제 6장 추정
6.1 통계적 추론의 기본 개념 6.2 점추정과 구간추정
6.3 구간추정
6.4 모분산 추정
• 모수에 대한 추측을 위해 모집단에서 표본 추출
• 추출된 표본을 바탕으로 결론 도출
• 이와 같은 추측의 과정이 통계적 추론
• 통계적 추론은 추정과 가설검정으로 구성
추정과 가설검정
미지의 모수에 대한 추측이 목적
기호 및 용어정리
•기호
𝜃𝜃 : 모수
�𝜃𝜃 = �𝜃𝜃 𝑋𝑋1, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 : 𝜃𝜃의 추정량, 예) �𝜇𝜇 = �𝑋𝑋, �𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2
•용어정리
추정 : 모수에 대한 추측값을 제공하고 오차한계를 제시하는 과정
점추정 : 추측값을 표본으로 계산되는 하나의 값으로 도출
구간추정 : 추측값을 표본으로 계산되는 범위로 도출
추정의 원리
추정량(estimator)
•(모집단의 특성값인) 모수를 추정하기 위해 표본을 이용한 계산식
•(표본에서 계산되므로) 통계량이고 (표본에 의존하는) 확률변수
•(확률변수인) 추정량은 확률분포가 존재
관련 용어
•추정값(estimate) : 추정량의 관측치
•표준오차(standard error) : 추정량의 표준편차
•?? : 추정량의 평균
추정량
불편추정량(unbiased estimator)
•모수 𝜃𝜃의 추정량 �𝜃𝜃에 대하여 𝐸𝐸 �𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 일 때,
�𝜃𝜃을 𝜃𝜃의 불편추정량이라고 한다.
•불편추정량의 예
�𝜇𝜇 ≡ �𝑋𝑋 ∵ 𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝜇𝜇
�𝜎𝜎2 ≡ 𝑆𝑆2 ∵ 𝐸𝐸 𝑆𝑆2 = 𝜎𝜎2
추정량
추정량의 분포를 이용하여 모수를 확률적으로 포함할 것이라 기 대되는 범위 추정
•예) 𝜎𝜎2가 알려진 경우 모평균 𝜇𝜇의 구간추정
𝑍𝑍 =
𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇∼ 𝑁𝑁 0,1 ⇒ 𝑃𝑃
𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇≤ 𝑧𝑧
𝛼𝛼/2= 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧
𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛= 1 − 𝛼𝛼
𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑧𝑧
𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧
𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛= 1 − 𝛼𝛼
구간추정
추정량의 분포를 이용하여 모수를 확률적으로 포함할 것이라 기 대되는 범위 추정
•예) 𝜎𝜎2가 알려진 경우 모평균 𝜇𝜇의 구간추정 𝑍𝑍 = 𝜎𝜎/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋−𝜇𝜇 ∼ 𝑁𝑁 0,1 ⇒ 𝑃𝑃 𝜎𝜎/ 𝑛𝑛̅𝑋𝑋−𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 = 1 − 𝛼𝛼
𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 ≤ 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 1 − 𝛼𝛼
𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 1 − 𝛼𝛼
구간추정
𝑧𝑧𝛼𝛼/2
1 − 𝛼𝛼
−𝑧𝑧𝛼𝛼/2
모집단이 정규분포를 따를 때, 𝝁𝝁의 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟏𝟏 − 𝜶𝜶)% 신뢰구간
[ � 𝑋𝑋 − 𝑧𝑧
𝛼𝛼2
𝜎𝜎
𝑛𝑛
, �𝑋𝑋 + 𝑧𝑧
𝛼𝛼2
𝜎𝜎 𝑛𝑛
]
•신뢰수준 : 100(1 − 𝛼𝛼)%
• 100(1 − 𝛼𝛼)% 오차한계 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛
•신뢰구간의 길이 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 2𝜎𝜎𝑛𝑛
•모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기가 30이상이면 성립
신뢰구간
신뢰하한 신뢰상한
𝝁𝝁 의 95% 신뢰구간 : �𝑿𝑿 − 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝝈𝝈𝒏𝒏, �𝑿𝑿 + 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝝈𝝈𝒏𝒏
표본으로부터 계산한 표본평균이 140일 때, 모평균 𝜇𝜇의 95%
신뢰구간
̅𝑥𝑥 − 1.96
𝜎𝜎𝑛𝑛, ̅𝑥𝑥 + 1.96
𝜎𝜎𝑛𝑛= 140 − 1.96
84, 140 + 1.96
84= 136.08, 143.92
예제
𝑁𝑁(𝜇𝜇, 8
2)
𝑋𝑋
1𝑋𝑋
2⋮
𝑋𝑋
16 신뢰구간의 의미
•표본크기 16, 모표준편차 8 일 때, 𝜇𝜇의 95% 신뢰구간의 의미
�𝑋𝑋 − 1.96 8
16 , �𝑋𝑋 + 1.96 8 16
•크기 16인 표본을 100번 뽑아 신뢰구간을 100번 계산한다면 계산 된 구간 중 약 95번은 𝜇𝜇를 포함할 것이라 기대
• 𝑋𝑋를 20면체 주사위를 던질 때, 20이면 0, 그 외는 1로 정의하였을 때, 1이 나올 확률이 0.95라는 의미와 유사
신뢰구간의 의미
• 크기 20인 표본을 20번 뽑아 �𝑋𝑋 − 1.96√2014 , �𝑋𝑋 + 1.96 √2014 을 계산하면
• 신뢰수준 95%의 의미는 신뢰구간의 무한반복 계산하면 95% 적중
신뢰구간의 의미
𝜇𝜇
여러 신뢰수준에서 신뢰구간
90% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 1.645
𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 1.645
𝜎𝜎𝑛𝑛95% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 1.645
𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 1.645
𝜎𝜎𝑛𝑛99% 신뢰구간 : �𝑋𝑋 − 2.576
𝜎𝜎𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 2.576
𝜎𝜎𝑛𝑛𝑧𝑧0.05 = 1.645, 𝑧𝑧0.025 = 1.96, 𝑧𝑧0.005 = 2.576
𝝁𝝁의 대표적인 신뢰구간
(𝝈𝝈를 알때) 분산이 𝝈𝝈
𝟐𝟐= 𝟐𝟐𝟐𝟐인 모집단으로부터 크기가 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏인 표본을 랜 덤 추출하여 표본평균을 구하였더니 𝒙𝒙 =75가 나왔다. 𝝁𝝁에 대한 95% 신뢰구간을 구하여라.
풀이
① 표본평균이 𝑥𝑥 = 75이고 모분산이 𝜎𝜎2 = 25
② 𝑛𝑛 = 100 , 표본크기가 30이상 표준정규분포에 의한 신뢰구간을 사용
③ 모평균에 대한 95% 신뢰구간
(75 − 1.96 10025 , 75 + 1.96 10025 ) = (75 − 0.98,75 + 0.98) = (74.02, 75.98)
예제 6.1
의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 키는
표준편차가𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒎𝒎인 정규분포를 따른다고 한다. 랜덤하게 추출된 생후 𝟐𝟐년 된 남아 𝟏𝟏𝟗𝟗명의 키를 조사하였더니 𝒙𝒙 = 𝟖𝟖𝟗𝟗가 나왔다. 생후 𝟐𝟐년 된
남아의 평균 키에 대한𝟗𝟗𝟏𝟏%신뢰구간을 구하여라.
풀이
예제 6.2
의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 키는 표준편차가 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒎𝒎인 정규분포를 따른다고 한다. 랜덤하게 추출된 생후 𝟐𝟐년 된 남아 𝟏𝟏𝟗𝟗명의 키를 조사하였더니𝒙𝒙 = 𝟖𝟖𝟗𝟗가 나왔다. 생후 𝟐𝟐년 된 남아의 평균 키에 대한 𝟗𝟗𝟏𝟏%신 뢰구간을 구하여라.
