정답과 해설 33 ALL 100
u
2학기 기말 고사VII. 삼각비 34
VIII. 원의 성질 39
3
중
201-q.tistory.com
34 수학 ➌
│2~6쪽│
01- ㉠, ㉢, ㉤
01-
;1£0;01-
01- 01-
'202-
2002-
cm¤02- 03-
03- 03-
;3$;04-
04-
;5#;04- 04-
②, ③05-
⑤05-
③05- 05-
006-
20˘06-
;4!;06-
'206-
30˘07-
7('3+1)07-
07-
607-
3'2+'607-
'2-108-
②08-
④08-
1.8109-
㉡, ㉤09-
⑤09-
010-
③10-
㉠, ㉥, ㉣, ㉡, ㉤, ㉢10-
③, ④11-
1.988711-
34˘11-
2.31168'63 5'22 '5+2
3
'3+12 2'67
'56 '33
25'32 '5 5
'∂296
1. 삼각비
VII . 삼각비
01 -
AC”="√4¤ +3¤ =5㉡cosA=;5$; ㉣ sinC=;5$; ㉥ tanC=;3$;
01-
△BCD에서 BC”="√8¤ -6¤ =2'7△ABC에서 AC”="√12¤ -(2'7)¤ =2'∂29
∴cos A=2'∂29= '∂296 12
01-
2x-y+4=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면 A(-2, 0), B(0, 4)직각삼각형AOB에서 AO”=2, BO”=4이므로 AB”="√2¤ +4¤ =2'5 ∴ cosa= 2 = '55
2'5
01 -
정삼각형BCD에서 BM”= _12=6'3 AH”= _12=4'6BH”=;3@;BM”=;3@;_6'3=4'3
따라서 △ABH에서 tanx=4'6='2 4'3 '63
'32
02-
tan B= =;3$;에서 AC”=16∴AB”="√12¤ +16¤ =20 AC”12
02-
cos C= = 에서AC”=3'2 AB”="√(3'2)¤ -('6)¤ =2'3이므로 cos A_tanA= _ '6 = '332'3 2'3 3'2 '33 '6 AC”
02 -
sinA= = 에서BC”=5'3(cm) AB”="√10¤ -(5'3)¤ =5(cm)이므로△ABC=;2!;_5'3_5= 25'3(cm¤ ) 2
'3 BC” 2
10
03-
cosA=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형ABC에서BC”="√3¤ -2¤ ='5
∴tanA-sinA= -
∴tanA-sinA= '56 '53 '52
C
A 2 B
3
03 -
7sinA-5=0에서 sinA=;7%;오른쪽 그림과 같은 직각삼각형ABC 에서AB”="√7¤ -5¤ =2'6
∴cosA= 2'67 A B
C
7 5
03-
tanA=3이므로 오른쪽 그림과 같은 직각 삼각형ABC에서 AC”="√1¤ +3¤ ='1å0∴
∴={ + }÷
∴= ÷ 3 =;3$;
'∂10 4 '∂10
3 '∂10 1
'∂10 3 '∂10 sin A+cos A
sin A
A B
C
3
1
04-
①sinB= =④cosC= =
⑤tanC= = AH”
CH”
AB”
AC”
CH”
AC”
AC”
BC”
AH”
AB”
AC”
BC”
04-
△ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠C=x△ABC에서 BC”=øπ(6'3)¤ +6¤ =12
∴sin x+cos x=sin C+cos C
∴sin x+cos x=6'3+;1§2;= '3+12 12
04-
△ABDª△HAD(AA 닮음)이므로 ∠ABD=x△ABD에서 BD”="√6¤ +8¤ =10
∴cosx=cos(∠ABD)=;1§0;=;5#
01-
AB”="√3¤ +1¤ ='∂10이므로sinA_sinB= _ 1 =;1£0;
'∂10 3
'∂10
04-
△ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠y=∠x△BED에서 BE”="√2¤ +('5)¤ =3
∴sin x+cos y=sin x+cosx
∴sin x+cosy=sin(∠BED)+cos(∠BED)
∴sin x+cosy='5+;3@;= '5+23 3
201-q.tistory.com
정답과 해설 35
05-
(주어진 식)=2_ +'3_'3_'2= 5'22 '2 22
05-
(주어진 식)={ + }÷ -{1+;2!;}÷;2!;(주어진 식)=3-3=0
'33 '32 '32
06-
sin60˘= 이므로2x+20˘=60˘2x=40˘ ∴ x=20˘
'32
06-
tan30˘= 이므로A=30˘∴sin A_cos(90˘-A)=sin30˘_cos60˘
∴sin A_cos(90˘-A)=;2!;_;2!;=;4!;
'33
06 -
4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0 ∴x=;2!;`(중근) 즉, sinA=;2!;이므로 ∠A=30˘06-
cos30˘= 이므로sin(x+15˘)=이때sin60˘= 이므로 x+15˘=60˘ ∴ x=45˘
∴sinx+cosx=sin 45˘+cos 45˘
∴sinx+cosx= +'2='2 '2 2
2 '32
'32 '32
07-
sin30˘= =;2!;이므로 BC”=7 cos30˘= = 이므로AB”=7'3∴AB”+BC”=7'3+7=7('3+1) '32
AB”14 BC”14
07-
△DBC에서 sin 45˘= = ∴BC”=4'2△ABC에서 sin 60˘= ='3 ∴AC”= 8'63 4'2 2
AC”
'22 BC”8
07-
△ABH에서 sin 45˘= = ∴BH”=3'2 cos 45˘= = ∴AH”=3'2△AHC에서 tan 30˘= = ∴CH”='6
∴BC”=BH”+CH”=3'2+'6 '33 CH”
3'2 '22 AH”6
'22 BH”6
07-
△ABD에서 sin 45˘= = ∴x=4△BCD에서 sin 30˘=;4};=;2!; ∴y=2
∴x+y=4+2=6
'22 2'2x
08 -
cos 49˘= = =OB”=0.66tan 49˘= = =CD”=1.15
∴cos 49˘+tan 49˘=0.66+1.15=1.81 CD”
1 CD”
OD”
OB”
1 OB”
OA”
08 -
①sinx= = =OB”②siny= = =AB”
③cosx= = =AB”
⑤tany= =CD”=CD”
CD” 1 OD”
AB”1 AB”
OA”
AB”1 AB”
OA”
OB”1 OB”
OA”
10-
㉠sin 45˘= ㉡sin 90˘=1㉢, ㉤1<tan 50˘<tan 70˘
㉣, ㉥ <cos 35˘<cos 15˘<1
따라서sin 45˘<cos35˘<cos15˘<sin 90˘<tan50˘
<tan70˘이므로 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉠, ㉥,
㉣, ㉡, ㉤, ㉢이다.
'22 '22
07-
△ABD가 이등변삼각형이고 ∠DBA+∠DAB=45˘이므로 ∠DBA=∠DAB=22.5˘
△ADC에서 AC”=x라고 하면 sin 45˘= = ∴AD”='2x
tan 45˘= =1 ∴CD”=x
따라서BD”=AD”='2x이므로 △ABC에서 tan 22.5˘= = = 1 ='2-1
'2+1 x
('2+1)x AC”
BC”
x CD”
'22 x AD”
05-
① (주어진 식)= -;2!;=② (주어진 식)= + ='3
③ (주어진 식)= - =0
④ (주어진 식)=1_'3='3
⑤ (주어진 식)=;2!;÷'3= '33 2
'22 '22
'32 '32
'3-12 '32
08-
BC”∥DE”이므로 ∠ACB=x∴cos x=cos(∠ACB)= =BC”=BC”
BC” 1 AC”
09-
⑤tan 90˘의 값은 정할 수 없다.09-
㉠sin 0˘=0 ㉢sin 30˘=;2!; ㉣cos 60˘=;2!;㉥tan 90˘의 값은 정할 수 없다.
