가을학기 선형대수학 강의 노트 안 상 욱2015 Hankyong Univ.Class: AO5Thursday(10:30 11:45 a.m.)

Class: AO5

Thursday(10:30 – 11:45 a.m.) Friday(3:00 – 4:15 p.m.) 제 1 공학관 321

Office Hour(Thrs 9:00 – 10:00 a.m) (Fri 4:30 – 5:00 p. m.) sangyook@yonsei.ac.kr

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제 1 장 : 연립 차방정식과 행렬1

연립 차방정식 입문 1.1 1

가우스 소거밥 1.2

행렬과 행렬연산 1.3

역행렬 1.4

기본행렬과 행렬

1.5 ! 의 역행렬 !^"# 를 구하기

연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 벡터 공간 1.6

행렬의 종류 대각행렬 삼각행렬 대칭행렬

1.7 : . .

제 2 장 : 행렬식[determinant]

여인수 전개에 의한 행렬식 2.1

행렬식의 성질 2.2

크래머 규칙

2.3 (Cramer’s rule), !^"# 의 공식화 행렬식의 응용,

고유값 고유벡터

2.4 (eigenvalue), (eigenvector)

문제: 가우스 조단 소거법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오- .

$ ' I% " + ' O ) .

#;% " I+ ' O ) # C$ ' .% ' + ' .O ) E

" .$ " G% ' .+ " .O ) " I

행렬과 행렬연산 1.3

이 절에서는 행렬의 더하기, 빼기 곱하기의 행열의 연산을 다룬다, .

정의: 행렬(matrix)이란 수의 직사각형배열이다. 그 배열된 수를 그 행렬의 성분(entry)이라 부르고 행렬은 알파벳 대문자로 그 성분들은 알파벳 소문자 또는 수로 나타낸다

, , .

예를 들면, ! )

P

^&67

Q

P여기서0 6)#0 .0 ⋯ 0 5 R 7)#0 .0 ⋯ 0 -Q 이 때 ! )

P

&₆₇

Q

는 5 × - 행렬이라 부르고, 5)- 이면 정사각형 행렬이라 부른다. 여기서 5 은 행 가 (

로선 들의 갯수

) , - 은 열 세로선 들의 개수를 나타낸다( ) . 성분 &₆₇ 는 6 번째 행과 7 번째 열이 만나는 위치에 놓이는 성분이다

.

다음은 행렬의 몇 가지 예이다.

=

>? ^@ AB

# . C I E F 0

=

>

?

^@

A

B

#

" .

;

0 P QD 0 P# ; " . 0Q

=

>

?

^@

A

B

S #

T

^KC KE

# . U

; # " C

각각의 크기는 . × C, C × #, # × #, # × C, C × C 이다.

하나의 행만을 가지는 행렬을 행행렬(row matrix) 또는 행벡터(row vector), 그리고 하나 의 열만 가지는 행렬을 열행렬(column matrix) 또는 열벡터(column vector)라 부른다. 따라서 윗 예에서 C × # 행렬

=

>

?

^@

A

B

#

" .

;

은 열벡터 열행렬 이고( ) , # × C 행렬 P# ; " . 은 행벡Q 터 행행렬 이다( ) . # × # 행렬은 행행렬인 동시에 열행렬이다. # × # 행렬 P&Q 는 통상적으로 다음 처럼 표현한다. P&Q )&.

그리고 벡터란 용어는 다음에서 정의하지만 특별한 의미를 가진다.

5 × - 행렬 ! 는 다음처럼 나타내진다.

! )

P

^&

Q

⁾

=

?

^{&&##.# &&#... ⋯ &⋯ &#-.-@}

B

행행렬 행벡터 과 열행렬 열벡터 은 특히 중요하고 이들을 알파벳 대문자 대신에 다음처럼 표현한( ) ( ) 다.

KV& )

P

^&# &_. ⋯ &_-

Q

1# × - 행렬30 KV( )

=

>

?

^@

A

B

(_# (_.

⋮ (₅

15 × # 행렬3

또는 대문자 대신에 획이 굵은 활자체 소문자로 표현하는 것이 일반적인 관례이다.

그리고 - × - 정사각형행렬 !)

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_-# &_-. ⋯ &--

에서 &_##0 &_.. 0 ⋯ 0 &_-- 은 행렬

!1-차 정사각형행렬3의 주대각선(main diagonal)상에 있다고 말한다.

주목: 연립선형방정식을 푸는 데 연산작업을 줄이기 위하여 행렬을 사용해 왔다. 그리고 또 다른 응 용도 생각하여 행렬의 연산에 관하여 지금 말하고자 한다

.

정의: 두 행렬의 크기가 같고 대응하는 성분이 서로 같으면 두 행렬은 같다고 말한다.

예제: ! )=

>? ^@ AB

# .

C $0 W )=

>? ^@ AB

# .

C " # 일 때 $) " # 이 면 ! )W 이고, $ ≠ " # 이 면 ! ≠ W 이 다

.

정의 : ! 와 W 가 같은 크기의 행렬일 때 합 ! ' W 는 ! 와 W 의 대응성분끼리 더하여 얻어진

행렬이고 차

, ! " W 는 ! 의 대응성분에서 W 의 대응성분을 빼서 얻어지는 행렬이다. 크 기가 다른 행렬끼리는 더하거나 뺄 수가 없다

.

예제:

! )

=

>

?

^@

A

B

S #

T

^KC KE

# . U

; # " C

0 W )

=

>

?

^@

A

B

# ; #

; ; U

# ; C

0 Y )=

>? ^@ AB

# # . C 이면,

! " W )

=

>

?

^@

A

B

S #

T

^KC KE

# . U

; # " C

"

=

>

?

^@

A

B

# ; #

; ; U

# ; C )

=

>

?

^@

A

B

S " # #

T

^KC " # KE

# . ;

" # # " F

이고, ! ' Y 0 ! " Y 는

크기가 다르기 때문에 정의되지 않는다.

정의 : ! 가 행렬이고 9 가 임의의 상수 스칼라 일 때 곱( ) (product) 9! 는 ! 의 각 성분에 9 를 곱하여 얻어진 성분이다 행렬

. 9! 를 ! 의 스칼라곱(scalar multiple)이라 부른 다

. 즉

, ! )

P

^&67

Q

^{일 때, 9! )9}

P

^&67

Q

⁾

P

9&₆₇

Q

0 19!3₆₇)91!3₆₇)9&₆₇ 이다.

