Ⅱ 삼각함수 삼각함수 삼각함수

(1)

1 ^{일반각과 호도법} 2 삼각함수 3^{삼각함수의 그래프}

4사인법칙과 코사인법칙

Ⅱ ^삼각함수

(2)

주기적으로 반복되어 나타나는 현상을 설명할 때 타나는나는나 현상을상을상 설명할 때 삼각함수를 이용하면 편리하다.

(3)

스마트폰에 장착된 지피에스 수신기는 지피에스 위성 으로부터 신호를 받아 그 거리를 계산하고 현재의 위치를

좌표로 알려 준다. 이때 삼각함수가 이용된다.

지피에스(GPS: global positioning system)는 지피에스 위성에서 보내오 는 신호를 수신기가 받아, 이 정보와 삼각함수를 활용하여 현재의 위치를 알아낼 수 있는 시스템이다.

이전에는 주로 자동차의 내비게이션에서 볼 수 있었던 지피에스를 현재는 지피 에스 수신기가 장착된 스마트 기기의 보급으로 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있 다. 예를 들어 운행하고 있는 버스의 현재 위치와 다음 버스가 몇 분 후에 도착하 는지를 알 수 있고, 주변 검색을 통해 맛집 등의 정보를 알 수 있다.

이처럼 지피에스를 활용한 서비스는 그 분야가 계속 늘어나고 있다.

(세드리크 레이·장클로드 푸아자, “일상 속의 물리학”)

삼각함수 ^로

알 수 있는 현재 나의 위치

배운 내용 확인하기

2

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ABÓ=13, ACÓ=5일 때, 다음을 구하시오.

⑴ 변 BC의 길이 ⑵ 삼각형 ABC의 넓이

A

B C

13 5

1

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1`cm이고 중심각의 크기가 30ù인 부채꼴의 호의 길이

와 넓이를 구하시오. _30$

1 cm

(4)

도로에 설치된 신호등에서는 일정한 간격으로 신호가 반복되어 나타난다.

정확한 위치를 파악하기 위해서는 3개 이상의 지피에스 위성으로부터

신호를 수신해야 한다.

버스에 설치된 지피에스 수신기로 수신한 운행 정보를 무선통신으로 관제 센터에 전송하면

버스 정류장에 있는 안내 단말기에 그 정보가 표시된다. (서울대중교통 http://bus.go.kr)

4

다음 x에 대한 sin x, cos x, tan x의 값을 구하시오.

⑴ x=30ù ⑵ x=45ù ⑶ x=60ù

3

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ABÓ=5, BCÓ=4일 때, 다음 삼각비의 값을 구하 시오.

⑴ sin B ⑵ cos B ⑶ tan B

A

B 4 C

5

(5)

일반각과 호도법

일반각과 호도법의 뜻을 안다.

성취 기준

오른쪽 그림에서 ∠XOP의 크기는 반직선 OP가 고정된 반직선 OX의 위치에서 점 O를 중심으로 회전한 양이다. 이 때 반직선 OX를 시초선, 반직선 OP를 동경이라 한다.

동경 OP가 점 O를 중심으로 회전할 때, 시곗바늘이 도 는 방향과 반대인 방향을 양의 방향이라 하고, 시곗바늘 이 도는 방향과 같은 방향을 음의 방향이라 한다.

또 동경 OP가 양의 방향으로 회전하여 생기는 각의 크 기는 양의 부호 +를 붙여 나타내고, 음의 방향으로 회전 하여 생기는 각의 크기는 음의 부호 -를 붙여 나타낸다.

시초선과 동경

시초선은 출발의 기준이 되 는 선, 동경은 움직이는 선이라는 뜻이다.

일반적으로 양의 부호 +는 생략하여 나타낸다.

O X

P

동경

시초선

O X

P

양의 방향 (+) 음의 방향 (-) 탐구 학습

오른쪽 그림에서 시계가 12시를 가리키고 있다. 2시 30분을 가리키게 하려면 분침을 시곗바늘이 도는 방향으로 몇 도 (ù) 만큼 회전시키면 되는지 말하여 보자.

열기

일반각이란 무엇일까?

2시 30분을 가리키게 하려면 분침을 시곗바늘이 도는 방향으 로 두 바퀴 돌린 다음 180ù만큼 더 돌려야 하므로

360ù_2+180ù=900ù만큼 회전시키면 된다.

다지기

여러 바퀴를 회전하여 생기는 각의 크기는 어떻게 나타낼 수 있을까?

키우기

몇 도나 돈 거야?

360ù 회전!

720ù 회전!나는

(6)

양의 방향으로 110ù 양의 방향으로 420ù 음의 방향으로 60ù 주어진 각을 나타내는 시초선 OX와 동경 OP를 그림으로 나타내기

일반적으로 시초선 OX와 동경 OP가 나타내는

∠XOP의 크기 중에서 하나를 aù라 할 때, 동경 OP가 나타내는 각의 크기는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

360ù_n+aù (단, n은 정수)

이것을 동경 OP가 나타내는 일반각이라 한다.

보통 aù는 0ùÉaù<360ù 인 것을 택한다.

a$

O X

P

∠XOP에서 시초선 OX는 고정되어 있으므로 ∠XOP의 크기가 주어지면 동경 OP의 위치는 하나로 정해진다. 그러나 동경 OP의 위치가 정해지더라도 ∠XOP의 크기는 하나로 정해지지 않는다.

예를 들어 시초선 OX와 50ù의 위치에 있는 동경 OP가 나타내는 각의 크기는 다 음 그림과 같이 여러 가지이다.

일반각

50$

360$^1+50$=410$

O X

P

50$

O X

P

360$^2+50$=770$

50$

O X

P

360$^(-2)+50$=-670$

크기가 다음과 같은 각을 나타내는 시초선 OX와 동경 OP를 그리시오.

⑴ 100ù ⑵ 395ù

⑶ -260ù ⑷ -475ù

1

문제

동경의 위치가 같더라도 회전 방향이나

회전수에 따라 각의 크기는 다를 수 있어.

(7)

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을 360ù_n+aù 꼴로 나타내시오.

(단, n은 정수, 0ùÉaù<360ù)

⑴ 55ù ⑵ 480ù ⑶ -110ù ⑷ -450ù

2

문제

크기가 다음과 같은 각은 제몇 사분면의 각인지 말하시오.

