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제 6장 추정

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Academic year: 2022

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(1)

제 6장 추정

6.1 통계적 추론의 기본 개념 6.2 점추정과 구간추정

6.3 구간추정

6.4 모분산 추정

(2)

• 모수에 대한 추측을 위해 모집단에서 표본 추출

• 추출된 표본을 바탕으로 결론 도출

• 이와 같은 추측의 과정이 통계적 추론

• 통계적 추론은 추정과 가설검정으로 구성

 추정과 가설검정

(3)

 미지의 모수에 대한 추측이 목적

 기호 및 용어정리

•기호

𝜃𝜃 : 모수

�𝜃𝜃 = �𝜃𝜃 𝑋𝑋1, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 : 𝜃𝜃의 추정량, 예) �𝜇𝜇 = �𝑋𝑋, �𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2

•용어정리

 추정 : 모수에 대한 추측값을 제공하고 오차한계를 제시하는 과정

 점추정 : 추측값을 표본으로 계산되는 하나의 값으로 도출

 구간추정 : 추측값을 표본으로 계산되는 범위로 도출

 추정의 원리

(4)

 추정량(estimator)

•(모집단의 특성값인) 모수를 추정하기 위해 표본을 이용한 계산식

•(표본에서 계산되므로) 통계량이고 (표본에 의존하는) 확률변수

•(확률변수인) 추정량은 확률분포가 존재

 관련 용어

•추정값(estimate) : 추정량의 관측치

•표준오차(standard error) : 추정량의 표준편차

•?? : 추정량의 평균

 추정량

(5)

 불편추정량(unbiased estimator)

•모수 𝜃𝜃의 추정량 �𝜃𝜃에 대하여 𝐸𝐸 �𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 일 때,

�𝜃𝜃을 𝜃𝜃의 불편추정량이라고 한다.

•불편추정량의 예

�𝜇𝜇 ≡ �𝑋𝑋 ∵ 𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝜇𝜇

�𝜎𝜎2 ≡ 𝑆𝑆2 ∵ 𝐸𝐸 𝑆𝑆2 = 𝜎𝜎2

 추정량

(6)

 추정량의 분포를 이용하여 모수를 확률적으로 포함할 것이라 기 대되는 범위 추정

•예) 𝜎𝜎2가 알려진 경우 모평균 𝜇𝜇의 구간추정

𝑍𝑍 =

𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇

∼ 𝑁𝑁 0,1 ⇒ 𝑃𝑃

𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇

≤ 𝑧𝑧

𝛼𝛼/2

= 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧

𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

= 1 − 𝛼𝛼

𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑧𝑧

𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧

𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

= 1 − 𝛼𝛼

 구간추정

(7)

 추정량의 분포를 이용하여 모수를 확률적으로 포함할 것이라 기 대되는 범위 추정

•예) 𝜎𝜎2가 알려진 경우 모평균 𝜇𝜇의 구간추정 𝑍𝑍 = 𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇 ∼ 𝑁𝑁 0,1 ⇒ 𝑃𝑃 𝜎𝜎/ 𝑛𝑛̅𝑋𝑋−𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 = 1 − 𝛼𝛼

𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 1 − 𝛼𝛼

𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 1 − 𝛼𝛼

 구간추정

𝑧𝑧𝛼𝛼/2

1 − 𝛼𝛼

−𝑧𝑧𝛼𝛼/2

(8)

 모집단이 정규분포를 따를 때, 𝝁𝝁의 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟏𝟏 − 𝜶𝜶)% 신뢰구간

[ � 𝑋𝑋 − 𝑧𝑧

𝛼𝛼

2

𝜎𝜎

𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧

𝛼𝛼

2

𝜎𝜎 𝑛𝑛

]

•신뢰수준 : 100(1 − 𝛼𝛼)%

• 100(1 − 𝛼𝛼)% 오차한계 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

•신뢰구간의 길이 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 2𝜎𝜎𝑛𝑛

•모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기가 30이상이면 성립

 신뢰구간

신뢰하한 신뢰상한

(9)

