3. 경제학에서 도함수 개념

 5.1 함수의 극한

 1. 수열의 극한

 2. 함수의 극한

 5.2 도함수

 1. 평균 함수와 평균변화율 함수

 2. 순간변화율 함수=도함수

 3. 경제학에서 도함수 개념

 4. 고계 도함수

 5. 그래프 모양과 도함수 부호

5.3 미분법칙

1. 함수들의 가감승제 함수 미분법 2. 연쇄법칙

3. 지수함수와 로그함수의 미분법 5.4 근사치로서의 미분

5.4 한계량, 평균량 및 탄력성간의 관계 1. 평균비용과 한계비용

2. 평균수입과 한계수입

3. 수요의 가격에 대한 반응도와 탄력성 4. 탄력성과 총지출액

1. 수열과 극한

1) 대표적 예

n이 1, 2, 3, ∙∙∙, 1000, ∙∙∙ 등으로 무한히 커질 때( “n→ ∞”로 표현), xⁿ은 1, 1/2, 1/3,

∙∙∙, 0.001, ∙∙∙ 등으로 점차 작아지며 결국 0 에 가까이 간다.(이를 “xⁿ →0”으로 표현).

이를 수학기호로는

1, x_{n } n

lim  0



 n n

x

<참고> 예컨대

n=1,000,000,000,000=10^12(1조)이면 xⁿ = 1/10^(12)=0.000000000001 여기서 “1조”는 크되 무한대(∞)는 아니며, “1/(1

조)”는 매우 작되 영(0)은 아니다.

무한대는 “수”가 아니다.

“1/n→0”은 “1/n = 0”과는 다르다. “1/n”은 결코 0이 아니다.

2) 예 2

n이 1, 2, 3, ∙∙∙, 1000, ∙∙∙ 등으로 무한히 커질 때 ( “n→ ∞”로 표현), xⁿ은 -1, -1/2, -1/3, ∙∙∙, -

0.001, ∙∙∙ 등으로 점차 “커지며＂ 결국 0으로 가까 이 간다.(이를 “xⁿ → ^{0”으로 표현)}

※ 수열의 극한을 따질 때, 수열의 처음의 값들은 무영향.  극한은 수열의 “꼬리(tail)” 부분의 특성이다.

1 , x_n   n

3) 비수렴(발산)

n x

 2  3

n이 1, 2, 3, ∙∙∙, 1000, ∙∙∙ 등으로 무한히 커질 때 ( “n→∞”로 표현),

xn은 점차 무한히 커진다.

(이를 “xn→ ∞”로 표현) 발산한다(diverge)고 말함.

2. 함수의 극한

함수 y=f(x)에서

x가 x₀에 근접할 때

f(x)가 어떤 값 L에 근접한다면,

L을 “x가 x₀에 근접할 때 f(x)의 극한”이라 하고

로 표기한다:

L x

f

x x



( )  lim

0

1) “x가 x₀에 근접”

x가 x₀에 근접하는 여러가지 수열을 고려해야 하 나, 대표적으로 2가지 적용:

2) “f(x)가 어떤 값 L에 근접”

어떤 경로를 따르든 f(x)가 L로 수렴하면 된다.

1 ,

0

n

x

x

_{ } 1 ,

0

n

x

x

_{ }

x가

을 따라 값을 취하면, 함수값은

가 된다.

? lim 2

1





x  L

x

n x n

x

1 1 ¹

0

  



n n

x n f

x

f

1 ) 2 ²

1 ( 2 1 )

( )

( 

    

 따라서 n→∞일 때

 이고

 이다.

 이것은 x가 1의 우측에서 1에 근접함에 따라 얻어 지는 f(x)의 극한이므로 “우극한”이라 부르고 L⁺로 표기하고, 접근은 “x

→1

1 1 1 1

0

   

 x n n

x

2 2 2

1 ) 1

( 2 1 )

( )

( 

     

n n

x n f x

f

2 )

lim (

1





 ^

L x

f

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

n xn f(xn)

1 2 4

2 1.5 3

3 1.333333 2.666667

4 1.25 2.5

5 1.2 2.4

6 1.166667 2.333333

7 1.142857 2.285714

8 1.125 2.25

9 1.111111 2.222222

10 1.1 2.2

11 1.090909 2.181818

12 1.083333 2.166667

또한 x가

을 따라 값을 취하면, 함수값은

가 된다.

n x n

x

1 1 ¹

0

  



n n

x n f

x

f

1 ) 2 ²

1 ( 2 1 )

( )

( 

    

 따라서 n→∞일 때

 이고

 이다.