⑴ 300ù ⑵ 1090ù ⑶ -240ù ⑷ -535ù

3

문제

좌표평면 위의 원점 O에서 x축의 양의 방향을 시초선 으로 잡았을 때, 동경 OP가 제 1 사분면, 제 2 사분면, 제 3 사분면, 제 4 사분면에 있으면 동경 OP가 나타내는 각을 각각 제 1 사분면의 각, 제 2 사분면의 각, 제 3 사분면 의 각, 제 4 사분면의 각이라 한다.

사분면의 각

제 1 사분면 제 2 사분면

제 4 사분면 제 3 사분면

O P

x y

a$

90ù는 제몇 사분면의 각인 가요?

90ù와 같이 동경이 좌표축 위에 있으면 그 동경이 나타내 는 각은 어느 사분면의 각도 아 니에요.

400ù의 동경이 나타내는 일반각은?

840ù는 제몇 사분면의 각이지?

120ù와 동경의 위치가 같으니까 제 2 사분면의 각이야.

(8)

탐구 학습

오른쪽 그림과 같이 색종이를 이용하여 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 두 부채꼴 OAB와 O'A'B'을 만들어 보고, 두 부채꼴의 중심각의 크기 를 비교하여 보자.

열기

호도법이란 무엇일까?

다음과 같이 두 부채꼴을 겹쳐 보면 두 각의 크기가 같음을 알 수 있다.

다지기

육십분법과 호도법 사이의 관계

➊ 1라디안=180ù

p ➋ 1ù= p 180 라디안

지금까지는 각의 크기를 나타낼 때, 30ù, 90ù, -120ù와 같이 도 (ù)를 단위로 하는 육십분법을 사용하였다. 이제 각의 크기를 나타내는 새로운 단위를 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 r인 원 O에서 길이 가 r인 호 AB에 대한 중심각의 크기를 aù라 하면 호의 길이 는 중심각의 크기에 비례하므로 다음이 성립함을 알 수 있다.

r`:`2pr=aù`:`360ù

 aù= 180ùp

따라서 중심각의 크기 aù는 원의 반지름의 길이 r에 관계없이 일정하다.

이 일정한 각의 크기 180ù

p 를 1라디안 ( radian )이라 하고, 이것을 단위로 각의 크 기를 나타내는 방법을 호도법이라 한다.

육십분법과 호도법 사이에는 다음 관계가 성립한다.

호도법

부채꼴에서 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때, 중심각의 크기는 항상 일정할까?

키우기

a$

B

O A

r

1라디안은 약 57ù이다.

p라디안=180ù야!

B

A 2

O 2

B'

3 A' 3

O'

(9)

호도법을 육십분법으로!

육십분법을 호도법으로!

다음 그림에서 안에 알맞은 각을 호도법 또는 육십분법으로 나타내시오.

1

1 -1

-1

x y

45$ = (1) (2)

-160$ = (3)

= 56 p

(4) =- p3 O

4

문제

호도법을 이용하여 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여 보자.

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 h (라디안)인 부채꼴 OAB에서 호 AB의 길이를 l, 부채꼴 OAB의 넓이를 S라 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 비 례하므로

l`:`2pr=h`:`2p

 l=rh

이다. 또 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 비례하므로 S`:`prÛ`=h`:`2p

 S=;2!; rÛ`h=;2!; rl 이다.

➊

부채꼴의 호의 길이와 넓이

q B

O A

S l

r

360ù=360_;18Ò0;

360ù=2p

l=rh이므로 ➊에서 S=;2!;rÛ`h=;2!;r_rh S=;2!;rl

각의 크기를 호도법으로 나타낼 때는 단위인 ‘라디안’은 생략하고 1, ;2Ò;, p와 같이 실수 처럼 쓴다.

참고

(10)

이상을 정리하면 다음과 같다.

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 h (라디안)인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면

➊ l=rh ➋ S=;2!; rÛ`h=;2!; rl

다음을 구하시오.

⑴ 반지름의 길이가 4, 중심각의 크기가 ;8#;p인 부채꼴의 호의 길이와 넓이

⑵ 반지름의 길이가 12, 호의 길이가 8인 부채꼴의 중심각의 크기와 넓이

5

문제

오류 찾기 생각을넓히는 ^수학

다음은 반지름의 길이가 1, 중심각의 크기가 60ù인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 잘못 구한 것이다. 그 까닭을 설 명하고 바르게 풀어 보자.

어디가 잘못된 거지?

(11)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 172쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ ∠XOP의 크기 중에서 하 나를 aù라 할 때, 동경 OP 가 나타내는 각의 크기는

⑴ _n+aù (n은 정수) 꼴로 나타낼 수 있고, 이

것을 동경 OP가 나타내는 (이)라 한다.

⑵ 1라디안= ù

p , 1ù= 180 라디안

⑶ 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 h ( 라디안 ) 인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 l= , S= =;2!; rl

2

다음에서 육십분법으로 나타낸 각은 호도법으로, 호도법으 로 나타낸 각은 육십분법으로 나타내시오.

⑴ 135ù ⑵ -70ù

⑶ ;3@;p ⑷ - p 10

4

반지름의 길이가 4, 호의 길이가 ;4(;p인 부채꼴의 중심각의 크기 h와 넓이 S를 구하시오.

5

둘레의 길이가 52인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

3

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을 2np+h 꼴로 나타내 고, 제몇 사분면의 각인지 말하시오.

(단, n은 정수, 0Éh<2p)

⑴ :ª9¥:p ⑵ -;5^;p

6

다음 그림과 같이 길이가 80 cm인 어느 자동차의 와이퍼는 유리를 닦는 부분의 길이가 60`cm이고, ;4#;p만큼 회전한다.

이 와이퍼가 유리를 닦는 부분의 넓이를 구하시오.

(단, 닦인 면은 부채꼴의 일부로 생각한다.) 창의• 융합

a$ X

P

O

(12)

삼각함수

삼각함수의 뜻을 안다.

성취 기준

오른쪽 그림과 같은 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에 서 ∠A의 삼각비는

sin A=;bA;, cos A=;bC;, tan A=;cA;

임을 중학교에서 배웠다.

