2.5 분석모형: 등가속도 운동하는 입자

2장. 일차원에서의 운동

(Motion in One Dimension)

2.1 위치, 속도 그리고 속력 2.2 순간 속도와 속력

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자 2.4 가속도

2.5 분석모형: 등가속도 운동하는 입자

2.6 자유 낙하 물체

• 고전 역학을 공부하는 첫 번째 단계

- 운동을 일으키는 원인(힘)을 고려하지 않고 공간과 시간으로 운동을 기술:

운동학(Kinematics)

- 운동하는 물체의 위치는 연속적으로 변화: 병진, 회전, 진동 - 우선, 병진 운동만 다룸

- 2 장에서는 1차원 운동, 즉 직선 운동만 고려

- 운동하는 물체를 입자(particle)로 가정: 질량만 있고 크기는 무시

2

- 물체 운동의 기본 형태 : 병진, 회전, 진동 - 입자 모형 (Particle Model) :

물체를 점과 같이 질량만 있고 크기와 모양을 무시하여 다루는 모형

◎ 낙체 운동

: (가장 기본적인 물체의 운동) (§2-6 자유 낙하 물체)

2.1 위치, 속도 및 속력

(Position, Velocity and Speed)

2.1 위치, 속도 및 속력

(Position, Velocity and Speed)

입자: 점과 같은 물체, 즉 질량만 있고 크기가 무시되는 물체

위치(position) : 좌표계의 원점으로부터의 거리 (

입자의 위치를 항상 알고

있으면 입자의 운동을 완전히 기술

)

표, 그림, 그라프

등으로 표현할 수 있다.

변위(displacement) : 어떤 시간 간격 동안 위치의 변화량,

i

f x

x x  



벡터량

거리(distance) : 이동한 거리

스칼라량

◎ Displacement (변위)

- Δ 델타 기호 사용 : 변화량 - 물체의 위치의 변화 :

- 변위의 부호 (일반적인 적용)

+ :

x

₂ >

x

₁,

x

축상의 오른쪽 방향 - :

x

₂ <

x

₁,

x

축상의 왼쪽 방향 - 변위의 요소 : 크기, 방향 벡터량

i

f

x

x x  



Define

) ◎

Average Speed

(

cf

)

평균속력, 평균 속도

) : - (시간에 대한) 거리의 변위

(주의) : Velocity (속도) 는 Vector 이고 Speed(속력) 는 Scalar이다.

따라서 엄밀하게는 평균 속력이라 해야한다.

i f

i f

avg

x

t t

x x

t v x



 



 

평균속도:

, 벡터량 (단위: m/sec)

t v

_avg

d

 

평균속력:

스칼라량 (단위: m/sec)

크기와 방향이 모두 중요

크기만이 의미를 가짐

일반적으로 평균 속도의 크기와 평균 속력은 일치하지 않음.

Aside) o 자유 낙하시의 평균속력

평균속도와 평균속력의 계산 예제 2.1

☆

sec / 5 . sec 2

50 127 sec

50

105 22

sec 50

) 53 ( 52

) 30 52

( m m m m m m m

v   

 





 

 총이동시간 이동거리 총

평균속력 :

Sol

평균속도 :

sec / 7 . sec 1

50 83 sec

0 sec 50

30

53 m m m

t t

x v x

i f

i

f

   





 



 

 총이동시간

이동거리 따른

위치에

2.2 순간 속도와 속력

(Instantaneous Velocity and Speed)

2.2 순간 속도와 속력

(Instantaneous Velocity and Speed)

dt dx t

v x

x t





 





lim

0

t s dt

v ds

t



 





lim

0

순간속도(속도):

순간속력:

^{(순간속도의 크기)}

- 주어진 순간 (시간)

t

에서의 속도

v

"Instantaneous Speed"

- 1st order differential equation! (1차 도함수) - Derivative of

x

- 임의의 시간

t

에서의 접선의 기울기

x

n

y   nx

^n1

dx dy

미분 (접선의 기울기)

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자

(Analysis Models: The Particle Under Constant Velocity)

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자

(Analysis Models: The Particle Under Constant Velocity)

t x x

t

v

_{x avg}

x

^{f i}



 



 

, 이므로

t v x

x

_f



_i



_x



위치-시간 그래프의 기울기:

양(+):

v

_x는 양(+)이고 자동차는 x 가 증가하는 방향으로 움직임 음(-): v_x는 음(-)이고 자동차는 x 가 작아지는 방향으로 움직임

0 : 순간 속도는 영이고 자동차는 순간적으로 정지.