예제 : ! )=

>

? ^@

A

# . CB

# ; # 일 때, C! )=

>

? ^@

A C F HB

C ; C 이고, ;! )=

>

? ^@

A

; ; ;B

; ; ; (; 행렬) 이다.

정의 : ! )

P

^&67

Q

^가 5 × - 행렬이고 W )

P

⁽79

Q

^가 - × 9 행렬이면 곱(product) ! W 는 크기 가

5 × 9 인 행렬이고, ! W )

P

^*6:

Q

^{의 6 행과 : 열 위치의} 성분 1!W3_6:)*_6:)&_6#(_#: ' &_6.(_.: ' ⋯ ' &_6-(_-:)

Z

_{7) #}^{-&67(7: 이다. 여기서} # ≤6 ≤5 0 # ≤: ≤9

이다 즉

. ! W 의 6: 성분은 ! 의 6 행과 W 의 : 열의 대응성분끼리 곱한 다음에 이들 각각 의 곱을 합하여 얻어진다 그리고 앞의 행렬

. ! 의 열의 개수와 뒤의 행렬 W 의 행의 개수

가 다르면 행렬의 곱

! W 는 정의되지 않는다.

예제 :

! )=

>? ^@ AB

# . I

. F ; 1. × C30 W )

=

>

?

^@

A

B

I # I C

; " # C # . D E .

1C × I3 이면 ! W 는 . × I 행렬이고,

1!W3_##) P# . IQ

=

>

?

^@

A

B

I

; .

)1#∙I3 ' 1.∙;3 ' 1I∙.3 )#.

1!W3_#.) P# . IQ

=

>

?

^@

A

#

B

" # D

)1#∙#3 ' 1.∙1"#33 ' 1I∙D3 ).D

1!W3_..) P. F ;Q

=

>

?

^@

A

B

#

"#

D

)1.∙#3 ' 1F∙1"#33 ' 1;∙D3 ) " I

1! W3_.C) P. F ;Q

=

>

?

^@

A

B

I C E

)1.∙I3 ' 1F ∙C3 ' 1; ∙E3 ).F

1! W3_.I) P. F ;Q

=

>

?

^@

A C

B

# .

)1.∙C3 ' 1F ∙#3 ' 1; ∙.3 )#.

이므로

! W )=

>? ^@

AB

#. .D C; #C G " I .F #. 이다.

연립 차 선형 방정식1 ( ) :

&_##$_# ' &_#.$_. ' ⋯ ' &_#-$_-)(_#

&_.#$_# ' &_..$_. ' ⋯ ' &_.-$_-) (_.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5#$_# ' &_5.$_. ' ⋯ ' &_5-$_-)(₅

은 행렬을 이용하여 다음처럼 표현된다.

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5-

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

⋮

$_- )

=

>

?

^@

A

B

(_# (_.

⋮ (₅

↔ ! ^ )(

여기서,

! )

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5-

0 ^ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

⋮

$_- 0 ( )

=

>

?

^@

A

B

(_# (_.

⋮ (₅

그리고 ! ^ )( 의 첨가행렬은

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &_#- (_#

&_.# &_.. ⋯ &.- (_.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5- (₅

이고 여기에 가우스 소거법 또는 가우스 조단 소거법응을 -

적용하여 연립선형방정식의 해를 구한다.

정의 : ! 가 임의의 5 × - 행렬일 때 ! 의 전치행렬(transpose matrix)은 행렬 ! 의 행과 열을 교환하여 얻어진

- × 5 행렬이고 ! 의 전치행렬은 !^_ 로 표현한다. 즉, !^_ 의 첫째 열은 행렬 ! 의 첫째 행이고, !^_ 의 둘째 열은 행렬 ! 의 둘째 행이고, 등

등으로 된다 따라서

.

1

!^_

3

₆₇)1!3₇₆ 이다.

예제 :

! )

=

>

?

^@

A

B

# ;

. #

C " #

이면 !^_)=

>

? ^@

A

# . CB

; # " # 이다.

정리 : 행렬 !0 W 는 지시된 덧셈과 곱셈이 성립한다고 가정하자.

(1)

1

!^_

3

^_)! (2) 1! ± W3^_)!^_±W^_

임의의 스칼라 상수

(3) ( ) 9 에 대하여, 19!3^_)9!^_

(4) 1! W3^_)W^_!^_

정의 : ! 가 정사각형행렬일 때 ! 의 대각합(trace)은 행렬 ! 의 주대각선상에 있는 성분의 합으로 정의하고 이를

, Na1!3 로 표시한다. ! 가 정사각형행렬이 아니면 Na1!3 는 정의되지 않는다

.

예제 :

문제 : 다음 행렬방정식을 $0 %0 +0 O 에 관하여 푸시오.

=

>? ^@

AB

$ " % % ' + .O ' + $ ' CO)=

>? ^@ AB C # E ;

문제 : WW )! 일 때 행렬 W 를 행렬 ! 의 제곱근(square root)이라 부른다.

! )=

>? ^@ AB . .

. . 의 제곱근을 구하시오.

주목 : ! )

P

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

Q

^{가 5 × - 행렬(&}6 는 ! 의 6"번째 열행렬 이고) , $ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

⋮

$_-

는

- × # 열행렬이면 !$ ) $_#&_# ' $_.&_. ' ⋯ ' $_-&_- 이다.

예제 : =

>? ^@ AB

# " C . I ; " E

=

>

?

^@

A

B

C

# .

) C=

>

? @ A

#B I ' #=

>? ^@ AB

" C

; ' .=

>? ^@ AB .

" E )=

>

? @ A IB .

문제 : 다음 행렬곱을 계산하시오.

=

>

?

^@

A

B

C ;

" # . I #

=

>? ^@ AB C

" D

주목 : ! )

P

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

Q

^{가 5 × - 행렬(&}6 는 ! 의 6"번째 열행렬 이고 ) W )

P

⁽#0 (_.0 ⋯ 0 (₉

Q

^{가 - × 9 행렬((}7 는 ! 의 7"번째 열행렬 이면)

!W )

P

!(_#0 !(_.0 ⋯ 0 !(₉

Q

이다 .

문제 : 다음 행렬곱을 계산하시오.

! )=

>? ^@ AB

# . C

. E ; 0 W )

=

>

?

^@

A

B

. # . C

; " . . #

# E I ;

역행렬 행렬연산의 성질

1.4 :

주목 : 행렬 !0 W 에 대하여 !W ≠ W! 이다.

예제 : ! )=

>? ^@ AB

" # ;

. C 0 W )=

>? ^@ AB

# .

C ; 일 때 ! W)=

>? ^@ AB

" # " .