풀이
① 표본평균이 𝑥𝑥 = 89, 모표준편차가 𝜎𝜎 = 25
② 표준정규분포에 의한 신뢰구간을 사용할 수 있다.
③ 생후 2년 된 남아의 평균 키에 대한 90% 신뢰구간
89 − 1.645 2516 , 89 + 1.645 2516 = 89 − 10.281, 89 + 10.281
= (78.719, 99.281)
예제 6.2
⇩
𝐙𝐙 = 𝝈𝝈/ 𝒏𝒏�𝑿𝑿−𝝁𝝁 ~𝑵𝑵 𝟏𝟏, 𝟏𝟏
⇩
모표준편차 𝝈𝝈를 모르면?
𝝈𝝈대신 표본표준편차 S 사용
t-분포의 필요성
모집단
N(𝝁𝝁, 𝝈𝝈𝟐𝟐)
표본
𝑿𝑿
𝟏𝟏, 𝑿𝑿
𝟐𝟐⋯ 𝑿𝑿
𝒏𝒏�𝑿𝑿−𝝁𝝁
𝑺𝑺/ 𝒏𝒏
의 분포 필요 ⇦
• 𝑉𝑉~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘) : 확률변수 𝑉𝑉가 자유도 k인 카이제곱분포를 따름
t분포의 정의
𝑍𝑍 ~ 𝑁𝑁(0, 1), 𝑉𝑉~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘), 𝑍𝑍 와 𝑉𝑉 는 서로 독립
⇒ 𝑇𝑇 =
𝑉𝑉/𝐾𝐾𝑍𝑍~ 𝑡𝑡(𝐾𝐾)
기호 : 𝑻𝑻 ~ 𝒕𝒕 𝒌𝒌
확률변수 T가 자유도 k인 t분포를 따름
t-분포
0 에 관하여 대칭
𝑇𝑇 ∼ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 충분히 큰 자유도에 대하여, 𝑇𝑇 ≈ 𝑁𝑁(0, 1)
표준정규분포에 비해 두꺼운 꼬리를 가짐.
t-분포의 확률밀도함수의 성질
𝑋𝑋
1, 𝑋𝑋
2, … , 𝑋𝑋
𝑛𝑛∼ 𝑖𝑖. 𝑖𝑖. 𝑑𝑑. 𝑁𝑁 𝜇𝜇, 𝜎𝜎
2⇒ 𝑆𝑆2 = 𝑛𝑛−11 ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 − �𝑋𝑋 2 , 𝑇𝑇 = 𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇 ∼ 𝑡𝑡(𝑛𝑛 − 1)
표본평균의 분포
(𝝈𝝈를 모를 때)𝛼𝛼/2
1 − 𝛼𝛼
−𝑡𝑡𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1) 𝑡𝑡𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1)
𝛼𝛼/2
𝝁𝝁의 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 % 신뢰구간
𝑇𝑇 = 𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇 ∼ 𝑡𝑡(𝑛𝑛 − 1)
𝑃𝑃 −𝑡𝑡
𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1) ≤
𝑆𝑆/ 𝑛𝑛�𝑋𝑋 −𝜇𝜇≤ 𝑡𝑡
𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1) = 1 − 𝛼𝛼
𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 𝑡𝑡
𝛼𝛼/2𝑛𝑛 − 1
𝑆𝑆𝑛𝑛≤ 𝜇𝜇 ≤ �𝑋𝑋 + 𝑡𝑡
𝛼𝛼/2(𝑛𝑛 − 1)
𝑆𝑆𝑛𝑛= 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 𝜇𝜇 ∈ �𝑋𝑋 − 𝑡𝑡
𝛼𝛼/2𝑛𝑛 − 1
𝑆𝑆𝑛𝑛, �𝑋𝑋 + 𝑡𝑡
𝛼𝛼/2𝑛𝑛 − 1
𝑆𝑆𝑛𝑛= 1 − 𝛼𝛼
모평균의 신뢰구간
(𝝈𝝈를 모를 때)모분산을 모를 때 모평균의 100(1-𝜶𝜶)% 신뢰구간
전자제품 수명 추정을 위한 가속시험, 10개의 시료에 대한 가속 수명이 아래의 표와 같을 때, 평균 가속 수명의 95% 신뢰구간을 구하여라.
