베이지안 추론방법

베이지안 추론방법을 이용하여 DSGE모형을 추정하는 기본적 절차는 다음과 같이 설명될 수 있다. 먼저, 모형의 파라미터에 관한 사전분포 (prior distribution)를 가정해야 한다. 이때 사전분포는 기존의 연구결과 들로부터 연구자가 얻은 파라미터에 관한 지식 및 불확실성 모두를 반 영하게 된다. 다음으로 칼만필터(Kalman filter)를 이용하여 DSGE모형 의 우도함수를 얻은 후, 사후분포(posterior distribution)를 구하게 된다.

그러나 DSGE모형의 경우 사후분포의 해석적 형태(analytical form)를 도출하는 것이 불가능하므로 MCMC 시뮬레이션을 통해 사후분포를 구하게 된다.

이와 같은 절차를 보다 자세히 살펴보면 다음과 같다. 먼저, 본 연구

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에서 추정해야 할 DSGE모형의 파라미터들은 다음과 같이 정의될 수 있다.

ġ á ãľ Ĺ×Ĺ_Îŋ_×ŋ_ÎŇ_ƘŇ_ƎŇ_Ƅň_Ƙň_Ǝň_Ƅä (식4-1)

모형이 포함하고 있는 파라미터들 중 (식3-1)의 Ō와 Ɔ는 정상상태에서 선형 근사된 차분방정식체계 (식3-24)~(식3-25)의 계수행렬 šì›ìœì©에 나타나지 않으므로 추정에서 제외시켰으며, 주관적 할인인자 ĸ는 추정하 는 대신 0.99로 고정시켰다. 이제 모형에서 추정되어야 할 파라미터가 (식4-1)과 같이 정의되면 이들 파라미터에 관한 사전분포 ƎÞġ ß를 설정하 고 우도함수를 구하게 된다. DSGE모형의 우도함수는 칼만필터를 이용하 여 구할 수 있는데, 이때 DSGE모형의 선형근사해인 (식3-24)는 상태방정 식(state equation)의 역할을, (식3-25)은 관측방정식(measurement equation)의 역할을 한다. DSGE모형의 우도함수를 칼만필터를 이용하여 구축할 경우 발생하는 문제점은 ‘확률적 특이성문제(stochastic singularity problem)’를 해결해야 한다는 점이다. 일반적으로 시계열벡터 Ɩ_ƒ를 예측 할 경우, 이에 대한 예측오차 공분산행렬(forecast error covariance matrix)은 비특이(non-singular)행렬이어야 한다. ‘확률적 특이성문제’란 DSGE모형이 예측하는 시계열벡터 Ɩ_ƒ에 대한 예측오차 공분산행렬이 특 이행렬(rank-deficiency matrix)이 되는 경우를 의미한다. 이 경우, DSGE 모형의 현실 데이터 설명력은 크게 약화되어 전형적인 모형설정 오류 (misspecification)의 문제점을 갖게 된다. 이와 같은 문제를 해결하기 위 해 Sargent(1989)는 (식3-25)의 관측방정식에 관측오차를 추가하는 방법 을 제안하였고, Ingram, Kocherlakota and Savin(1994)는 DSGE모형에

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관측방정식의 관측변수 숫자 이상으로 외생적 충격을 포함시키는 방법을 제안하였다. 본 연구에서는 Ingram, Kocherlakota and Savin(1994)의 방 법을 이용하여 DSGE모형을 추정하였다.

이와 같은 과정을 거쳐 칼만필터에 의해 계산된 DSGE모형의 우도함 수를 ¥ Þ±ƒçġ ß라 할 때 사후분포 ƎÞġ籃ß는 우도함수와 사전분포 ƎÞġ ß 의 곱으로 표현될 수 있다.

