1.4 Spanning Sets

1.4 Spanning Sets

Let W < Rⁿ,A ⊆ Rⁿ

for A = φ, define φ spans {0}:

공집합은 zero vector space를 span한다.

for A 6= φ, define A spans W if (i)A ⊂ W

(ii) for w ∈ W , can write

w = a₁u₁ + · · · + a_ru_r for u₁, · · · , u_r ∈ A.

A의 원소를 가지고 1차 결합을 한 원소들이 W 가 되면, A가 W 를 span한다고 말한다.

W ={a₁u₁ + · · · + a_ru_r | u_i ∈ A, aⁱ ∈ R}

무한 개의 원소를 가지고 있더라도 유한 개의 원소를 사용하여 1차 결합을 만든다.

Write Span(A) = W Span(φ) ={0}

Example u₁ = (1, 1), u₂ = (1, 0) Span({u₁, u₂})= R²

Example A ={u¹ = (1, 1, 1), u₂ = (0, 1, 1), u₃ = (0, 0, 1)}

Then A spans R³.

정의에 따라 (i)u₁, u₂, u₃ ∈ R³ ⇒ A ⊂ R³

(ii)Let w ∈ R³, write w = (x, y, z) ∈ R³

(x, y, z) = x(1, 1, 1) + (y − x)(0, 1, 1) + (z − y)(0, 0, 1)

w is a linear combination of u₁, u₂, u₃ in A A의 원소로 모두 표현 가능하다.

∴ A spans R³. N otation : Span(A) =< A >

Theorem 1.4.1.

For A ⊂ Rⁿ, then < A >< Rⁿ

idea of proof. If A = φ, < φ >={0} (⊂ Rⁿ φ인 경우를 꼭 증명에 넣어야 한다.) If A 6= φ,

(i) since A 6= φ, pick u ∈ A, so 1 · u ∈< A >

(ii) let u, v ∈< A >, a, b ∈ R,

write u = a₁u₁ + · · · + a_ku_k, v = b₁u₁ + · · · + b_ru_r

then au + bv = aa₁u₁ + · · · + aa_ku_k + bb₁u₁ + · · · + bb_ru_r ∈< A >

Problem: Find a spanning set for

W ={(x₁, x₂) ∈ R² | 3x₁ + x₂ = 0}

3x₁ + x₂ = 0, x₂ = −3x₁

W ={(x₁, −3x₁) ∈ R²|x₁ ∈ R}

let A ={u = (1, −3)}.

show < A >= W

(i) show A ⊂ W

(1, −3) : 3 · 1 + (−3) = 0

∴ (1, −3) ∈ W i.e. A ⊂ W (ii) let w ∈ W

then W = (x₁, x₂) with 3x₁ + x₂ = 0 since x₂ = −3x₁

w = x₁ · u

∴< A >= W

let β ={(1, −3), (−2, 6)}

⇒< β >= W

Span하는 set이 꼭 한 개만 있는 것이 아니다.