𝝁𝝁 의 95% 신뢰구간 : �𝑿𝑿 − 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝝈𝝈𝒏𝒏, �𝑿𝑿 + 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝝈𝝈𝒏𝒏

 표본으로부터 계산한 표본평균이 140일 때, 모평균 𝜇𝜇의 95%

신뢰구간

 ̅𝑥𝑥 − 1.96

𝜎𝜎𝑛𝑛

, ̅𝑥𝑥 + 1.96

𝜎𝜎𝑛𝑛

= 140 − 1.96

84

, 140 + 1.96

84

= 136.08, 143.92

 예제

𝑁𝑁(𝜇𝜇, 8

2

)

𝑋𝑋

1

𝑋𝑋

2

𝑋𝑋

16

(10)

 신뢰구간의 의미

•표본크기 16, 모표준편차 8 일 때, 𝜇𝜇의 95% 신뢰구간의 의미

�𝑋𝑋 − 1.96 8

16 , �𝑋𝑋 + 1.96 8 16

•크기 16인 표본을 100번 뽑아 신뢰구간을 100번 계산한다면 계산 된 구간 중 약 95번은 𝜇𝜇를 포함할 것이라 기대

• 𝑋𝑋를 20면체 주사위를 던질 때, 20이면 0, 그 외는 1로 정의하였을 때, 1이 나올 확률이 0.95라는 의미와 유사

 신뢰구간의 의미

(11)

• 크기 20인 표본을 20번 뽑아 �𝑋𝑋 − 1.96√2014 , �𝑋𝑋 + 1.96 √2014 을 계산하면

• 신뢰수준 95%의 의미는 신뢰구간의 무한반복 계산하면 95% 적중

 신뢰구간의 의미

𝜇𝜇

(12)

 여러 신뢰수준에서 신뢰구간

90% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 1.645

𝜎𝜎𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 1.645

𝜎𝜎𝑛𝑛

95% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 1.645

𝜎𝜎𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 1.645

𝜎𝜎𝑛𝑛

99% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 2.576

𝜎𝜎𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 2.576

𝜎𝜎𝑛𝑛

𝑧𝑧0.05 = 1.645, 𝑧𝑧0.025 = 1.96, 𝑧𝑧0.005 = 2.576

𝝁𝝁의 대표적인 신뢰구간

(𝝈𝝈를 알때)

(13)

 분산이 𝝈𝝈

𝟐𝟐

= 𝟐𝟐𝟐𝟐인 모집단으로부터 크기가 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏인 표본을 랜 덤 추출하여 표본평균을 구하였더니 𝒙𝒙 =75가 나왔다. 𝝁𝝁에 대한 95% 신뢰구간을 구하여라.

 풀이

① 표본평균이 𝑥𝑥 = 75이고 모분산이 𝜎𝜎2 = 25

② 𝑛𝑛 = 100 , 표본크기가 30이상 표준정규분포에 의한 신뢰구간을 사용

③ 모평균에 대한 95% 신뢰구간

(75 − 1.96 10025 , 75 + 1.96 10025 ) = (75 − 0.98,75 + 0.98) = (74.02, 75.98)

 예제 6.1

(14)

 의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 키는

표준편차가

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒎𝒎인 정규분포를 따른다고 한다. 랜덤하게 추출된 생후 𝟐𝟐년 된 남아 𝟏𝟏𝟗𝟗명의 키를 조사하였더니 𝒙𝒙 = 𝟖𝟖𝟗𝟗가 나왔다. 생후 𝟐𝟐년 된

남아의 평균 키에 대한

𝟗𝟗𝟏𝟏%신뢰구간을 구하여라.

 풀이

 예제 6.2

(15)

 의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 키는 표준편차가 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒎𝒎인 정규분포를 따른다고 한다. 랜덤하게 추출된 생후 𝟐𝟐년 된 남아 𝟏𝟏𝟗𝟗명의 키를 조사하였더니𝒙𝒙 = 𝟖𝟖𝟗𝟗가 나왔다. 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 평균 키에 대한 𝟗𝟗𝟏𝟏%신 뢰구간을 구하여라.

