11
1 함수의 증가와 감소
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 x¡, x™에 대하여
⑴ x¡<x™일 때, f(x¡)<f(x™)이면 f(x)는 그 구간에서 증가 한다고 한다.
⑵ x¡<x™일 때, f(x¡)>f(x™)이면 f(x)는 그 구간에서 감소한 다고 한다.
4 함수의 그래프
⑴ 곡선의 오목과 볼록
이계도함수를 가지는 함수 f(x)가 어떤 구간에서
① f"(x)>0이면 곡선 y=f(x)는 그 구간에서 아래로 볼록하다.
② f"(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 그 구간에서 위로 볼록하다.
⑵ 변곡점
곡선 y=f(x) 위의 한 점 P(a, f(a))에 대하여 x=a의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변할 때, 이 점 P를 곡선 y=f(x)의 변곡점이라 한다.
2 함수의 증가와 감소의 판정
⑴ 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때
① f'(a)>0이면 f(x)는 x=a에서 증가 상태에 있다.
② f'(a)<0이면 f(x)는 x=a에서 감소 상태에 있다.
⑵ 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간의 모든 x에 대하여
① f'(x)>0이면 f(x)는 그 구간에서 증가한다.
② f'(x)<0이면 f(x)는 그 구간에서 감소한다.
5 함수의 최댓값과 최솟값
닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 함숫값의 최댓값과 최솟값은 다 음과 같이 구한다.
⑴ 주어진 구간에서 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값을 구한다.
⑵ 주어진 구간의 양 끝점에서의 함숫값 f(a)와 f(b)를 구한다.
⑶ 위에서 구한 극댓값, 극솟값, f(a), f(b) 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.
3 함수의 극대와 극소
⑴ 함수 f(x)가 x=a에서 연속이고 x의 값이 증가하면서 x=a의 좌우에서 f(x)가 증가 상태에서 감소 상태로 바뀌면 함수 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 함숫값 f(a)를 극댓값이라 한다.
⑵ 함수 f(x)가 x=b에서 연속이고 x의 값이 증가하면서 x=b의 좌우에서 f(x)가 감소 상태에서 증가 상태로 바뀌면 함수 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 함숫값 f(b)를 극솟값이라 한다.
y=f(x) f(a) 극대
극소 f(b) 극솟값
O a b
y
x 극
댓값 f(x™)
y=f(x)
[증가] [감소]
y=f(x) f(x¡)
x¡ x™
O
f(x™) f(x¡)
x¡ x™
O
y y
x x
11 도함수의 활용`⑵
95
유형
1
함수의 증가와 감소출제유형 함수 f(x)가 증가하는 구간 또는 감소하는 구간 을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 구하고, f '(x)>0이면 증가 상태, f'(x)<0이면 감소 상태임을 이용하여 증가하는 구간 또는 감소하는 구간을 구한다.
필수유형
함수 f(x)=x‹ -(a+2)x¤ +ax에 대하여 곡선 y=f(x) 위 의 점 (t, f(t))에서의 접선의 y절편을 g(t)라 하자. 함수 g(t)가 열린 구간 (0, 5)에서 증가할 때, a의 최솟값을 구하시 오. 3점
2010. 9. 평가원
|출제의도| 도함수를 이용하여 함수의 증가하는 구간을 조사하 고 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
f '(x)=3x¤ -2(a+2)x+a이므로 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은
y-{t‹ -(a+2)t¤ +at}={3t¤ -2(a+2)t+a}(x-t) x=0일 때 y=g(t)이므로
g(t)-{t‹ -(a+2)t¤ +at}={3t¤ -2(a+2)t+a}(-t)
∴g(t)=-2t‹ +(a+2)t¤
g '(t)=-6t¤ +2(a+2)t이므로 이차함수 g '(t)가 0<t<5에서 g'(t)>0이려면
g'(0)æ0, g'(5)æ0 이어야 한다.
g'(0)=0이고,
g'(5)=-150+10(a+2)æ0이므로 aæ13
따라서 구하는 a의 최솟값은 13이다.
13
함수 f(x)=x‹ -6x¤ +9x+5는 x<a와 x>b에서 증가하고, a<x<b에서 감소한다. 실수 a, b에 대하여 a‹ +b‹ 의 값은?
① 2 ② 9 ③ 28
④ 35 ⑤ 65
0 1
함수 f(x)=-x-2 cos x에 대하여 옳은 것만을보 기에서 있는 대로 고른 것은?
0 2
함수 f(x)=x+2ln(x¤ +a)가 실수 전체의 구간에서 증가할 때, 양수 a의 최솟값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
0 3
ㄱ. f'(0)=-1
ㄴ. 열린 구간 {0, ;6“;}에서 f'(x)<0이다.
ㄷ. 열린 구간 {;6“;, ;6%;p}에서 함수 f(x)는 증가한다.
보기
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상수 a에 대하여 함수 f(x)=x‹ -3x+a의 극솟값이 1일 때, 극댓값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
0 4
함수 f(x)=e≈ ±⁄ -e‹ x+e‹ +1은 x=a에서 극솟값 m을 가진다. 이때, 두 실수 a, m에 대하여 a+m의 값 은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
0 5
유형
2
함수의 극대와 극소출제유형 함수 f(x)가 x=a에서 극댓값 b 또는 극솟값 c 를 가질 때, a, b, c의 값을 구하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 구하고,
`f'(x)=0인 x의 값을 기준으로 좌우의 부호를 판단하여 극댓값 또는 극솟값을 구한다.
