1
제 3장. 확률
(Probability
)확률은 어떤 일이 전체 속에서 일어날 비율로 0과
1
사이의 값을 가지며, 일상 생활에서 가장 많 이 사용되는 수학적 개념이다.3.1 표본공간과 사상
3.1.1 표본공간 (Sample Space)
표본공간은 실험했을 때 일어날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합(Set)이다. 예로서 주사위를 던지면 (1, 2, 3, 4, 5, 6) 중에서 한 수가 나타난다. 이 때 (1, 2, 3, 4, 5, 6)은 표본공간의 수들 즉 주사위를 던질 때 나타날 수 있는 값들이며 집합
S
로 표현한다. 따라서 주사위를 던질 때 나타 날 수 있는 표본공간은S {1, 2,3, 4,5, 6}
이다.표본공간을 구성하고 있는 개 개의 원소(Element)를 표본 점(Sample Point)이라 하고,
S
의 부분집합(Subset)
E
를 사상(Event)이라 한다. 예를 들면 주사위에서 각 수는 표본 점(S
의 원소들)이고 던졌을 때 나타나는 수는 사상이다.
3.1.2 사상(Event)
(1) 근원 또는 단순사상(Elementary or Simple Event): 시행의 결과로 나타나는 하나 하나의 사 상. 주사위는 6개의 수중 하나의 수가 나오므로 6개가 근원 사상이다.
(2) 전 사상(Total Event):
S
의 모든 원소를 포함하고 있는 사상.(3) 공 사상(Null Event):
S
의 원소를 전혀 포함하고 있지 않는 사상.(4) 여 사상(Complementary Event):
S
의 사상E
에 속하지 않는S
의 모든 원소들의 집합이 며,E
c,E
,E '
등으로 나타낸다. 예를 들면 주사위를 던져 3이 나왔다면E
와E
는 각각{3}
E
,E {1, 2, 4,5, 6}
이다.확률의 표시:
P S ( ) P E ( ) P E ( )
(5) 합 사상(Union Event): 두 사상
E
와F
가 있을 경우 두 집합의 공통된 원소들을 포함하는 모든 원소.{ | or }
E F x x E x F
(6) 곱 사상(Intersection Event): 교 집합으로 두 집합의 공통된 원소.
{ | and }
E F x x E x F
(7) 배반사상 (Mutually Exclusive Event): 한 쪽이 일어나면 다른 쪽이 일어나지 않는 사상. 이 것은 곱 사상이 공사상이 되는 경우이다. 이들을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
2
[보기 3_1] 주사위를 한번 던지는 실험에서 두 사상
E F ,
가E {1, 2,3}
,F {1,3,5}
라 할 때(1) 표본공간, (2) 두 사상의 합 사상, (3) 곱 사상 및 (4)
E
의 여사상을 구하여라.(풀이) (1) 표본 공간:
S {1, 2,3, 4,5, 6}
(2) 합 사상:E F {1, 2,3,5}
(3) 곱 사상:
E F {1,3}
(4) 여사상:E {4,5, 6}
[보기 3_2] 한 개의 동전을 두 번 던져 앞면이 나오면
h
, 뒷면이 나오면t
라 할 때(1) 표본 공간
S
(2) 첫 번째 던진 동전의 결과에서 앞면이 되는 사상E
, (3) 두 번째 던진 결과에서 뒷면이 나오는 사상F
를 각각 구하여라. (4) 사상E
와F
는 서로 배반 인 가? (5)E F
,E F
,E
를 각각 구하여라.(풀이) (1)
S {( , ), ( , ), ( , ), ( , )} h h h t t h t t
(2)E {( , ), ( , )} h h h t
(3)
F {( , ), ( , )} t h t t
(4)
E
와F
는 동일한 근원 사상( , ) h t ( , ) t h
를 가지므로 서로 배반이라 할 수 없다.(5)
E F {( , ), ( , ), ( , )} h h h t t t
,E F {( , )} h t
,E {( , ), ( , )} t h t t
3.2 확률의 개념3.2.1 선험적 확률(Priori Probability)
주사위를 던지기 전 나올 확률은 예상이 가능하므로 이러한 확률을 선험적 확률 또는 수학적 확률이라 한다. 어떤 시행에서 일어나는 모든 경우가
e e
1, ,2 ,e
n 인n
개의 사상이 있을 때, 각각에 대한 확률은p p
1, 2, ,p
n으로 표시한다.어떤 사상
e
i가 일어날 확률:P e
( )i p
i (0 p
i
1), 여기서i 1, 2, , n
1, ,2 , n
e e e
가 어느 것도 동시에 일어나지 않는다면1 2 n 1
p p p
모든 사상이 등 확률인 경우, 즉
p
1 p
2 p
n인 경우i
번째 확률은1
p
i n
n
번 중 어떤 성질A
를 갖는 경우가r
개 있다고 가정하면 사상A
가 일어날 확률은events ( ) all events
A r
P A n
선험적 확률(수학적 확률)의 예
-
S {1, 2, ,10}
의 수에서 어떤 수 하나를 끄집어 낼 수 있는 확률은 1/10 . 만일 홀수인 사상을A {1,3, 5, 7,9}
라 하면A
중에 하나가 일어날 확률은 5 /10- 주사위를 던질 때 각 수가 나올 확률은 1/ 6, 사상
A {2,3}
이 나올 확률은 1/ 3. 3.2.2 경험적 확률(Posteriori Probability)3
시행을 무한대로 했을 때 어떤 일정한 값에 도달하는 확률. 예를 들면 주사위를
n
로던졌을 때 3이 나올 확률은 1/ 6에 항상 접근한다. 이것을 수식으로 표현하면
the number of occurent events test numbers lim
np x
n
3.3 확률의 공리
확률은 다음의 공리에 의해 수학적으로 개발된다.
