이 절에서는 전술한 바와 같이 충격반응함수에 부호제약을 주어 구조계수행렬 을 식별하는 방법에 관해 간략히 살펴보고자 한다. 구조적 벡터자기회귀모형의 핵심은 경제적 의미를 갖는 구조적 교란항을 식별하여, 이에 대한 모형 변수들의 동태적 반응경로를 묘사하는 충격반응함수를 살펴보는 것이다. 이제 구조계수 행렬을 식별하기 위해 (식 3-3)의 양변에 의 역행렬을 곱하게 되면 다음과 같 은 식을 얻게 된다.
(식 3-5)
(식 3-5)에서 의 번째 열(column)은 구조적 교란항의 충격이 벡터 에 속한 변수들에 미치는 직접적인 영향을 나타내는 역할을 하게 된다. 따라서 식별 과정을 통해 구조계수행렬 를 식별하게 되면 기타 구조계수행렬들, 의 식별 뿐 아니라 구조적 교란항 충격이 모형변수들에 미치는 효과인 충격반응함 수를 추정할 수 있게 되는 것이다. Uhlig(2005)는 이와 같은 원리에 기초하여 계 수행렬 를 식별할 때 의 모든 열(column)을 식별하는 대신, 관심의 대상이 되는 구조적 교란항의 충격만을 반영하는 열만을 식별하는 방식을 제안하였다.
이는 이와 같이 관심의 대상이 되는 구조적 교란항의 충격을 반영하는 열만을 식별해내는 것만으로도 충격반응함수를 추정할 수 있기 때문이다. Uhlig(2005)는 이처럼 관심의 대상이 되는 구조적 교란항에 대한 직접적 반응을 나타내는 구조
제3 장∙경기변동기의 SOC 투자 효과 분석 53
계수행렬 의 열을 충격벡터(impulse vector)로 정의하였다.
충격벡터(impulse vector): 충격벡터 는 ′ 을 만족시키는 임의의
× 구조행렬 의 한 행이다.
Uhlig(2005)는 충격벡터 는 (식 3-6)을 만족해야 함을 증명하였다.
(식 3-6)
(식 3-6)에서 는 ′ 을 만족하는 × 벡터이다.
(1) 몬테카를로 시뮬레이션을 통한 구조적 충격의 식별
Uhlig(2005)는 (식 3-6)에 의해 충격벡터를 생성한 후, 충격반응함수에 부호제 약을 부과하여 구조적 교란항의 충격을 식별하는 몬테카를로 시뮬레이션 알고리 듬을 제시하였다. Uhlig(2005)의 알고리듬은 베이지안 벡터자기회귀모형을 이용 하고 있으므로 알고리듬에서 이용되는 베이지안 벡터자기회귀모형을 살펴본 후, 구체적인 알고리듬을 살펴보기로 한다.
① 베이지안 벡터자기회귀모형
• 사전분포
Uhlig(2005)는 (식 3-2)의 축약형 벡터자기회귀모형의 계수행렬과 분산-공분산 행렬에 대한 사전분포로 정규-위샷 분포(Normal-Wishart distribution)를 이용하였 다. 이는 베이지안 벡터자기회귀모형의 추정에서 이용되고 있는 기타 사전분포 들에 비해 정규-위샷 분포를 이용할 경우 몬테카를로 시뮬레이션이 보다 용이할 뿐 아니라 예측력도 비교적 우수한 것으로 알려져 있기 때문이다.
이제 사전분포로 정규-위샷 분포를 이용한 벡터자기회귀모형을 살펴보기 위 해, (식 3-2)에 나타나 있는 시차 인 축약형 벡터자기회귀모형을 다음과 같이 표시하기로 한다.
⋯ (식 3-7)
제3 장∙경기변동기의 SOC 투자 효과 분석 55
(식 3-12)
여기서, , , 는 각각 결합 사전분포, 의 사전분 포, 의 조건부 사전분포를 나타낸다. 정규-위샷 사전분포는 우도함수를 정규분 포로 가정할 경우, 사후분포도 정규-위샷 분포를 갖는 공핵 사전적 분포(conjugate prior)의 특성을 갖게 된다.