ƎÞġç±_ƒßw¥ Þ±_ƒçġ ßƎÞġ ß (식4-2)

(식4-2)가 의미하는 바는 데이터를 관측하기 전 연구자의 파라미터에 관한 선험적 믿음을 나타내는 사전분포가 데이터의 정보를 포함하는 우 도함수에 의해 업데이트 되는 과정을 거친다는 것이다. 그러나 (식4-2) 의 관계에 의해 사후분포가 성립한다고 하여도 사후분포로부터 DSGE모 형의 파라미터를 직접 추출하는 것은 어렵게 된다. 이는 전술한 바와 같 이 DSGE모형의 경우 사후분포의 정확한 해석적 형태가 알려져 있지 않 기 때문이다. 이에 따라 Dejong, Ingram and Whiteman(2000)은 임포턴 스 샘플링(importance sampling)방법을 통해 DSGE모형을 추정하는 방 식을 제안하였으나, 최근에는 Otrok(2001)과 An and Schorfheide(2005) 등에 의해 제안된 랜덤워크 메트로폴리스-헤이스팅스(Metropolis-Hastings) 알고리듬을 이용한 MCMC 시뮬레이션이 주로 이용되고 있다. 랜덤워크 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리듬은 사후분포에 대해 알려진 정보가 없을 경우에 유용한 MCMC 시뮬레이션 방법으로 파라미터를 다음과 같 은 방식으로 추출하는 방법을 말한다.

ġ^`á ġ^{Þƌ à Î ß}â ō (식4-3)

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(식4-3)에서 ġ^{`</sup>는 n번째 시뮬레이션에서 추출된 파라미터로 후보 파라미터(candidate parameter)라 부르며, ō를 증가 확률변수(increment random variable)라 부른다. ġ<sup>`}를 후보 파라미터라 부르는 이유는 n번 째 추출된 후보 파라미터는 다음과 같은 확률 ķ로 취해지거나 ÞÎ à ķß 의 확률로 ^ġ`á ġ^{Þƌ à Î ß}이 되기 때문이다.

ķ ᔐ•ƙ

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ƚ

ƎÞġ^{Þƌ à Î ß}ç±_ƒß ƎÞġ^`ç±_ƒß

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(식4-4)에서 ƎÞġ^`籃ß와 ƎÞġ^{Þƌ à Îß}籃ß은 ƌ à Î번째 추출된 파라미터

ġ^{Þƌ à Îß}과 ƌ번째 추출된 ġ^`에서 평가된 사후분포를 의미한다. 랜덤워크

MCMC 시뮬레이션을 수행할 때 가장 중요한 점은 (식4-3)의 증가확률 변수 ō의 분포를 선택하는 것이다. 이는 ō의 형태에 따라 후보 파라미 터의 분포가 결정되기 때문이다. 일반적으로 ō의 분포로는 MCMC 시 뮬레이션을 수행하는 데 수월한 다변수정규분포가 이용되고 있으므로 본 연구도 증가 확률변수 ō의 분포로 다변수정규분포를 이용하였다.

지금까지 설명한 랜덤워크 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리듬을 수 행하여 사후분포로부터 파라미터를 추출하는 구체적 실행절차는 다음 과 같다.

단계 1. 사후분포 ƎÞġçƖ_ƒß를 극대화하는 ^ÿġ를 구한다.¹³⁾ 단계 2. ^ÿġ에서 역-헤시안(inverse Hessian)행렬 ^Āİ를 구한다.

13) 이와 같은 추정방법을 MAP(Maximum a posteriori)방법이라 한다.

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단계 3. 다변수정규분포 § ÞÿġìƁ^Ïćİß로부터 초기값 ġ^×를 추출한다. Ɓ

는 임의의 상수값을 의미한다.

단계 4. 후보 파라미터 ġ^`를 § Þġ^{Þƌ à Î ß}ìƁ^Ïćİß에서 추출하여 (식4-4)의 확률 ķ로 취하거나 ÞÎ à ķ ß의 확률로 기각한다.

단계 5. 단계 1~4까지의 단계를 무수히 반복하여 사후분포를 추정한다.