표본공간
S
{ ,e e
1 2, , }e
n 에서 임의의 부분집합 사상E
와F
가 나타날 확률P E ( )
와P F ( )
는 다음 확률의 공리조건을 만족한다.
공리
1
:0 P E ( ) 1
,0 P F ( ) 1
공리
2
:P S ( ) 1 P ( ) 0
공리 3:
E
와F
가 서로 배반이라면P E ( F ) P E ( ) P F ( )
,E F
[보기 3_3] 어떤 실험에서
x y z , ,
의 세 가지의 확률이P x ( ) 3 ( ) P y
,P y ( ) 3 ( ) P z
로나타난다고 하면
y
가 일어날 확률P y ( )
는 얼마인가?(풀이)
P x ( ) 3 ( ) P y
,P y ( ) 3 ( ) P z
를P x ( ) P y ( ) P z ( ) 1
에 대입하면( ) 13
3 ( ) ( ) 1 ( ) 1
3 3
P y P y P y P y
:3 ( ) 13 P y
[보기 3_4] 주사위
2
개를 던져 눈의 합이 5이하일 확률은 얼마인가?(풀이) 표본공간
S
는 6 6
36개의 사건이 있다. 이중 합이 5 이하의 사상A
는{(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (4,1)}
A
10 5 ( ) 36 18 p A
확률의 기본 성질
두 사상
E F ,
에 대하여 일어날 확률을 각각P E ( ), P F ( )
라 하고E F , ,
를 포함한 모든 사상을S
, 일어나지 않는 사상을
라 하자.(1)
P A ( ) 1 P A ( )
증명)
A
와A
는 서로 배반이므로A A S
. 공리 3과2
를 적용하면( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
P A A P A P A P S P A P A
(2)
P ( ) 0
증명)
은 표본공간S
의 여사상이므로 S
.P ( ) P S ( ) 1 P S ( ) 0
(3) 가법정리:
E E
1, 2, ,E
n이 모두 배반이면1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n i
i
P E E E P E P E P E P E
4
(4)
E F ,
가 배반이 아니면,P E ( F ) P E ( ) P F ( ) P E ( F )
증명)
P E ( F ) P E ( F ) P E ( F ) P E ( F )
( ) ( ) ( )
P E P E F P E F
( ) ( ) ( )
P F P E F P E F
중복 계산된 부분을 제외하면
( ) ( ) ( ) ( )
P E F P E P F P E F
[보기 3_5] 한 개의 동전을 6번 던져 적어도 한번은 앞면이 나올 확률은 얼마인가?
(풀이)
S
의 원소:2
6 64
, 앞면이 나올 사상을A
라 하면1 63
( ) 1 ( ) 1
64 64 P A P A
[보기 3_6] 어느 음식점에서 손님이 돈까스, 스테이크, 새우튀김, 치킨을 주문하는 확률은 각각
0.28, 0.09, 0.14, 0.05
라고 한다. 어떤 손님도 이 요리를1
개 이상을 동시에 주문할 수 없다고 하면, (1) 손님이 이 요리 중에 어느 하나를 주문할 확률과 (2) 그 이외의 요리를 주문할 확률을 각각 구하여라.(풀이) (1)
P
0.28 0.09 0.14 0.05
0.56 (2)P
1 0.56
0.44[보기 3_7] 어느 도시에서 담배를 즐기는 사람이 34%, 술은 25%, 담배와 술 모두 즐기는 사람은 8%라 한다. 이 도시의 주민 중에서 한 사람을 뽑았을 때 담배와 술 중에서 적어도 하나는 즐기는 확률은 얼마인가?