̅𝑥𝑥 =
101∑
𝑖𝑖=1𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑖𝑖= 140, ∑
𝑖𝑖=1𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑖𝑖2= 196450, 𝑡𝑡
0.0259 = 2.262
𝑠𝑠2 = 1
𝑛𝑛 − 1 �𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅𝑥𝑥 2 = 1
𝑛𝑛 − 1 �𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 ̅𝑥𝑥 2 = 450
9 = 50
140 − 𝑡𝑡0.025 9 7.07
10 , 140 + 𝑡𝑡0.025 9 7.07
10 = [134.9,145.1]
예제
16명의 불면증 환자들을 랜덤하게 뽑아 수면시간을 조사하였더니 수면 시간의 표본평균은 𝟒𝟒. 𝟐𝟐시간이고 표본표준편차는 𝟏𝟏시간이 나왔다. 수면시 간이 정규분포를 한다고 가정할 때 이 환자들의 평균 수면시간의 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟓 신뢰구간을 구하시오.
풀이
예제 6.5
풀이
① 정규모집단으로 모분산을 모르며 표본크기 16이 30 미만
② 𝑡𝑡 −분포에 의한 신뢰구간을 계산
③ 𝑥𝑥 = 4.5, s = 1 을 이용하여 95% 신뢰구간을 구함
④ 환자들의 평균 수면시간의 95% 신뢰구간 (𝑥𝑥 − 𝑡𝑡𝛼𝛼
2(𝑛𝑛 − 1) × 𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡𝛼𝛼
2(𝑛𝑛 − 1) × 𝑠𝑠𝑛𝑛 ) = 4.5 ± 2.1315 116
=4.5 ± 0.5329 = (3.9671, 5.0329)
예제 6.5
표본추출 전 실험의 목적에 맞는 표본크기를 결정하는 법
• �𝑋𝑋의 100(1-α)% 오차한계 : 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛
• 100(1-α)% 오차한계를 𝑑𝑑 (신뢰구간의 길이를 2𝑑𝑑) 이하로 하기 위 한 최소의 표본크기는?
𝑧𝑧
𝛼𝛼/2 𝜎𝜎𝑛𝑛≤ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑛𝑛 ≥
𝑧𝑧𝛼𝛼/2𝑑𝑑 𝜎𝜎 2인 최소의 정수 𝜎𝜎를 모를 경우
•표본추출전이므로 𝑠𝑠2을 계산할 수 없음
•과거자료를 이용하여 표본표준편차를 계산
•범위/4를 𝜎𝜎의 추정값으로 사용하기도 함
모평균 추정에서 표본크기 결정
제 6장 추정
6.1 통계적 추론의 기본 개념 6.2 점추정과 구간추정
6.3 구간추정
6.4 모분산 추정
𝝈𝝈
𝟐𝟐= ?
𝝈𝝈
𝟐𝟐= ?