Question) 순간속력의 개념이 필요한 이유는? → 자유낙하와 가속도

(From Galileo Galilei(1564í¡1642) to Issac Newton(1642í¡ 1727)

입자의 속도가 일정(등속)하다면 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간 속도는 이 구간에서의 평균속도와 같다. 즉, 순간속도 = 평균속도

v

x

(

는 일정)

t v x

x

_f



_i



_x



i f

xi x xf

avg

x

t t

v v

t a v



 



 

평균가속도 ,

dt dv t

a v

^x

t

x





 



lim

 0

순간가속도

2.4 가속도

(Acceleration)

2.4 가속도

(Acceleration)

2 2

dt x d dt

dx dt

d  



 



 

o Acceleration (가속도) : (시간에 대한) 속도의 변화

가속도 운동: 속도가 시간에 따라 변할 때 물체의 운동

등가속도

a

_x,avg

 a

_x

cf

) 우리는 등가속도 운동만 다룬다

Fig. 2.7, p. 30

미분 적분

수학: 적분상수 필요함

물리: 초기값

[초기위치, 초속도 등 필요함]

x

,

v

_x 및

a

_x 의 관계를 나타내는 그래프 예제 2.4

☆

위치-시간 그래프에서

- 0~

t

_A :

x

는 2차 함수, 기울기 + 증가

→

v

_x 선형 증가, 기울기 +

⇒

a

_x 일정, +값 (츨발, 액셀)

- t

_A~

t

_B :

x

는 1차 함수 (선형), 기울기 +

→

v

_x 등속도 = 일정, + 값

⇒

a

_x = 0 (등속)

- t

_B~

t

_D :

x

는 2차 함수, 기울기 + 감소

→

v

_x 선형 감소, 기울기 -값

⇒

a

_x 일정, -값 (감속, 브레이크)

- t

_D~

t

_E :

x

는 2차 함수, 기울기 - 감소

→

v

_x 선형 감소, 기울기 -값

⇒

a

_x 일정, -값 (후진 출발, 액셀)

cf

) at

t

_D :

x

는 기울기 = 0 (극값)

→

v

_x = 0 (정지)

- t

_E ~

t

_F :

x

는 1차 함수, 기울기 – 증가

→

v

_x 선형 음의 감소, 기울기 -값

⇒

a

_x 일정, -값 (후진 중 브레이크 )

- t

_F~ :

x

는 상수 ⇒ (정지)

cf

) A,B,E,F에서의 가속도 변화는 실제로는 발생하지 않는다

cf

) 엘리베이터 출발 상승가속, 등속상승, 상승 감속, 정지(방향 전환), 하강가속, 하강 감속, 정지

o 등가속도

- if 순간 가속도 = 평균 가속도 , 즉 가속도가 일정할 경우 ;

cf

) 일반적으로 우리는 등가속도 운동만 다룬다

2.5 등가속도 운동을 하는 입자

(The Particle Under Constant Acceleration)

2.5 등가속도 운동을 하는 입자

(The Particle Under Constant Acceleration)

a a a

a

_av

  

cf

) - 자유 낙하시 낙체의 가속도

※ 실제 중력 가속도 g의 값은 9.8㎨이다. 따라서 위의 계산은 틀렸다.

(이유는 Δv₁ 대신에 <Δv₁>를 대입하였기 때문!)

◎ 가속도를 구하는 올바른 방법

※ 일차원 등가속도 운동 에서의 주요 공식 3가지

at v

v 

₀



2 0

0

2

1 at t

v x

x    x a v

v

²



₀²

 2 

--- (1) --- (2) --- (3)

cf

) 자유 낙하시의 가속도 9.8㎨을 중력가속도

g

라 한다.

 0

 



 

t v v

t

a v

^{xf xi}

v _xf  v _xi  a _x t

,

2

xf xi

avg x

v

v v 

 ^x

_f

^{ x}

_i

^{ v}

_x,avg

^{t }

₂¹

 ^v

_xi

^{ v}

_xf

 ^t

가속도가 일정(등가속)할 때 속도와 시간의 관계 (평균 가속도 = 순간 가속도)

o 자유 낙하시의 (중력) 가속도는 (t₀=0, y₀=0)로 잡아주었을 경우

2 2

1 2

1 ( )

t a t

v x

t v

v x

x

x xi

i

xf xi

i f













) (

2

2

2

i f

x xi

xf

v a x x

v   

만일 가속도가 0이라면? (등속)

t

소거한 경우 t 소거한 경우

2.6 자유 낙하 물체

(Freely Falling Objects)

2.6 자유 낙하 물체

(Freely Falling Objects)

지구상에서 운동하는 모든 물체는 지구의 중력에 의해 힘을 받는다

.

지구의 중력에 의해 발생하는 가속도는 물체의 질량과 무관 하게 일정하며, 이를 중력가속도(g = 9.8 m/sec²

)라고 한다.

공기와의 마찰을 무시하면 낙하하는 물체는 중력가속도에 의해서만 움직이며, 이런 경우를 자유낙하라고 한다.

이때 a = -g(연직 상방을 양의 방향으로 정할 때)이므로 앞의 일차원 직선 운동에 대한 식에 대입하여 그대로 사용할 수 있다.

xi

xf gt v

v   

i xi

f gt v t x

x   ₂ ^{1 2}  

초보자치고는 나쁘지 않은 던짐!

예제 2.7

V₀= 20.0 m/s h= 50.0 m (A) 돌멩이가 최고점에 도달한 시간

(B) 돌멩이의 최대 높이

(C) 돌멩이가 처음 위치로 되돌아왔을 때의 속도

☆

(D)

t〓5.00 s

일 때 돌멩이의 속도와 위치

Ex ) 야구에서의 예

◎ 간단한 교통 상식