## I ≠=

>? ^@ AB C F

" C ; )W!

행렬의 연산에서 곱셈에 관한 교환법칙은 성립하지 않으나 기타의 연산법칙은 행렬에서 대부분 성립 한다.

정리 : 행렬연산의 성질

행렬의 크기가 지시된 연산이 성립한다고 가정하자

.

(1) ! ' W)W ' ! (덧셈에 관한 교환법칙)

(2) ! ' 1W ' Y3 )1! ' W3 ' Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )

(3) ! 1WY3 )1!W3 Y (곱셈에 관한 결합법칙)

(4) ! 1W ± Y3 )! W ± !Y0 1! ± W3Y )! Y ± WY 분배법칙 ( )

임의의 스칼라

(5) &0 ( 에 대하여 1& ± (3 Y )&Y ± (Y

임의의 스칼라

(6) & 에 대하여 &1W ± Y3 )&W ± &Y

임의의 스칼라

(7 ) & 에 대하여 &1WY3 )1&W3Y )W1&Y3

임의의 스칼라

(8 ) &0 ( 에 대하여 &1(Y3 )1&(3 Y

주목 : (1) ! ≠ ;0 ! W)! Y 이면 W)Y 이다 는 일반적으로 성립하지 않는다.

(2) !W ); 1영행렬3 이면 ! ); 또는 W ); 이다는 일반적으로 성립하지 않는다.

=?^{; #@}B ⁼?^{# #@}B ⁼?^{. E@}B ⁼?^{C I@}B

정의 : 주대각선 위에서만 # 이고 주대각선 이외의 모든 성분은 ; 인 정사각형행렬을 단위행렬이라 부르고

- × - 단위행렬을 우리는 b_- 으로 표현한다.

주목 : ! 가 5 × - 행렬이면 b₅! )! 0 ! b_-) ! 이다.

정리 : c 을 - × - 행렬 ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 이라고 하면 ( ) c 은 한 행의 성 분이 모두

; 인 한 행을 가지거나 단위행렬 b_- 이다.

증명 :

정의 : 정사각형행렬 ! 에 대하여 !W )W! )b 1단위행렬3 를 만족시키는 정사각형행렬 W 가 존 재하면 행렬

! 를 가역적(invertible)이라 하고 W 를 ! 의 역행렬(inverse 이라고 부른다 그리고 이 경우

matrix) . W )!^{" #} 로 표현한다. 만일 그러한 W 가 존재 하지 않으면

! 를 특이행렬(singu lar matrix)이라고 부른다.

예제 :

행렬 (1) W )=

>? ^@ AB C E

# . 는 행렬 ! )=

>? ^@ AB . " E

" # C 의 역행렬이다. 그 이유는

!W )W! )b )=

>? ^@ AB

# ;

; # 이기 때문이다.

=

?

^{# I ;@}

B

기저 와 차원 4.1 [Basis]

기저의 성질 4.2

행렬의 기본 공간

4.3 [The Fundamental Spaces of a Matrices]

차원 정리와 그의 응용 4.4

계급 정리와 그의 응용

4.5 [Rank Theorem and Its Implications]

정사영 정리와 그의 응용

4.6 [Projection Theorem and Its Implications]

정규직교기저와 그람 슈미트 과정

4.7 - [Orthonormal Bases and the Gram-Schmidt Process]

장 대각성

5 : [Diagonalization]

유사화 과 대각화

5.1 [similarity] [Diagonalizability]

직교대각화

5.2 [Orthogonal Diagonalizability]

역행렬의 성질

정리 : 행렬 W 와 Y 모두가 행렬 ! 의 역행렬 이면 W )Y 이다.

증명 : W )Wb )W1!Y3 )1W!3Y )bY )Y

정리 : &, " (* ≠; 이면 행렬 ! )=

>? ^@ AB

& (

* , 는 가역적이고

!^{" #}) K&, " (*

# =

>? ^@ AB , " (

" * & )

=

>

?

^@

A

B

K&, " (*

, K&, " (*

" (

K&, " (*

" *

K&, " (*

& 이다.

증명 : 계산에 의해서 명백히 !!^{" #})b_.)!^{" #}! 이다.

정리 : !0 W 가 크기가 같은 가역행렬이면 !W 가 가역적이고 1!W3^{" #})W^{" #}!^{" #} 이다.

증명 :

행렬의 거듭제곱

정의 : ! 는 정사각형행렬이라고 하자.

!^;)b 양의 정수 , - 에 대하여 !^-)!! ⋯ ! 1- 개 인자3 로 정의한다.

게다가

! 가 가역적일 때 !^"-)

1

!^{" #}

3

^-)!^"#!^"# ⋯!^"# 1- 개 인자3 1- d;3 로 정

의한다 .

정리 지수법칙( ) : ! 가 정사각행렬이고 50 - 이 정수이면 !^{5 ' -})!⁵!^-0

1

!⁵

3

^-)!^5-

증명 : (1) !!^"#)!^"#! )b 이므로 정의에의하여 !^"# 은 가역적이고

1

!^"#

3

^"#)!.

스스로 (2)

(3) 19!3

1

^K9

#!^"#

3

^{) K}9

#19!3!^"#)

1

^K9

#9

3

^{!!"#)1#3b )b}

마찬가지로

,

1

^K₉^#!"#

3

^{19!3 ) 9}

1

^K₉^#!"#

3

^{! )}

1

^9K₉^#

3 ¹

^!"#!

³

^{)1#3b )b}

그러므로

19!3^"#) K9

#!^"#. Q.E.D.

예제 : ! )=

>? ^@ AB

# .

# C 이면 !^"#) KC " .

# =

>? ^@ AB C " .

" # # )=

>? ^@ AB C " .

" # # 이고

1

!^C

3

^"#)!^"C)

1

!^"#

3

^C)=

>? ^@ AB C ".

"# #

=

>? ^@ AB C ".

"# #

=

>? ^@ AB C ".

"# #)=

>? ^@ AB I# "C;

"#E ## ,

!^C)=

>? ^@ AB

## C;

#E I# 이고

1

!^C

3

^"#_{) K}

IE# " IE;

# =

>? ^@ AB I# "C;

"#E ## )=

>? ^@ AB I# "C;

"#E ## 이다.

행렬을 수반하는 다항함수 : ! 가 5 × 5 정사각형행렬이고

e1$3 )&_; ' &_#$ ' &_.$^. ' ⋯ ' &_-$^-

1

^&-≠ ;

3

^인 - 차 다항함수일 때

e1!3 )&_;b ' &_#! ' &_.!^. ' ⋯ ' &_-!^- 으로 정의한다. 여기서 b 는 5 × 5 단위행렬이다.