삼각함수의 뜻

A B

C

a

c b 사다리와 지면 사이의

각의 크기를 두 배로 하면 어디까지 올라갈까?

삼각비를 이용해 봐.

탐구 학습

오른쪽 그림과 같이 막대기의 그림자의 끝과 건물의 그림자의 끝이 점 A에서 일치하게 AÕB'Ó 위에 길이 가 1`m인 막대기를 수직으로 세웠더니 막대기의 그 림자의 길이가 1.5`m가 되었다. ∠CAB=h라 할 때, 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ △ABC에서 tan h의 값을 구하시오.

⑵ △AB'C'에서 tan h의 값을 구하시오.

열기

삼각함수란 무엇일까?

⑴ △ABC에서

tan h= BÕCÓ ABÓ= 1

1.5 =;3@;

⑵ △ABC와 △AB'C'은 서로 닮은 도형이므로 tan h= BÕ'C'Ó

AÕB'Ó=BÕCÓ ABÓ=;3@;

다지기

0<h<;2Ò;일 때, tan h는 h에 대한 함수일까?

키우기

두 삼각형에서 tan h의 값이 같네!

(13)

중학교에서는 0ù부터 90ù까지의 각의 삼각비를 공부하였으나, 이제 삼각비의 개념 을 일반각으로 확장하여 보자.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 잡았을 때, 일반각 h를 나타내는 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원의 교점을 P(x, y)라 하면

y

r , x

r , y

x (x+0) 의 값은 r의 값과 관계없이 h의 값에 따라 각각 하나 로 정해진다.

삼각함수의 정의

동경 OP가 나타내는 일반각 h에 대하여 sin h=y

r cos h=x

r tan h=y

x (x+0)

sin, cos, tan는 각각 ‘sine’,

‘cosine’, ‘tangent’의 약자이다.

q O P( x, y)

x x

y

y r

r r

-r

q P( x, y) y

r -r

-r

O x

y r

x r

삼각함수에서 일반각 h는 보통 호도법으로 나타낸다.

참고 크기가 h인 각을 간단히 각

h라 하기도 한다.

지라르 (Girard, A., 1595~1632) 삼각함수의 약자를 처음 사 용한 프랑스의 수학자

따라서

h 24Ú yr , h 24Ú xr , h 24Ú yx (x+0) 와 같은 대응은 각각 h에 대한 함수이다.

이 함수를 차례로 h에 대한 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라 하고, 기호로 각각

sin h, cos h, tan h

와 같이 나타낸다.

즉

sin h= yr , cos h=x

r , tan h=y

x (x+0)

로 정의하고, 이 함수들을 통틀어 h에 대한 삼각함수라 한다.

(14)

원점 O와 점 P(12, -5)를 지나는 동경 OP가 나타내는 각을 h라 할 때, 다음 값을 구하시오.

⑴ sin h ⑵ cos h ⑶ tan h

1

문제

다음 각 h에 대하여 sin h, cos h, tan h의 값을 구하시오.

⑴ ;6&;p ⑵ -;4&;p ⑶ 120ù ⑷ -30ù

2

문제

| 삼각함수의 값 구하기 예제

1

h=;3$;p일 때, sin h, cos h, tan h의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 각 h=;3$;p를 나타내는 동경과 단위

43 p

O 1

-1

-1 1

P

H x

y

원의 교점을 P라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 OPÓ=1이고, ∠POH=;3Ò;이므로 점 P의 좌표는 {-;2!;, - '3

2 }이다.

따라서 sin`;3$;p=- '3

2 , cos`;3$;p=-;2!;, tan`;3$;p='3 이다.

 sin`;3$;p=- '3

2 , cos`;3$;p=-;2!;, tan`;3$;p='3

➊

풀이 ▶ 원점을 중심으로 하고 반지

름의 길이가 1인 원을 단위원이 라 한다.

➊에서 OHÓ=OPÓ cos ;3Ò;=;2!;

PHÓ=OPÓ sin ;3Ò;= '3 2

(15)

삼각함수의 값의 부호는 각 h를 나타내는 동경이 제몇 사분면에 있는지에 따라 동 경이 놓여 있는 사분면의 x좌표, y좌표의 부호에 의하여 결정된다.

따라서 각 사분면에서 h에 대한 삼각함수의 값의 부호를 구하여 그림으로 나타내 면 다음과 같다.

삼각함수의 값의 부호

다음을 만족시키는 각 h는 제몇 사분면의 각인지 말하시오.

⑴ sin h<0, cos h<0 ⑵ cos h tan h>0

4

문제

각 사분면에서 삼각함수의 값 의 부호가 +인 것을 나타내면 다음과 같다.

O

+ +

- - x

sinq y

O

- +

- + x

cosq y

O

- +

+ - x

tanq y

다음 각 h에 대하여 sin h, cos h, tan h의 값의 부호를 말하시오.

⑴ :Á5Á:p ⑵ -;7*;p ⑶ 250ù ⑷ -395ù

3

문제

O x

y sin q sin q

cos q tan q tan q cos q

예제 cos h<0, tan h>0을 만족시키는 각 h는 제몇 사분면의 각인지 말하시오.

| 삼각함수의 값의 부호 이해하기

2

풀이 ▶ cos h<0이므로 각 h는 제 2 사분면의 각 또는 제 3 사분면의 각 tan h>0이므로 각 h는 제 1 사분면의 각 또는 제 3 사분면의 각 따라서 cos h<0, tan h>0을 만족시키는 각 h는 제 3 사분면의 각이다.

 제 3 사분면의 각

(16)

삼각함수 사이의 관계

➊ tan h=sin h

cos h ➋ sinÛ` h+cosÛ` h=1

(sin h)Û`=sinÛ` h (cos h)Û`=cosÛ` h

삼각함수 사이에는 어떤 관계가 있을까?

오른쪽 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경과 단위원 의 교점을 P(x, y)라 하면

sin h= y1 =y cos h= x1 =x 이고, tan h=y

x (x+0)이므로 tan h= yx=sin h

cos h 이다.

한편 점 P(x, y)는 단위원 위의 점이므로 xÛ`+yÛ`=1이다. 따라서 cosÛ` h+sinÛ` h=1

임을 알 수 있다.