 풀이

① 표본평균이 𝑥𝑥 = 89, 모표준편차가 𝜎𝜎 = 25

② 표준정규분포에 의한 신뢰구간을 사용할 수 있다.

③ 생후 2년 된 남아의 평균 키에 대한 90% 신뢰구간

89 − 1.645 2516 , 89 + 1.645 2516 = 89 − 10.281, 89 + 10.281

= (78.719, 99.281)

 예제 6.2

(16)

𝐙𝐙 = 𝝈𝝈/ 𝒏𝒏�𝑿𝑿−𝝁𝝁 ~𝑵𝑵 𝟏𝟏, 𝟏𝟏

모표준편차 𝝈𝝈를 모르면?

𝝈𝝈대신 표본표준편차 S 사용

 t-분포의 필요성

모집단

N(𝝁𝝁, 𝝈𝝈𝟐𝟐)

표본

𝑿𝑿

𝟏𝟏

, 𝑿𝑿

𝟐𝟐

⋯ 𝑿𝑿

𝒏𝒏

�𝑿𝑿−𝝁𝝁

𝑺𝑺/ 𝒏𝒏

의 분포 필요

(17)

• 𝑉𝑉~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘) : 확률변수 𝑉𝑉가 자유도 k인 카이제곱분포를 따름

 t분포의 정의

𝑍𝑍 ~ 𝑁𝑁(0, 1), 𝑉𝑉~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘), 𝑍𝑍 와 𝑉𝑉 는 서로 독립

⇒ 𝑇𝑇 =

𝑉𝑉/𝐾𝐾𝑍𝑍

~ 𝑡𝑡(𝐾𝐾)

 기호 : 𝑻𝑻 ~ 𝒕𝒕 𝒌𝒌

확률변수 T가 자유도 k인 t분포를 따름

 t-분포

(18)

 0 에 관하여 대칭

 𝑇𝑇 ∼ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 충분히 큰 자유도에 대하여, 𝑇𝑇 ≈ 𝑁𝑁(0, 1)

 표준정규분포에 비해 두꺼운 꼬리를 가짐.

 t-분포의 확률밀도함수의 성질

(19)

 𝑋𝑋

1

, 𝑋𝑋

2

, … , 𝑋𝑋

𝑛𝑛

∼ 𝑖𝑖. 𝑖𝑖. 𝑑𝑑. 𝑁𝑁 𝜇𝜇, 𝜎𝜎

2

⇒ 𝑆𝑆2 = 𝑛𝑛−11𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 − �𝑋𝑋 2 , 𝑇𝑇 = 𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇 ∼ 𝑡𝑡(𝑛𝑛 − 1)

 표본평균의 분포

(𝝈𝝈를 모를 때)

𝛼𝛼/2

1 − 𝛼𝛼

−𝑡𝑡𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1) 𝑡𝑡𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1)

𝛼𝛼/2

(20)

𝝁𝝁의 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 % 신뢰구간

𝑇𝑇 = 𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇 ∼ 𝑡𝑡(𝑛𝑛 − 1)

𝑃𝑃 −𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

(𝑛𝑛 − 1) ≤

𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇

≤ 𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

(𝑛𝑛 − 1) = 1 − 𝛼𝛼

𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

𝑛𝑛 − 1

𝑆𝑆𝑛𝑛

≤ 𝜇𝜇 ≤ �𝑋𝑋 + 𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

(𝑛𝑛 − 1)

𝑆𝑆𝑛𝑛

= 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

𝑛𝑛 − 1

𝑆𝑆𝑛𝑛

, �𝑋𝑋 + 𝑡𝑡

𝛼𝛼/2

𝑛𝑛 − 1

𝑆𝑆𝑛𝑛

= 1 − 𝛼𝛼

 모평균의 신뢰구간

(𝝈𝝈를 모를 때)

모분산을 모를 때 모평균의 100(1-𝜶𝜶)% 신뢰구간

(21)

 전자제품 수명 추정을 위한 가속시험, 10개의 시료에 대한 가속 수명이 아래의 표와 같을 때, 평균 가속 수명의 95% 신뢰구간을 구하여라.