예제 행렬다항식[ ]

! )=

>? ^@ AB

"# .

; C 0 e1$3 ).$^. " C$ ' I 일 때

e1!3 ).!^. " C! ' Ib ).=

>? ^@ AB

"# . ^. " C=

>? ^@ AB

"# . ' I=

>? ^@ AB

# ;

정리 : ! 가 가역행렬이면 !^_ 도 가역행렬이고

1

!^_

3

^"#)

1

!^"#

3

^_ 이다.

증명 : !^_

1

!^"#

3

^_)

1

!^"#!

3

^_)b^_)b 0

1

!^"#

3

^_!^_)

1

!!^"#

3

^_)b^_)b Q.E.D.

예제 :

! )=

>? ^@ AB

# .

C I 이 면 !^_)=

>? ^@ AB

# C

. I 이고 ∴

1

!^_

3

^"#_{) K}

I " F

# =

>? ^@ AB I "C

". # )

=

>

?

^@

A

B

". K. C

# " K.

# 이다.

한편 !^"#) KI " F

# =

>? ^@ AB I " .

" C # )

=

>

?

^@

A

". #

B

K.

C " K.

# 0

1

!^"#

3

^_)

=

>

?

^@

A

B

" . K. C

# " K.

# 이다.

문제 : 다음 행렬의 역행렬을 구하시오.

(1) =

>? ^@ AB cosi sin i

" sin i cosi

(2)

=

>

?

^@

A

B

K.

U^$ ' U^"$

K.

U^$ " U^"$

K.

U^$ " U^"$

K.

U^$ ' U^"$

문제 : ! 가 가역행렬이고 !W)!Y 이면 W )Y 임을 증명하시오.

문제 : !0 W 는 5 × 5 정사각형행렬이라고 하자. 다음 명제가 참인지 또는 거짓인지를 진술하 고 참이면 증명하시오

, .

(1) 1!W3^.)!^.W^.

(2) 1! " W3^.)1W " !3^.

(3)

1

!W^"#

31

W!^"#

3

)b₅

(4) !W ≠ W!

문제 : 모든 행렬은 5 × 5 가역행렬이라고 하자. 다음 행렬방정식을 행렬 ^ 에 관해서 푸시오.

!WY^_^W!^_Y )!W^_

기본행렬과 행렬

1.5 ! 의 역행렬 !^"# 를 구하기

이 절에서는 가역행렬의 역행렬을 구하는 앨거리듬(algorithm:계산절차 을 공부하고 가역행렬의 ) 동치명제를 다룬다.

정의 : - × - 단위행렬 b_- 위에 단한번의 기본행연산을 실시하여 얻어지는 - × - 정사각형행렬을

기본행렬 이라고 부른다

(elementary matrix) .

기본행연산 : (1) 한 행에 ; 이 아닌 상수를 모두 곱한다. 두 행을 위아래로 교환한다

(2) . 한 행의 배수를 다른 행에 더한다 (3) .

예제 :

(1) b_C)

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; #

→l_#)

=

>

?

^@

A

B

D ; ;

; # ;

; ; #

0 l_.)

=

>

?

^@

A

B

; ; #

; # ;

# ; ;

0 l_C)

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ". #

여기서, l_# 은 b_C #행에 D 을 곱하여 얻어진 단위행렬이고, l_. 는 b_C 의 #행과 C행을 교환해서 얻어진 단위행렬이고, l_C 은 b_C 의 .행에 " . 를 곱하여 b_C 의 C행에 더하여 얻어진 단위행렬이 다.

정리 행렬곱에 의한 행연산[ ] : b₅ 에 어떤 행의 단한번의 기본행연산을 실시하여 얻어진 기본행렬 을 l 라 하고 ! 를 5 × - 행렬이라 하면 행렬곱 l! 는 행렬 ! 에 똑같은 기본행연산을 실시 하여 얻어진 행렬과 일치한다.

예제 : ! )

=

>

?

^@

A

B

# ; . C

. " # C F

# I I ;

0 l )

=

>

?

^@

A

B

# ; ; . # ;

; ; #

이면 l! )

=

>

?

^@

A

B

# ; . C

I " # D #.

# I I ;

주목 : 행렬곱에 의한 행연산 정리는 매우 흥미 있는 정리이고 행렬과 연립선형방정식에 관한 몇 가지 결과를 전개하는데 이용된다. 계산 실행시 기본행렬을 행렬 좌측에서 곱하는 것보다 직접 행렬 위에 기본행연산을 실시하는 것이 훨씬 더 좋은 방법이다.

주목 : 단위행렬 b 위에 기본행연산을 실시하여 기본행렬 l 가 얻어졌다고 하면 역으로 l 를 b 로 복원시키는 기본행연산이 존재한다.

도표 :

b 에서 l 를 만드는 기본행연산 l 에서 b 로 돌아가는 기본행연산

6 행을 9 ≠; 배 한다 6 행을 K9

# 배 한다

6 행과 7 행을 교환한다 6 행과 7 행을 교환한다

6 행을 9 배해서 7 행에 더한다 6 행을 " 9 배해서 7 행에 더한다

예제 :

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; #

→

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; C ;

; ; #

→

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; #

↑ ↑

. 행을 C 배 했다 . 행을 KC

# 배 했다

정리 : 모든 기본행렬은 가역행렬이고 그 역행렬도 역시 기본행렬이다.

증명 : l 를 기본행렬이라고 하자. 그러면 l 는 단위행렬 b 위에 어떤 기본행연산을 실시하여 얻 어진다. l_# 을 b 위에 l 를 얻기위해서 실시한 기본행연산의 역연산을 실시하여 얻어진 기본행렬 이라고하자. 정리 행렬곱에 의한 행연산 에 의하여[ ]

l_#l )b 0 ll_#)b

이다. 따라서 l 는 가역행렬이다. 게다가 l_# 은 l 의 역행렬이고 기본행렬이므로 l 의 역행렬은 기본행렬이다. Q.E.D.

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자. 이 때 다음 명제는 동치이다.

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다( )

(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b_- 이다 (3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

연립선형방정식

(4) !^ ); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^ )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

증명 :

- × - 정사각형행렬 ! 의 역행렬 !^"# 구하기 :

! 의 기약행 사다리꼴이 b_- 이므로 l₉l_{9 " #} ⋯ l_.l_#! ) b_- 이다 따라서.