삼각함수 사이의 관계

q O

P( x, y)

x x

y

-1

-1 1

1 1

각 h가 제 3 사분면의 각이고 cos h=-;4#;일 때, sin h, tan h의 값을 구하시오.

각 h가 제 4 사분면의 각이고 sin h=-;3!;일 때, cos h, tan h의 값을 구하시오.

| 삼각함수 사이의 관계 이해하기 ⑴

예제

3

^{따라 하기}

풀이 ▶ sinÛ` h+cosÛ` h=1에서

sinÛ` h=1-cosÛ` h=1-;1»6;=;1¦6;

이때 각 h가 제 3 사분면의 각이므로 sin h<0 따라서 sinÛ` h=;1¦6;에서 sin h=- '7

4 또 tan h=sin h

cos h 이므로 tan h='7 3

 sin h=- '74 , tan h= '73

풀이 ▶ sinÛ` h+cosÛ` h=1에서 cosÛ` h=

이때 각 h가 제 4 사분면의 각이므로 cos h 0 따라서 cosÛ` h= 에서 cos h=

또 tan h=sin h

cos h 이므로 tan h=

 cos h= , tan h=

(17)

sin h-cos h=;3!;일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ sin h cos h ⑵ sinÜ` h-cosÜ` h

6

문제

각 h가 제 2 사분면의 각이고 sin h=;3@;일 때, cos h, tan h의 값을 구하시오.

5

문제

sin h+cos h=;2!;일 때, sin h cos h의 값을 구하시오.

| 삼각함수 사이의 관계 이해하기 ⑵

4

예제

풀이 ▶ sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면 sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=;4!;

sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로 2 sin h cos h=-;4#;

sin h cos h=-;8#;

 -;8#;

오류 찾기 생각을넓히는 수학

다음은 sin h=;5#;일 때, cos h의 값을 잘못 구한 것이다. 그 까닭을 설명하고, 바르게 풀어 보자.

왜 답이 두 개지?

(18)

스스로 확인하기

5

0<h<;2Ò;이고 sin h cos h=;4!;일 때, sinÜ` h+cosÜ` h의 값 을 구하시오.

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 동경 OP가 나타내는 일 반각 h에 대하여 sin h=

cos h=

tan h= (x+0)

⑵ tan h= cos h

⑶ sinÛ` h+cosÛ` h=

3

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin ;6%;p ⑵ cos {-;4#;p}

⑶ tan 390ù ⑷ sin (-420ù)

2

원점 O와 점 P(-2, 1)을 지나는 동경 OP가 나타내는 각 을 h라 할 때, sin h, cos h의 값을 구하시오.

4

각 h가 제 3 사분면의 각이고 sin h=-;1°3;일 때, 13 cos h+12 tan h의 값을 구하시오.

6

x에 대한 이차방정식 4xÛ`-4ax+aÛ`-2=0

의 두 근이 sin h, cos h일 때, 상수 a와 tan h의 값을 구하 시오.

도전 q

P( x, y) y

r -r

-r

O x

y r

x r

(19)

삼각함수의 그래프

사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.

성취 기준

오른쪽 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P(x, y)라 하면

sin h=;1};=y

이다. 즉 h의 값이 변할 때, sin h의 값은 점 P의 y좌표로 정해진다.

함수 y=sin x의 그래프

O q

P( x, y)

x x y

y

-1

-1 1

1 1 일정한 모양이

반복되네.

물결이 오르락내리락하네.

탐구 학습

다음 그림과 같이 한 곤돌라가 A 지점을 출발하여 화살표 방향으로 회전한다. 이 곤돌라가 ;6Ò;

만큼씩 회전했을 때, 회전한 각의 크기에 따라 A 지점을 기준으로 한 곤돌라의 높이를 좌표평 면 위에 나타내어 보자.

회전한 각 p6

p3

0 2

3 p 4

3 p 5 3 p 2p p

A

높이 열기

함수 y=sin x의 그래프는 어떻게 그릴까?

높이

회전한 각 p6

p3

0 2

3 p 4

3 p 5 3 p 2p p

A 다지기

위에서 좌표평면 위에 나타낸 점들을 매끄러운 곡선으로 연결하면 어떤 함수의 그래프일까?

키우기

(20)

따라서 h의 값을 가로축에, 그에 대응하는 sin h의 값을 세로축에 나타내면 다음 과 같은 함수 y=sin h의 그래프를 얻는다.

위의 함수 y=sin h의 그래프에서 다음을 알 수 있다.

일반적으로 함수의 정의역의 원소는 x로 나타내므로 함수 y=sin h에서 h를 x로 바꾸어 y=sin x로 나타낸다.

함수 f에서 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 f(x+p)=f(x)

를 만족시키는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, 함수 f를 주기함수라 하고 p의 값 중에 서 최소인 양수를 함수 f의 주기라 한다.

따라서 함수 y=sin x는 주기가 2p인 주기함수이다.

sin (x+2p)=sin x sin (x+4p)=sin x sin (x+6p)=sin x 

이므로 sin (x+p)=sin x 를 만 족시키는 최소인 양수 p는 2p 이다.

함수 y=sin x의 성질

➊ 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|-1ÉyÉ1}이다.

➋ 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉 sin (-x)=-sin x이다.

➌ 주기가 2p인 주기함수이다. 즉 sin (x+2np)=sin x (n은 정수)이다.

p q

2 2p

32 p O q

-1

-1 1

1 x y

O

-1

1 y=sin q

- p2 p

y

➊ 함수 y=sin h의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|-1ÉyÉ1}이다.

➋ 함수 y=sin h의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 sin (-h)=-sin h

가 성립한다.

➌ 함수 y=sin h의 그래프는 2p 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 h 에 대하여

sin (h+2np)=sin h ( n은 정수 ) 가 성립한다.

함수 y=sin h의 최댓값은 1, 최솟값은 -1이에요.

(21)

함수 y=sin kx의 주기는 2p

|k| 이다.

함수 y=k sin x의 치역은 {y|-|k|ÉyÉ|k|}이다.

