발전차액보전제도는 월가중평균 계통한계가격(SMP)에서 발전차액보다 부 족한 부분을 보전해 주기 때문에 발전차액에 대한 풋옵션(put option)으로 간 주할 수 있다. 각 월별로 정산이 이루어지기 때문에 SMP의 월가중평균의 기 대수익률(drift)항과 변동성(volatility)항에 대한 데이터가 필요하다. 아래 그림 은 우리나라 SMP의 시계열 데이터이다. 2001년 4월부터 2009년 7월까지의 100개의 비교적 짧은 기간의 데이터이기 때문에 시계열을 분석하기 용이하지 않다. 하지만 본 연구의 목적이 실물옵션 모델의 타당성을 분석한다는 점을 고려하여 가장 간단한 형태로 기대수익률과 변동성이 상수인 경우에 대하여 옵션가격을 계산하면 다음과 같다.
[그림 1] 월간 가중평균 SMP(2001년 4월~2009년 7월)
출처: 전력통계정보시스템(http://epsis.kpx.or.kr/)
월가중평균 SMP가 기하브라운 운동을 따를 경우 즉,
(1)
여기서, x : 월간가중평균 SMP, α: drift rate, σ: volatility, dB : 표준브라우니안 운동(standard Brownian motion)
할인된 기대수익(expected discounted profit) π(x,t)는 다음과 같다.
(2)
여기서, V : 편익, I: 비용, M(s): 전력판매량, ρ: 할인율, T: 사업기간
M(s)는 발전소의 용량과 이용률의 곱으로 표현할 수 있다. 시간에 대해 일 정한 출력으로 전력을 판매한다고 가정하면 위식처럼 상수로 표현 할 수 있다.
투자문제를 결정하는 기준은 편익 V가 투자비 I보다 클 경우에 투자를 하 는 것이며, 이를 극대화하는 것이 기업의 진정한 목표이다. 이를 수식으로 나 타내면 다음과 같다. 투자기회의 가치를 G라 하면
max (3)
Hamilton-Jacobi-Bellman 식은 다음과 같다.
(4)
이토 정리(Itô's Lemma)에 의해서
(5)
기댓값을 취하면
′
″ (6)
이 되므로 Hamiton-Jacobi-Bellman 식은 다음과 같이 된다.
″ ′
(7)
영구옵션(perpetual option)일 경우 G는 x만의 함수이다. 위 식은 다음과 같다.
″ ′ (8)
위 식은 상미분 방정식으로 쉽게 풀 수 있다. G(x)를 Axβ라고 놓고 위식에 대입하면
(9)xβ≠0 이므로 괄호안의 β에 대한 이차방정식의 값이 0이 되어야 한다. 다시 정리하면
(10)
근의 공식을 적용하면
±
(11)
이 된다. 따라서 G에 대한 해는 다음과 같다.
(12)
β의 값 중 음의 부호로만 이루어진 근이 존재하므로 하나의 근은 0보다 작다.
또한 β에 대한 2차 방정식에 β=1을 대입하면 -(ρ-α)가 되어 0보다 작음(∵
ρ>α)을 알 수 있다. β에 대한 2차식의 계수가 양수이고 하나의 근은 0보다 작 으므로 β>1 이 되어야 한다.2)
2) Dixit(1994) pp. 142~143에 자세히 나와 있음
이 식을 풀기 위한 경계 조건은 다음과 같다.
i) (13)
ii)
(14)
(value matching condition)
iii) ′ ′
(15)
(smooth paste condition)
여기서 x*는 사업을 시작하게 되는 가격(critical price) 이다.
i) 조건으로부터 두 개의 β값 중에서 0보다 작은 β는 존재할 수 없기 때문 에 다음과 같은 G(x) 함수를 얻을 수 있다.
, (β>1) (16)
ii) 조건을 이용하면
(17)
(18)iii) 조건으로부터
′
(19)
(20)
이를 그래프로 그려보면 다음과 같다.
[그림 2] 실물옵션 가치
[그림 2]를 보면 x≥x* 구간 에서는 사업에 투자를 하는 것이 당연하다.
x<x* 구간에서는 비록 이윤이 0보다 커서 사업에 투자를 해도 손해를 보지는 않겠지만, x의 가격이 상승할 가능성을 바라고 기다리는 옵션을 보유하고 있 는 것이 유리하다. 따라서 x<x* 인 사업에 대해서 투자를 유인하기 위해서는 그 부족한 기회비용에 대한 보상을 해 주어야 한다. 발전차액지원제도 (Feed-in Tariff)는 이러한 보상의 한 방법이다. 발전차액 지원제도는 매월 가 중평균 SMP가 지식경제부 장관이 고시한 기준가격보다 낮은 경우, 기준가격 과 전력거래와의 차액(발전차액)을 지원해주는 제도이다.3) 따라서 발전차액 기준가격을 행사가격 FIT로 하고, 만기가 S인 유러피언 풋옵션의 합으로 볼 수 있다. 즉, 기준가격 보장기간인 15년(태양광의 경우 20년도 가능)의 매월을 만기로 하는 각각의 풋옵션을 무상으로 지원해 주는 개념이다.
지원금액
×
(21)
ln
(22)
(23)여기서 M : 월간 전력판매량(kWh/월), p : 풋옵션, N(•) : 누적정규분포함수, S : 만기(월) , x : 현재 전력가격, FIT : 발전차액 기준가격,
rf : 무위험 이자율, σ : 전력가격의 변동성
이렇게 무상으로 지원해주는 금액으로 인해서 이윤 π의 값이 변하게 되어 앞에서 언급한 G(x) 함수를 풀기위한 경계조건이 바뀌게 된다. 따라서 적정 3) 에너지 관리공단 홈페이지 (http://www.knrec.or.kr/NA/NA202500_1.jsp) 참고
발전차액기준가격을 계산하기 위해서는 지원금액이 포함된 경계조건을 만족 하는 가치함수 G1(x)함수를 구하고, 이때 x*의 값과 현재의 x0의 값이 동일하 도록 하는 발전차액 기준가격을 구하면 된다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
iv) (24)
v)
(25)
(value matching condition)
vi) ′ ′
(26)
(smooth paste condition)
새로운 경계조건을 적용하면 xt*
는 다음과 같다.
(27)
위 식의 계산에서 주의할 사항은 x0≥x*의 경우에는 자발적으로 사업을 시 행하므로 발전차액을 지원하지 않아도 된다. 여기서 계산된 발전차액기준가격 FIT는 임계가격(critical price) xt*
가 되지 않은 현재 전력가격 x0<xt*
에서 발 전차액을 지원하여 xt*
가 x0와 같아지도록 하여 당장 사업을 시작하도록 지원 하는 최소금액이라는 의미이다.