• 사후분포
의 결합 사후분포(joint posterior distribution)는 베이즈 정리(Bayes theorem)에 의해 의 결합사전분포와 우도함수의 곱으로 표현될 수 있게 된 다.
∝ (식 3-13)
(식 3-13)에서 는 자료를 나타내며, ·은 우도함수를 나타낸다.18) Uhlig(1994)는 사전적 분포가 이와 같이 정규-위샷 분포를 따를 경우, 사후분포 역시 다음과 같은 정규-위샷 분포로 나타낼 수 있음을 보였다19).
∼ (식 3-14)
∼⊗ (식 3-15)
여기서, 는 표본의 크기를 의미하며, 각 분포의 초월계수(hyper-parameter)들 은 다음과 같이 정의된다.
18) 우도함수는 식(17)의 벡터자기회귀모형에서 잔차항(residual)이 정규분포를 따른다고 가정할 경우, 다 음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
∝
exp
′′ ′
19) 보다 자세한 내용은 Uhlig(1994)의 Proposition A.1.을 참조하기 바란다.
제3 장∙경기변동기의 SOC 투자 효과 분석 57
(v) 충격벡터 를 이용하여 충격반응함수를 생성한 후, 충격반응함수에 부과된 부호제약을 충족하는 충격벡터와 충격반응함수만을 받아들이고 그렇지 못할 경 우 버린다.
(ⅵ) 이러한 과정을 무수히 반복하여 충격반응함수의 분포를 구한다.
전술한 바와 같이 Uhlig(2005)는 충격벡터, 즉 우리의 관심 대상이 대는 구조적 충격의 효과와 관련되어 있는 구조계수행렬 의 한 열만을 식별하는 방법을 제 안하였다. 그러나 이와 같은 논의는 하나 이상의 구조적 교란항에 발생하는 충격 들의 효과를 동시에 식별할 경우에도 그대로 적용될 수 있다. Uhilg and Mountford(2005)는 이와 같은 경우, 충격벡터의 개념이 충격행렬(impulse matrix) 로 확장될 수 있음을 지적하였다.
충격행렬(impulse matrix)의 정의: 위수(rank)가 인 충격행렬은
′ 을 만족시키는 임의의 × 구조행렬 의 × ≥ 부 속행렬(sub-matrix)이다.
이와 같은 충격행렬의 정의로부터 충격벡터 역시 인 충격행렬임을 알 수 있다. Uhlig and Mountford(2005)는 충격벡터가 (식 3-6)을 충족시킴을 증명하 였던 것과 같이 충격행렬은 다음과 같은 관계를 만족시켜야 함을 증명하였다. 이 제 분산-공분산 행렬 의 촐레스키 분해를 만족시키는 임의의 × 구조행렬
의 충격행렬을 라 하면
(식 3-18)
여기서 는 상호 독립인 정규분포를 따르는 × 행렬의 QR-분해 (QR-decomposition)로부터 얻어지는 행렬로 ′ 의 특성을 갖는다. 충격벡터 를 통해 구조적 교란항의 충격효과를 식별하는 몬테카를로 시뮬레이션 알고리듬 은 충격행렬을 이용할 경우에도 동일하다. 다만, (ⅲ)단계에서 균등분포 를 생
성하는 대신 QR-분해로부터 Q행렬을 생성한 후, (ⅳ)단계에서 (식 3-18)을 통해 충격행렬을 생성하는 부문만 변화하게 된다. Rubio-Ramĩrez, Waggoner and Zha(2006)는 이와 같은 몬테카를로 시뮬레이션을 효율적으로 수행하는 방안을 제시하였으며, 본 연구에서는 이들의 알고리듬을 적용하여 구조적 교란항의 충 격효과를 추정하였다.