ;4#;p ⑤ ;5$;p

21

0…x<2p일 때, 방정식 cos 2x+cos x=0을 만족 시키는 모든 근의 합은?

① ;2#;p ② 2p ③ ;2%;p

④ 3p ⑤ ;2&;p

18

0…x<2p일 때, 방정식 cos¤ 2x+2 sin¤ x=1을 만 족시키는 모든 근의 합은?

① 3p ② 4p ③ 5p

④ 6p ⑤ 7p

19

04 삼각함수`⑵

39

방정식 2 cos¤ x-4 sin x+1-a=0이 실근을 가지 도록 하는 정수 a의 개수는?

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

유형

23

삼각방정식의 활용

6

출제유형 삼각방정식의 실근의 개수를 구하는 문제가 주 로 출제된다.

출제유형잡기 단위원이나 삼각함수의 그래프를 이용하여 삼각방정식의 실근의 개수를 구할 수 있도록 한다.

필수유형

0<x<p에서 방정식 cos x-cos 2x=a(1-cos x)가 실근 을 가지도록 하는 모든 정수 a의 값의 합은?

① 3 ② 4 ③ 5

④ 6 ⑤ 7

|출제의도| 배각의 공식을 이용하여 삼각방정식이 실근을 가질 조건을 알고 있는지 묻는 문제이다.

|풀이|

cos 2x=2 cos¤ x-1이므로 주어진 방정식은 cos x-(2 cos¤ x-1)=a(1-cos x) -2 cos¤ x+cos x+1=a-a cos x 2 cos¤ x-(a+1)cos x+a-1=0 (cos x-1)(2 cos x-a+1)=0

∴ cos x=1 또는 cos x=

그런데 0<x<p에서 -1<cos x<1이므로 방정식이 실근을 가지 려면

-1< <1, -2<a-1<2

∴ -1<a<3

따라서 이 범위에 속하는 정수 a의 값은 a=0 또는 a=1 또는 a=2 이므로 모든 정수 a의 값의 합은

0+1+2=3

① a-1

2

a-1 2

2hh y

x x¤¿¿+y¤¿¿=9

O Q' P' R P Q

_3

_3 3

3

그림과 같이 두 각 h, 2h가 나타내는 동경이 원 x¤ +y¤ =9와 만나는 점을 각각 P, Q라 하고, 두 점 P, Q 에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 P', Q', 선분 OP와 선 분 QQ'이 만나는 점을 R라 하자. OR”='3`일 때, 삼각형 OQ'R의 넓이는? {단, 0<h<;4“;}

25

방정식 3 sin {px+;6“;}-3 sin {px-;6“;}=|x|의 서로 다른 실근의 개수는?

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

24

0…x…2p에서 함수 f (x)=sin x+cos x의 그래프 가 직선 `y=a와 세 점에서 만날 때, 상수 a의 값은?

① ;4!; ② ;2!; ③ ;4#;

④ 1 ⑤ ;4%;

22

① ② ③

④ ⑤ 5'3

8 '3

2

3'3 8 '3

4 '3

8

h가 제`3사분면의 각이고 cos h=-;4#;일 때, cot h-cosec h의 값은?

① '7 ② '6 ③ '5 ④ 2 ⑤ '3

0 1

tan a+tan b=;3&;, cot a+cot b=;2&;일 때, tan(a+b)의 값은?

① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

0 4

△ABC에서 sin A= , cos B=-;3@;일 때, sin C의 값은?

① ② ③ ④ ⑤ 8-2'5

15 9-2'5

15 10-2'5

15 9-'5

15 10-'5

15

'5

0 2

5

cos 4h=4-6 cos¤ h일 때, tan¤ h의 값은?

① ;4!; ② ;3!; ③ ;2!; ④ ;3@; ⑤ ;4#;

0 3

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