! )l_#^"#l_.^"# ⋯l₉^"#b_-)l_#^"#l_.^"# ⋯l₉^"#

이고

!^"#)l₉l_{9 " #} ⋯l_.l_#

그러므로 가역행렬 ! 의 역행렬 !^"# 을 구하기 위해서는 ! 를 단위행렬로 변형시키는 일련의 기 본행연산수열을 구하고 이 기본행연산수열을 b_- 위에 실시하면 된다.

! 에 기본행연산을 적용하여 단위행렬 b 로 변형시키는 과정에서 생긴 기본행연산수열을 b 에 적 용하여 !^"# 를 구한다.

즉, P! n b Q →

P

b n !^"#

Q

↑

기본행연산수열 적용

예제 : 행렬 ! )

=

>

?

^@

A

B

# . C . E C

# ; G

의 역행렬을 구하시오.

풀이 : P! n b Q )P

=

>

?

^@

A

B

# . C . E C

# ; G n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; #

Q → P

=

>

?

^@

A

B

# . C

; # " C

; " . E n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

" . # ;

" # ; # Q

→ P

=

>

?

^@

A

B

# . C

; # " C

; ; " # n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

" . # ;

" E . #

Q → P

=

>

?

^@

A

B

# . C

; # " C

; ; #

n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

" . # ; E " . " #

Q

→ P

=

>

?

^@

A

B

# . ;

; # ;

; ; #

n

=

>

?

^@

A

B

" #I F C

#C " E " C E " . " #

Q → P

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; #

n

=

>

?

^@

A

B

" I; #F H

#C " E " C E " . " # Q

그러므로

!^"#)

=

>

?

^@

A

B

" I; #F H

#C " E " C E " . " #

이다.

주목 : 주어진 행렬이 미리 가역적인지 아닌지를 알지 못하는 경우가 있다. 만일 - × - 정사각형 행렬 ! 가 가역적이지 아니면 이 것은 기본행연산에 의하여 단위행렬 b_- 으로 변형될 수 없다.

예제 : P! n b Q → P

=

>

?

^@

A

B

# F I

. I " #

" # . E n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

; ; # Q → P

=

>

?

^@

A

B

# F I

; " G " H

; G H

n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

" . # ;

# ; # Q

→ P

=

>

?

^@

A

B

# F I

; " G " H

; ; ;

n

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

" . # ;

" # # # Q

그러므로 ! 는 가역행렬이 아니다.

아울러 벡터와 벡터공간을 다룬다.

연립 차 선형 방정식 입문

1.1 1 ( )

차 선형 방정식

1 ( ) : $%"평면에서 차방정식은 직선 1 &$ ' (% ) * 이고, $%+"공간에서 차방정식은1 평면 &$ ' (% ' *+ ), 이고, -"차원 공간에서는 &_#$_#' &_.$_. ' ⋯ ' &_-$_-)( 이다 여기서.

&_#0 &_.0 ⋯ 0 &_- 은 상수들이고, $_#0 $_.0 ⋯ 0 $_- 은 미지수들이다.

연립 차 선형 방정식1 ( ) :

&_##$_# ' &_#.$_. ' ⋯ ' &_#-$_-)(_#

&_.#$_# ' &_..$_. ' ⋯ ' &_.-$_-) (_. 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5#$_# ' &_5.$_. ' ⋯ ' &_5-$_-)(₅

여기서, &₆₇ 16)#0 .0 ⋯ 0 5 8 7)#0 .0 ⋯ 0 -3 는 상수들[1⋆3 의 계수들] 이고,

$₉ 19 )#0 .0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고, (_: 1: )#0 .0 ⋯ 0 53 은 상수들이다.

1⋆3 에서 (_:); 1: )#0 .0 ⋯ 0 53 이면 1⋆3 를 제차연립선형방정식이라고 부르고, 그렇지 않으 면 1⋆3 를 비제차연립선형방정식이라고 부른다.

주목: 모든 연립선형방정식은 해를 오직 하나 가지거나, 무수히 많은 해를 가지거나, 해를 갖지 않 거나 셋중의 하나이다.

5 × - 행렬

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5-

은 1⋆3 의 계수행렬이라부른다 여기서 . 5 은 행렬의 행 가(

연립 차 선형 방정식1 ( ) :

&_##$_# ' &_#.$_. ' ⋯ ' &_#-$_-)(_#

&_.#$_# ' &_..$_. ' ⋯ ' &_.-$_-) (_.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5#$_# ' &_5.$_. ' ⋯ ' &_5-$_-)(₅

↔ !^ )(

여기서

! )

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5-

1계수행렬3 0 ^ )

=

>

?

^@

A

$_#

B

$_.

⋮

$_-

1미지수3 0 ( )

=

>

?

^@

A (_#

B

(_.

⋮ (₅

1상수3 행렬연립선형방정식( )

예제 : 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오.

$ ' .% ' C+ )#

.$ ' E% ' C+ );

$ ' G+ )#

풀이 : !^ )

=

>

?

^@

A

B

#

;

#

→ !

=

>

?

^@

A

B

$

% +

)

=

>

?

^@

A

B

#

;

#

→

=

>

?

^@

A

B

$

% +

) !^"#

=

>

?

^@

A

B

#

;

#

0 여기서 ! )

=

>

?

^@

A

B

# . C . E C

# ; G 0 ^ )

=

>

?

^@

A

B

$

% +

이다.

그러므로

=

>

?

^@

A

B

$

% +

)

=

>

?

^@

A

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"I; #F H

#C " E " C E " . " #

=

>

?

^@

A

B

#

;

# )

=

>

?

^@

A

B

" C#

#;

I

0 ∴ $) " C#0 %)#; 0 + )I

이다.

문제 : 다음 가역행렬을 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

! )

=

>

?

^@

A

B

# . C . E C

# ; G

문제 : 다음 가역행렬을 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

! )=

>? ^@ AB

C #

C " #

문제 : ! )=

>? ^@ AB

# ;

" E .

(1) l_.l_#! )b 를 만족시키는 기본행렬 l_#0 l_. 를 구하시오. (2) ! 를 두 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

(3) !^"# 를 두 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

행동치 : 행렬 ! 에 기본행연산을 유한회 실시하여 행렬 W 가 얻어졌다면 역으로 행렬 W 에 똑같 은 기본행연산의 역연산을 역의 순서로 되풀이 하면 행렬 ! 를 얻을 수 있다. 이 때 행렬 ! 와 W 는 행동치(row equivalent)라고 말한다.

문제 : 다음 두 행렬이 행동치임을 보이시오.

! )

=

>

?

^@

A

B

# . C

# I # . # H

0 W )

=

>

?