09-
(주어진 식)=1_(0-1)+1=010-
45˘<A<90˘일 때, cosA<sinA<1, tanA>1∴cosA<sinA<tanA
10-
①A의 값이 커지면 sinA의 값도 커진다.②A의 값이 커지면 cosA의 값은 작아진다.
⑤cosA의 최솟값은 0이고 최댓값은 1이다.
11-
sin 33˘+cos 35˘+tan 32˘=0.5446+0.8192+0.6249=1.9887
11-
OD”=1이므로 OB”=1-0.4408=0.5592이때OB”=cos x이고 cos 56˘=0.5592이므로 x=56˘
AB”=sin 56˘=0.8290, CD”=tan 56˘=1.4826
∴AB”+CD”=0.8290+1.4826=2.3116
201-q.tistory.com
36 수학 ➌
│7~10쪽│
01-
10.59801-
②, ⑤01-
6(1+'2) m01-
5.96 m01-
9('3+1) m01-
10('3-1) m02-
5 cm02-
'∂41 cm02-
20'1å3 m03-
5'603-
40'6 m03-
8 cm04-
①04-
6(3-'3)04-
25('3-1) m05-
10'305-
2('3+1) cm05-
9(3+'3 ) cm¤06-
10'2 cm¤06-
8 cm06-
60˘06-
24'306-
(24'3+9'7) cm¤07-
4'3 cm¤07-
8 cm07-
54 cm¤07-
14'3 cm¤08-
12'3 cm¤08-
4 cm08-
cm¤09-
27'3 cm¤09-
120˘15'22
2. 삼각비의 활용
01-
a=ccos 47˘=b=csin 47˘=atan 47˘
c= = a
cos 47˘
sin 47˘b
tan 47˘b
01-
AC”=20 sin 32˘=20_0.5299=10.59801-
△ABC에서 AC”=8 sin 35˘=8_0.57=4.56(m)∴ (지면에서 연까지의 높이)=AH”=AC”+CH”
=4.56+1.4=5.96(m)
01-
AC”= =6÷ =6'2(m)∴ (나무의 높이)=AB”+AC”
=6+6'2=6(1+'2)(m) '22
sin45˘6
01-
CH”=9 m이므로△ACH에서AH”= =9(m)△AHB에서 BH”=AH”tan60˘=9_'3=9'3(m)
∴ (건물Q의 높이)=BC”=BH”+CH”
=9'3+9=9('3+1)(m) tan 45˘9
01-
처음 배의 위치를C, 1분 후 의 배의 위치를D라고 하면 오른쪽 그림에서∠CAB=60˘이므로
BC”=10 tan 60˘=10_'3=10'3(m) 또, ∠DAB=45˘이므로
BD”=10 tan 45˘=10_1=10(m)
∴CD”=BC”-BD”=10'3-10=10('3-1)(m) 따라서1분 동안 이 배가 이동한 거리는 10('3-1) m 이다.
45˘
30˘ A
C D B
10###m
02 -
꼭짓점A에서BC”에내린수선 의 발을H라고 하면△ABH에서 AH”=4'2sin45˘
AH”=4'2_ =4(cm)
BH”=4'2cos 45˘=4'2_ =4(cm)
CH”=BC”-BH”=7-4=3(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√4¤ +3¤ =5(cm)
'22 '22
45˘
A
B H C
7###cm cm 4 2
02-
꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선 의 발을H라고 하면△ABH에서 AH”=5 sinB AH”=5_;5$;=4(cm) BH”="√5¤ -4¤ =3(cm)이므로 CH”=8-3=5(cm)
따라서 △AHC에서 AC”="√4¤ +5¤ ='∂41(cm) H
A
B C
5###cm
8###cm
02-
꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선 의 발을H라고 하면△ACH에서 AH”=60sin60˘
AH”=60_ =30'3(m) CH”=60 cos60˘=60_;2!;=30(m) BH”=BC”-CH”=80-30=50(m)이므로
△AHB에서 AB”=øπ(30'3)¤ +50¤ =20'1å3(m) '32
60˘
A B
H C
80###m 60###m
03-
∠A=180˘-(45˘+75˘)=60˘꼭짓점C에서AB”에내린수선의 발을H라고 하면 △BCH에서 CH”=120 sin 45˘
CH”=120_ =60'2(m) 따라서 △AHC에서
AC”= =60'2_ 2 =40'6(m) '3
sin 60˘60'2 '22
45˘ 75˘
A H
B 120###m C
03-
∠B=180˘-(75˘+60˘)=45˘꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선 의 발을H라고하면△AHC에서 AH”=10 sin 60˘
AH”=10_ =5'3
따라서 △ABH에서AB”= =5'3_ 2 =5'6 '2 sin 45˘5'3
'32
03-
∠A=180˘-(30˘+105˘)=45˘꼭짓점C에서 AB”에 내린 수선의 발을H라고 하면
△AHC에서 30˘ 105˘
A
B
H
C cm 4 2
60˘
75˘
A
B H C
10
201-q.tistory.com
정답과 해설 37
04 -
∠ACH=50˘이므로 AH”=h tan 50˘(m)∠BCH=35˘이므로 BH”=h tan 35˘(m)
AB”=AH”+BH”이므로 100=h tan 50˘+h tan 35˘
(tan 50˘+tan 35˘)h=100
∴h= 100 tan 50˘+tan 35˘
04-
꼭짓점A에서 BC”에 내린 수 선의 발을H라 하고 AH”=h m라고 하면∠BAH=60˘이므로 BH”=htan 60˘='3h(m)
∠CAH=45˘이므로 CH”=htan 45˘=h(m) BC”=BH”+CH”이므로 50='3h+h, ('3+1)h=50
∴h= =25('3-1)
따라서 육지에서 섬의A 지점까지 가장 짧은 거리는 25('3-1) m이다.