̅𝑥𝑥 =

101

𝑖𝑖=1𝑛𝑛

𝑥𝑥

𝑖𝑖

= 140, ∑

𝑖𝑖=1𝑛𝑛

𝑥𝑥

𝑖𝑖2

= 196450, 𝑡𝑡

0.025

9 = 2.262

𝑠𝑠2 = 1

𝑛𝑛 − 1 �𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅𝑥𝑥 2 = 1

𝑛𝑛 − 1 �𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 ̅𝑥𝑥 2 = 450

9 = 50

140 − 𝑡𝑡0.025 9 7.07

10 , 140 + 𝑡𝑡0.025 9 7.07

10 = [134.9,145.1]

 예제

(22)

 16명의 불면증 환자들을 랜덤하게 뽑아 수면시간을 조사하였더니 수면 시간의 표본평균은 𝟒𝟒. 𝟐𝟐시간이고 표본표준편차는 𝟏𝟏시간이 나왔다. 수면시 간이 정규분포를 한다고 가정할 때 이 환자들의 평균 수면시간의 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟓 신뢰구간을 구하시오.

 풀이

 예제 6.5

(23)

 풀이

① 정규모집단으로 모분산을 모르며 표본크기 16이 30 미만

𝑡𝑡 −분포에 의한 신뢰구간을 계산

𝑥𝑥 = 4.5, s = 1 을 이용하여 95% 신뢰구간을 구함

④ 환자들의 평균 수면시간의 95% 신뢰구간 (𝑥𝑥 − 𝑡𝑡𝛼𝛼

2(𝑛𝑛 − 1) × 𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡𝛼𝛼

2(𝑛𝑛 − 1) × 𝑠𝑠𝑛𝑛 ) = 4.5 ± 2.1315 116

=4.5 ± 0.5329 = (3.9671, 5.0329)

 예제 6.5

(24)

 표본추출 전 실험의 목적에 맞는 표본크기를 결정하는 법

• �𝑋𝑋의 100(1-α)% 오차한계 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

• 100(1-α)% 오차한계를 𝑑𝑑 (신뢰구간의 길이를 2𝑑𝑑) 이하로 하기 위 한 최소의 표본크기는?

𝑧𝑧

𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛

≤ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑛𝑛 ≥

𝑧𝑧𝛼𝛼/2𝑑𝑑 𝜎𝜎 2인 최소의 정수

 𝜎𝜎를 모를 경우

•표본추출전이므로 𝑠𝑠2을 계산할 수 없음

•과거자료를 이용하여 표본표준편차를 계산

•범위/4를 𝜎𝜎의 추정값으로 사용하기도 함

 모평균 추정에서 표본크기 결정

(25)

제 6장 추정

6.1 통계적 추론의 기본 개념 6.2 점추정과 구간추정

6.3 구간추정

6.4 모분산 추정

(26)

𝝈𝝈

𝟐𝟐

= ?

(27)

𝝈𝝈

𝟐𝟐

= ?

𝑺𝑺

𝟐𝟐

= 𝟏𝟏

𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 �(𝑿𝑿

𝒊𝒊

− �𝑿𝑿)

𝟐𝟐

(28)

 카이제곱분포 이용

정규분포에서의 랜덤표본에서 표본분산과 관계되는 분포

 정의

𝑍𝑍1, 𝑍𝑍2, … , 𝑍𝑍𝑘𝑘 가 서로 독립인 표준정규확률변수일 때, 𝑉𝑉 = 𝑍𝑍12 + 𝑍𝑍22 + … + 𝑍𝑍𝑘𝑘2 의 확률분포

 분포의 표기

• 𝑉𝑉 ~ 𝜒𝜒2 𝑘𝑘

• 확률변수 𝑉𝑉는 자유도가 𝑘𝑘인 카이제곱분포를 따른다

 카이제곱분포

(29)