필수유형
함수 f(x)= 가 x=a에서 극댓값 b를 가지고, x=-a 에서 극솟값 c를 가질 때, 세 실수 a, b, c에 대하여 a+b+c의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
2x x¤ +1
|출제의도| 주어진 함수의 극댓값과 극솟값을 구할 수 있는지 를 묻는 문제이다.
|풀이|
함수 f(x)= 에서
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=0에서 -2x¤ +2=0
∴ x=-1 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 1을 가지고, x=-1에서 극솟값 -1 을 가지므로
a=1, b=1, c=-1
∴ a+b+c=1
① -2x¤ +2
(x¤ +1)¤
2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤
2x x¤ +1
두 정수 a, b에 대하여 함수 y=x‹ +ax¤ +bx+3이 -1<x<1에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지도록 a, b 의 값을 정할 때, 서로 다른 순서쌍 (a, b)의 개수는?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
0 6
x f '(x)
f(x) y
-↘ -1
0 -1
y +
↗ 1 0 1
y
-↘ 신유형
11 도함수의 활용`⑵
97
0<x<;3@;p에서 정의된 함수 f(x)=2cos 2x+4sin x
의 극댓값과 극솟값을 각각 a, b라 할 때, 두 실수 a, b에 대하여 a¤ -b¤ 의 값은?
① 1 ② 3 ③ 5
④ 7 ⑤ 9
0 8
삼차함수 y=f(x)에 대하여 f(1)=f(2)=f(3)이고 x=a와 x=b에서 극값을 가질 때, a¤ +b¤ 의 값은?
① ;;™3∞;; ② ;;™3§;; ③ 9
④ ;;™3•;; ⑤ ;;™3ª;;
0 7
함수 f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c는 x=a, x=b에서 극 값을 가진다고 한다. f(a)=f(0)이 성립할 때, b의 값 을 a로 옳게 나타낸 것은?
(단, a, b, c는 상수이고 a+0이다.)
① b= ② b= ③ b=;3ƒ;
④ b= ⑤ b=a+2 3 a+1
3
a-1 3 a-2
3
10
함수 f(x)=x¤ -ax+bln x (x>0)가 x=1, x=3 에서 극값을 가질 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
0 9
신유형
유형
3
함수의 오목, 볼록과 변곡점출제유형 함수 f(x)의 오목, 볼록인 구간과 변곡점을 구 하는 문제가 출제된다.
출제유형잡기 함수 f(x)의 도함수 f '(x)와 이계도함수 f "(x)를 구한 후, f'(x)=0이 되는 x의 값과 f"(x)=0 이 되는 x의 값을 이용하여 함수의 증가, 감소를 표로 만 들고 오목, 볼록인 구간과 변곡점을 구한다.
필수유형
좌표평면에서 곡선 y=(1+cos x)¤ 의 변곡점의 좌표를 (a, b) 라 할 때, 두 실수 a, b에 대하여 ab의 값은? {단, 0<a<;2“;}
① ;4“; ② ;2“; ③ ;4#;p
④ p ⑤ ;4%;p
|출제의도| 함수의 이계도함수를 구할 수 있고, 이를 이용하여 변곡점을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
함수 y=(1+cos x)¤ 에서 y'=2(1+cos x)(-sin x)
y"=2(-sin x)¤ +2(1+cos x)(-cos x) y"=2sin¤ x-2cos x-2cos¤ x
y"=2(1-cos¤ x)-2cos x-2cos¤ x y"=2-2cos x-4 cos¤ x
y"=-2(2cos¤ x+cos x-1) y"=-2(2cos x-1)(cos x+1) y"=0에서
cos x=;2!; 또는 cos x=-1
0<x<;2“;의 범위에서 방정식 cos x=;2!; 또는 cos x=-1의 해는 x=;3“;이고, x=;3“;의 좌우에서 y"의 부호가 바뀌므로 변곡점의 x좌 표는
x=;3“; ∴ a=;3“;
b={1+cos ;3“;}¤
={1+;2!;}¤
=;4(;
∴ ab=;3“;_;4(;=;4#;p
③ O
1
;2!;
y
y=cos`x
x
;3;
p
;2;
p
곡선 f(x)=ln(x¤ +1)의 두 변곡점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이는? (단, 점 O는 원점이다.)
① 1 ② 2 ③ e
④ ln 2 ⑤ 2ln 2
11
곡선 f(x)=ax¤ +bx+ln x (x>0)가 x=;4!;에서 극대이고 변곡점의 x좌표가 ;2!;일 때, f(1)의 값은?
(단, a, b는 상수이다.)
① -5 ② -3 ③ -1
④ 1 ⑤ 3
12
좌표평면에서 곡선 y=sinfi `x {0<x<;2“;}의 변곡점 의 x좌표를 a라 할 때, tan› a의 값을 구하시오.
13
신유형
11 도함수의 활용`⑵
99
x>0이므로 f"(x)=0에서 2ln x-3=0, ln x=;2#;
∴ x=e;2#;
유형
5
함수의 최대와 최소 ⑴1¥"1√-x¤ -x¥
1-x¤
11 도함수의 활용`⑵
101
f(t)=t(-ln t)=-tln t f '(t)=-ln t-t¥;t!;=-ln t-1