50 '3+1
50###mH45˘
30˘
A
B C
05-
CD”=h라고 하면 ∠ACD=60˘이므로 AD”=htan 60˘='3h∠BCD=30˘이므로 BD”=htan 30˘= h
AB”=AD”-BD”이므로 20='3h- h h=20 ∴ h=10'3
2'33
'33 '33
05-
CH”=h cm라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=hcos60˘='3h(cm)∠BCH=45˘이므로 BH”=hcos45˘=h(cm) AB”=AH”-BH”이므로 4='3h-h, ('3-1)h=4
∴ h= 4 =2('3+1) '3-1
05-
AH”=h cm라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(cm)∠CAH=30˘이므로 CH”=htan 30˘= h(cm) BC”=BH”-CH”이므로 6=h- h
{1- }h=6 ∴ h= =3(3+'3)
∴ △ABC=;2!;_6_3(3+'3 )=9(3+'3 )(cm¤ ) 18
3-'3 '33
'33 '33 CH”=4'2sin 45˘=4'2_ =4(cm)
따라서 △BCH에서 BC”= 4 =4_2=8(cm) sin30˘
'22
06-
△ABC=;2!;_5_8_sin 45˘△ABC=;2!;_5_8_'2=10'2(cm¤ ) 2
06-
;2!;_AB”_10_sin 30˘=20이므로;2!;_AB”_10_;2!;=20 ∴AB”=8(cm)
06-
;2!;_6_10_sinC=15'3이므로 sinC=이때sin 60˘='3이므로 ∠C=60˘
2
'32
06 -
꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선 의 발을H라고 하면AH”=8 sin 60˘
AH”=8_ =4'3(cm) BH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4(cm)
CH”=BC”-BH”=12-4=8(cm)이므로△AHC에서 AC”="√(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm)
∴ ABCD
∴=△ABC+△ACD
∴=;2!;_8_12_sin 60˘+;2!;_4'7_9_sin30˘
∴=;2!;_8_12_ +;2!;_4'7_9_;2!;
∴=24'3+9'7(cm¤ ) '32 '32
60˘
30˘
A
B H C
D
12###cm 9###cm 8###cm
06-
정육각형의 대각선을 모두 그으면 두 변의 길이가 각각4이고, 그 끼 인각의 크기가360˘÷6=60˘인 합 동인6개의이등변삼각형이생긴다.∴ (정육각형의 넓이)
∴=6_{;2!;_4_4_sin 60˘}
∴=6_{;2!;_4_4_'3}=24'3 2
O 4
04-
AH”=h라고 하면 ∠BAH=30˘이므로 BH”=htan30˘= h∠CAH=45˘이므로 CH”=htan 45˘=h BC”=BH”+CH”이므로 12= h+h
{ +1}h=12 ∴ h= 36 =6(3-'3) '3+3
'33
'33 '33
07-
;2!;_5_BC”_sin (180˘-135˘)=10'2이므로;2!;_5_BC”_ =10'2, BC”=10'2
∴BC”=8(cm)
5'24 '22
07-
AC”=12sin60˘=12_ =6'3(cm)∠ACE=∠ACB+∠BCE=30˘+90˘=120˘이므로
△AEC=;2!;_6'3_12_sin (180˘-120˘)
△AEC=;2!;_6'3_12_'3=54(cm¤ ) 2
'32
07-
∠A=∠B이므로 AC”=BC”=4 cm∠C=180˘-2_30˘=120˘이므로
△ABC=;2!;_4_4_sin(180˘-120˘)
△ABC=;2!;_4_4_'3=4'3(cm¤ ) 2
201-q.tistory.com
38 수학 ➌
08-
△AMC=;2!;△ABC=;2!;_;2!; ABCD△AMC=;4!; ABCD=;4!;_10_6_sin 45˘
△AMC=;4!;_10_6_ =15'2(cm¤ ) '2 2
2
09-
ABCD=;2!;_12_9_sin60˘ABCD=;2!;_12_9_'3=27'3(cm¤ ) 2
07-
ABCD=△ABD+△BCD
=;2!;_4_2'3
_sin(180˘-150˘) +;2!;_8_6_sin 60˘
=;2!;_4_2'3_;2!;+;2!;_8_6_'3=14'3(cm¤ ) 2
B 60˘ C
A D
4###cm 6###cm
8###cm cm 2 3
150˘
08-
마름모ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 ABCD=x_x_sin 60˘=8'3이므로x¤ =8'3, x¤ =16 ∴x=4 (∵ x>0) 따라서 마름모ABCD의 한 변의 길이는 4 cm이다.
'32
08-
ABCD=4_6_sin(180˘-120˘) ABCD=4_6_'3=12'3(cm¤ )2
09-
두 대각선이 이루는 둔각의 크기를x라고 하면;2!;_8_9_sin(180˘-x)=18'3 sin (180˘-x)=
이때sin 60˘= 이므로180˘-x=60˘
∴x=120˘
'32 '32
│11~13쪽│
01
⑤02
⑤03
③04
④05
①06
④07
③08
④09
⑤10
②11
④12
④13 14 15
616
13.11217
2'7 cm18
10('3+1) m19
21'3 cm¤20
12'53 2'2+'∂17
5
│서술형 문제│
01
BC”="√3¤ -1¤ =2'2①sinA= ②sinB=;3!;
③cosA=;3!; ④ cosB= 2'23 2'23
03
cosA=;1!3@;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형ABC에서 BC”="√13¤ -12¤ =5∴sinA_tanC=;1∞3;_:¡5™:=;1!3@;
A B
13 C
12
04
(주어진 식)= _ +;2!;_1- _'2=;2!;'2 2 '3 2
'3 3 2
05
cos 60˘=;2!;이므로 sin2x=;2!;이때sin30˘=;2!;이므로 2x=30˘ ∴x=15˘
06
④cosy= =BC”=BC”BC” 1 AC”
07
①cos 0˘=1 ②sin20˘<1 ③tan55˘>1④cos80˘<1 ⑤ sin90˘=1
08
x=15 cos 42˘=15_0.74=11.1 y=15 sin 42˘=15_0.67=10.05∴x+y=11.1+10.05=21.15
09
∠C=180˘-(75˘+60˘)=45˘꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선의 발을H라고 하면 △ABH에서 AH”=8 sin 60˘=8_ ”=4'3 따라서 △AHC에서
AC”= =4'3_ 2 =4'6 '2 sin 45˘4'3
'32
H 60˘
75˘
A
B C
8
10
AH”=h라고 하면 ∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로 6='3h+h, ('3+1)h=6
∴h= 6 =3('3-1) '3+1
11
;2!;_4_7_sin A=7'3이므로 sin A=이때sin 60˘='3이므로 ∠A=60˘
2
'32
02
sinA= =;2!;에서 BC”=8(cm) AB”="√16¤ -8¤ =8'3(cm)이므로△ABC=;2!;_8_8'3=32'3(cm¤ ) BC”16
│서술형 문제│
12
ABCD=7_10_sin(180˘-135˘) ABCD=7_10_'2=35'2(cm¤ )2
13
FH”="√5¤ +3¤ ='∂34, BH”="√5¤ +3¤ +4¤ =5'2 ……40%△BFH에서 ∠BFH=90˘이므로
sin x= = , cos x=44444444'∂34=44444444'∂175 ……40%
5'2 2'2
4 5 5'2
201-q.tistory.com
정답과 해설 39
∴sin x+cos x=444444442'25 +44444444'∂175 =4444444444444444442'2+'∂175 ……20%
14
△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로∠CDE=x ……40%
△DCE에서 DE”="√9¤ -6¤ =3'5 ……30%
∴cosx=cos(∠CDE)= ='5 ……30%
3 3'5
9
15
△ADC에서 sin 45˘= =∴AD”=3 ……50%
△ABD에서 sin 30˘= =;2!;
∴AB”=6 ……50%
444444443 AB”
444444'22 44444444AD”
3'2
16
cos 67˘= =0.3907이므로AB”=10_0.3907=3.907 ……40%
sin 67˘= =0.9205이므로
BC”=10_0.9205=9.205 ……40%
∴AB”+BC”=3.907+9.205=13.112 ……20%
44444444BC”10 44444444AB”10
17
꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선 의 발을H라고 하면 ∠B=60˘이므로 △ABH에서 AH”=4 sin 60˘
AH”=4_ =2'3(cm)
BH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2(cm) ……60%
CH”=BC”-BH”=6-2=4(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√(2'3)¤ +4¤ =2'7(cm) ……40%
444444'32
120˘
B H C
A D
6###cm 4###cm
18
CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로AH”=htan 60˘='3h(m) ……30%
∠BCH=45˘이므로 BH”=htan 45˘=h(m) ……30%
AB”=AH”-BH”이므로 20='3h-h, ('3-1)h=20
∴h= =10('3+1)
따라서 가로등의 높이는10('3+1) m이다. …… 40%
4444444444420 '3-1
19
ABCD=△ABD+△BCD
…… 25%
=;2!;_6_10_sin 60˘
=+;2!;_6_4_sin(180˘-120˘) ……25%
=;2!;_6_10_ +;2!;_6_4_ ……25%
=15'3+6'3=21'3(cm¤ ) ……25%
444444'32 444444'32
60˘
120˘
A
B C
D 10###cm
4###cm 6###cm
6###cm
20
;2!;_15_x_sin 45˘=45'2이므로 …… 50%;2!;_15_x_ =45'2, x=45'2
∴x=12 ……50%
444444444415'24 444444'22
│14~19쪽│
01-
5'301-
'∂11 cm01-
4'3 cm01-
:™4ª:01-
100p01-
4'202-
1 cm02-
17 cm02-
26 cm02-
8'3 cm02-
12 cm03-
2003-
2'∂13 cm03-
4'3 cm¤03-
12 cm03-
④04-
50˘04-
50˘04-
55˘04-
4'3 cm¤04-
12p cm¤05-
2'∂21 cm05-
210˘05-
44˘05-
:¢2¶:p cm¤05-
5 cm05-
64p cm¤05-
:¡3§:p06-
5 cm06-
10 cm06-
12 cm06-
306-
10 cm07-
③07-
12 cm07-
7'∂1007-
10 cm08-
7 cm08-
6 cm08-
:¡2£: cm08-
3 cm08-
4p cm¤08-
10 cm09-
8 cm09-
26 cm09-
309-
72 cm¤09-
:™2∞: cm 1. 원과 직선VIII . 원의 성질
01-
△OAH에서 AH”="√10¤ -5¤ =5'3∴BH”=AH”=5'3
01 -
AH”=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)△AOH에서 OH”="√6¤ -5¤ ='∂11(cm)
01-
OA”=OC”=4 cm이므로 OM”=;2!;OA”=;2!;_4=2(cm)△CMO에서 CM”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
∴CD”=2CM”=2_2'3=4'3(cm)
01-
AB”⊥OC”이므로 AH”=BH”=5 OC”=OA”=x이므로 OH”=x-2△OAH에서 5¤ +(x-2)¤ =x¤
4x=29 ∴x=:™4ª:
01-
원O의 반지름의 길이를 r라고 하 면OH”=r-4AH”=;2!;AB”=;2!;_16=8
△OAH에서
8¤ +(r-4)¤ =r¤ , 8r=80 ∴ r=10
∴ (원O의 넓이)=p_10¤ =100p r
A H B
C O 16 4
201-q.tistory.com
40 수학 ➌
02-
오른쪽 그림과 같이 자전거 바 퀴의 중심을O, 반지름의 길이 를r cm라고 하면OB”=r cm, OT”=(r-9) cm
△OTB에서 15¤ +(r-9)¤ =r¤
18r=306 ∴ r=17
따라서 자전거 바퀴의 반지름의 길이는17 cm이다.