예제 다음 함수의 주기와 치역을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ y=2 sin x ⑵ y=sin 2x

| 사인함수의 그래프 그리기

1

다음 함수의 주기와 치역을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ y=-sin x ⑵ y=2 sin 3x

1

문제

⑴ y=2-sin x ⑵ y=2 sin {x-;4Ò;}

2

문제

풀이 ▶ ⑴ f(x)=2 sin x라 하면 f(x)=2 sin x=2 sin (x+2p) f(x)=f(x+2p)

　 f(x)=f(x+2p)이므로 주기는 2p

　 -2É2 sin xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}

　 따라서 함수 y=2 sin x의 그래프는 다음과 같다.

p 2p

-p O x

y

p2 5

2 p 32 p

y=2 sin x - p2

-2 -1 2

1 y=sin x

⑵ f(x)=sin 2x라 하면 f(x)=sin 2x=sin (2x+2p) f(x)=sin 2(x+p)=f(x+p)

⑵ f(x)=f(x+p)이므로 주기는 p

⑵ -1Ésin 2xÉ1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1}

　 따라서 함수 y=sin 2x의 그래프는 다음과 같다.

p 2p

-p p

2 3

2 p

y=sin x

- p2 O

y

-1 1

52 p y=sin 2x

x

 풀이 참조 y=2 sin x의 그래프는

y=sin x의 그래프를 y축의 방향으로 2배 한

것과 같아.

y=sin 2x의 그래프는 y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;배 한

것과 같아.

(22)

함수 y=cos x의 그래프는 어떻게 그릴까?

오른쪽 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P(x, y)라 하면

cos h=;1{;=x

이다. 즉 h의 값이 변할 때, cos h의 값은 점 P의 x좌표 로 정해진다.

따라서 h의 값을 가로축에, 그에 대응하는 cos h의 값

을 세로축에 나타내면 다음과 같은 함수 y=cos h의 그래프를 얻는다.

위의 함수 y=cos h의 그래프에서 다음을 알 수 있다.

함수 y=cos x의 그래프

O q

P( x, y)

x x y

y

-1

-1 1

1 1

함수 y=cos x의 성질

➊ 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|-1ÉyÉ1}이다.

➋ 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. 즉 cos (-x)=cos x이다.

➌ 주기가 2p인 주기함수이다. 즉 cos (x+2np)=cos x (n은 정수)이다.

일반적으로 함수 y=cos h 에서 h를 x로 바꾸어 y=cos x 로 나타낸다.

q 2p

q

O -1

-1 1

1 x

O

-1

1 y=cos q

y - p2 p

y

p2 3

2 p

➊ 함수 y=cos h의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|-1ÉyÉ1}이다.

➋ 함수 y=cos h의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 cos (-h)=cos h

가 성립한다.

➌ 함수 y= cos h의 그래프는 2p 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 h 에 대하여

cos (h+2np)=cos h ( n은 정수 )

가 성립한다. 따라서 함수 y=cos h는 주기가 2p인 주기함수이다.

함수 y=cos h의 최댓값은 1, 최솟값은 -1이에요.

(23)

예제 다음 함수의 주기와 치역을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ y=2 cos x ⑵ y= cos 2x

| 코사인함수의 그래프 그리기

2

⑴ y=cos 3x ⑵ y=2 cos ;3{;

3

문제

⑴ y=cos 2x+1 ⑵ y=cos {x-;4Ò;}

4

문제

풀이 ▶ ⑴ f(x)=2 cos x라 하면 f(x)=2 cos x=2 cos (x+2p) f(x)=f(x+2p)

　 f(x)=f(x+2p)이므로 주기는 2p

　 -2É2 cos xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}

　 따라서 함수 y=2 cos x의 그래프는 다음과 같다.

2p x

p2 5

2 p y=cos x y=2 cos x

- p2 O y

-2 -1 2 1

-p p 3

2 p

⑵ f(x)=cos 2x라 하면 f(x)=cos 2x=cos (2x+2p) f(x)=cos 2(x+p)=f(x+p)

⑵ f(x)=f(x+p)이므로 주기는 p

⑵ -1Écos 2xÉ1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1}

　 따라서 함수 y=cos 2x의 그래프는 다음과 같다.

2p x

32 p - p2 O

y

-1 1

52 p y=cos 2x y=cos x p2

p -p

 풀이 참조 함수 y=cos kx의 주기는

2p

|k|이다.

함수 y=k cos x의 치역은 {y|-|k|ÉyÉ|k|}이다.

y=2 cos x의 그래프는 y=cos x의 그래프를 y축의 방향으로 2배 한

것과 같아.

y=cos 2x의 그래프는 y=cos x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;배 한

것과 같아.

(24)

함수 y=tan x의 그래프는 어떻게 그릴까?

오른쪽 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P(x, y)라 하고, 동경 OP와 직선 x=1의 교점을 T(1, t)라 하면

tan h=;[};=;1T;=t

이다. 즉 h의 값이 변할 때, tan h의 값은 점 T의 y좌표 로 정해진다.

한편 h=np+;2Ò; (n은 정수)일 때, 각 h를 나타내는 동경 OP는 y축 위에 있다.

즉 점 P의 x좌표가 0이므로 tan h의 값은 정의되지 않는다.

따라서 h의 값을 가로축에, 그에 대응하는 tan h의 값을 세로축에 나타내면 다음 과 같은 함수 y=tan h의 그래프를 얻는다.

함수 y=tan x의 그래프

O q

P( x, y) T(1, t) x

x=1 y

-1

-1 1

1 x y

함수 y=tan h는 최댓값과 최솟값이

없어요!

q 1

-1 1

-1

1

-1 y

O x 3

2p 5

2p y=tan q

- p2 p

2

-p p 2p

q

y

O

➊ 함수 y=tan h의 정의역은 np+;2Ò; (n은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합이

➊ 고, 치역은 실수 전체의 집합이다.

➋ 임의의 정수 n에 대하여 직선 h=np+;2Ò; 는 함수 y=tan h의 그래프의 점근선

➊ 이다.

➌ 함수 y=tan h의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 tan (-h)=-tan h

➊ 가 성립한다.

➍ 함수 y=tan h의 그래프는 p 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 h 에 대하여

tan (h+np)=tan h (n은 정수)

➊ 가 성립한다. 따라서 함수 y=tan h는 주기가 p인 주기함수이다.

위의 함수 y=tan h의 그래프에서 다음을 알 수 있다.