^@

A

B

# ; E

; . " .

# # I

문제 : 행렬 ! )

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; # ;

& ( *

를 기본행렬이라 하면 셋째 행의 적어도 하나의 성분은 ; 임을 보이시 오

.

연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 베터 공간 1.6

정리 : 모든 연립선형(#차 방정식은 오직 하나의 해를 가지거나 무수히 많은 해를 가지거나 또는 ) 해를 가지지 않거나 셋 중의 하나이다

.

증명 :

정리 : ! 가 - × - 가역행렬이면 임의의 - × # 행렬 ( 에대하여 연립선형방정식 !^ )( 는 오 직 하나의 해를 가진다 즉

. , ^ )!^"#( 이다.

증명 : !^ )!

1

!^"#(

3

⁾

1

!!^"#

3

( )1b3 ( )( 이므로 ^ )!^"#( 는 연립선형방정식 !^ )( 의 해이 다

. ^_; 를 연립선형방정식 !^ )( 의 임의의 해라고 하면 !^_;)( 이다. ! 가 가역행렬 이므로

^_;)!^"#( )^. Q.E.D.

예제 : 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오.

$_# ' .$_.' C$_C)E .$_#' E$_.' C$_C)C

$_# ' G$_C)#D

풀이 : !^ )( → ^ ) !^"#(0 여기서 ! )

=

>

?

^@

A

# . C

B

. E C

# ; G 0 ^ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

$_C 0 ( )

=

>

?

^@

A

B

E C

#D 이다.

=

?

^$#@

B

⁼

^?

^{"I; #F H@}

^B

⁼

^?

^E@

^B

⁼

^?

^#@

^B

같은 계수행렬을 가지는 연립 #차 선형 방정식열의 해법( )

!^ )( 0 !^ )(_. 0 ⋯ 0 !^ )(₉

↔ ^_#)!^"#(_#0 ^_.)!^"#(_. 0 ⋯ 0 ^₉)!^"#(₉

↔ P! n (_#n (_.n ⋯ n (₉Q 1첨가행렬3 → Pb n (_#n (_.n ⋯ n (₉Q 1기약 가우스 행렬3

예제 : 다음 연립선형방정식을 푸시오.

(1) $_#' .$_. ' C$_C)I .$_#' E$_.' C$_C)E

$_# ' G$_C)H

(2) $_#' .$_.' C$_C)#

.$_#' E$_.' C$_C)F

$_# ' G$_C) " F

풀이 : P

=

>

?

^@

A

# . C

B

. E C

# ; G n

=

>

?

^@

A I

B

E H

n

=

>

?

^@

A

B

# F

" F

Q → P

=

>

?

^@

A

# ; ;

B

; # ;

; ; # n

=

>

?

^@

A

#

B

;

# n

=

>

?

^@

A

B

.

#

" # Q

그러므로 (1)의 해는 $_#)#0 $_.);0 $_C )#, (2)의 해는 $_#).0 $_.)#0 $_C) " # 이다.

주목 : (1) ! 가 가역행렬 ↔ (2) !W )b0 W! )b ↔ (3) !W)b 또는 W! )b

↑ ↑

정의 증명 필요

증명 : W! )b 라고 하면 ! 는 가역행렬이다. [왜냐하면 ! 가 가역행렬이기 필요충분조건은

!^ ); 여기서 ( ; )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1영행렬3 이 자명해 즉) ( , ^ ); 만 가진다 이다) . ^_; 가 임의의 해

라고 하자 그러면

. !^_;); 그리고 그래서 . W!^_;)W; → b ^_;); → ^_;);. ] W! )b 양변에 !^"# 을 곱하면 W!!^"#)b!^"# → Wb )b !^"# → W )!^"#

마찬가지로

!W )b → W )!^"# Q.E.D.

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자. 이 때 다음 명제는 동치이다.

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다.( .)

(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b_- 이다. (3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

연립선형방정식

(4) !^ ); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^ )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든

(5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 항상 해를 가진다. 모든

(6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 오직 하나의 해를 가진다.

증명 :

정리 : ! 0 W 는 똑같은 크기를 가지는 정사각형행렬이라고 하자 행렬곱 . !W 가 가역적이면 행렬 ! 와 W 도 가역적이다.

증명 : !W 가 가역적이므로 1!W3^"# 가 존재한다. 한편 1!W3^"#)W^"#!^"# 이므로 !^"#0 W^"# 가 존재한다

. Q.E.D.

기본문제[Fundamental Problem] : ! 를 고정된 5 × - 행렬이라고 하자 이 경우에 연 . 립선형방정식

!^ )( 가지도록 하는 모든 5 × # 행 렬

( 를 구하시오.

문제 : 다음 연립선형방정식이 해를 가지기 위해서는 (_#0 (_. 0 (_C 가 어떤 조건을 만족시키면 되는 지 그 조건을 구하시오

.

$ ' % ' .+ )(_#

$ ' + )(_.

.$ ' % ' C+ )(_C 풀이 :

문제 : 가우스 조단 소거법과 계수행렬의 역행렬 두 방법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 - 구하시오

.

.$_# ' $_. " C$_C ' $_I);

' E$_. ' I$_C ' C$_I )#

$_C ' .$_I);

C$_I) " #

벡터. 행렬. -"벡터공간

벡터

벡터란 힘, 속도와같이 크기와 방향을 가진 양을 의미한다. 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 의에 화 살표를 붙인 문자로 나타낸다. 방향과 크기가 같은 두 벡터는 같다고 말한다. 평면에 놓인 벡터는 평면벡터, 공간에 놓인 벡터는 공간벡터라고 부른다. 벡터는 시작점과 종점을 가지는데 평행이동을 통하여 언제든 두 벡터의 시작점을 일치시킬 수 있다. 이 때 두 벡터 사이의 사이각이 발생하는데 적은 쪽 각을 사이각이라 부른다. 사이각이 ; 도이면 같은 방향이고 사이각이 , #G; 도이면 정 반대 방향이다. 크기가 ; 인 벡터를 영벡터라고 부른다. 속력과 같이 크기만 가진 양을 스칼라라고 부른 다. 예를 들면 실수는 크기만 가진 양으로 취급하고, 우리는 실수를 스칼라라고 부른다. 크기가 # 인 벡터는 단위벡터라고 부르고 영벡터가 아닌 벡터 KV& 방향의 단위벡터는 KnKV&n

KV&

이다. 두 벡터가 평 행하다는 의미는 사이각이 ;^∘ 또는 #G;^∘ 를 의미한다.