0 Z

0 Z

(30)

 𝑽𝑽~ 𝝌𝝌

𝟐𝟐

(𝒌𝒌) 의 확률밀도함수의 형태

•자유도 𝑘𝑘의 값에 따라 형태가 다름

• 𝐸𝐸 𝑉𝑉 = 𝑘𝑘, Var(𝑉𝑉) = 2𝑘𝑘

 카이제곱분포의 형태

(31)

 카이제곱분포에서의 100(1-α)백분위수 : 𝑷𝑷 𝑽𝑽 > 𝒙𝒙 = 𝜶𝜶 인 𝒙𝒙

𝜒𝜒

20.025

(5) = 12.83

⇔ P V ≥ 12.83 = 0.025, 𝑉𝑉~𝑥𝑥

2

(5)

 𝒙𝒙

𝟐𝟐

분포에서의 백분위수

)

2(

α k

χ

𝛼𝛼

(32)

 𝝌𝝌

𝟐𝟐

분포표 (부록 6) : 𝒌𝒌와 𝜶𝜶에 대한 𝝌𝝌

𝜶𝜶𝟐𝟐

(𝒌𝒌) 값

𝜒𝜒20.05(1) = 3.84

𝜒𝜒20.025(5) = 12.83, 𝜒𝜒20.01(20) = 37.57 𝑃𝑃 𝑉𝑉 > 𝜒𝜒𝛼𝛼2 𝑘𝑘 = 𝛼𝛼

 χ

2

분포의 가법성

𝑉𝑉1~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘1), 𝑉𝑉2~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘2), 𝑉𝑉1과 𝑉𝑉2 가 서로 독립

⇒ 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)

 𝒙𝒙

𝟐𝟐

의 성질

(33)

 자유도에 따른 카이제곱분포 밀도함수의 변화

(34)

 관측값에 대한 가정 : 𝑿𝑿

𝟏𝟏

, 𝑿𝑿

𝟐𝟐

, … , 𝑿𝑿

𝒏𝒏

∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈

𝟐𝟐

𝑺𝑺

𝟐𝟐

=

𝒏𝒏−𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒊𝒊=𝟏𝟏𝒏𝒏

𝑿𝑿

𝒊𝒊

− �𝑿𝑿

𝟐𝟐

의 분포는?

𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2

𝜎𝜎2

∼ 𝜒𝜒

2

𝑛𝑛 − 1

 모분산의 추정에 관한 가정 및 분포

1 − 𝛼𝛼

𝛼𝛼/2 𝛼𝛼/2

𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒2 𝑛𝑛 − 1

잔차제곱합/분산은

카이제곱분포를 따른다.

(35)

𝑿𝑿

𝟏𝟏

− �𝑿𝑿

𝟐𝟐

𝑿𝑿

𝟐𝟐

− �𝑿𝑿

𝟐𝟐

독립아니다

𝑿𝑿𝟏𝟏 − 𝟏𝟏

𝒏𝒏 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟏𝟏 ⋯ + 𝑿𝑿𝒏𝒏

𝟐𝟐

𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝟏𝟏

𝒏𝒏 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟏𝟏 ⋯ + 𝑿𝑿𝒏𝒏

𝟐𝟐

(36)

 관측값에 대한 가정 : 𝑿𝑿

𝟏𝟏

, 𝑿𝑿

𝟐𝟐

, … , 𝑿𝑿

𝒏𝒏

∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈

𝟐𝟐

𝑺𝑺

𝟐𝟐

=

𝒏𝒏−𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒊𝒊=𝟏𝟏𝒏𝒏

𝑿𝑿

𝒊𝒊

− �𝑿𝑿

𝟐𝟐

의 분포는?

𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2

𝜎𝜎2

∼ 𝜒𝜒

2

𝑛𝑛 − 1

 모분산의 추정에 관한 가정 및 분포

1 − 𝛼𝛼

𝛼𝛼/2 𝛼𝛼/2

𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒2 𝑛𝑛 − 1

잔차제곱합/분산은

카이제곱분포를 따른다.

(37)

(𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)𝑺𝑺

𝟐𝟐

= (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)

𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 �(𝑿𝑿

𝒊𝒊

− �𝑿𝑿)

𝟐𝟐

(𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)𝑺𝑺

𝟐𝟐

𝝈𝝈

𝟐𝟐

= ∑(𝑿𝑿

𝒊𝒊

− �𝑿𝑿)

𝟐𝟐

𝝈𝝈

𝟐𝟐

(38)

 𝑿𝑿

𝟏𝟏

, 𝑿𝑿

𝟐𝟐

, … , 𝑿𝑿

𝒏𝒏

∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵(𝝁𝝁, 𝝈𝝈

𝟐𝟐

)

 𝝈𝝈

𝟐𝟐

에 관한 추론

•점추정 : �𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 = 𝑛𝑛−11𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 − �𝑋𝑋 2

•구간추정 : 𝜎𝜎2의 신뢰구간

𝑃𝑃 𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 ≤ 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2

𝜎𝜎2 ≤ 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 1 − 𝛼𝛼

⇒ 𝑃𝑃 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2

𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 ≤ 𝜎𝜎2 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2

𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 1 − 𝛼𝛼

∴ 𝜎𝜎

2

의 100(1 − 𝛼𝛼)% 신뢰구간 :

𝜒𝜒 𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2

𝛼𝛼/22 𝑛𝑛−1

,

𝜒𝜒 𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2

1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛−1

 모분산의 신뢰구간

(39)

 어느 볼베어링 생산공장에서 지름의 크기를 𝝈𝝈 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐mm로

품질관리를 하고 있다. 아래와 같이 10개의 시료를 추출하여 아래 와 같이 크기를 기록하였을 때, 𝝈𝝈의 95% 신뢰구간을 구하라.

7.41, 7.44, 7.65, 7.46, 7.48, 7.38, 7.42, 7.55, 7.54, 7.61

• 계산에 필요한 백분위수 : 𝜒𝜒0.0252 9 = 19.0228, 𝜒𝜒0.9752 9 = 2.7004

𝜎𝜎2의 95% 신뢰구간

𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2

𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2

𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 9(0.0081) 19.0228 ,

9(0.0081)

2.7004 = 0.00382,0.026996

𝝈𝝈의 95% 신뢰구간 : 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = [𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟒𝟒]

 예제

(40)

1 − 𝛼𝛼

0.025

0.025 𝜒𝜒2 9

(41)

 어느 볼베어링 생산공장에서 지름의 크기를 𝝈𝝈 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐mm로

품질관리를 하고 있다. 아래와 같이 10개의 시료를 추출하여 아래 와 같이 크기를 기록하였을 때, 𝝈𝝈의 95% 신뢰구간을 구하라.

7.41, 7.44, 7.65, 7.46, 7.48, 7.38, 7.42, 7.55, 7.54, 7.61

• 계산에 필요한 백분위수 : 𝜒𝜒0.0252 9 = 19.0228, 𝜒𝜒0.9752 9 = 2.7004

𝜎𝜎2의 95% 신뢰구간

𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2

𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2

𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 9(0.0081) 19.0228 ,

9(0.0081)

2.7004 = 0.00382,0.026996

𝝈𝝈의 95% 신뢰구간 : 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = [𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟒𝟒]

 예제

(42)

𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

(43)

𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

(44)

𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ≤

𝝈𝝈𝟐𝟐

𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 ≤

𝟏𝟏

𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

(45)

𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗

𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ≤

𝝈𝝈𝟐𝟐

𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 ≤

𝟏𝟏

𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝝈𝝈𝟐𝟐 ∈ ( 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ,

𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒)

참조

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