8.4 각운동량과 에너지의 양자화

(1)

8장 삼차원에서의 양자 역학

8.1 삼차원 상자 안의 입자 8.2 중심력과 각운동량

8.3 공간 양자화

8.4 각운동량과 에너지의 양자화

L

_z는 선명히 관측된다. : 자기 양자수 은 선명히 관측된다 : 궤도 양자수

E는 선명히 관측된다 : 지름 파동 방정식

8.5 수소 원자와 수소꼴 이온

8.6 반수소

(2)

8.1 삼차원 상자 안의 입자

 정육면체 상자

• 한 변의 길이

L

• 0 < x, y, z < L인 영역을 차지

• 상자의 벽은 매끄럽다

• 벽에 수직인 힘만 가한다

• 벽에서는 탄성 충돌을 한다.

 확률밀도 – 단위 부피당 확률

 시간 t 일 때 위치 r 에 있는 부피 성분 내에서 입자를 발견할 확률

( , ) ( , )

2

P r t    r t 

( , ) ( , )

2

P r t dV    r t  dV

(3)

상자 속에서의 파동 함수

 상자 속에서의 파동함수

• 라플라시안

 운동에너지 연산자

• 직교 좌표축들은 공간 내에서는 서로 독립적이지만

• 크기는 같은 크기를 갖는다

2

( )

2 U r i

m t

      



 



2 2 2

2

2 2 2

x y z

  

   

  

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

[

_x

] [

_y

] [

_z

]

m m x m y m z

K K K

        

                      

  

   

(4)

정상상태

 정상상태

• 모든 확률이 시간에 대해 일정한 상태

• 인 입자의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

• 에서 이면

( , )

r t 

( )

r e

^^{i t}^

   

E

_{ }



2

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

r U r r E r

m   

         0 

x y z L

, , 

U r

( ) 0 

1 2 3

( ) r ( , , ) x y z ( ) ( ) ( ) x y z

       

2 2 2

3

1 2

2 2 2

1 2 3

2 2 2

d

d d

m dx m dy m dz E

  

      

(5)

운동량의 양자화

 상자 속 모든 곳에서 방정식이 성립하려면

•

ψ

₁^{의 해}

• B.C

• n_i = 0의 경우는 허용되지 않는다

2 2

1 2 1

2 1

d E

m dx



 



 ² ² 2 2 2

2 2

d E

m dy



 



 ² ² ³

2 3

d E

m dz



 





1( )

x A

1sin

k x B

1 1cos

k x

1



  ₁ 2mE¹

k





1(0) B 0

   ₁( )L  A₁sink L₁ 0 k L n₁  ₁

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, 1, 2, , 1, 2, , 1, 2,

x

y

z

p k n n

L

p k n n

L

p k n n

L



  

  

(6)

불연속적인 입자의 에너지

 입자의 운동에너지

• 공간에 있는 입자의 자유도가 세 개이므로

• 양자화 조건을 나타내는 데에는 세 개의 양자수가 필요하다

 정상상태의 파동 함수

• 규격화 조건 예제 8.1



² ² ²



^{2 2}²

^

¹² ²² ³²

^

1

2

^x ^y ^z

2 E p p p n n n

m mL

       

   

1 2

 

3

( , , , ) sin sin sin (0 , , )

0 (otherwise) x y z t A k x k y k z e

^i t^

x y z L

   



(7)

예제 8.1 파동함수의 규격화

 가장 낮은 에너지를 가질 때 n

₁ 

n

₂ 

n

₃ 1

1 2 3

k k k

L

  



2

0 0 0

2 2 2 2

0 0 0

1 ( , , , )

sin sin sin

L L L

dx dy dz x y z t

x y z

A dx dy dz

L L L

  

 

         

          

  

 

2 1

sin   2 1 cos 2 

2

0 0

0

1 2 1 2

sin 1 cos sin

2 2 2 2

L x L x L x L L

dx dx x

L L L

  



   

          

       

       

 

3

1

2

2 A   L

    

2

3/2

A L

      

(8)

겹침 상태

 바닥 상태의 에너지

 첫 번째 들든 상태

 축퇴 또는 겹침 (degenerate) 상태

• 서로 다른 상태가 같은 에너지를 가지는 상태

• 높은 대칭성으로 인하여 겸침 준위

(degenerate level)

^{을 갖는다}

• 상자의 길이가 다르면 겸침이 제거된다

• 겸침 준위의 갈라짐의 정도는 비대칭성이 증가함에 따라 커진다

2 2 2 2

1 2 3 3

n



n



n



n



1 2 3

( , , ) (1,1,1) n n n 

^{2 2}

111 2 0

3 E 2 E

mL

 

^



2 2 2 2

1 2 3

6 n  n  n  n 

1 2 3

( , , ) (2,1,1) (1, 21) (1,1, 2) n n n   

^{2 2}

211 121 112 2 0

6 2

E E E 2 E

mL

   

^



(9)

예제 8.2 다른 들뜬 상태

 두 번째 들뜬 상태

 세 번째 들뜬 상태

 네 번째 들뜬 상태

2 2 2 2

1 2 3

9 n  n  n  n 

1 2 3

( , , ) (2, 2,1) n n n 

2 2

311 131 113 2 0

11 11

2 3

E E E E

mL

   

^



2 2 2 2

1 2 3 11

n



n



n



n



1 2 3

( , , ) (3,1,1) (1,3,1) (1,1,3) n n n   

2 2

221 212 122 2 0

9 3

E E E 2 E

mL

   

^



221/ 221

2 2

sin x sin y sin z ^{iE t}

A e

L L L

   

     

       



1 2 3

( , , ) (2,1, 2) n n n 

₂₁₂ ^A^sin ² ^x ^sin ^y ^sin ² ^z ^e ^{iE t}²¹² ^/

L L L

   _

     

       



1 2 3

( , , ) (1,2,2) n n n 

₁₂₂ ^A^sin ^x ^sin ² ^y ^sin ² ^z ^e ^{iE t}¹²² ^/

L L L

   _

     

       



2 2 2 2

1 2 3

12 n  n  n  n  12

2 2

4 E _ 

_

_ E

1 2 3

( , , ) (2, 2, 2) n n n 

(10)

에너지 준위와 겹침도

(11)

예제 8.3 직육면체 상자의 양자화

변의 길이가 L

₁

, L

₂

, L

₃

인 직육면체 상자 속에 갇힌 입자에 허용된 에너지의 식

• 입자의 운동량

• 허용에너지

• 첫 번째 들뜸 상태

• 이면 , , 2,1,1 이 가장 낮은 들뜬 상태

1 1 1

1

, 1,2, px k n n

L

   

 

2 2 2

2

, 1,2,

py k n n

L

   

 

3 3 3

3

, 1,2, pz k n n

L

   

 



² ² ²



^{2 2} ¹ ² ² ² ³ ²

1 2 3

1

2 ^x ^y ^z 2

n

n n

E p p p

m m L L L

 ^_^ ^ ^ ^ ^ ^ ^_

            



(12)

8.2 중심력과 각운동량

 중심력

• 하나의 고정된 점으로 향하는 힘

 원자 내의 전자

• 서로 반대 전하에 의한 쿨롱의 힘에 의해 핵에 끌리게 된다

• 핵 – 힘의 중심

• 좌표 – 핵을 원점으로 한 구면 좌표 r, θ, ϕ

 중심력은 보존력이다

• 입자의 에너지

(K + U)

^{는 일정}

•

E

^{는 양자화된다}

• 양자상태는 인 정상상태

( , ) r t  ( ) r e

^^{i t}^



^



^

(13)

각운동량의 불확정 원리

 중심력이 작용하면

힘의 중심에 대한 각운동량 은 보존된다

 각운동량의 불확정원리

• 각운동량의 어느 두 성분도 동시에 규정할 수 없다

• 의 방향을 정확하게 알고 있다면

• 입자는 에 수직한 궤도면에 국한

• 이 면에 수직한 방향의 좌표를 정확히 알 수 있다

• 이 면에 수직한 방향의 선운동량 = 0

• 불확정성 원리에 위배

 의 한 성분만을 확실히 알 수 있다는 것은

• 역시 선명하지 말아야 한다는 제한은 없다

 중심력은 , , 가 양자화 된다.

(14)

중심력에 대한 슈뢰딩거 방정식

 과 L

_z

가 모두 선명한 관측 가능량이 되기 위한 파동함수

• 중심력에 대한 슈뢰딩거 방정식의 변수분리를 통해 얻을 수 있다

 구면 좌표 r, θ, ϕ에 대한 시간에 무관한 파동 함수

 중심력에 대한 슈뢰딩거 방정식

 구면좌표계의 라플라시안 ( ) r R r ( ) ( ) ( )

      

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 1

cot csc

r r r r  

  

 

      

                  

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 r U r r E r

m   

       

(15)

변수분리

 각 항을 RΘΦ로 나누면

 양변을 을 곱한 후 Φ에 대하여 정리하면

• 좌변과 우변이 같기 위해서는 양변이 모두 상수여야 한다

• 좌변 – 오직 ϕ만의 함수

• 우변 – 오직 r과 θ만의 함수

• 자기 양자 수

(magnetic quantum number) m

_ℓ

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 1

2 2 cot

1 ( )

2 sin

d R dR d d

mR dr r r m r d d

d U r E

m r d

  

 

       

                 

   



 



2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 2 1 2

sin cot + ( ( ))

d r d R dR d d mr

E U r

d  R dr r r d  d

  

     

              

           

2

sin

2

r 

(16)

자기 양자 수

 Φ(ϕ)에 대한 식

 해

•

m

_ℓ이 정수로 제한될 때 2π의 주기를 갖는다

• 일 때만 성립

2 2

2

( )

d m

d 



   

_

( )  e

^^im ^

 

^

( )



(



2 )



   

( 2 )

im im

e

^^

 e

^ ^{ }^ 0, 1, 2,

m

_

  

_

(17)

 두 번째 변수 분리

• 양변은 상수가 되어야 한다 – 의 상수 도입

• ℓ : 궤도 양자 수 (orbital quantum number)

• Θ(

θ

) : 버금 르장드르 다항식 으로 알려진 cos

θ

^{에 대한 다항식}

궤도 양자 수

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 1

+ ( ( )) cot

sin m

r d R dR mr d d

E U r

R dr r r d  d

  

               

       

   





(



1)

 

2 2

2 cot 2 ( ) ( 1) ( ) sin

m

d d

d  d  

  

   

^

  

_{ }

 

 0

  m

_

   m

_

P

_m^

(18)

구면 조화 함수

 구면 조화 함수 (spherical harmonics)

 분리 상수 과

• 중심력에 대한 선명한 관측량

, L

_z

,

^그리고

E

와 관련이 있어야 한다

• _ℓ의 값이 ℓ과 ℓ 의 사이로 제한되는 것

• 각운동량의 성분 는

─ 벡터 의 크기보다 절대 클 수 없다

( ) ( )

Y

_m^  







(  1)

  m

_

L 

( 1) 1,2,3,

0, 1, 2, ,

z

L

L m m

  



_ _

   

     

  

(19)

지름 파동 방정식

 지름 파동 방정식

• 파동함수

ψ

^{의 지름 부분}

R(r)

과 입자의 허용된 에너지

E

^{를 결정한다}

• 궤도 양자 수

ℓ

^{을 포함}

• 각각의 각운동량 궤도는 다른 지름 파동과 별개의 에너지를 갖는다

• 자기 양자수

m

_ℓ을 포함하고 있지 않다

• 지름 파동과 입자의 에너지는 m_ℓ값에 무관하다

• 고정된

ℓ

^{에 대하여}

• 입자의 에너지 E는 m_ℓ과 무관

• 적어도 겹 겹침을 한다

2 2 2

2 2

2 ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

d R dR

R r U r R r ER r

m dr r r mr

  

         

   

( 1)

 

(20)

8.3 공간의 양자화

 공간의 양자화

• 의 방향이 임의의 축

(z

^축

)

에 대해 양자화되는 것

• 과 L_z가 각각 궤도 양자 수와 자기 양자 수에 따라 선명한 관측량이 되고

• ℓ 및 m_ℓ이 각운동량 벡터 의 방향을 결정

 궤도 양자 수 ℓ이 주어졌을 때 의 가능한 방향

•

ℓ = 0

^이면

•

ℓ = 1

^이면

•

ℓ = 2

^이면

•

L

_z는 전체 각운동량 보다 작아야 하므로 L

L

   m

_

 

1,0,1,

_z

0 m

_

  L 

0,

_z

0 m

_

 L 

2, 1,0,1, 2,

_z

0 m

_

   L 

(21)

궤도 각운동량의 양자화

 은 z축과 θ의 각을 이루는 원뿔에 있어야 한다

 이 특정한 방향을 갖는 것은

• 입자들 사이에 작용하는 힘과 무관

 의 양자화 (θ의 양자화)

• 중심력인 쿨롱의 힘으로부터 나온 것이 아니라 공간 그 자체의 구조에 의한 것이다

 L

_z

를 확실히 안다고 할 지라도

• 는 원뿔 표면에 위치하므로

L

_x^와

L

_y는 정확히 알 수 없다

sin ( 1)

L

z

m

  L 







 

(22)

8.4 각운동량과 에너지의 양자화

 연산자의 고유값

•

[Q] :

^{관측 가능량}

Q

^{에 대한 연산자}

•

q :

^{파동 함수}

Ψ

로 기술되는 계의 관측 가능량을 측정할 때의 선명한 값

 입자의 에너지

• 에너지 보존

ΔE = 0

^이므로

파동함수

Ψ

가 에너지 연산자의 고유함수가 되어야 한다

.

[ ] Q    q

[ ] E    E [ ] E i

t

 

 

( , ) r t  ( ) r e

^^{i t}^

   

 

[ ] E i ( ) r e

^{i t}

h ( ) r e

^{i t}

E ( ) r t

 



^



^



    

   



(23)

각운동량

 중심력만이 작용한다면

• 힘의 중심에 대한 각운동량은 보존된다

• 각운동량에 대한 연산자의 구면 좌표 형태 r을 포함하지 않는다

( )

z z y x

L   r p    xp  yp

_{[ ]}_x _ _x

[ ]p_x

i x

 





[ ]y  y [ ]p_x

i y

 



[ ] [ ][ ] [ ][ ] L

_z

x p

_y

y p

_x

x y



i y x

   

         



[ ] L

_x

i sin  cot cos  

 

   

         [ ] L

_y

i cos  cot sin  

 

   

          [ ] L

_z

i



  

 

(24)

2 2 2

cos tan

r x y z z

r y x





  



sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin

sin cos

sin sin 0

r r r

x y z

x r y r z r

x r y r z

    

       

    

 

     

  

      

  

       

  

2 2 2

1 2

sin cos 2

r x x

x x y z r  

   

  

 

¹²



² ² ²



^3/2 ³

cos 2 ( cos )( sin cos )

sin z x r r

x x x r z x y z r

     

                

sin cos sin sin cos

x r y r z r

 





2

tan 1

sec tan

sin cos

y y

x x x x x r

   

 

              

cos cos sin sin cos

sin cos sin cos sin sin

sin cos sin

r

x x r x x r r r

r

y y r y y r r r

r

z z r z z r r

      

    

      

    

   

  

               

         

               

         

             

        

(25)

자기 양자 수

 파동함수 가 [L

_z

]의 고유함수

• 는

ϕ

^{에 대하여}

2π

의 주기성을 가지고 있어야 한다

( ) r e

^{i t}^



^

 

[ ] L

_z

 ih  L

_z





   



( ) r C r ( , ) e

^iL^z^/

   

^

( ) r

 ^

( 0, 1, 2, ) L

z

m

_

  n n    



(26)

각운동량

 ψ가 [L

_x

]의 고유함수라면

• 모든

θ

^와

ϕ

에 대하여 성립하여야 하므로

•

ϕ = 0

^{일 때}

•

ψ = 0

^이거나

L

_x

= L

_z

= 0

^{일 때만 성립}

 각운동량의 모든 성분이 0이 아니면

• 두 개 이상의 성분을 동시에 선명히 관측할 수 있는 파동함수는 존재하지 않는다

.

[ ] L

_x

 i sin   cot cos    L

_x



 

   

         

cot

_x

i   L 



 

 

z

cot

x

L  L 

 

(27)

궤도 양자 수

 의 연산자

 이므로

 가능한 해

• ℓ ℓ 1 일 때  버금 르장드르 다항식 _ℓ ^ℓ cos

• | |과

L

_z를 나타내는 파동함수는 동시에 선명히 관측된다

 구면 조화 함수 _ℓ ^ℓ ,

2 2 2 2

2 2

[ ] [ ] [ ] [ ]

cot csc

x y z

L L L L

h  

  

  

    

          



2 2

[ ]

L







L 

₂ ² ₂ ² ²

2 cot csc 2

h      L 

  

   

       



2 2

2 2 2

2 cot csc

h    m  L 

 

  

     ^  



(28)

2 2

2

2 2 2

2

[ ] [ ][ ] sin cot cos sin cot cos

sin sin sin cot cos cot cos sin cot cos cot cos

sin csc sin

x x x

L L L      

   

           

       

 



      

           

                

                  

   





2

2 2 2 2

cos cot cos cot cos sin cot cos 2

        

   

     

  

     

 

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

[ ]

L

[ ]

L

_x [ ]

L

_y [ ]

L

_z cot



csc



  

    

          

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

[ ] [ ][ ] sin cot sin sin cot sin

cos csc sin cos cot sin cot cos sin cot sin

y y y

L L L      

   

          

    

      

           

      

            



2

2 2

[ ]L_z [ ][ ]L L_z _z 2



  

     

(29)

지름 파동 방정식

 E는 선명히 관측된다

• 에너지가 상수가 되면, E는 선명한 관측 가능량이 된다

• 정상상태

• 에너지 연산자 [E]에 대한 고유값 조건의 결과

 운동량 연산자 [K]

( , )

r t 

( )

r e

^^{i t}^

   

2 2 2 2

2 2 2 ( ) {( ) ( ) ( ) }

[ ] [ ] [ ]

[ ] 2 2

x y z i x y z

p p p

K m m

  

    

 

  ^

2 2

rad 2

[ ] 1 K 2

m r r r

   

      



2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

rad orb rad 2

2 1

cot csc

2 2

[ ] [ ] [ ] 1 [ ] 2

m m r r r r

K K K L

mr

 

  

          

               

   

 

2 2

[ ] ( )L  r  ( 1) ( )r

  

(30)

슈뢰딩거 방정식의 해

 슈뢰딩거 방정식

• 중심력에 대해서 이 식의 모든 항이 구면 좌표

r만을 포함하고 있다

• ψ가 [L²]의 고유함수가 되기 위해 각 변수 θ와 ϕ가 빠져있다

• 해

• 퍼텐셜 에너지 함수 U(r)이 주어졌을 때 지름 파동 함수 R(r)과 입자의 허용 에너지 E를 결정할 수 있다.

2

rad 2

( 1)

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K r 2 r U r r E r

     mr ^         

( )

r R r Y

( ) ^m ( , )



  _ ^

 

2

rad 2

( 1)

[ ] ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 2

m m m m

K RY RY U r RY ERY

 



mr

^

 



 



 

   

      

2 2 2

2 2

1 ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

d R dR

R r U r R r ER r m dr r dr mr

  

     

 

   

(31)

8.5 수소 원자의 수소꼴 이온

 수소꼴 이온

• 하나의 전자만을 가지고 있는 이온

•

 쿨롱 힘에 의한 퍼텐셜 에너지

 중심력에 의한 정상상태

 지름 파동 방정식

He , Li ,^ 2^ 

( )( ) 2

( )

k Ze e kZe

U r r r

 

  

( , , , )

r   t R r Y

( ) ^m ( , )

  e

^^{i t}^

  _ ^

2 2 2

2 2

1 ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

d R dR

R r U r R r ER r m dr r dr mr

  

     

 

   

궤도 운동에 의한 운동에너지 K_orb

(32)

지름 파동 방정식

 지름 파동 방정식

• 전자가 궤도 형태로 운동하고 있다고 가정하면 ,

•

• 유효 퍼텐셜 에너지

1 2 orb 2

K



mv L

 

mvr

2 2

2

orb 2

1

2 2 2

L L

K mv m

mr mr

 

 

  

 

 

 

2

 

2

2 2

2

d d R dR

rR r

dr dr r dr

 

   

 

2 2

2 eff ( ) ( ) ( ) 2

d g U r g r Eg r

 

m dr

  ( ) ( )

g r



rR r

2 2 2

eff 2 2

( 1) ( ) ( )

2 2

L kZe

U r U r

mr mr r

    

   

(33)

수소꼴 원자에 대한 허용 에너지

 에너지

• 보어 이론의 결과와 정확히 일치한다

• 보어 반지름

• n : 주 양자 수

• n = 1, 2, 3, …

• ℓ : 궤도 양자 수

•

• 궤도 양자 수의 크기가 주어진 에너지보다 더 커질 수 없다

• m_ℓ : 자기 양자 수

•

z 성분은 각운동량 벡터의 크기를 넘지 않는다

2 2

2 0

1, 2,3,

n 2

ke Z

E n

a n

 

    

  

2

0 2 5.29 nm

e

a



m ke

 

0, 1, 2, ,(n 1)

 

 

max  n 1



  m_  

(34)

수소꼴 원자의 지름 파동 함수

 수소꼴 원자에 대한 지름 파동 함수 R(r)

•

r/a

₀의 다항식과 지수 함수의 곱

(35)

수소꼴 원자의 전자 에너지

 수소꼴 원자의 경우

• 양자수

n, ℓ, m

_ℓ은 선명한 관측량

E, |L|

², L_z와 관련된다

 전자의 에너지 E

•

n에만 관련되고 ℓ이나 m

_ℓ과는 무관하다

• ℓ 에 무관 – 구대칭의 특징, 모든 중심력에 대하여 성립

• m_ℓ에 무관 – 수소형 원자에만 적용

• 동일한 주 양자 수

n을 갖는 모든 상태는 하나의 껍질을 이룬다

•

n, ℓ 이 모두 같은 상태는 버금 껍질을 이룬다

(36)

선택 규칙

 원자 내에서 가능한 전자의 전이

• 각각의 전이는 원자의 에너지 변화를 의미

• 전자가 전이하면 다른 형태로 에너지를 방출 또는 흡수한다

• 광학 전이

• 광자가 잉여 에너지를 가로채 가기 때문에 모든 에너지가 보존되지 않는다.

• 광자는 각운동량을 운반

 선택 규칙

• 광학 전이에서 전체 각운동량이 보존되기 위해서는 처음 상태와 나중 상태 전자의 각운동량 차이가 정확히 1 단위가

차이가 나야 한다

f i 1

    

   1

  0

(37)

수소꼴 원자의 바닥 상태

 원자 번호가 Z이고 하나의 전자를 가진 원자 (수소꼴 원자)

•

n = 1, ℓ = 0, m

_ℓ = 0 일 때 바닥 상태의 에너지

• 파동함수

 s 상태의 단위 부피당 확률

• s 상태(ℓ = 0)의 모든 파동은 구 대칭이다

• 중심으로부터 거리가 같은 곳에서는 원자 내에서 전자를 발견할 확률이 모두 같다

• s 상태 파동에는 모두 성립한다

2 1 (13.6 eV)

E

 

Z

0

3/2 0 /

100 10 0

0

( ) 1 Z

^{Zr a}

R r Y e

 a



 



   

 

0

2 3 2 /

100 3

0

Z

Zr a

a e

 





(38)

지름 확률 밀도

 P(r) : 지름 확률 분포

 P(r)dr

• 반지름

r

^{이고 두께}

dr

^{인 구 껍질에서} 전자를 발견할 확률

• 수소꼴

1 s

^상태

2 2

( ) 4

P r dr    r dr

0

3

2 /

2 2

1 100 3

0

( ) (4 ) 4 ^{Zr a}

s

P r r Z r e

  a ^

 

(39)

1s 상태

 1s 상태

• 곡선의 피크는 핵으로부터

1s

전자가 가장 높은 확률로 존재할 수 있는 위치를 나타낸다

(40)

예제 8.8 수소 내의 전자의 확률

수소의 바닥상태에 있는 전자가 첫 번째 보어 반지름 밖에서 발견될 확률

 수소 원자이므로 Z = 1

 혹률은 67.7 %이다!

0

0 0

2 / 2

1 3

0

( ) 4 ^{r a}

a s a

P P r dr r e dr a

  









0

z 2r

 a

2

0 0

3 2 0 1 2 2 2

2 2

12 2

4 2 2

( 2 2) 5 0.677

z

a a

P z e dz

a

z e dz

z z e e

 

  

   

        



     



(41)

예제 8.9 수소-양성자 간격

수소의 바닥상태에서 전자가 가장 높은 확률로 위치해 있는 핵으로부터의 거리는 ?

 확률이 가장 높은 거리

• 지름 확률

P(r)

^{이 최대가 되는}

r

^은

?

•

r = a

₀

 평균거리

• 평균거리와 가장 확률이 높은 거리가 일치하지 않는다

• P(r)이 a₀에 대하여 대칭이 아니므로

0 0

2 / 2 /

2 2

1

3 3

0 0 0

4 4 2

2 0

r a r a

dP

s

d

r e e r r

dr dr a a a

 

     

         

     

2 / 0

3

1 3 0

0 0

0

4 3

( ) 2

r a

r rP r dr

s

r e dr a

a

  

     

(42)

첫 번째 들뜬 상태 (1)

 수소꼴 원자의 첫 번째 들뜬 상태

• 주 양자 수

n = 2

• 첫 번째 들뜬 준위 E₂는 네 겹으로 겹쳐 있다

•

ψ

₂₀₀

• 2 s 상태 – 구대칭

• 2개의 피크를 가지고 있다

• 가장 확률이 큰 거리 ( ≈ 5a₀/ 2 )

─ 1 s 보다 먼 거리에 위치한다

2 2

(13.6 eV)

4 E   Z

(43)

첫 번째 들뜬 상태 (2)

 수소꼴 원자의 첫 번째 들뜬 상태

•

ψ

₂₁₀

, ψ

₂₁₁

, ψ

_21–1

• ℓ = 1인 2p의 버금 껍질을 이룬다

• 확률 밀도 |ψ₂₁₁|²은 ϕ와 무관하고 z축에 대해 대칭

• z축에서 발견될 확률이 가장 크다

0

3/2 1 /2

211 21 1

0 0

1 sin

8

Zr a i

Z Zr

R Y e e

a a

 





   



     

   

0

3/2 0 /2

210 20 1

0 0

1 cos

2 8

Z Zr

Zr a

R Y e

a a

 



   



     

   

(44)

첫 번째 들뜬 상태 (3)

 수소꼴 원자의 첫 번째 들뜬 상태의 방향성

•

ψ

₂₁₀ 는 뚜렷한 방향성을 가지고 있다

• 전자가 z축 상에서 발견될 확률이 크다

• 다른 방향성

2 210

[ 

_{p z}

]  

 

2 12 211 21 1

[ 

_{p x}

]    

_

 

2 12 211 21 1

[ 

_{p y}

]    

_

(45)

두 번째 들뜬 상태

 수소꼴 원자의 두 번째 들뜬 상태의 에너지 E

₃

• 아홉 겹으로 겹쳐 있다

•

n = 3

^{에 해당하는}

ℓ

^및

m

_ℓ^{의 선택}

• 에너지는 같으면서

서로 다른 아홉 개의 파동 함수를 갖는다

─ 3s – 1개의 상태

─ 3p – 3개의 상태

─ 3d – 5개의 상태

2 3

(13.6 eV)

9 E   Z

(46)

n 번째 들뜬 상태

 n 번째 껍질이 갖는 에너지

•

ℓ = 0, 1, 2, … , n – 1

^{에 대응하는}

n

개의 버금 껍질을 가진다

•

ℓ

^{번째 버금 껍질에는}

2ℓ + 1

^{개의 궤도}

 에너지 준위 E

_n

은 n

²

으로 겹쳐 있다

•

n

^{번째 껍질에는 총}

n

² ^{개의 상태가 있다}

• n 번째 궤도에는 n² 개의 전자가 있을 수 있다

• 전자의 스핀 때문에

2n

² 개의 전자가 있을 수 있다

2 3

(13.6 eV) Z

2

E   n

(47)

8.6 반수소

 반입자 (antiparticle)

• 반대 부호의 전하

,

반대방향의 자기 모멘트

• 나머지는 원래의 입자와 동일한 성질을 지닌다

• 양전자

(positron)

• 1932년 앤더슨이 발견

• 전자와 동일한 질량을 가지지만 전하의 부호가 반대

• 반양성자

(antiproton)

 반수소 (antihydrogen)

• 반양성자에 전기적으로 속박된 양성자들로 이루어진다

•

1990

^{년대 중반}

CERN

과 페르미 연구소에서 생성