 이것은 x가 1의 좌측에서 1에 근접함에 따라 얻어 지는 f(x)의 극한이므로 “좌극한”이라 부르고 L^-로 표기하고, 접근은 “x

→1

1 1 1 1

0

   

 x n n

x

2 2 2

1 ) 1

( 2 1 )

( )

( 

     

n n

x n f x

f

2 )

lim (

1





 ^

L x

f

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

위에서 본 바와 같이 좌극한과 우극한이 일치하면 극한이 존재한다고 한다.

따라서

x

 1

f ( x

)  2

2 )

(

lim

 



f x L

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2

 좌극한 탐색. n→∞일 때

1 2 1 2

0

   

 x n n

x

1 4 4 4

1 ) 2

( 1 )

( )

(

2

0

      

 f x n n n n

x f

2 ,

)

( 



 f x x x

y

 우극한 탐색. n→∞일 때

1 2 1 2

0

   

 x n n

x

1 4 4 4

1 ) 2

( 1 )

( )

(

2

0

      

 f x n n n n

x

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

4 )

lim (

2







L x

f

x

 



 





 

 2 , `` 1

1

``

, ) 1

( if x

x x if

f y

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x→1일 때 극한은?

 우측에서 1에 접근하는 어떠한 수열 xⁿ에 대하여 도 함수값은 2이므로 우극한=2.

 좌측에서 1에 접근하는 어떠한 수열 xⁿ에 대하여 도 함수값은 1이므로 좌극한=1.

 좌극한 ≠ 우극한이므로 x→1일 때 극한은 없다.

 

 



 

 













1

``

, 2

1

``

, 0

1

``

, 1 )

(

x if

x if

x if

x f y

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

 x=1에서의 극한은 2(함수값은 1)

 2



 1



 x

)``

1 x _ x







 x n n x

1 / ,``

)``

2

)``

3 _ x _ x _ x

) /

1 :

( 예 x

_ x

_ n _{ } x

0

0

  ,```  

 x x x

x

 ∆x^{→0일 때}

 우극한

 좌극한 일 때.

 동시에 고려됨.

2

0

) ( 2 ) ( 2 )

( x x f x x

f _{       }

2 ,

)

( 



 f x x x y

4 )

( 4

4    



 x x



 x 0



 x 0

 ∆x는 0보다 큰 값에서 0으로 점차 감소해 감.

 (일정한 공식에 따라 감소할 필요는 없음)



 x 0

만약 라면, (a) 실수 k에 대해

(b)

(c)

, )

( lim

0

x f

x

f x _ L

 g

x

x

g x _ L



( ) lim

0

x f x x

x

kf x _ k f x _ kL





[ ( )] lim [ ( )]

lim

0 0

)]

( lim

[ )]

( lim

[ )]

( )

( [ lim

0 0

0

x f x

f x

g x

f

x

x_

 



g

f

L

L _



g x f

x x

x x

x

f x g x _ f x f x _ L L







[ ( ) ( )] [ lim ( )][ lim ( )]

lim

0 0

0

(d)

단, g(x)≠0, L^g ≠0 (e)

g f

x x

x x x

x

L

L x

g x f x

g x

f  







lim ( )

) ( lim

) ] (

) [ (

lim

0 0 0

) (

)) (

lim (

)) (

( lim

0 0

x g x x

x

f g x _ f g x _ f L





(e) 적용례

) (

)) (

lim (

)) (

( lim

0 0

x g x x

x

f g x _ f g x _ f L





)

2 (

)

(  

 f y y z

1 2

)

( 



 g x x

y _{lim ( ) 3}

1

 

 g

x

g x L

1 )

(

lim

 

 f

y

f y L

5 2

5

2

1 2 ) ( 2 1 )

2 ( ))

(

(     

 f g x x x

z

1. 평균 함수와 평균변화율 함수 원래의 원함수 y=f(x)

1) x의 1단위당 y함수(평균함수):

(예) x=이동시간, y= 이동 거리, y/x= 평균 속도

<도시>

x=인구, y=국민총소득, y/x=1인당 국민소득

x x f

x

y ( )



(경제문제 예)

 Q=생산량, C=총생산비=C(Q),

 C/Q=C(Q)/Q= 평균비용(Average Cost. AC)

Q Q Q

Q C

C 130

) 120

( ²

3









120 130 )