(풀이)
E
: 담배를 즐기는 사람,F
: 술을 즐기는 사람8%
E F
,E 34 8 26%
,F 25 8 17 % ( ) 0.26 0.17 0.08 0.51
P E F
또는
P E ( F ) P E ( ) P F ( ) P E ( F ) 0.34 0.25 0.08 0.51
[보기 3_8] 어떤 내기에서
1
에서 100까지의 정수 중에서 하나를 임의로 선택하여 그 숫자가12
또는 9로 나누어진다면 상품이 주어지는 행운을 얻게 된다. 이 내기에서 상품을 획득할 확률은 얼마인가?
(풀이) 사상
E {12, 24,36, 48, 60, 72,84,96}
사상
F {9,18, 27,36, 45,54, 63, 72,81,90,99}
( ) 8
P E 100
,10 ( ) 100
P F
,2
( )
P E F 100
8 11 2 17
( ) ( ) ( ) ( ) 0.17
100 100 100 100 P E F P E P F P E F
[보기 3_9] 동시에 두 개의 주사위를 던질 때 두 주사위의 눈의 합이 5 또는 7이 나올 확률은
5 얼마인가?
(풀이)
E {(1, 4), (2,3), (3, 2), (4,1)}
,F {(1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1)}
( ) 4
P E 36
,6 ( ) 36 P F
E
와F
는 서로 배반 사상:10 5
( ) ( ) ( )
36 18 P E F P E P F
3.4 조건부 확률(
Conditional Probability)
표본공간의 부분집합 내에서 일어날 확률로
S
의 임의의 두 사상, 즉E
가 일어날 확률 중에서 다시F
가 일어날 확률을 조건부 확률이라 하고 다음과 같이 정의 된다.( )
( | )
( )
P E F P F E
P E
(예) 졸업생이 240 명, 이중 취업이 200 명, 취업 중에서 80명이 대기업 취업이라 할 때 각 사상을 각각
E F G , ,
라 하면졸업생 중 취업 확률:
200 5 ( | )
240 6 P F E
졸업생 중 대기업 취업 확률:
80 1 ( | )
240 3 P G E
취업 중 대기업 취업 확률:
80 2 ( | )
200 5 P G F
확률의 승법법칙(Multiplication Rule of Probability)
두 사상
E F ,
가 동시에 일어날 확률은 사상E
가 일어난다는 조건 하에서F
가 일어날 확률로 다음과 같이 계산된다.( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
P E F P E P F E P F P E F
[보기 3_10] 주사위를 두 개 던져서 나오는 결과를
a b ,
라 하면,E {( , ) | a b a b 10}
,{( , ) | }
F a b a b
이다.P F E ( | )
의 값은 얼마인가?(풀이) 표본 공간
S 2
6 36
.E {( , ) | a b a b 10} {(4, 6), (5,5), (6, 4)}
,{( , ) | 10 and } {6, 4}
E F a b a b a b
3 1
( ) 36 12
P E
,1
( )
P E F 36
( ) 1/ 36 1
( | )
( ) 1/12 3
P E F
P F E
P E
[보기 3_11] 주사위 하나를 던질 때 홀수가 나오는 사상을
E
, 눈의 수가4
이하일 사상을F
라하자. (1)
E F ,
가 동시에 일어날 확률 (2)E F ,
중 어느 하나가 일어날 확률은?(풀이)
E {1,3,5}
,1
( ) 2
P E
6
{1, 2,3, 4}
F
,2
( ) 3 P F
(1)
E F ,
가 동시에 일어날E F
의 확률:1
( )
P E F 3
(2)
E F ,
중 하나가 일어날 확률P E ( F )
( ) ( ) ( ) ( )
P E F P E P F P E F
:1 2 1 5 2 3 3 6
E
와F
가 독립이면(Mutually Independent)P F E ( | ) P F ( )
. 따라서( ) ( ) ( | ) ( ) ( )
P E F P E P F E P E P F
즉 다음과 같은 정리가 성립한다.