T
C
A B
O
9###cm
15###cm
02-
오른쪽 그림과 같이 원의 중심O 에서AB”에 내린 수선의 발을 M 이라고 하면OA”=8 cm
OM”=;2!;_8=4(cm)
△OAM에서 AM”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
∴AB”=2AM”=2_4'3=8'3(cm)
02-
오른쪽 그림과 같이 원의 중심O에서 AB”에 내린 수선의 발을M, 원 O의 반지름의 길이를r cm라 고 하면OA”=r cm, OM”=;2!;r cm
AM”=;2!;AB”=;2!;_12'3=6'3(cm)
△OAM에서 (6'3)¤ +{;2!;r}2 =r¤
r¤ =144 ∴r=12 (∵ r>0)
따라서 원O의 반지름의 길이는 12 cm이다.
8###cm 4###cm A
B M
O
A M B
r###cm O
cm 6 3
r###cm 12
03-
AB”=CD”=2DN”=2_10=2003-
△AMO에서AM”=øπ5¤ -(2'3)¤ ='∂13(cm) AB”=2AM”=2_'∂13=2'∂13(cm) 따라서OM”=ON”이므로
CD”=AB”=2'∂13 cm
03 -
원의 중심O에서 CD”에 내린 수선 의 발을N이라고 하면 AB”=CD”이므로ON”=OM”=2 cm
△OCN에서
CN”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
따라서CD”=2CN”=2_2'3=4'3(cm)이므로
△OCD=;2!;_4'3_2=4'3(cm¤ )
2###cm 4###cm A
B C
M N
D
O
03 -
원의 중심O에서 두 현 AB, CD 에 내린 수선의 발을 각각M, N 이라고 하면AB”=CD”이므로 OM”=ON”AM”=;2!;AB”=;2!;_16 AM”=8(cm)
△AOM에서
OM”="√10¤ -8¤ =6(cm)
따라서 두 현AB와 CD 사이의 거리는 MN”의 길이와 같으므로
MN”=2OM”=2_6=12(cm)
A M B
C N D
10###cm O
16###cm 16###cm
03-
④ ∠OBM=∠CON인지는 알 수 없다.04-
OM”=ON”이므로 AB”=AC”따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠BAC=180˘-2_65˘=50˘
04-
OM”=ON”이므로 AB”=AC”따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ABC=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
04-
APOQ에서∠PAQ=360˘-(90˘+110˘+90˘)=70˘
OP”=OQ”이므로 AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ACB=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
04 -
OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”따라서 △ABC는 정삼각형이고 AB”=2AD”=2_2=4(cm)이므로
△ABC='3_4¤ =4'3(cm¤ ) 4
01-
OB”를 그으면 OB”=OA”=9이므로△OMB에서 BM”="√9¤ -3¤ =6'2
DM”=BM”-BD”=6'2-2'2=4'2 따라서CD”⊥OM”이므로 CM”=DM”=4'2
O A C
D
M B
9 3
2 2
02-
AD”=;2!;AB”=;2!;_6=3(cm) 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라고 하면 △AOD에서 OD”="√5¤ -3¤ =4(cm)∴CD”=OC”-OD”
=5-4=1(cm)
D
O
A B
C
5###cm 3###cm
02-
AD”=;2!;AB”=;2!;_24=12(cm) 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 을O, 반지름의 길이를 r cm 라고 하면OA”=r cm, OD”=(r-8) cm△AOD에서 12¤ +(r-8)¤ =r¤
16r=208 ∴r=13
따라서 원래 접시의 지름의 길이는2_13=26(cm)
A B
C
D
r###cm O(r-8)###cm 12###cm
8###cm
201-q.tistory.com
정답과 해설 41
04-
OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”따라서 △ABC는 정삼각형이므로 ∠BAC=60˘
OA”를 그으면
△ADO™△AFO`(`RHS 합동) 이므로
∠DAO=;2!;∠BAC
∠DAO=;2!;_60˘=30˘
△ADO에서 AD” : AO”='3 : 2이므로 3 : AO”='3 : 2 ∴ AO”=2'3(cm)
∴ (원O의 넓이)=p_(2'3)¤ =12p(cm¤ )
∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=180˘-60˘=120˘
따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_4¤ _;3!6@0);=:¡3§:p A
B C
D
E F O 3###cm
05-
OC”=OB”=4 cm이므로 PO”=6+4=10(cm) 이때 ∠PBO=90˘이므로 △PBO에서 PB”="√10¤ -4¤ =2'∂21(cm)∴PA”=PB”=2'∂21 cm
05-
∠PAO=∠PBO=90˘이므로∠x=180˘-40˘=140˘
PA”=PB”이므로 △PBA에서
∠y=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
∴ ∠x+∠y=140˘+70˘=210˘
05-
∠PBO=90˘이므로 ∠PBA=90˘-22˘=68˘이때PA”=PB”이므로 △PBA에서
∠P=180˘-2_68˘=44˘
05-
∠PAO=∠PBO=90˘이므로∠AOB=180˘-55˘=125˘
따라서 색칠한 부분은 중심각의 크기가
360˘-125˘=235˘인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 p_6¤ _;3@6#0%;=:¢2¶:p(cm¤ )
05-
원O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면∠PAO=90˘이므로
△OPA에서 r¤ +12¤ =(r+8)¤ , 16r=80 ∴r=5 따라서 원O의 반지름의 길이는 5 cm이다.