(25)

다음 함수의 주기와 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ y=2 tan x ⑵ y=tan ;2{; ⑶ y=tan 2{x-;2Ò;}

5

문제

함수 y=tan kx의 주기는 p

|k|이고, kx=np+;2Ò; ( n은 정수 )일 때 tan kx의 값은 정의 되지 않는다.

예제 함수 y=tan 2x의 주기와 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

| 탄젠트함수의 그래프 그리기

3

풀이 ▶ f(x)=tan 2x라 하면 f(x)=tan (2x+p)

f(x)=tan 2{x+;2Ò;}=f {x+;2Ò;}

f(x)= f {x+;2Ò;}이므로 주기는 ;2Ò;

점근선의 방정식은 x=;2!;{np+;2Ò;}

x=;2N;p+;4Ò; (n은 정수) 따라서 함수 y=tan 2x의 그래프는

O x

y

y=tan 2x y=tan x

p 2

-2

-p - p2 3

p 4 p p 2 - p4 4 - 34 p 오른쪽 그림과 같다.

 풀이 참조 함수 y=tan x의 성질

➊ 정의역은 np+;2Ò; (n은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집 합이다.

➋ 그래프의 점근선은 직선 x=np+;2Ò; (n은 정수)이다.

➌ 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉 tan (-x)=-tan x이다.

➍ 주기가 p인 주기함수이다. 즉 tan (x+np)=tan x (n은 정수)이다.

일반적으로 함수 y=tan h 에서 h를 x로 바꾸어 y=tan x 로 나타낸다.

y=tan 2x의 그래프는 y=tan x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;배 한

것과 같아.

(26)

삼각함수가 포함된 방정식과 부등식은 어떻게 풀까?

sin x=1, cos x> '22 와 같이 각의 크기가 미지수인 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식의 해는 삼각함수의 그래프를 이용하여 구할 수 있다.

삼각함수가 포함된 방정식과 부등식

| 삼각함수가 포함된 방정식 풀기 예제 방정식 sin x= '3

2 을 푸시오. (단, 0Éx<2p)

4

풀이 ▶ 구하는 방정식의 해는 함수 y=sin x

÷3

2 p

O 2p -1

1

p2 p3 2

3 p

32 p y=sin x y= ÷32 y

x 의 그래프와 직선 y= '3

2 의 교점의 x좌표와 같으므로

x=;3Ò; 또는 x=;3@;p

 x=;3Ò; 또는 x=;3@;p

다음 방정식을 푸시오. (단, 0Éx<2p)

⑴ sin x=;2!; ⑵ cos x=- '3

2 ⑶ tan x=1

6

문제

다음 부등식을 푸시오. (단, 0Éx<2p)

⑴ sin x>;2!; ⑵ 2 cos x-'2<0 ⑶ '3 tan xÉ1

7

문제

예제 부등식 cos x<;2!; 을 푸시오. (단, 0Éx<2p)

| 삼각함수가 포함된 부등식 풀기

5

풀이 ▶ 구하는 부등식의 해는 함수 1

2 y=cos x

12 y=

32 p

p 2p

O

-1 1

p2

p3 5

3 p y

x y=cos x의 그래프가 직선 y=;2!;

보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값 의 범위와 같으므로

;3Ò;<x<;3%;p

 ;3Ò;<x<;3%;p

(27)

삼각함수에는 어떤 성질이 있을까?

다음 그림에서 두 함수 y=sin x, y=cos x의 그래프를 x축의 방향으로 -p만큼 평행이동하면 각각 y=-sin x, y=-cos x의 그래프와 일치함을 알 수 있다.

y y=sin x

y=-sin x -1

1

p2 p 3 x

3 2 p -2 p -p

- p2 O

y=cos x

y=-cos x O

-1 1

p2

p x

y

32 p 3 - p2

-2 p

-p

따라서 임의의 실수 x에 대하여 sin (p+x)=-sin x cos (p+x)=-cos x 이다.

한편 함수 y=tan x는 주기가 p이므로 임의의 실수 x에 대하여 tan (p+x)=tan x

이다.

p+x의 삼각함수

➊ sin (p+x)=-sin x ➋ cos (p+x)=-cos x

➌ tan (p+x)=tan x

위의 정리에서 x 대신 -x를 대입하면 sin (p-x)=-sin (-x)=sin x cos (p-x)=-cos (-x)=-cos x tan (p-x)=tan (-x)=-tan x 참고

함수 y=f(x)의 그래프를 x축 의 방향으로 a만큼, y축의 방향 으로 b만큼 평행이동하면 y=f(x-a)+b

두 함수 y=sin x, y=cos x의 그래프에서 p 간격 으로 각 함숫값의 부호가 바뀐다.

(28)

다음 그림에서 함수 y=cos x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2Ò;만큼 평행이동하면 함수 y=sin x의 그래프와 일치함을 알 수 있다.

-p

y=cos x y=sin x

y

O

-1 1

p2 p x

32 p 32 p

-

- p2

따라서 임의의 실수 x에 대하여

cos {x-;2Ò;}=sin x …… ㉠ 이다. 이때 ㉠의 양변에 x 대신 ;2Ò;+x 를 대입하면

cos x=sin {;2Ò;+x} …… ㉡ 이고, ㉡의 양변에 x 대신 ;2Ò;+x 를 대입하면

cos {;2Ò;+x}=sin(p+x)=-sin x …… ㉢ 이다. 한편 tan x=sin x

cos x 이므로 ㉡, ㉢에서 다음이 성립함을 알 수 있다.

tan {;2Ò;+x}=sin {;2Ò;+x}

cos {;2Ò;+x}= cos x

-sin x =- 1 tan x

;2Ò;+x의 삼각함수

각을 p+x 또는 p-x 꼴로 고쳐 봐!

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin ;3$;p ⑵ cos ;4%;p ⑶ tan ;6%;p

8

문제

(29)

;2Ò;+x의 삼각함수

➊ sin {;2Ò;+x}=cos x ➋ cos {;2Ò;+x}=-sin x

➌ tan {;2Ò;+x}=- 1 tan x

위의 정리에서 x 대신 -x를 대입하면

sin {;2Ò;-x}=cos (-x)=cos x, cos {;2Ò;-x}=-sin (-x)=sin x tan {;2Ò;-x}=- 1

tan (-x) = 1 tan x 참고

문제 해결 생각을넓히는 수학

다음 식의 값을 구하여 보자.