독립사상(Independent Event)
사상
E
와F
가 독립이면( ) ( ) ( )
P E F P E P F
,P E F ( | ) P E ( )
,P F E ( | ) P F ( )
1, 2, , n
E E E
독립이면 1 21
( ) ( )
n
n i
i
P E E E P E
[보기 3_12] 52매의 카드에서
2
매의 카드를 하나씩2
회 꺼낼 때 (1) 두 번째 카드를 추출 하기 전, 첫 번째 카드를 다시 집어 넣고 추출하면2
매 모두 스페이스일 확률과 (2) 첫 번째 카드를 넣지 않고 추출할 때2
매 모두 스페이스일 확률을 구하여라.(풀이)
E
와F
는 각각 첫 번째와 두 번째 스페이스가 나오는 사상이라고 하면 (1)13 1
( ) 52 4
P E
,13 1
( ) 52 4 P F
E
와F
는 각각 독립:1 1 1
( ) ( ) ( | ) ( ) ( )
4 4 16 P E F P E P F E P E P F
(2)
F
는E
에 종속이다. 즉12 ( | ) P F E 51 1 12 1
( ) ( ) ( | )
4 51 17 P E F P E P F E
[보기 3_13] 주머니에 흰 공
4
, 검은 공 3개가 있다. 이 중에서 한 개씩 두 번 꺼낼 때 복원추출과 비 복원추출의 경우, 모두 흰 공이 될 확률을 각각 구하여라.(풀이) (1) 복원추출은 독립이므로
4 4 16 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( )( )
7 7 49
P E F P E P F E P E P F
(2) 비 복원추출은 종속 사상이므로
4 3 2
( ) ( ) ( | ) ( )( )
7 6 7
P E F P E P F E
다른 방법으로 계산: 4 2 3 0
7 2
4 3 4 2
7 6 14 7 C C
P C
7
[보기 3_14] 한 개의 동전을 연속적으로
4
번 던질 때 모두 앞면이 나올 확률 (풀이)1
41
( ) 2 16 P
[보기 3_15] 한 개의 주사위를 던졌을 때 처음
2
회는 눈금1
이 나오고 3번 째는1
이 나오지않을 확률.
(풀이)
1
25 5 ( ) ( )
6 6 216
P
3.5 베이즈의 정리
1 2 n
S A A A
(A
i A
j
,i j
)이면 사상A A
1, 2, ,A
n은 표본공간S
의 분할이고, ( i) 0P A
이면 임의의 사상B
에 대해 전확률의 정리와 베이즈의 정리가 각각 성립한다.전확률 정리(Theorem of Total Probability):
P B
( ) P A P B A
( 1) ( | 1) P A P B A
( n) ( | n)※
P B
( ) P B
( A
1) P B
( A
2) P B
( A
n)( 1) ( n)
P B A P B A
P A P B A
( 1) ( | 1) P A P B A
( n) ( | n)[보기 3_16] 모 선출에서 3명의 후보자가 있다.
A B C , ,
가 당선될 확률은 각각 0.2, 0.5, 0.3이다.
A B C , ,
후보는 당선되면 각각 0.7 , 0.2 , 0.5의 예측 확률로 회비를 인상할 것으로 판단된다. 회원의 회비가 인상될 확률은 얼마인가?(풀이) 당선될 사상을 각각
A B C , ,
라 하고 회원의 회비가 인상될 확률을K
라 하면( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
P K P A P K A P B P K B P C P K C
(0.2 0.7) (0.5 0.2) (0.3 0.5) 0.14 0.10 0.15 0.39
베이즈 정리(Bayes Theorem): ( ) ( | ) ( | )
( ) ( | )
k k
k
i i
P A P B A P A B
P A P B A
베이즈 정리에서
A A
1, 2, ,A
n을n
개의 원인이라면 원인의 가능성으로 처음의 확률P A
( )i 를 사전확률(Prior Probability),B
가 관측된 후에 원인A
k의 가능성으로 수정된 확률P A B
( k| )를 사후 확률(Posterior Probability)이라 한다.베이즈의 정리는 관측 전 후에 대한 가능성의 관계라 말할 수 있다.