05-
AB”와 작은 원의 접점을 M이라고 하면AB”⊥OM”이므로AM”=;2!;AB”=;2!;_16=8(cm) 큰 원의 반지름의 길이를x cm, 작
은 원의 반지름의 길이를y cm라고 하면 △OAM에서 8¤ +y¤ =x¤ , x¤ -y¤ =64
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_x¤ -p_y¤
=p(x¤ -y¤ )=64p(cm¤ )
05-
PO”를 그으면△APO™△BPO`
(`RHS 합동)이므로
∠APO=∠BPO=30˘
△APO에서 OA” : PA”=1 : '3이므로 OA” : 4'3=1 : '3 ∴OA”=4
A 16###cmM B x###cm
y###cm O
06-
BE”=BD”=7-4=3(cm)AF”=AD”=7 cm이므로 CE”=CF”=7-5=2(cm)
∴BC”=BE”+CE”=3+2=5(cm)
06-
PA”=PB”, CD”=CA”, ED”=EB”이므로 (△PEC의 둘레의 길이)=PE”+EC”+CP”=PA”+PB”
=2PB”=2_5=10(cm)
06-
BD”=BE”, CF”=CE”이므로 AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=7+8+9=24(cm)
이때AD”=AF”이므로 AD”=;2!;_24=12(cm)
06-
PA”=PB”=10이므로 AC”=10-8=2∴CE”=AC”=2
DE”=5-2=3이므로 BD”=DE”=3
06-
PA”=PB”, CA”=CE”, DB”=DE”이므로 (△PCD의 둘레의 길이)=PC”+CD”+DP”=PA”+PB”
=2PB”=16
∴PB”=8(cm)
∠PBO=90˘이므로 △POB에서 PO”="√6¤ +8¤ =10(cm)
07-
③DA”=DE”, CE”=CB”이므로 DA”+CB”=DE”+CE”=DC”07-
DE”=AD”=4 cm, CE”=BC”=9 cm이므로 DC”=4+9=13(cm)꼭짓점D에서 BC”에 내린 수선의 발을H라고 하면 BH”=AD”=4 cm이므로 CH”=9-4=5(cm)
△CDH에서
DH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴AB”=DH”=12 cm
A B
H C
D E
O 4###cm
9###cm
07-
DE”=AD”=2, CE”=BC”=5이므로 DC”=2+5=7 꼭짓점D에서 BC”에 내린 수선의발을H라고 하면 BH”=AD”=2이므로 HC”=5-2=3
△DHC에서 DH”="√7¤ -3¤ =2'∂10 즉, AB”=DH”=2'∂10이므로
ABCD=;2!;_(2+5)_2'∂10=7'∂10 A
B H C
D E O
5 2
60˘
A
B
P O
4 3
201-q.tistory.com
42 수학 ➌
08-
CE”=CF”=3 cm, BD”=BE”=7-3=4(cm) AD”=x cm라고 하면 AF”=AD”=x cm 이때 △ABC의 둘레의 길이가 26 cm이므로 (x+4)+7+(x+3)=26, 2x=12 ∴ x=6∴AD”=6 cm
08-
AE””=x cm라고 하면 AF”=AE”=x cmCD”=CE”=(8-x) cm, BD”=BF”=(10-x) cm 이때BC”=BD”+CD”이므로
5=(10-x)+(8-x), 2x=13 ∴x=:¡2£:
∴AE”=:¡2£: cm
08 -
원O의 반지름의 길이 를r cm라고 하면ADOF는 정사각형 이므로
AD”=AF”=r cm
BE”=BD”=(15-r) cm, CE”=CF”=(8-r) cm
△ABC에서 BC”="√8¤ +15¤ =17(cm) 이때BC”=BE”+CE”이므로
17=(15-r)+(8-r), 2r=6 ∴r=3 따라서 원O의 반지름의 길이는 3 cm이다.
15###cm
8###cm A
B C
D
E F O
08-
원O의 반지름의 길이를 r cm 라고 하면 OECF는 정사각 형이므로CE”=CF”=r cm AF”=AD”=4 cm, BE”=BD”=6 cm이므로
AC”=(4+r) cm, BC”=(6+r) cm
△ABC에서 (4+r)¤ +(6+r)¤ =10¤
r¤ +10r-24=0, (r-2)(r+12)=0
∴r=2 (∵ r>0)
∴ (원O의 넓이)=p_2¤ =4p(cm¤ )
O A
B C
D
E 6`cm F
4`cm
08-
BF”=x cm라고 하면 BG”=BF”=x cmAH”=AF”=(9-x) cm, CH”=CG”=(11-x) cm 이때AC”=AH”+CH”이므로
10=(9-x)+(11-x), 2x=10 ∴ x=5
∴ (△BED의 둘레의 길이)=BE”+ED”+DB”
=BF”+BG”
=2BF”=2_5=10(cm)
09 -
AB”+CD”=AD”+BC”이므로12+14=10+(8+CP”) ∴CP”=8(cm)
09 -
AD”+BC”=AB”+CD”=6+7=13(cm)이므로 ( ABCD의 둘레의 길이)=2_13=26(cm)09-
AB”+CD”=AD”+BC”이므로 9+(3x-1)=(x+2)+12 2x=6 ∴x=309-
원O의 반지름의 길이가 4 cm이므로 AB”=2_4=8(cm)AD”+BC”=AB”+CD”=8+10=18(cm)이므로 ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_8
ABCD=;2!;_18_8=72(cm¤ )
09-
CE”=x cm라고 하면 BE”=(15-x) cm AECD가 원 O에 외접하므로AE”+CD”=AD”+EC”
AE”+10=15+x ∴AE”=5+x(cm)
△ABE에서 10¤ +(15-x)¤ =(5+x)¤
40x=300 ∴x=:¡2∞:
∴AE”=5+:¡2∞:=:™2∞:(cm)
│20~23쪽│
01-
30˘01-
50˘01-
30˘01-
118˘01-
45˘02-
18˘02-
25˘02-
35˘02-
26˘02-
25˘03-
34˘03-
50˘03-
52˘03-
40˘03- 03-
804-
24˘04-
25˘04-
30˘04-
22˘04-
12 cm04-
54˘04-
45˘05-
80˘05-
66˘05-
30˘05-
20p cm05-
6p cm06-
㉠, ㉣06-
45˘06-
45˘06-
100˘'∂398 2. 원주각
07-
점E에서 CD”에 내린 수선의 발 을H, EF”=x cm라고 하면 HC”=EB”=EF”=x cm이므로 DH”=(8-x) cmDF”=DC”=8 cm이므로 DE”=(8+x) cm
△DEH에서 8¤ +(8-x)¤ =(8+x)¤
32x=64 ∴ x=2
∴DE”=DF”+EF”=8+2=10(cm)
H
B C
A D
E F O 8###cm
08-
AD”=AF”=3 cmCE”=CF”=9-3=6(cm)이므로 BD”=BE”=10-6=4(cm)
∴AB”=AD”+BD”=3+4=7(cm)
201-q.tistory.com
정답과 해설 43
01-
BC”를 그으면∠BCD=;2!;∠BOD
∠BCD=;2!;_50˘=25˘
∠ABC=;2!;∠AOC
∠ABC=;2!;_140˘=70˘
따라서 △BCP에서 70˘=25˘+∠x
∴ ∠x=45˘
02-
∠x=∠DCB=36˘△APD에서 90˘=36˘+∠y
∴ ∠y=54˘
∴ ∠y-∠x=54˘-36˘=18˘
140˘
50˘
x A
B P
C O D
02-
BE”를 그으면∠DBE=∠DAE=35˘
∴ ∠x=∠EBF
=60˘-35˘=25˘
60˘
35˘
x
A B
C
D E
F
02-
BQ”를 그으면∠BQC=;2!;_80˘=40˘
∴ ∠APB=∠AQB
=75˘-40˘=35˘
80˘
A 75˘
B
P Q
C O
02-
△APC에서∠PAC=58˘-32˘=26˘
∴ ∠BDC=∠BAC=26˘
02-
∠BCD=∠x라고 하면∠BAD=∠BCD=∠x
△ADP에서 ∠ADC=∠x+20˘
따라서 △QCD에서 70˘=∠x+(∠x+20˘) 2∠x=50˘ ∴ ∠x=25˘
03 -
∠BCD=90˘, ∠BDC=∠BAC=56˘이므로△BCD에서 ∠DBC=180˘-(90˘+56˘)=34˘
03 -
∠BCD=90˘, ∠ACD=∠ABD=40˘이므로∠ACB=90˘-40˘=50˘
03-
BC”를 그으면∠ACB=90˘이므로
∠DEB=∠DCB
=90˘-38˘=52˘
A 38˘ B
C
D E O
03-
AE”를 그으면∠AEC=∠AEB=90˘
△ACE에서
∠CAE=180˘-(90˘+70˘)
=20˘
∴ ∠DOE=2∠DAE
=2_20˘=40˘
03 -
∠ACB=90˘이므로 △ABC에서 AC”="√8¤ -5¤ ='∂39(cm)∴sinB= '∂398
70˘
A B
C
D E
O
03-
원O의 중심을 지나도록 A'C”를 그으면∠A'BC=90˘,
∠BA'C=∠BAC=60˘
△A'BC에서
A'C”：BC”=2：'3, A'C”：8'3=2：'3
∴A'C”=16
따라서 원O의 반지름의 길이는
;2!;A'C”=;2!;_16=8
60˘
A A'
B C
O
8 3
04-
μAB=μCD이므로∠ACB=∠DBC=12˘
△PBC에서 ∠DPC=12˘+12˘=24˘
04-
BO”를 그으면 μAB=μBC이므로∠AOB=;2!;∠AOC
∠AOB=;2!;_100˘=50˘
∴ ∠x=;2!;∠AOB
∴ ∠x=;2!;_50˘=25˘
100˘
x
A B P
C O
01-
∠BOC=2∠BAC=2_60˘=120˘△OBC는 이등변삼각형이므로
∠OBC=;2!;_(180˘-120˘)=30˘
01-
∠x=;2!;∠AOC=;2!;_130˘=65˘∠y=;2!;_(360˘-130˘)=115˘
∴ ∠y-∠x=115˘-65˘=50˘
01-
BO”를 그으면∠AOB=2∠APB
=2_25˘=50˘
∠BOC=110˘-50˘=60˘
∴ ∠BQC=;2!;∠BOC
∴ ∠BQC=;2!;_60˘=30˘
01 -
OA”, OB”를 그으면∠PAO=∠PBO=90˘
이므로
∠AOB=180˘-56˘
=124˘
∴ ∠ACB=;2!;_(360˘-124˘)=118˘
110˘
25˘
A B
P Q
C O
56˘
A
B
P C O
201-q.tistory.com
44 수학 ➌
05 -
BC”를 그으면∠ABC=;5!;_180˘=36˘
∠BCD=;6!;_180˘=30˘
따라서 △PCB에서
∠APC=36˘+30˘=66˘
A
P C B
D
05-
AD”를 그으면∠ADC=;4!;_180˘=45˘
∠BAD=;1¡2;_180˘=15˘
따라서 △ADP에서
∠P=45˘-15˘=30˘
A
B P
C D
05-
△ABP에서 ∠BAP=65˘-20˘=45˘이므로 μBC : (원 O의 둘레의 길이)=45˘ : 180˘5p : (원 O의 둘레의 길이)=1 : 4
∴ (원O의 둘레의 길이)=20p(cm)
05-
BC”를 그으면 △PCB에서∠ABC+∠BCD=∠APC
=60˘
∠ABC+∠BCD의 크기는 원
주각 전체의 =;3!;이므로 μAC+μBD의 값은 원주 의;3!;이다.
∴μAC+μBD=;3!;_2p_9=6p(cm) 180˘60˘
60˘
A P
B C
D O
06 -
㉠ ∠BDC=110˘-80˘=30˘이므로∠BAC=∠BDC
따라서 네 점A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
㉣ ∠DBC=30˘+35˘=65˘이므로
∠DAC=∠DBC
따라서 네 점A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
따라서 네 점A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㉠,
㉣이다.
06-
네 점A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로∠BAC=∠BDC=35˘
△ABC에서 ∠x=180˘-(35˘+100˘)=45˘
06-
△ABC는 직각이등변삼각형이므로∠BAC=∠BCA=45˘
네 점A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠BDC=∠BAC=45˘
06 -
네 점A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로∠x=∠PAC=25˘
△DBC에서 ∠y=25˘+50˘=75˘
∴ ∠x+∠y=25˘+75˘=100˘
│24~29쪽│
01-
20˘01-
120˘01-
220˘01-
125˘01-
40˘01-
214˘02-
65˘02-
255˘02-
63˘02-
100˘03-
①, ②03-
③03-
80˘03-
6개04-
80˘04-
20˘04-
50˘04-
30˘04-
108˘04-
63˘05-
38˘05-
40˘05-
30˘05-
54˘05-
27p05-
56˘06-
12 cm06-
1206-
8 cm06-
4 cm06-
1207-
3'3 cm07-
407-
6 cm07-
'∂11 cm07-
4 cm07-
2'308-
1008-
①08-
5 cm08-
1609-
2 cm09-
6 cm09-
909-
6 cm09-
8'3 cm09-
8 cm09-
16p3. 원주각의 활용
04-
AD”를 그으면 ∠ADB=90˘μAD=μDC이므로
∠DAC=∠DBA=30˘
따라서 △ABD에서
90˘+(30˘+∠x)+30˘=180˘
∴ ∠x=30˘
x 30˘
A B
D C
O
04 -
μBC=2μAD이므로 ∠BAC=2∠ABD=2∠x 따라서 △ABP에서66˘=∠x+2∠x
3∠x=66˘ ∴ ∠x=22˘
04-
AP”를 그으면∠APB=90˘이므로
∠APC=90˘-50˘=40˘
∠APC : ∠CPB=μAC : μBC 이므로
40˘ : 50˘=μAC : 15
4 : 5=μAC : 15 ∴μAC=12(cm)
50˘ B P
C A O
15###cm
04 -
μAC=3μBD이므로∠ABC=3∠BCD=3_27˘=81˘
따라서 △BCP에서 ∠P=81˘-27˘=54˘
04-
∠ABC=∠x라고 하면∠ABC : ∠BAD=μAC : μBD이므로
∠x : ∠BAD=1 : 4 ∴ ∠BAD=4∠x 따라서 △AQB에서 75°=4∠x+∠x 5∠x=75° ∴ ∠x=15˘
이때 ∠BAD=60˘, ∠ADC=∠ABC=15˘이므로
△APD에서 ∠P=60˘-15˘=45˘
05-
∠ABC는 μAC에 대한 원주각이므로∠ABC=180˘_ 4 =80˘
3+2+4
201-q.tistory.com
정답과 해설 45
01 -
∠x+85˘=180˘에서 ∠x=95˘105˘+∠y=180˘에서 ∠y=75˘
∴ ∠x-∠y=95˘-75˘=20˘
01 -
∠BDC=90˘이므로 △BCD에서∠BCD=180˘-(30˘+90˘)=60˘
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BAD=180˘-60˘=120˘
01-
∠x=180˘-40˘=140˘, ∠y=2_40˘=80˘∴ ∠x+∠y=140˘+80˘=220˘
01-
CF”를 그으면 ABCF가 원에 내접하므로110˘+∠BCF=180˘
∴ ∠BCF=70˘
∠DCF=125˘-70˘=55˘
CDEF가 원에 내접하므로
∠DEF=180˘-55˘=125˘
01-
ABCD가 원에 내접하므로∠ADC=180˘-100˘=80˘
μAB=μBC이므로
∠BDC=∠ADB=;2!;∠ADC=;2!;_80˘=40˘
01-
CE”를 그으면∠CED=;2!;∠COD
∠CED=;2!;_68˘=34˘
ABCE가 원 O에 내접하므로
∠ABC+∠AEC=180˘
∴ ∠ABC+∠AED
∴=∠ABC+(∠AEC+∠CED)
=180˘+34˘=214˘
110˘
125˘
A
B
C D
E F
68˘
A
B
C D O E
02-
△APB에서 ∠PAB=100˘-35˘=65˘∴ ∠BCD=∠PAB=65˘
02-
∠x=∠DCE=85˘∠y=2∠x=2_85˘=170˘
∴ ∠x+∠y=85˘+170˘=255˘
02-
∠ABC=∠x라고 하면 ABCD가 원에 내접하므로∠CDQ=∠x
△PBC에서 ∠PCQ=∠x+21˘
따라서 △DCQ에서 ∠x+(∠x+21˘)+33˘=180˘
2∠x=126˘ ∴ ∠x=63˘
02 -
PQ”를 그으면∠PQC=∠BAP=80˘
PQCD가 원 O'에 내접 하므로
∠x=180˘-80˘=100˘
80˘ x
A
B
P
Q C
D
O O'
03 -
① ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하 지 않는다.② ∠B+∠D+180˘이므로 ABCD는 원에 내접하 지 않는다.