𝑺𝑺
𝟐𝟐= 𝟏𝟏
𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 �(𝑿𝑿
𝒊𝒊− �𝑿𝑿)
𝟐𝟐 카이제곱분포 이용
정규분포에서의 랜덤표본에서 표본분산과 관계되는 분포
정의
𝑍𝑍1, 𝑍𝑍2, … , 𝑍𝑍𝑘𝑘 가 서로 독립인 표준정규확률변수일 때, 𝑉𝑉 = 𝑍𝑍12 + 𝑍𝑍22 + … + 𝑍𝑍𝑘𝑘2 의 확률분포
분포의 표기
• 𝑉𝑉 ~ 𝜒𝜒2 𝑘𝑘
• 확률변수 𝑉𝑉는 자유도가 𝑘𝑘인 카이제곱분포를 따른다
카이제곱분포
0 Z
0 Z
𝑽𝑽~ 𝝌𝝌
𝟐𝟐(𝒌𝒌) 의 확률밀도함수의 형태
•자유도 𝑘𝑘의 값에 따라 형태가 다름
• 𝐸𝐸 𝑉𝑉 = 𝑘𝑘, Var(𝑉𝑉) = 2𝑘𝑘
카이제곱분포의 형태
카이제곱분포에서의 100(1-α)백분위수 : 𝑷𝑷 𝑽𝑽 > 𝒙𝒙 = 𝜶𝜶 인 𝒙𝒙
𝜒𝜒
20.025(5) = 12.83
⇔ P V ≥ 12.83 = 0.025, 𝑉𝑉~𝑥𝑥
2(5)
𝒙𝒙
𝟐𝟐분포에서의 백분위수
)
2(
α k
χ
𝛼𝛼
𝝌𝝌
𝟐𝟐분포표 (부록 6) : 𝒌𝒌와 𝜶𝜶에 대한 𝝌𝝌
𝜶𝜶𝟐𝟐(𝒌𝒌) 값
𝜒𝜒20.05(1) = 3.84
𝜒𝜒20.025(5) = 12.83, 𝜒𝜒20.01(20) = 37.57 𝑃𝑃 𝑉𝑉 > 𝜒𝜒𝛼𝛼2 𝑘𝑘 = 𝛼𝛼
χ
2분포의 가법성
𝑉𝑉1~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘1), 𝑉𝑉2~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘2), 𝑉𝑉1과 𝑉𝑉2 가 서로 독립
⇒ 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2~ 𝜒𝜒2(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)
𝒙𝒙
𝟐𝟐의 성질
자유도에 따른 카이제곱분포 밀도함수의 변화
관측값에 대한 가정 : 𝑿𝑿
𝟏𝟏, 𝑿𝑿
𝟐𝟐, … , 𝑿𝑿
𝒏𝒏∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈
𝟐𝟐𝑺𝑺
𝟐𝟐=
𝒏𝒏−𝟏𝟏𝟏𝟏∑
𝒊𝒊=𝟏𝟏𝒏𝒏𝑿𝑿
𝒊𝒊− �𝑿𝑿
𝟐𝟐의 분포는?
𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2𝜎𝜎2
∼ 𝜒𝜒
2𝑛𝑛 − 1
모분산의 추정에 관한 가정 및 분포
1 − 𝛼𝛼
𝛼𝛼/2 𝛼𝛼/2
𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒2 𝑛𝑛 − 1
잔차제곱합/분산은
카이제곱분포를 따른다.
𝑿𝑿
𝟏𝟏− �𝑿𝑿
𝟐𝟐𝑿𝑿
𝟐𝟐− �𝑿𝑿
𝟐𝟐독립아니다
𝑿𝑿𝟏𝟏 − 𝟏𝟏
𝒏𝒏 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟏𝟏 ⋯ + 𝑿𝑿𝒏𝒏
𝟐𝟐
𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
𝒏𝒏 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟏𝟏 ⋯ + 𝑿𝑿𝒏𝒏
𝟐𝟐
관측값에 대한 가정 : 𝑿𝑿
𝟏𝟏, 𝑿𝑿
𝟐𝟐, … , 𝑿𝑿
𝒏𝒏∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈
𝟐𝟐𝑺𝑺
𝟐𝟐=
𝒏𝒏−𝟏𝟏𝟏𝟏∑
𝒊𝒊=𝟏𝟏𝒏𝒏𝑿𝑿
𝒊𝒊− �𝑿𝑿
𝟐𝟐의 분포는?
𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2𝜎𝜎2
∼ 𝜒𝜒
2𝑛𝑛 − 1
모분산의 추정에 관한 가정 및 분포
1 − 𝛼𝛼
𝛼𝛼/2 𝛼𝛼/2
𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 (𝑛𝑛 − 1) 𝜒𝜒2 𝑛𝑛 − 1
잔차제곱합/분산은
카이제곱분포를 따른다.
(𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)𝑺𝑺
𝟐𝟐= (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 �(𝑿𝑿
𝒊𝒊− �𝑿𝑿)
𝟐𝟐(𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)𝑺𝑺
𝟐𝟐𝝈𝝈
𝟐𝟐= ∑(𝑿𝑿
𝒊𝒊− �𝑿𝑿)
𝟐𝟐𝝈𝝈
𝟐𝟐 𝑿𝑿
𝟏𝟏, 𝑿𝑿
𝟐𝟐, … , 𝑿𝑿
𝒏𝒏∼ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑵𝑵(𝝁𝝁, 𝝈𝝈
𝟐𝟐)
𝝈𝝈
𝟐𝟐에 관한 추론
•점추정 : �𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 = 𝑛𝑛−11 ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 − �𝑋𝑋 2
•구간추정 : 𝜎𝜎2의 신뢰구간
𝑃𝑃 𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 ≤ 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2
𝜎𝜎2 ≤ 𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 1 − 𝛼𝛼
⇒ 𝑃𝑃 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2
𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 ≤ 𝜎𝜎2 ≤ 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2
𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 1 − 𝛼𝛼
∴ 𝜎𝜎
2의 100(1 − 𝛼𝛼)% 신뢰구간 :
𝜒𝜒 𝑛𝑛−1 𝑆𝑆2𝛼𝛼/22 𝑛𝑛−1
,
𝜒𝜒 𝑛𝑛−1 𝑆𝑆21−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛−1
모분산의 신뢰구간
어느 볼베어링 생산공장에서 지름의 크기를 𝝈𝝈 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐mm로
품질관리를 하고 있다. 아래와 같이 10개의 시료를 추출하여 아래 와 같이 크기를 기록하였을 때, 𝝈𝝈의 95% 신뢰구간을 구하라.
7.41, 7.44, 7.65, 7.46, 7.48, 7.38, 7.42, 7.55, 7.54, 7.61
• 계산에 필요한 백분위수 : 𝜒𝜒0.0252 9 = 19.0228, 𝜒𝜒0.9752 9 = 2.7004
• 𝜎𝜎2의 95% 신뢰구간
𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2
𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2
𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 9(0.0081) 19.0228 ,
9(0.0081)
2.7004 = 0.00382,0.026996
𝝈𝝈의 95% 신뢰구간 : 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = [𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟒𝟒]
예제
1 − 𝛼𝛼
0.025
0.025 𝜒𝜒2 9
어느 볼베어링 생산공장에서 지름의 크기를 𝝈𝝈 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐mm로
품질관리를 하고 있다. 아래와 같이 10개의 시료를 추출하여 아래 와 같이 크기를 기록하였을 때, 𝝈𝝈의 95% 신뢰구간을 구하라.
7.41, 7.44, 7.65, 7.46, 7.48, 7.38, 7.42, 7.55, 7.54, 7.61
• 계산에 필요한 백분위수 : 𝜒𝜒0.0252 9 = 19.0228, 𝜒𝜒0.9752 9 = 2.7004
• 𝜎𝜎2의 95% 신뢰구간
𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2
𝜒𝜒𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 − 1 𝑠𝑠2
𝜒𝜒1−𝛼𝛼/22 𝑛𝑛 − 1 = 9(0.0081) 19.0228 ,
9(0.0081)
2.7004 = 0.00382,0.026996
𝝈𝝈의 95% 신뢰구간 : 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = [𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐, 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟒𝟒]
예제
𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ≤
𝝈𝝈𝟐𝟐
𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 ≤
𝟏𝟏
𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ ∑ 𝑿𝑿𝒊𝒊 − �𝑿𝑿 𝟐𝟐
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗
𝝈𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ≤
𝝈𝝈𝟐𝟐
𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 ≤
𝟏𝟏
𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟐𝟐
= 𝑷𝑷 𝝈𝝈𝟐𝟐 ∈ ( 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟖𝟖 ,
𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒)