4.3 보어원자

4장 물질의 입자성

4.1 물질의 원자적 성질 4.2 원자의 구성

4.3 보어원자

4.4 보어의 대응 원리

4.5 원자 에너지 준위의 직접적인 확인

4.1 물질의 원자적 성질

 불분명했던 입자의 발견과 증명이 흥미로운 이유

1.

원자 성질에 대한 측정은 일반적으로 간접적이고 미시적인 원자의 성질을 알아보기 위해 큰 크기의 측정기기를 솜씨 있게 작동시켜야 한다.

2.

원자에 대한 개념의 역사적인 발전은 과학이 진보해 가는 실질적 인 방법을 보여준다

•

이러한 진전은

• 종종 비선형적이고

• 물리, 화학, 수학의 상호 의존과 서로 다른 연구들의 수렴을 내포하게 된다

위대한 원자학자들

 데모크리토스와 루시프스

•

변하지않는 실체는 운동하는 원자이다

 라브와지에와 그의 부인

•

주의 깊은 화학실험을 통해 물질의 보존을 확립

 돌턴

•

화합물의 다중 비례 법칙에서 자연의 원자성을 파악

 아보가드로

 맥스웰

 페팽 , 아인슈타인

•

브라운 운동을 설명

4.2 원자의 구성

 만약에 물질이 주로 원자들로 이루어져 있다면 원자들은 무엇으로 이루어져 있는가 ?

•

1833년 패러데이

• 전기분해법칙을 발견

•

1897년 톰슨

• 음극선이 전자임을 확인

• 이들 입자의 전하 대 질량비

e / m

_e를 측정

•

1909년 밀리컨

• 전자의 전하량

e를 측정

•

1913년 러더포드와 그의 제자 가이거와 마르센

• 핵의 존재를 확인

패러데이의 전기분해

 용해된 소금의 전기분해

•

패러데이는 96,500 C의 전하(1 패러데이)가 용액을 지나면 음극에 23.0 g의 나트륨이 축적

양극에 35.5 g의 염소기체가 발생함을 발견

 나트륨과 염소는 1가 원소이다

 패러데이 전기분해 공식

Q M

m F z

  

   

  

Q : 쿨롱 단위의 지나간 전하량 M : 몰질량

z : 물질의 원자가

예제 4.1 BaCl ₂ 의 전기분해

용해된 BaCl ₂ 에 10.0 A의 전류를 한 시간 동안 흘려주면, 얼마

나 많은 바륨과 염소를 얻게 되는가 ? 바륨의 몰 질량은 137g

이고 원자가는 2이다. 염소의 몰 질량은 35.5 g이고 원자가는

1이다

패러데이의 전기분해

 패러데이의 전기분해 법칙이 확인시킨 원자 성질

•

물질이 분자로 이루어져 있고

• 분자는 원자들로 구성되어 있음을 증명

•

전하의 정수배만이 전극에 전달

• 전하가 양자화되어 있음을 보였다.

•

아원자 입자의 질량과 전하의 크기는 알지 못한다고 할지라도

• 원자의 아원자 부분이 양(+), 그리고 음(-)의 전하임을 보였다.

톰슨의 발견

 1897년 저압 기체 방전에서 보인 광선

•

실제로는 음(–)의 입자(전자)에 의한 것임을 발견

•

톰슨과 다른 과학자들의 고민

• 전자가 모든 물질의 기본 구성요소라고 생각하지 않음

• 원자는 더 나눌 수 없는 단위라는 개념을 포기해야 하므로

e / m _e 의 측정

 편향의 크기와 B  와 의 측정값으로 를 측정

E  e m /

_e

tan

^y

x

v

  v

eE ev B

 x _x

E V v



B



Bd

F eE m a

  e y _{y y}

e e x

eE e V v a t t

m m d v

     

         



tan 2

x e

V e v d m



 ^ ^ 



 



2

2 x

e

v d

e V

m V B d

 

 

 

예제 4.2 전자 빔의 편향

θ = 0.20 rad V = 200 V ℓ = 5.0 m d = 1.5 cm

 지구의 자기장 0.5 Gauss

2

2 x

e

v d

e V

m V B d

 

 

 

11

4

(200)(0.20)

( / ) (0.05)(0.015)(1.76 10 ) 5.5 10 T 5.5 Gauss

e

B V

d e m





 



  



톰슨의 e 측정

 1897년 톰슨

•

와 를 독립적으로 결정할 수 없다

•

의 값

• 자외선을 쪼여준 아연으로부터 방출된 전하 2.3 10 C

• X-선과 라듐 방출에 의해 생성된 전하 1.1 10 C

• 용액의 전기 분해에서 수소 원자에 의해 운반된 전하와 크기가 같다

•

톰슨과 그 학생들이 e를 측정하기 위해 사용한 기술

• 구름 상자 기술을 처음 사용

• 밀리컨 기름 방울 실험의 시작점을 제공

윌슨의 안개상자

 월슨

•

습한 공기(damp air)가 급속 팽창으로 과냉각될 때

이온들이 물방울의 응집핵으로 역할을 한다는 것을 발견

•

톰슨은 이 장치를 사용하여 전하를 띤 구름을 형성

•

Q : 구름의 전체 전하

•

W : 측정된 구름의 무게

•

v : 떨어지는 비율, 종단 속도

e 를 발견하기 위한 톰슨의 실험

 전하를 띤 구름

•

톰슨은 구름은 일정한 전하를 가진 구형 방울로 이루어져 있고 떨어지는 하나의 방울에 작용하는 끌림력

D가

중력과 평형을 이루면 종단속도

v에 다다른다고 생각

•

방울의 수

n = W / w

•

전하의 수

e = Q / n

 문제점

•

각각의 방울이 단지 하나의 전기 전하를 운반한다고 가정

•

하나의 입자에만 적용

•

구름에 있는 모든 물방울들이 같은 크기라고 가정

6

D    a v 

: 공기의 점성

4 3

(3 ) 6

w mg

 

 a  g



  a v

9 2

a v

g







밀리컨

 실험과 이론을 맞추는 탁월한 직관을 가진 과학자

•

하나의 방울을 관측

 모든 입자가 동일하게 취급될 수 있도록 했다

 밀리컨의 기본개념

•

중력과 끌림력이 작용하는 하나의 방울이 떨어지는 비율 측정

•

방울의 반지름과 질량을 결정하기 위해

• 스토크의 법칙 적용 전기장에 대항하여

위로 올라가는 속도 측정

• 개별 방울의 전체 전하 측정

밀리컨 실험의 정성적 해석

 장이 없을 때 장이 있을 때

•

위로 향하는 속력이 으로 불연속적으로 변하면

 연속적인 속력비가 정수비라면

y 0

F





0

Cv mg

 

y 0

F





1 1 0

q E Cv

  

mg



1 1

mg v v

q E v

 

 

    

2 2

v v q mg

E v

 

 

  

1 1

2 2

q v v q v v

 

  

원자의 실체 탐구

 원자의 실체를 밝히기 위한 노력

•

1872년 맥스웰

• 정밀한 조건에서 처음부터 존재하여 아직까지 남아있는 것은 원자다

•

1899년 톰슨

• 전자의 발견  원자를 더 나눌 수 있다고 발표

•

퀴리와 러더포드

• 방사능 실험의 위대한 업적

•

소리

• 원소의 방사능 변환을 설명

•

레나르트 실험

• 전자가 얇은 금속과 운모 박막을 쉽게 통과  원자의 다공성 발견

 1898년 톰슨의 건포도 푸딩 모형

러더포드의 실험

 러더포드의 그의 학생 가이거와 마르스덴

•

1909년 ~ 1914년

•

조준된 α 입자 빔이 금속 박막을 통과할 때 넓게 퍼지는 것을 관찰

 원재 내의 질량 분포를 알기 위한 실험을 시작

•

대부분의 원자 질량과 모든 양(+)전하가 원자의 중심부의 핵에 있다는 사실을 발견

 러더포드의 실험장치

•

2×10⁷ m/s의 속력으로 잘 조준된 α 입자빔

•

얇은 금 박막을 때림

• 대부분의 α 입자는 직진 (원자의 다공성)

• 일부는 ϕ 각도로 산란

•

각각의 가도에서 단위 시간당 단위

검출기 면적당 산란되는 α 입자의 수 측정

러더포드의 가정

 원자 내의 모든 양 (+)전하가 원자 내의 중심 위치 에 응축되어 있다고 가정하면

• 정면에서 충돌하는 α 입자가 받는 전기적 반발력은 매우 크다

 금 원자의 전하와 질량이 핵의 중심에 집중

• α 입자

 무거운 핵과 한 번만 충돌하더라도

큰 각도로 편향할 수 있다

예제 4.4 α 입자와 양성자의 충돌

(a) 질량 m _α , 속력 v _α 인 α 입자가 질량 m _p 인 정지 상태의 양성 자에 정면 탄성 충돌

 운동에너지 보존

 운동량 보존

(b) 양성자와 충돌한 α 입자의 속도 변화는?

2 2 2

1 1 1

2

m v

_{ }  2

m v

_{ }  2

m v

p p

a a a p p

m v



m v

_ 

m v

2 2 2 2

( m v

_{ }

  ) ( m v

_{ }

 m v

_{p p}

)  ( m v

_{ }

)  2 m m v v

_{ p  p}

 ( m v

_{p p}

)

2 2 2

(

m v

_{ } )

m m v

_( _{ } 

m v

_{p p})

2 _a

p

p

v m v

m

_

m

^

 

a p

p

m m

v v

m m

 



  



4 _p

m

_ 

m v

_p



1.60

v

_

v

_

  0.60 v

_

0.40 40%

v

_

 v

_

  

러더포드의 결과

 큰 각도의 산란이 하나의 핵 충돌에 의해 생긴다고 가정

 거리 r 만큼 떨어진 α 입자와 핵 사이의 반발력

 각도 ϕ에서 단위 시간당 검출기로 들어가는 α 입자의 수

• N :

박막의 단위면적당 핵의 수

(

^{박막두께에 비례}

)

• n :

단위 시간당 표적으로 입사되는

α

^{입자의 수}

• A :

^{검출기의 단면적}

 가이거와 마르스덴

2

(2 )( ) e Ze F k  r

2 2 4

2 1 2 2 4

2

Δ 4 ( ) sin ( / 2) k Z e NnA

n ^ R m v

_{ }



Δn

러더포드의 실험적 업적

 신비한 자연을 한층 더 깊게 연구할 수 있는 능력 제공 1. 물질을 통과하는 방사능 입자의 수송에 대한 연구를

원자를 탐구하는 민감하고 정교한 기술에 응용

2. 그의 우수한 기술을 원자의 크기를 측정하는데 이용 3. α 입자와 핵 사이의 반발력

• α

입자의 에너지가 산란핵을 변형시키지 않거나 산란핵을 투과하지 않을 경우에만 성립

• α

입자의 임계 에너지에서

α

입자는 핵에 가장 접근한다

•

무거운 금속 박막의 경우 쿨롱의 법칙이 항상 성립

•

작은

Z

^{를 갖는 핵에서는}

α

입자가 임계 에너지에 도달할 수 있다 1919년 알루미늄 핵의 반지름이 약 5×10^–15 m임을 발견

1 2 2

min

( )(2 ) Ze e m v k

 

 d

예제 4.5 알루미늄 핵 반지름 측정

1919년 러더포드

알루미늄 핵 (Z = 13)으로부터 큰 각도에서 산란된 7.7 MeV의 α 입자의 경우 산란공식을 만족하지 않음을 발견

알루미늄 핵의 반지름은 ?

 α 운동에너지 K _α = 가장 근접한 위치에서의 퍼텐셜에너지

1 2 2

min

( )(2 ) Ze e

K mv k







 d

2

15 min

2 Ze 4.9 10 m

d k

K

_

  



러더포드 핵 모형

 러더포드 핵 모형의 전반적인 성공

•

모든 질량과 양

(+)

^전하

Ze

^{가 지름}

10

^–14

m

^{인 원자핵에 집중됨}

• Z

개의 전자가 핵 주위를 돌고 있어야만 한다

 문제점

1.

^핵에

Z

개의 양성자만이 있다면

,

^{나머지 반은}

?

 구속된 전자

-

양성자 쌍으로 이루어진 다른 중성입자의 모임을 생각해 냄

2. 10

^–14

m

의 구간에 어떻게 많은 양성자가 속박되어 있을 수 있는가

?

 러더포드는 전기력일거라고 추측

사실은

강한 핵력에 의해 강하게 결합되어 있다 3.

전자들은 어떻게 안정된 원자를 형성할 수 있는가

?

 러더포드는 행성모델로 설명

보어의 정상상태 모델로 설명이 가능

연속 스펙트럼

 뜨거운 액체와 고체는 연속적인 파장 분포로 빛을 방출

•

별에서 발견된 매우 높은 온도의 기체의 경우도 연속 스펙트럼

 이러한 분포는 세기와 파장 곡선의 일반적인 형태를 보임

 피크는 온도가 올라감에 따라 더 짧은 파장으로 이동

•

흑체곡선

선 스펙트럼

 선 스펙트럼

•

전기 방전에 의해 낮은 압력의 기체가 방출하는 불연속적인 스펙트럼

 선 스펙트럼에 포함되어 있는 파장들은 원소의 고유 특성

•

어떤 두 원소도 같은

선 스펙트럼을 방출하지 않기 때문에 미지의 시료를 분석할 때 실질적이고도 민감한 기술로 활용

분광학

 1860년경의 분광학

•

키르히호프와 하이델베르크 대학의 분젠

• 광물질 시료에서 새로운 배열의 스펙트럼 선을 관찰

• 루비듐과 세슘의 새로운 두 원소를 발견하는 데 기여

• 1860

^년부터

1900

^{년 사이}

• 장비와 기술의 발전

• 유럽에서는 스펙트럼 분야가 괄목할 만한 성장을 이룸

•

분광학의 기술

• 천체의 운석이 지구에서 존재하는 원소들로만 이루어져 있음을 보임

• 유럽에서 분광학이 대중화

키르히호프의 기여

 분광학 분야에 대한 키르히호프의 기여

•

흡수 분광학의 기초와

•

태양 스펙트럼에서 프라운호퍼의 검은

D

^{선의 설명}

• 태양으로부터 온 연속 스펙트럼을 가는 슬릿에 통과시키고

• 그 후 프리즘을 통과시킴

• 태양의 연속적인 무지개 스펙트럼에서 거의 1000개 정도의 가는 검은 선 또는 갭들로 이루어진 결과를 관찰

• 가장 분명한 검은 선들에 문자 A, B, C, D, …를 붙여나감

•

신비한 검은 선들

• 태양 바깥의 상대적으로 차가운 층에 있는 기화된 원자구름의 영향으로 생긴다고 정확하게 유추

•

모든 프라운호퍼의 검은 선

• 태양에 존재하는 서로 다른 원소들의 흡수에 의해서 생긴다고 유추

발머의 스펙트럼선

 1885년 스위스의 학교교사 발머

• “

수소의 스펙트럼선에 관하여

”

^{라는 논문을 발표}

•

옹스트롱의 네 가지 가시광선의 파장을 정확히 예측하는 수식발견

 발머의 공식

• C

₂

:

^수렴극한

• H

_α

n = 3, H

_β

n = 4, H

_γ

n = 5, H

_δ

n = 6, …

2

2 2 2

(cm) 3,4,5,

2

C n n

  ^   n  ^    

8 2 3645.6 10 cm

C

  ^

수소원자의 스펙스럼 계열

 발머는 같은 형태의 또 다른 수소 계열이 존재할 수 있다고 제안하였다

• R :

^{뤼드베르그 상수}

2

3 2 2

4,5,6, 3

C n n

  ^   n  ^    

2

4 2 2 5,6,7, 4

C n n



 ^

n

 ^  

2 2

1 1 1

f i

R n n



 

       

계열

n

_f

n

_i

라이만 계열(uv)

n

_f

= 1 n

_i

= 2, 3, 4, …

발머 계열 (vis-uv)

n

_f

= 2 n

_i

= 3, 4, 5, …

파션 계열 (IR)

n

_f

= 3 n

_i

= 4, 5, 6, …

브래킷 계열 (IR)

n

_f

= 4 n

_i

= 5, 6, 7, …

푼트 계열 (IR)

n = 5 n = 6, 7, 8, …

7 1

1.0973732 10 m

R

  ^

핵의 고전적인 모형

 톰슨과 러더포드

•

전자가 핵에서 떨어지지 않기 위해서는 핵 주위를 회전해야 한다

•

맥스웰 이론

• 궤도 진동수

f 로 회전하는 가속 전하는 진동수 f 의 광파를 복사

•

전자가 에너지를 복사하면

• 궤도 반지름 감소

• 회전 진동수 증가

•

이것을 반복하면

• 전자는 핵으로 근접

• 복사 진동수 증가

• 결국 원자는 붕괴

보어의 가정

 고전 복사 이론이 원자 크기의 계에서는 성립하지 않는다

 공전하는 전자에 플랑크의 양자화된 에너지 준위 개념 적용

 원자 내의 전자는 정상상태의 궤도에 갇혀 있다

•

정상상태에서는

• 원자의 상태가 안정되고

• 에너지를 복사하지 않으며

• 에너지가 시간에 따라 일정하다

 전자가 한 정상상태에서 다른 정상 상태로 건너뛸 때

•

방출되는 빛의 진동수는 에너지 차이에 비례한다

 두개의 가능한 전자 정상상태의 에너지 차이

ΔE hf 

보어의 기본 개념

 수소 원자의 전자는 양성자를 중심으로 원형 궤도로 운동

 단지 특정 궤도만이 안정하다

•

이들 안정된 궤도는 전자가 복사하지 않는다

 복사는

•

높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 건너뛸 때 원자로부터 방출

•

방출된 광장의 진동수

f 는

전자의 궤도 운동 진동수와 무관

•

방출된 빛의 진동수

 허용된 전자 궤도의 크기

i f

E



E



hf

(

E

_i 

E

_f )

 

수소 원자의 허용된 에너지 준위

 원자의 전체 에너지

 전자기력 = 구심력

 전체 에너지

•

전자-양성자 계가 속박되어 있다

•

반지름

 보어 반지름

•

실험적인 측정 없이 이론만으로 수소 원자의 정확한 반지름을 얻었다

2 1 2

2 e

E K U m v k e

    r

2 2

2

m v

e

ke

r  r

2

2 0 E ke

  r 

2 2 n 2

e

r n



m ke



2

0 1 2

0.0529 nm

e

a r

  m ke   r

ⁿ

 a n

^{0 2}

에너지 양자화

 궤도 반지름의 양자화는 에너지 양자화를 의미한다

 허용 에너지 준위

•

양자수

n : 원자 에너지의 불연속적인 또는 양자화된 값

•

바닥상태 (n = 1)

• 에너지

E

₁ = – 13.6 eV

•

첫 번째 들뜬 상태 (n = 2)

• 에너지

E

₂ = E₁ / 2² = – 13.6 eV

 이온화 에너지

•

원자를 이온화시키기 위해 필요한 최소에너지

2

2 2

0

1 13.6

eV ( 1,2,3, )

n

2

E ke n

a n n

 

         

뤼드베르크 상수의 유도

 전자가 바깥 궤도에서 안쪽 궤도로 건너뛸 때 방출되는 광자의 진동수

• c = f λ이므로

2

2 2

0

1 1

2

i f

i f

E E ke

f h a h n n

 

       

 

2

2 2

0

1 1

2

_{i f}

f ke

c a hc n n

   ^     ^   

2

2

0

R ke

 a hc

전자 하나만 남은 원소

 보어는 수소 원자 모형을 수소처럼 원자에 전자가 하나만 남아 있는 다른 원소에도 적용

•

•

뜨거운 별의 대기에서는

• 잦은 원자들의 충돌로 원자로부터 하나의 전자를 제외한 나머지 모든 전자들을 제거하기에 충분한 에너지를 얻을 수 있다

 전하 +Ze의 핵주위를 도는 전자

2 3

He , Li ,Be ,

^{  } _

2 0 n

( )

r n a

 Z

2 2

2 0

( 1,2,3, )

n

2

ke Z

E n

a n

 

    

  

보어의 기념비적인 업적

 보어의 기념비적인 업적

•

방출 스펙트럼보다는 수소의 흡수 스펙트럼에서 제한된 수의 선이 보이는 이유를 설명

•

원자로부터 나오는

x-

^{선의 방출을 설명}

•

입자의 원천이 핵이라는 것을 설명

•

원자의 화학적 성질을 전자껍질 모형으로 설명

•

원자들이 어떻게 분자를 구성하는가를 설명

4.4 보어의 대응원리

 대응원리 (Corresponding principle)

•

고전이론이 성립하는 것을 알고 있는 크기의 영역에서 양자론의 예측이 고전 물리의 예측과 대응해야만 함을 의미

•

n : 계의 양자수

•

대응원리는

• 원자계에 대한 근본적인 가정의 원천일 뿐만 아니라

• 양자적 결과를 실험하기 위한 주요한 도구이다.

 1913년 논문에서

•

각운동량의 양자화는 큰 양자수의 한계에서 양자론으로부터

고전적인 결과들이 점차적으로 나타난 결과임을 독창적으로 보임

lim Quantum Physics Classical Physics

n



각운동량의 양자화 (1)

 보어의 대응원리에 의하면

•

맥스웰의 고전적인 전자기 복사법칙과 빛의 방출에 있어서의 양자 화 조건은 매우 큰 전자 궤도의 경우에는 동시에 성립해야 한다

.

• 맥스웰 : 전하가 궤도 진동수가 f 로 회전 또는 진동하면 진동수 f 인 광 파를 방출한다

• 양자화 조건 : ΔE = hf

•

쿨롱의 전기력

=

^구심력

•

전체에너지

2 2

2 e

e v

k m

r  r

2 2 2 2 2

e e

L  m v r  m ke r

2 2

1 m ke

_e

r  L

2 4 2

2

1

2 2

m k e

e

E ke

r L

   

4 3

m ke

e

dE

dL  L  

^{3 2 2}

2 2 2 2

( ) ( )( )

( ) ( / )

e e

e e e

L L L m vr m ke r

m ke m vr m ke ke 

 

 

2 _e 2 _e

( )

ke  m v r m vr r  

각 운동량의 양자화 (2)

 전자가 r ₁ 에서 r ₂ 로 전이할 때 , 광자가 방출하는 에너지

• :

^{광자의 진동수}

• ω :

전자의 궤도 각 진동수

 대응원리

•

양자론이 맥스웰의 복사법칙에서와 같이 이 되어야 한다

•

인접한 큰 전자 궤도 사이의 전이의 경우

• 전자 각운동량의 변화가 항상 임을 보여준다

• 특정 궤도에서 전자의 전체 각운동량의 크기가 의 정수배이다

    dL



^



 

 

   dL

 dL  





L m vr n

 e 



4.5 에너지 준위의 직접적인 확인

 프랑크 -헤르츠 실험

•

낮은 에너지의 전자를 원자에 충돌시켜 원자를 들뜨게 함으로써

원자 내에 불연속적인 에너지 준위가 존재한다는 것을 증명한

간단하고 직접적인 실험

•

원자 내의 양자화된 에너지 준위의 존재를 확실하게 증명

• 전자의 충돌로 얻은 에너지 준위는 광학적인 선 스펙트럼과 일치

• 원자 내의 에너지 양자화가 일반적인 것임을 보임

프랑크-헤르츠 실험의 결과

 그리드 전압을 증가시킴에 따라 주기적으로 최대 -최소가 일정한 곡선을 그린다

•

첫번째 극소는

• 4.9 V

^{에서발생하지 않고} 약

7.1 V

^{에서 발생}

•

필라멘트의 일함수는 낮고

,

콜렉터의 일함수는 높으므로 여분의 에너지가 필요

 광자의 파장

•

가속전압이

4.9 V

^{를 넘자마자}

254 nm

파장의 자외선이 방출됨을 발견하였다

1240 eV nm

253 nm

Δ 4.9 eV

hc





E

 ^ 

플랑크-헤르츠 실험 결과

 광장의 파장

∆

Δ

1240 eV · nm

4.9 eV 253 nm

•

전자 충돌로 얻은 에너지 준위가 분광학적 결과와 일치

• 가속전압이 4.9 eV를 넘자마자 254 nm 파장의 자외선이 방출된다

플랑크-헤르츠 실험

운동 에너지가 100 eV보다 작은 전자가 정지하고 있는 무거 운 수은 원자와 탄성 충돌한다

(a)

충돌에서 전자가 방향을 바꾼다면

,

다음과 같이 전자가 처음의 운동 에너지의 극히 작은 일부분만을 잃게 됨을 보여라

.

∆ 4

1 ⁄

여기서 는 전자 질량이고

,

은 수은 원자의 질량이다

. (b)

^{이미 알고 있는 와 의 값을 이용하여}

∆ 4

임을 보이고

,

∆ ⁄ 의 값을 계산하라

.