⑴ cos ;1ÉÉ9;+cos ;1ª9;p+cos ;1£9;p+ y +cos ;1!9*;p+cos ;1!9(;p

⑵ sinÛ` ;1ÉÉ8;+sinÛ` ;1ª8;p+sinÛ` ;1£8;p+ y +sinÛ` ;1¦8;p+sinÛ` ;1¥8;p 다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin ;6%;p ⑵ cos ;4#;p ⑶ tan {-;3@;p}

9

문제

각을 ;2Ò;+x 꼴로 고쳐 봐!

(30)

스스로 확인하기

6

어떤 야구 선수가 배트로 야구공을 쳤을 때, 야구공의 처음 속력을 v`m/s, 야구공이 배트에 맞는 순간 지면과 이루는 각의 크기를 h, 야구공이 날아간 거리를 f(h)`m라 하면 f(h)= vÛ`10 sin 2h

가 성립한다고 한다. 야구공의 처음 속력이 30`m/s 일 때, 야구공이 날아간 거리가 45'3`m 이상 이 되게 하는 각 h의 값의 범위를 구하시오.

{단, 0ÉhÉ;2Ò;이고, 공기의 저항은 고려하 지 않는다.}

창의• 융합

5

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ sin {;2Ò;-x}+cos (p+x)-tan x tan {;2Ò;-x}

⑵ sinÛ` {;2Ò;+x}+cosÛ` {;2Ò;-x}

1

다음 표의 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 알맞은 것을 구하시오.

2

⑴ y=-1+2 sin 2x

⑵ y=;2!; cos ;2{;

3

함수 y=a sin bx+1의 최댓값이 6이고 주기가 ;3@;p일 때, 양수 a, b의 값을 구하시오.

4

다음 방정식과 부등식을 푸시오. (단, 0Éx<2p)

⑴ sin x=- '2 2

⑵ cos x¾ '2 2

⑶ |tan x|É1

y=sin x y=cos x y=tan x

정의역 실수 전체의 집합

실수 전체의 집합

㈎ 을/를 제외한

실수 전체의 집합

치역 ㈏ {y|-1ÉyÉ1} 실수 전체의

집합

주기 2p ㈐ p

대칭성 원점에 대하여 대칭

y축에 대하여 대칭

㈑ 에 대하여 대칭

(31)

컴퓨터와 수학 click!

스마트폰 프로그램으로 알아보는 삼각함수의 성질

일반적으로 두 함수 y=a sin bx+c, y=a cos bx+c (a, b, c는 상수)에 대하여 다음 성질이 성 립한다.

스마트폰 프로그램을 이용하여 함수 y=a sin bx+c의 그래프를 그려 보고, 위의 성질이 성립함 을 확인하여 보자.

정보 처리

능력 기르기 스마트폰 프로그램을 이용하여 함수 y=a cos bx+c ( a, b, c는 상수 )의 그래프를 그려 보고, 위의 성질이 성립함을 확인하여 보자.

➊ 최댓값: |a|+c ➋ 최솟값: -|a|+c ➌ 주기: 2p

|b|

1

을 터치한 후, x축의 눈금 간격에 ‘pi/2’를 입 력하여 x축의 눈금을 바 꾼다.

2

^{입력 창에}

‘y=a sin (bx)+c’

를 입력한 후 c에 0을 대 입한다.

기하창

눈금간격 자동 x축 y축

00 1

-1 p/2

p/2 1

-p/2 p

-p

-2 -3 2 3

입력...

p/2 p 5p/2

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 0 0

f(x) = asin(bx)+c c = 0

-5 5

→ f(x) = 1sin(1x)

3p/2 2p -p/2

3

^, ^{을 차례로 터치}

한 후, 곡선을 터치하면 그래프 위에 함숫값이 최대인 점과 최소인 점 이 표시된다.

4

화면의 아랫부분에 있 는 슬라이더를 움직이 거나 a, b, c에 임의의 값을 대입한 후, 3^에서

표시된 점들의 x좌표와 y좌표를 통해 위의 성질 을 만족시키는지 확인 한다.

3 2 1

-3 -4 0

0 p/2 p 5p/2

-1 3p/2 2p

-p/2 A-2

B D

C

입력...

f(x) = asin(bx)+c

→ f(x) = 1sin(1x) A = 극값 [f, -2.26, 9.

→ A = (-1.57, -1)

최댓값

최댓값을 찾으려면 함수를

선택하세요. ?

입력...

a = 2

-5 5

b = 2

-5 5

4 3 2 1

-3 -4 0

0 p/2 p 5p/2

-1 3p/2 2p

-p/2 -2A

B D F

C E G

(32)

야호!

사인법칙과 코사인법칙

사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

성취 기준

오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ∠A, ∠B, ∠C의 크기를 각각 A, B, C라 하고, 꼭짓점 A, B, C와 마주 보 는 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c로 나타내기로 한다.

사인법칙

탐구 학습

두 등대 A, B와 배 C의 위치가 오른쪽 그림과 같을 때, BCÓ

sin A , ACÓ sin B , ABÓ

sin C 의 값을 구하여 서로 비 교하여 보자.

열기

사인법칙이란 무엇일까?

∠A=60ù, ∠B=90ù, ∠C=30ù이므로 sin A= '3

2 , sin B=1, sin C=;2!;

이다. 따라서 구하는 값은 sin A =BCÓ 2'3

'32

=4`(km), ACÓ

sin B =;1$;=4`(km), ABÓ sin C =2

;2!;=4`(km) 로 그 값이 모두 같다.

다지기

삼각형 ABC에서 세 변의 길이와 sin A, sin B, sin C의 값은 어떤 관계가 있을까?

키우기

A

B C

a c b

삼각 측량은 삼각형의 변의 길이와 각의 크기

를 이용하여 지형을 측량하는 방법이야.

삼각점?

삼각 측량을 할 때 측량의 기준

이 되는 점이지.

(33)

A

B a C

c b

H Ú C<90ù일 때

Ú AHÓ =c sin B

=b sin C

Ü C>90ù일 때

Ú AHÓ =c sin B

=b sin(p-C)

=b sin C Û C=90ù일 때

Ú AHÓ =c sin B

=b sin C

사인함수를 이용하여 삼각형에서 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알 아보자.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 밑변 BC 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 H 라 하면 선분 AH의 길이를 ∠C의 크기에 따라 다음과 같이 세 경우로 나누어 구할 수 있다.