벡터 덧셈의 정의: 두 벡터 KV& 와 KV( 가 KV( 의 시점이 KV& 의 종점에 있도록 위치하고 있으면, 합 KV& ' KV( 는 KV& 의 시점부터 KV( 의 종점까지의 벡터이다.

스칼라 곱의 정의: p 는 스칼라이고 KVq 는 벡터라고 하자 스칼라 곱 . pKVq 의 길이는 npn 와 KVq 의 길 이의 곱이고 방향은 pd; 일 때 KVq 와 같고 pr; 일 때는 KVq 와 정반대인 벡터로 정의한다. p);

또는 KVq )KV; 일 때, pKVq )KV; 이다.

벡터 뺄셈의 정의: 벡터 KV& " KV( 의 시점은 벡터 KV( 의 종점이고, 종점은 벡터 KV& 의 종점이다.

성분 벡터

& ) KV& ) r&_#0 &_.d 는 평면벡터 시점이 원점이고 종점은 평면좌표 (

1

&_#0 &_.

3

인 벡터 라고 부르고) ,

& ) KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd 는 공간벡터 시점이 원점이고 종점은 공간좌표 (

1

^&#0 &_.0 &_C

3

^{인 벡터 라)}

고 부른다.

덧셈과 뺄셈 스칼라 곱 그리고 크기, : KV& ) r&0 & 0 & d0 KV( ) r(0 ( 0 ( d 이면

5 × 1- ' #3 행렬

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &_#- (_#

&_.# &_.. ⋯ &.- (_.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &_5- (₅

은 1⋆3 의 첨가 확장 행렬이라부른다( ) .

주의: 첨가행렬을 만들 때 계수는 각 방정식에서 동일한 가로순서로 기술되어야하고, 각 상수는 오 른쪽에 동일한 세로순서로 기술되어야만 한다.

예를 들면,

$ ' % " C+ ) D C$ ' E% ' F+ )#C

" $ ' % ' G+ ) E

의 첨가행렬은

=

>

?

^@

A

# # " C D

B

C E F #C

" # # G E

이다.

연립선형방정식의 해를 구하는 기초적인 방법은 다음 세 가지 형태의 연산을 계속 적용하여 미지수 를 쳬계적으로 소거함으로써 얻어진다.

1. 하나의 방정식의 양변에 ; 이 아닌 상수를 곱한다. 2. 두 방정식을 위아래로 교환한다.

3. 한 방정식에 ; 이 아닌 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

이러한 과정을 반복해도 연립선형방정식의 해는 변함이 없다.

첨가행렬의 각 행 수평선 은 주어진 연립선형방정식의 각 방정식에 대응하므로 이들 세 가지 연산은 ( ) 첨가행렬의 행에 관한 다음 연산에 대응된다.

1. KV& ' KV( )KV( ' KV& 2. KV& ' 1KV( 'KV*3 )1KV& 'KV( 3 ' KV* 3. KV& ' KV; )KV& 4. KV& ' 1" KV&3 )KV;

5. p1KV& ' KV( 3 )pKV& ' pKV( 6. 1p ' s3KV& )pKV& ' sKV&

7. 1ps3 KV& )p1sKV&3 8. #KV& )KV&

삼차원 단위 기저 벡터

6) r#0 ;0 ; d0 7) r;0 #0 ; d0 9 ) r;0 ;0 # d 를 삼차원 단위 기저 벡터라고 부른다. 이 때, KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd ) &_#6 ' &_.7 ' &_C9 이다.

문제: 벡터 C6 " 7 ' .9 방향의 단위 벡터를 구하시오.

내적

KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd0 KV( ) r(_#0 (_.0 (_Cd 일 때, KV& 와 KV( 의 내적은 다음과 같이 정의된 스칼라

KV& ∙KV( ) &_#(_# ' &_.(_. ' &_C(_C

내적의 성질

KV& 0 KV( 0 KV* 는 벡터이고, p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다, .

1. KV& ∙KV& ) nKV&n^. ≥;

2. KV& ∙KV( ) KV( ∙KV&

3. KV& ∙1KV( ' KV* 3 )KV& ∙KV( ' KV& ∙KV* 4. KV; ∙KV& );

5. 1pKV& 3∙KV( )p1KV& ∙KV( 3 )KV& ∙1pKV( 3

내적의 기하학적 의미

KV& ⊥ KV( (직교) ⇔ KV& ∙KV( ); (∵; ≤i ≤S)

사영

1. 벡터 KV( 위로 벡터 KV& 의 벡터 사영: eax7KV (

KV& ) K nKV( n^. KV& ∙KV( KV(

2. 벡터 KV( 위로 벡터 KV& 의 스칼라 사영: *x5e^KV₍KV

& ) KnKV( n KV& ∙KV(

두 벡터 KV& 와 KV( 사이의 사이각이 i 가 예각일 때, neax7^KV₍ KV&n )*x5e^KV₍KV& 이다.

문제: KV( ) r#0 " #0 . d 위로 KV& ) r#0 .0 C d 의 벡터 사영과 스칼라 사영을 구하시오.

외적

KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd0 KV( ) r(_#0 (_.0 (_Cd 일 때, KV& 와 KV( 의 외적은 다음과 같이 정의된 벡터이 다.

KV& × KV( ) r&_.(_C " &_C(_.0 &_C(_# " &_#(_C0 &_#(_. " &_.(_#d

외적을 계산할 때, 다음 행렬식을 이용하여 계산한다.

KV& ×KV( )

? ?

^&(^{6 7 9}_#^#&(^._.^&(_C^C

행렬식 추후에 설명

( )

외적의 기하학적 의미

KV KV KV KV KV KV KV KV KV KV KV

3. KV& ╱╱KV( ⇔ KV& × KV( )KV;

4. 두 벡터 KV& 0 KV( 로 결정된 평행사변형의 넓이 )nKV& n nKV( n sin i )nKV& × KV( n

5. 두 점 z 0 c 을 지나는 직선 밖의 점 { 에서 이 직선의 이르는 거리는 다음처럼 주어진다.

| )KV

z{ sin i ) KnKVzc n nKVz{ ×KVzc n

여기서, i 는 KVz{ 와 KVzc 사이의 사이각이다.

문제: 두 점 z1#0 I0 F30 c1#0 " #0 #3 을 잇는 직선 밖의 점 {1" .0 E0 " #3 에서 이 직선에 이르는 거리를 구하시오

.

문제: 세 꼭지점이 z1#0 I0 F30 c1#0 " #0 #3, {1" .0 E0 " #3 인 삼각형의 넓이를 구하시오.