( ²









 Q Q

Q Q C Q

AC C

[예 5-8] 평균함수의 기하학적 도출 y=f(x)=x²,

y/x=f(x)/x = x

원래의 원함수 y=f(x)

가 에서 로 ∆x(=x의 차분)만큼 변화시

가 에서 로

의 차분 만큼 변화한다고 하자. 이 때

차분계수, or 평균변화율 함수

x

x

_{ } x x

y

y x

f x

x f

y _{    }

 (

) (

)

 





 





x

x f x

x f x

y ( ₀ ) ( ₀)

(예 5-9) y=f(x)=x², x₀=1에서 차분계수 계산

) (

)

( x

x f x

f

y _{   }



2 0

2 0 2

0

) ( ) 2 ( )

( x _{ } x _ x _ x _ x _{ } x



2 2

0

( ) 2 ( )

2 x _ x _{ } x _{ } x _{ } x



x x

x x

x

y   







 



 2 ( )

2

 ∆x→0일 때 차분계수의 극한이 존재하면 그것을 순간변화율 or 미분계수라 하고,

 로 표기한다.

) ) (

( )

( _{0 0}

0

0

lim

lim

x x

x dx f

dy x

x f x

x f x

y   







 













 y=f(x)=x², x₀=1에서 차분계수:

 ∆x→0일 때 차분계수의 극한 계산

x x

x x

x

y   







 



 2 ( )

2

2 )

2

lim

lim







 











x x y

x x

n x_n f(x)=x^2 ∆x ∆y ∆y/∆x

1 0 0 -1 -1 1

2 0.5 0.25 -0.5 -0.75 1.5

10 0.9 0.81 -0.1 -0.19 1.9

100 0.99 0.9801 -0.01 -0.0199 1.99

1000 0.999 0.998001 -0.001 -0.002 1.999

↓ ↓

x_0 1 1 0 0 2

↑ ↑

1000 1.001 1.002001 0.001 0.002001 2.001

100 1.01 1.0201 0.01 0.0201 2.01

10 1.1 1.21 0.1 0.21 2.1

2 1.5 2.25 0.5 1.25 2.5

1 2 4 1 3 3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2

x^2 TT

)

( x x f

y _{ }

 함수 에서

◦ x₀=1에서의 미분계수는 2.

◦ x₀=2에서의 미분계수는 ?

◦ x₀=3.2에서의 미분계수는 ?

 각 x값에 대해 그 점에서 계산한 미분계수를 부여 하는 공식을 y=f(x)의 도함수(derivative)라 부르고

 로 표기한다.



)

( x x f

y _{ }

) ( x dx f

dy  

,  3 , 2 , 1 ,

)

(  

 f x x n

y

n

n

x

x x

x f x

x f

y _{       }

 ( ) ( ) ( )

1 1

1 0

0 0

) (

) (

) (

)

(x x C x x _nC x ⁿ x _nC x ⁿ x

n

i

i i

n i n

n      



 ^





n n

n n n

n

n C₂x ²(x )²   C x (x )

 ^  ^

2 2

1

1( ) (1/2) ( 1) ( ) )

(x _{ }x ⁿ _ x ⁿ _ nx ^n _x _ n n _ x ^n _x

x)n

(



 

n n

n x n n x x x

nx

y  ¹( )¹  (1/2) (  1) ²( )²   ( )

 ^{ } 

1 2

1 (1/2) ( 1) ^ ( ) ^

      

 

 _{n n n}

x x

n n x

x nx

y 

] )

( )

1 (

) 2 / 1

[( ^{3 2}

1  

      

 

 _{n n n}

x x

n n x

x nx

y 

1

lim







 

  ⁿ

x

dx nx dy x

y

 (1) x>0일 때 y=f(x)=x이므로

∆y=f(x+∆x)-f(x)=(x+∆x)-x= ∆x.

∆y/∆x=1.

 lim

∆𝑥→0+

∆𝑦

∆𝑥 = lim

∆𝑥→0+1 = 1(우극한)

 (2) x<0일 때 y=f(x)=-x이므로

∆y=f(x+∆x)-f(x)=-(x+∆x)+x= -∆x.

∆y/∆x=-1.

 lim

∆𝑥→0−

∆𝑦

∆𝑥 = lim

∆𝑥→0− − 1 = −1(좌극한)

 (3) x=0에서 미분계수는 존재하지 않음.

 정의역의 모든 점에서 미분계수가 존재하는 함수

 (그래프에서 뾰족한 점이 없고 부드럽게 굽은 곡선 을 가진 함수)