사인법칙

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A =a b

sin B = c sin C =2R

Ú, Û, Ü에서 ∠C의 크기에 관계없이 AHÓ=c sin B=b sin C이므로 sin B =b c

sin C 가 성립함을 알 수 있다.

마찬가지로 변 AB를 밑변으로 생각하면 a

sin A = b

sin B 가 성립하므로 sin A =a b

sin B = c sin C

이다. 이와 같은 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기에 대한 사인함숫값 사이의 관계를 사인법칙이라 한다.

또 오른쪽 그림과 같이 ∠A가 예각인 삼각형 ABC의 외접 원의 반지름의 길이를 R라 하고, 점 B에서 중심 O를 지나는 지름 BA'을 그으면 원주각의 성질에 따라 ∠A=∠A'이고,

∠BCA'=90ù이므로 sin A=sin A'= a 2R 즉 a

sin A =2R가 성립함을 알 수 있다.

A

B C

A'

O

a 2R a`:`b`:`c

=sin A`:`sin B`:`sin C

∠A가 직각, 둔각일 때도 a

sin A=2R가 성립한다.

두 각의 크기와 한 변의 길이를 알면 나머지 변의

길이를 구할 수 있어.

A

B a C H

c b A

B a C(H)

c b

(34)

삼각형 ABC에서 A=60ù, B=75ù, c=8'2일 때, a의 값과 외접원의 반지름의 길이 R를 구 하시오.

1

문제

예제 삼각형 ABC에서 sinÛ` A=sinÛ` B+sinÛ` C이면 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하 시오.

| 사인법칙을 이용하여 문제 해결하기

2

풀이 ▶ 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 따라 sin A= a2R , sin B= b

2R , sin C= c 2R 그런데 sinÛ` A=sinÛ` B+sinÛ` C이므로 { a

2R }2`={ b

2R }2`+{ c 2R }2`

따라서 aÛ`=bÛ`+cÛ`이므로 삼각형 ABC는 A=90ù인 직각삼각형이다.

 A=90ù인 직각삼각형

삼각형 ABC에서 다음 조건이 성립하면 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.

⑴ a sin A=b sin B=c sin C ⑵ b sinÛ` A=a sinÛ` B

2

문제

삼각형 ABC에서 b=4, A=75ù, B=45ù일 때, c의 값을 구하시오.

삼각형 ABC에서 c=5, B=105ù, C=30ù일 때, a의 값을 구하시오.

| 사인법칙 이해하기

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 C=180ù-(75ù+45ù)=60ù 사인법칙에 따라 4

sin 45ù = c

sin 60ù 이므로 c=sin 60ù_ 4

sin 45ù =2'6

 2'6

풀이 ▶ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 A=

사인법칙에 따라 5

sin 30ù = 이므로 a=



(35)

사인법칙을 활용하면 실생활에서 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

사인법칙의 활용

모둠별로 스마트폰의 각도기 프로그램을 이용하여 다음 순서에 따라 각의 크기를 측정하고, 사 인법칙을 이용하여 우리 학교 건물의 높이를 구하시오.

(단, 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 구한다.)

모둠 활동

4

문제

오른쪽 그림과 같이 두 지점 A, B에서 열기구를 올려본각의 크기가 각 각 75ù, 45ù이었다. 두 지점 A, B 사이의 거리가 15`m일 때, A 지점 에서 열기구까지의 거리를 구하시오.

3

문제

순서

➊ 다음 그림과 같이 운동장의 한 지점 A에서 학교 건물의 한 지 점 C를 올려본각의 크기를 측정 한다.

➋ 다음 그림과 같이 A 지점으로부터 20 m 떨어진 B 지점에서 C 지점을 올려본각 의 크기를 측정한다.

예제 오른쪽 그림과 같이 강을 사이에 두고 있는 두 지점 A, B 사 이의 거리를 구하기 위하여 B 지점에서 30`m 떨어진 곳에 C 지점을 정하였다. 두 지점 B, C에서 측정한 각의 크기가 각 각 ∠ABC=75ù, ∠ACB=45ù일 때, 두 지점 A, B 사이 의 거리를 구하시오.

| 사인법칙을 활용하여 문제 해결하기

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풀이 ▶ A=180ù-(75ù+45ù)=60ù이므로 사인 법칙에 따라

sin 60ù =30 ABÓ sin 45ù

ABÓ=sin 45ù_ 30sin 60ù =10'6`(m) 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10'6`m

 10'6`m

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탐구 학습

오른쪽 그림과 같이 산에 터널을 만들어 두 지점 B, C 를 연결하는 직선 도로를 건설하려고 한다. A 지점에서 두 지점 B, C까지의 거리가 각각 5'2`km, 6`km이고

∠ABC=45ù, ∠ACB=60ù일 때, 두 지점 B, C 사이 의 거리를 구하여 보자.

열기

코사인법칙이란 무엇일까?

코사인함수를 이용하여 삼각형에서 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 밑변 BC 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 H 라 하면 변 BC의 길이를 ∠C의 크기에 따라 다음과 같이 세 경우로 나누어 구할 수 있다.

코사인법칙

오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면

BCÓ=BHÓ+CHÓ

=ABÓ_cos 45ù+ACÓ_cos 60ù =5'2_ '2

2 +6_;2!;

=5+3=8 ( km )

따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 8`km이다.

다지기

삼각형 ABC에서 세 변의 길이와 cos A, cos B, cos C의 값은 어떤 관계가 있을까?

키우기

A

B 45$ H 60$ C

5÷2 km 6 km

A

B C

a c b

H Ú C<90ù일 때

Û a =BCÓ=BHÓ+CHÓ

=c cos B+b cos C

Û C=90ù일 때

Û a =BCÓ=c cos B

=c cos B+b cos C A

B a C(H)

c b

Ü C>90ù일 때

Û a =BCÓ=BHÓ-CHÓ

=c cos B-b cos (p-C)

=c cos B+b cos C A

B a C H

c b

C=90ù일 때 cos C=0이므로

c cos B=c cos B+b cos C

Ⅱ 삼각함수 삼각함수 삼각함수