[보기 3_17] 기계가
A B C , ,
세 대가 있다. 각 기계는 각각 전 생산량의20 %
,35%
,45%
를 생산하고, 각 기계의 불량률은 각각 2% , 4% , 3% 라고 한다. 제품 하나를 추출하였는데 그 제품이 불량이었다. 이것이A B C , ,
각각의 기계에서 만들어졌을 확률을 구하여라.(풀이) 생산되는 제품의 사상을 각각
A B C , ,
라 하고 불량품일 사상을K
라 하면( ) 0.20
P A
,P B ( ) 0.35
,P C ( ) 0.45
8
( | ) 0.02
P K A
,P K B ( | ) 0.04
,P K C ( | ) 0.03
3개의 사상은 서로 배반이므로( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P K P A P K A P B P K B P C P K C
(0.20 0.02) (0.35 0.04) (0.45 0.03) 0.004 0.014 0.0135 0.0315
0.004 8
( | ) 0.127
0.0315 63
P A K
,0.014 4
( | ) 0.444
0.0315 9
P B K
0.0135 3
( | ) 0.429
0.0315 7
P C K
연습 문제
1. 다음의 각 시행에 대한 표본공간을 구하여라.
(1) 두 개의 주사위를 던졌을 때 나타나는 눈의 수 (2) 한 개의 주사위를 던졌을 때 나타나는 눈의 수 (3) 두 개의 주사위를 던져 나오는 수의 합
(4) 세 개의 동전을 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수
2. 한 개의 주사위를 차례로 두 번 던져 윗면에 나타나는 눈의 수를 각각 (
x x
1, 2)로 표시한다.이 경우 다음의
4
개의 사상이 다음과 같을 때 물음에 답하라.1 2 1 2
{( , ) | 10}
A x x x x
1 2 1 2
{( , ) | }
B x x x x
1 2 1
{( , ) | 6}
C x x x
1 2 2
{( , ) | 6}
D x x x
(1) 표본 공간
S
를 구하여라.(2)
A B A , , B
의 사상을 구체화하고P B A ( | )
를 구하여라.(3)
A
와C
는 서로 독립인가?(4)
C
와D
는 서로 독립인가?3.
A
의 항아리에 흰 공 3개, 검은 공2
개,B
의 항아리에 흰 공1
개, 검은 공2
개가 들어 있다.무심코 한 항아리에서 공 한 개를 꺼낼 때 흰 공일 확률은 얼마인가?
4. 10개 중 3개의 당첨 제비가 들어 있는 제비뽑기에서 두 번째 뽑는 사람이 당첨될 확률은 얼마인가?
5. 어느 공장에서 부품 A는 전체의 20%, B는 30%, C는 50%를 차지한다고 한다. 생산품의 불량률은 A가 5%, B는 10%, C는 4%라 한다. 이 제품의 불량률은 얼마인가?
9
6.
1
( ) 4
P A
,1 ( ) 3
P B
,1
( )
P A B 12
일 때P A ( B )
의 값은 얼마인가?7.한 개의 주사위를 3회 던졌을 때 처음
2
회는1
의 눈이 나오고 3번째에는1
이외의 다른 눈이 나올 확률을 구하여라.8. 상자 안에 10개의 공이 있다. 이 중에 5개가 흰색이고, 나머지는 검정 색이다. 3개의 공을
하나씩 꺼냈을 때 3개가 전부 흰 공일 다음 조건의 확률을 구하여라.
(1) 한 개씩 꺼낼 때 다시 집어 넣지 않음(비 복원 추출).
(2) 한 개씩 꺼낼 때 마다 다시 집어 넣고 꺼냄(복원 추출).
9. 두 개의 주사위를 던질 때
A
는 두 주사위 눈의 개수의 합이 8이 되는 사상(event),B
는 첫번째 주사위 눈의 수가 홀수인 사상,
C
는 두 번째 주사위 눈의 수 가 3이하인 사상이라고 하자.다음의 물음에 답하라.
(1)
A
와B
는 독립인가?(2)
B
와C
는 독립인가?(3)
A
와C
는 독립인가?(4)
A
,B
,C
는 서로 독립인가?10. 세 개의 주사위를 던지는 실험에서 다음에 답하라.
(1) 최소 하나의 주사위의 눈이 6일 확률
(2) 3개의 주사위에서 눈의 합이 6일 때 첫 번째 주사위의 눈이 1일 확률 (3) 세 주사위 중 두 주사위의 눈만 같을 확률
(4) 첫 번째 주사위의 눈이 홀수인 사상과 첫 번째와 두 번째 주사위의 눈이 모두 짝수이거나 홀수인 사상과 서로 독립인지 검토하여라
11. 한 상자에 20개의 제품이 들어 있고 그 중에 4개는 불량품이다. 여기서 임의로 2개의 제품을 추출할 때 다음의 확률을 구하여라.
(1) 2개가 모두 양품일 확률 (2) 2개가 모두 불량일 확률
(3) 1개는 양품 다른 한 개는 불량일 확률 (4) 적어도 한 개가 불량일 확률
12. 볼트를 만드는 기계