외적의 성질

KV& 0 KV( 0 KV* 는 벡터이고, p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다, .

1. KV& ×KV( ) " KV( × KV&

2. 1pKV& 3 ×KV( )p1KV& × KV( 3 )KV& × 1pKV( 3 3. KV& × 1KV( ' KV* 3 )KV& × KV( ' KV& × KV* 4. 1KV& 'KV( 3 × KV* )KV& ×KV* ' KV( × KV* 5. KV& ∙1KV( ×KV* 3 )1KV& ×KV( 3 ∙KV*

6. KV& × 1KV( × KV* 3 )1KV& ∙KV*3KV( " 1KV& ∙KV(3KV*

스칼라 삼중곱

문제: 세 벡터 KV& )6 ' 7 " 90 KV( )6 " 7 ' 90 KV* ) " 6 ' 7 '9 에 의해서 결정된 평행육 면체의 부피를 구하시오

.

좌표평면안에 놓이는 직선의 벡터방정식 : 벡터 q 에 평행하고 평면 위의 점 $_; 를 지나는 직선의 방정식은 다음처럼 표현된다

.

$ " $_;~~ q ↔ $ " $_;)Nq 1" ∞ rN r∞3 ↔ $ ) $_; ' N q

여기서 $ 는 직선의 일반적인 점(generic point) 이다.

C차원공간안에 놓이는 평면의 벡터방정식 : 평행하지 않은 두 벡터 q_#0 q_. 에 의해서 결정된 평면

€ 평행하고 C차원공간 위의 점 $_; 를 지나는 평면의 방정식은 다음처럼 표현된다.

$ ) $_; ' N_#q_# ' N_.q_. 1 " ∞ rN_#r∞0 " ∞rN_.r∞3

여기서 $ 는 평면의 일반적인 점(generic point) 이다.

정의 : c^- )

•

‚ ƒ

„ „

^{r&#0 &.}0 ⋯ 0 &_-d )

=

>

?

^@

A

B

&_#

&_.

⋮

&_-

n &_#0 &_.0 ⋯ 0 &_-∈c

…

†

‡

„ „

^은 - 차원 벡터공간이라고 부른

다.

여기서 c 은 실수 스칼라 들의 집합이다( ) . 통상적으로 벡터 r&_#0 &_.0 ⋯ 0 &_-d 시점이 원점이고 ( 종점이

1

&_#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

3

^{)를 나타내고, 이를} - 차원 벡터라고 부르고 이 것을 - × # 행렬 열벡(

터)

=

>

?

^@

A

B

&_#

&_.

⋮

&_-

로 나타낸다.

정의 : c^- 의 공집합이 아닌 부분집합 } 가 c^- 에서 정의된 벡터덧셈과 스칼라곱에 의해서 닫혀 있으면

} 를 c^- 의 부분공간(subspace)이라고 부른다.

정리 : Me&-

ˆ

q_#0q_.0 ⋯ 0 q_-

‰

⁾

ˆ

N_#q_# ' N_.q_. ' ⋯ ' N_-q_-n N_#0 N_. 0 ⋯ 0 N_-∈c

‰

은 -"차원 벡터공간

c^- 의 부분공간이다.

정의 : N_#q_# ' N_.q_. ' ⋯ ' N_-q_-을 벡터 q_#0 q_.0 ⋯ 0 q_- 의 선형결합(linear 이라고 부른다

combination) .

정의 : U#) r#0 ;0 ⋯ 0 ; d U_.) r;0 #0 ⋯ 0 ; d

⋮

U_-) r;0 ;0 ⋯ 0 # d

은 -"차원 벡터공간 c^- 의 표준 단위 벡터들이라고 부른다.

주목 : 벡터공간 c^- 안에 놓이는 모든 벡터는 벡터공간 c^- 의 표준 단위 벡터

U#) r#0 ;0 ⋯ 0 ; d U_.) r;0 #0 ⋯ 0 ; d

⋮

U_-) r;0 ;0 ⋯ 0 # d

들에 의해서 생성된다. 즉, c^-)Me&-

ˆ

^U#0 U_.0 ⋯ 0 U_-

‰

^.

예제 : c^. 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리(categories)로 분류하시오.

영 부분공간 즉 (1) ( , ˆ;‰)

원점을 통과하는 모든 직선 (2)

(3) c^.

예제 : c^C 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리(categories)로 분류하시오.

!$ ); 의 해공간(solution space)이라고 부른다. 그리고 이 해공간을 null1!3 로 표 현한다

.

증명 :

문제 : 연립선형방정식 !$ ); 의 해공간을 구하시오.

여기서 , ! )

=

>

?

^@

A

B

# C " . ; . ; . F " E " . I " C

; ; E #; ; #E

. F ; G I #G

이다.

정리 : ! 0 W 는 5 × - 행렬이라고 하자.

(1) !$) ; 의 해공간이 c^- ↔ ! ) ;

#차독립[linear independence]

정의 : q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 은 c^- 안에 있는 벡터들이라고 하자.

*_#q_# ' *_.q_. ' ⋯ ' *₉q₉); 1*_#0 *_.0 ⋯ 0 *₉는 스칼라3 일 때마다

*_#);0 *_.);0 ⋯ 0 *₉); 이면 벡터 q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 는

#차독립(linearly independent)한다고 말한다. 그렇지 않다면

즉 스칼라

( , *_: 1# ≤: ≤93 들 중 적어도 하나가 ; 이 아니다) q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 는 #차종속 이라고 말한다

(linearly dependent) .

예제 : ‹ )

ˆ

;0 q_#0 ⋯ 0 q₉

‰

는 #차독립이 아니다 (∵ ; ∈‹)

정리 : ‹ )

ˆ

^q#0 q_.0 ⋯ 0 q₉

‰

^{⊆c- 이다.}

‹ 가 #차종속이기 위한 필요충분조건은 ‹ 안에 있는 벡터들중 적어도 하나가 ‹ 안에 있는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현되는 것이다

.

증명 :

정리 : 연립선형방정식 !$ ) ; 이 자명해 영 해 만 가지기위한 필요충분 조건은 행렬 ( ) ! 의 열벡 터들이

#차독립이다.

증명 :

문제 : 다음 벡터들이 #차독립인 지, 아닌 지를 결정하시오.

q_#) r#0 .0 # d 0 q_.) r.0 E0 ; d 0 q_C) rC0 C0 G d

기억 : 벡터는 열벡터를 의미한다.

정리 : c^- 안에 있는 - ' # 개 이상의 벡터들은 #차종속이다.

증명 :