④ △PBC에서 ∠PCB=180˘-(90˘+55˘)=35˘
∠ADB+∠ACB이므로 ABCD는 원에 내접하 지 않는다.
⑤ ∠DCE+∠A이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
03-
△ABC에서 ∠B=180˘-(48˘+32˘)=100˘∠B+∠D=180˘이어야 하므로
∠D=180˘-100˘=80˘
03 -
⁄ ∠AFH+∠AEH=180˘이므로 AFHE는 원 에 내접한다. 같은 방법으로 FBDH, HDCE 도 원에 내접한다.¤ ∠BFC=∠BEC이므로 FBCE는 원에 내접한 다. 같은 방법으로 ABDE, AFDC도 원에 내 접한다.
따라서 원에 내접하는 사각형은6개가 만들어진다.
04-
∠BCA=∠BAT=55˘이므로△ABC에서 ∠x=180˘-(55˘+45˘)=80˘
04-
∠BCA=∠BAT=70˘이므로∠AOB=2∠BCA=2_70˘=140˘
이때 △OAB는 이등변삼각형이므로
∠OBA=;2!;_(180˘-140˘)=20˘
04-
∠BDA=∠BAT=60˘ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BAD=180˘-110˘=70˘
△DAB에서 ∠x=180˘-(60˘+70˘)=50˘
04 -
∠ACB=180˘_ =30˘이므로∠BAT=∠ACB=30˘
2+3+72
04 -
AC”를 그으면∠DCA=∠DAT=54˘
μAD=μCD이므로
∠DAC=∠DCA=54˘
△ACD에서
∠CDA=180˘-(54˘+54˘)
∠CDA=72˘
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=180˘-72˘=108˘
04 -
BD”=BE”이므로 ∠BED=;2!;_(180˘-46˘)=67˘∠DFE=∠DEB=67˘
△DEF에서 ∠EDF=180˘-(50˘+67˘)=63˘
54˘
54˘
54˘
x
A B C
D O
T
201-q.tistory.com
46 수학 ➌
06-
PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로 10_(10+6)=8_(8+x) 8x=96 ∴x=1206-
PA”=x cm라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로x_(11-x)=6_4, x¤ -11x+24=0 (x-3)(x-8)=0 ∴x=8 (∵ PA”>PB”)
∴PA”=8 cm
06-
PC”=x cm라고 하면 CD”=2x cm PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로 3_(3+13)=x_(x+2x) x¤ =16 ∴x=4 (∵ x>0)∴PC”=4 cm
06-
PA”¥PB””=PE”¥PF”=PC”¥PD”이므로 12_2=3_PD” ∴PD”=8 원O에서 PA”¥PB””=PE”¥PF”이므로 12_2=PE”_6 ∴PE”=4∴PD”+PE”=8+4=12
07-
PA”=PB”=x cm라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로x_x=3_(3+6), x¤ =27 ∴x=3'3 (∵ x>0)
∴PA”=3'3 cm
07-
PO”=x라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로5_4=2_(x+x+2), 4x=16 ∴ x=4
∴PO”=4
07-
PC”=x cm라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로8_(8+7)=x_(x+14), x¤ +14x-120=0 (x-6)(x+20)=0 ∴x=6 (∵ x>0)
∴PC”=6 cm
07 -
CO”의 연장선이 원 O와 만 나는 점을D, 원 O의 반지 름의 길이를r cm라고하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로 2_(2+5)=(5-r)(5+r) r¤ =11 ∴r='∂11 (∵ r>0)따라서 원O의 반지름의 길이는 '∂11 cm이다.
07-
오른쪽 그림과 같이 반원의 나 머지 부분을 그리고CD”의 연장 선이 원O와 만나는 점을 E라 고 하면ED”=CD”=6 BD”=x라고 하면 AD”=3xDA”¥DB”=DC”¥DE”이므로 3x_x=6_6 x¤ =12 ∴ x=2'3 (∵ x>0)
∴BD”=2'3
A B
C
D
E O
6
6
07 -
PA”=x cm라고 하면PA”¥PB”=PE”¥PF”=PC”¥PD”이므로 x_(x+5)=2_(2+16), x¤ +5x-36=0 (x-4)(x+9)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
∴PA”=4 cm
05 -
AB”를 그으면∠ABC=90˘이므로
∠ABP=180˘-(90˘+64˘)
=26˘
∠CAB=∠CBT=64˘이므 로 △APB에서 ∠P=64˘-26˘=38˘
A 64˘
P B
C O
T
05-
BD”를 그으면 ∠ABD=90˘ABCD가 원 O에 내접하 므로
∠DAB=180˘-130˘=50˘
△ABD에서
∠ADB=180˘-(90˘+50˘)=40˘
∴ ∠x=∠ADB=40˘
05-
∠ABC=90˘이므로 ∠ACB+∠CAB=90˘이때μAB : μBC=2 : 3이므로
∠CBT=∠CAB=90˘_ 3 =54˘
2+3
05-
AC”를그으면∠ACB=90˘△PCB에서 PC”=BC”이므로
∠PBC=∠BPC=∠x
∠ACP=∠PBC=∠x 이므로 △APC에서
∠BAC=∠x+∠x=2∠x 따라서 △ACB에서 2∠x+90˘+∠x=180˘
3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘
x
x A
B
P C
O
x T
05 -
원O의 중심을 지나도록 BC'”을 그으면∠BAC'=90˘
∠AC'B=∠ABP=60˘
△ABC'에서
AB” : BC'”='3 : 2이므로 9 : BC'”='3 : 2 ∴BC'”=6'3 따라서 원O의 반지름의 길이는 3'3이므로 (원O의 넓이)=p_(3'3)¤ =27p
60˘
A 60˘
P B
C C'
O 9
05-
∠BPT=∠BAP=66˘∠CPT=∠CDP=58˘
∴ ∠CPD=180˘-(66˘+58˘)=56˘
06-
PA”=PB”=x cm라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로x_x=4_9, x¤ =36 ∴x=6 (∵ x>0)
∴AB”=2PA”=2_6=12(cm)
130˘
x A
B C
D
T O
A O
B
P C D
2###cm 5###cm
5###cm
201-q.tistory.com
정답과 해설 47
09-
QC”를 그으면△ABH와 △AQC에서
∠ABH=∠AQC,
∠AHB=∠ACQ=90˘이므로
△ABHª△AQC (AA 닮음) 따라서AB” : AQ”=AH” : AC”이므로 6 : AQ”=3 : 4 ∴AQ”=8 따라서 원O의 반지름의 길이는 4이므로 (원O의 넓이)=p_4¤ =16p
08 -
P’A”¥PC”=PB””¥PD”이어야 하므로 P’A”_8=16_5 ∴P’A”=1008 -
① △BCD에서 ∠C=180˘-(55˘+45˘)=80˘∠A+∠C+180˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.
08-
∠BCP=∠A이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.CD”=x cm라고 하면 PB”¥PA”=PC”¥PD”이므로 3_(3+9)=4_(4+x) 4x=20 ∴x=5
∴CD”=5 cm
08-
PC”=x라고 하면PA”¥PB”=PC”¥PD”이어야 하므로 8_8=x_(20-x), x¤ -20x+64=0
(x-4)(x-16)=0 ∴x=16 (∵ PC”>PD”)
09-
PA”=x cm라고 하면 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로4¤ =x_(x+6), x¤ +6x-16=0 (x-2)(x+8)=0 ∴x=2 (∵ x>0)
∴PA”=2 cm
09-
원O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로8¤ =4_(4+2r), 8r=48 ∴r=6 따라서 원O의 반지름의 길이는 6 cm이다.
09-
QA”¥QB”=QC”¥QT”이므로 QA”_3=2_6 ∴QA”=4 PA”=x라고 하면PT”¤ =PA”¥PB”이므로 12¤ =x_(x+7) x¤ +7x-144=0, (x-9)(x+16)=0
∴x=9 (∵ x>0)
∴PA”=9
09 -
PT”¤ =PA”¥PB”=4_(4+5)=36∴PT”=6(cm) (∵ PT”>0) PA”=AT”이므로 ∠APT=∠ATP
∠ATP=∠ABT이므로 ∠APT=∠ABT 따라서 △TPB는 PT”=BT”인 이등변삼각형이므로 BT”=PT”=6 cm
09-
AB””⊥OH”이므로 △OHB에서 BH”="√10¤ -6¤ =8(cm)∴AB”=2BH”=2_8=16(cm) 이때PT”¤ =PA”¥PB”=8_(8+16)=192
∴PT”=8'3(cm)`(∵ PT”>0)
09-
PT”¤ =PA”¥PB”=2_(2+6)=16∴PT”=4(cm)`(∵ PT”>0) 이때PT'”=PT”=4 cm이므로 TT'”=PT”+PT'”
=4+4=8(cm)
│30~32쪽│
01
③02
②03
③04
⑤05
④06
⑤07
②08
④09
③10
④11
②, ⑤12
⑤13
36 cm14
6 cm15
70˘16
40˘17
216˘18
62˘19
5 cm20
4'3 cm│서술형 문제│
01
AM”=;2!;AB”=;2!;_24=12(cm)이므로△OAM에서 OM”="√13¤ -12¤ =5(cm)
02
AD”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm) 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r cm라고 하면OA”=r cm, OD”=(r-3) cm
△AOD에서 6¤ +(r-3)¤ = r¤
6r=45 ∴ r=:¡2∞:
따라서 원의 반지름의 길이는:¡2∞: cm이다.
A B
C
D O 3###cm
6###cm r###cm
(r-3)###cm A
B H
Q O C
34 6
03
OM”=ON”이므로 AB”=CD”=4'3 cm BM”=;2!;AB”=;2!;_4'3=2'3(cm)△OMB에서 OB” : BM”=2 : '3이므로 OB” : 2'3=2 : '3 ∴ OB”=4(cm)
∴ (원O의 넓이)=p_4¤ =16p(cm¤ )
04
원O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 OECF는 정사각형이므로 CE”=CF”=r cmAF”=AD”=9 cm, BE”=BD”=6 cm이므로 AC”=(9+r) cm BC”=(6+r) cm
△ABC에서 (6+r)¤ +(9+r)¤ =15¤
r¤ +15r-54=0
(r-3)(r+18)=0 ∴r=3 (∵ r>0) 따라서 원O의 반지름의 길이는 3 cm이다.
A
B C
D
E O F 9###cm
6###cm
201-q.tistory.com
48 수학 ➌
│서술형 문제│
13
OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”따라서 △ABC는 정삼각형이다. ……30%
이때AB”=2AD”=2_6=12(cm)이므로 ……30%
△ABC의 둘레의 길이는 3_12=36(cm) ……40%
14
PA”=PB”=10 cm ……30%CE”=CA”=10-6=4(cm) ……30%
DE”=DB”=10-8=2(cm) ……30%
∴CD”=CE”+DE”=4+2=6(cm) ……10%
15
△DPB에서 ∠DBC=20˘+30˘=50˘ ……30%∠ACB=∠ADB=20˘ ……30%
따라서 △QBC에서
∠DQC=50˘+20˘=70˘ ……40%
16
∠ABC : ∠DCB=μAC : μBD=2 : 1이므로∠ABC=2∠DCB=2∠x ……40%
따라서 △PCB에서 120˘=∠x+2∠x ……40%
3∠x=120˘ ∴ ∠x=40˘ ……20%
17
BE””를 그으면∠AEB=;2!;∠AOB
∠AEB=;2!;_72˘=36˘……30%
BCDE가 원 O에 내접하므로
∠BCD+∠BED=180˘ ……30%
∴ ∠BCD+∠AED=∠BCD+(∠AEB+∠BED)
=180˘+36˘=216˘ ……40%
19
PA”=x cm라고 하면PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로 ……20%
x_(x+3)=4_(4+6) ……40%
x¤ +3x-40=0, (x-5)(x+8)=0
∴x=5 (∵ x>0)
∴PA”=5 cm ……40%
20
BC”를 그으면 ∠ACB=90˘△ABC에서 AB” : BC”=2 : 1 이므로8 : BC”=2 : 1
∴BC”=4(cm) ……40%
∠BCP=∠BAC=30˘이므로 △APC에서
∠P=180˘-(30˘+90˘+30˘)=30˘
따라서 △BPC는 ∠BCP=∠P인 이등변삼각형이므로
BP”=BC”=4 cm ……40%
PC”¤ =PB”_PA”=4_(4+8)=48
∴PC”=4'3(cm) (∵ PC”>0) ……20%
18
BD”=BE”이므로∠BED=;2!;_(180˘-68˘)=56˘ ……40%
∠DFE=∠DEB=56˘ ……40%
△DEF에서 ∠DEF=180˘-(62˘+56˘)=62˘……20%
05
BQ”를 그으면∠AQB=∠APB=30˘
∠BQC=65˘-30˘=35˘이므로
∠x=2∠BQC=2_35˘=70˘
30˘
x
A B
P Q
O 65˘ C
06
AE”를 그으면∠AEC=∠AEB=90˘
∠DAE=;2!;∠DOE
∠DAE=;2!;_40˘=20˘
이므로 △CAE에서
∠C=180˘-(20˘+90˘)=70˘
40˘
A B
C
D E
O
07
AC”를 그으면∠ACB=;9!;_180˘=20˘
∠CAD=;4!;_180˘=45˘
따라서 △APC에서 ∠P=45˘-20˘=25˘
A
P B C
D
08
∠CDQ=180˘-115˘=65˘ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC=∠CDQ=65˘
△PBC에서 ∠PCQ=30˘+65˘=95˘
따라서 △DCQ에서
∠x=180˘-(65˘+95˘)=20˘
09
∠ACB=∠ABT=40˘ABCD가 원 O에 내접하므로
(28˘+∠x)+(46˘+40˘)=180˘ ∴ ∠x=66˘
△ABC에서 ∠y=180˘-(66˘+40˘)=74˘
∴ ∠y-∠x=74˘-66˘=8˘
10
원O의 반지름의 길이를 r라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로8_(8+2r)=10_(10+14), 16r=176 ∴ r=11 따라서 원O의 반지름의 길이는 11이다.
11
① ∠BAC=∠BDC=40˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.③ ∠ABC+∠ADC=180˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
④ ∠B+∠D=180˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위 에 있다.
12
BD”를 그으면∠ABC=∠ACB=∠ADB이 므로AB”는 세 점 B, P, D를 지나 는 원의 접선이다.
DP”=x cm라고 하면 AB”¤ =AP”¥AD”이므로
7¤ =5_(5+x), 5x=24 ∴x=:™5¢:
∴DP”=:™5¢: cm
7###cm 5###cm
A
B P C
D
72˘
A
B
C D
E O
30˘
30˘30˘
A
B
P C
O 4###cm
