평면벡터의 성분과 내적
이 단원에서는 평면에서의 위치벡터와 성분, 내적에 대해 알아보고, 이를 이용하여 직선 과 원의 방정식을 벡터로 나타내는 방법에 대해 알아본다.
보트의 이동 경로는 바람의 영향을 받는데 바람이 불어오는 방향에 따라 보트에 미치는 일의 양은 다르다. 이와 같이 물체에 힘을 가하면 힘의 방향에 따라 물체에 작용하는 힘의 크기가 다를 수 있는데, 이런 경우 일의 양은 우리가 배울 벡터의 내적을 이용하여 구할 수 있다.
또 컴퓨터 게임에서도 벡터를 이용하여 효율적으로 프로그램을 운용한다. 캐릭터에 그림자 효과를 넣어 실감 나는 3D 그래픽을 구현하거나 캐릭터와 게임 구조물들의 충 돌을 제어하고 캐릭터의 위치 판단을 효율적으로 하기 위해 벡터의 내적이 사용된다.
01 위치벡터와 평면벡터의 성분 02 평면벡터의 내적 03 직선과 원의 방정식
2
❶위치벡터의 뜻을 알고, 평면벡터와 좌표의 대응을 이해한다.
❷두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.
❸좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선과 원의 방정식을 구할 수 있다.
성취 기준
선분의 내분과 외분을 이해하고, 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.
수학 평면좌표 성취 기준❶
좌표평면 위의 두 점 A(-1, 3), B(2, 5)에 대하여 다음 점의 좌표를 구하 시오.
(1) 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 (2) 선분 AB를 3 : 2로 외분하는 점
다음을 만족시키는 각 h의 크기를 구하시오. (단, 0˘…h…90˘) (1) cos h=
(2) cos h=0 '3
2
1
3
삼각비의 뜻을 알고, 간단한 삼각비의 값을 구할 수 있다.
중학교 수학 3 삼각비 성취 기준❷
직선과 원의 방정식을 구할 수 있 다.
수학 직선의 방정식, 원의 방정식
성취 기준❸
다음 도형의 방정식을 구하시오.
(1) 두 점 (-1, 4), (1, 2)를 지나는 직선
(2) 점 (1, 3)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원
4
다음 두 점 사이의 거리를 구하시오.
(1) A(1, 3), B(4, 2) (2) A(-2, 3), B(5, 4)
2
두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.
수학 평면좌표 성취 기준❶
V V
V
V
학습 계획 다음 빈칸에 스스로 학습 계획을 세워 꼭 실천해 보자.
복습할 내용
중학교 수학 삼각비
수학 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식
01 위치벡터와 평면벡터의 성분 02 평면벡터의 내적
03 직선과 원의 방정식 이 단원의 내용
스스로 점검 하고 계획 하기
위치벡터
•위치벡터의 뜻을 알고, 평면벡터와 좌표의 대응을 이해한다.
위치벡터와 평면벡터의 성분
0 1
평면에서 한 점 O를 벡터의 시점으로 정하면 임의의 점 P 에 대하여 OP≥=p¯인 벡터 p¯가 하나로 정해진다.
역으로 임의의 벡터 p¯에 대하여 p¯=OP≥인 점 P의 위치도 하나로 정해진다. 즉 시점을 한 점 O로 고정하면 한 점 P와 이 점의 위치를 나타내는 벡터 OP≥는 일대일로 대응한다.
이와 같이 평면에서 한 점 O를 시점으로 하는 벡터 OP≥를 점 O에 대한 점 P의 위치벡터라고 한다.
일반적으로 평면에서 위치벡터의 시점 O는 좌표평면의 원점으로 잡는다.
이제 AB≥를 점 A와 점 B의 위치벡터로 나타내어 보자.
오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, b¯라고 하면 OA≥= a¯, OB≥= b¯이므로
AB≥=OB≥-OA≥= b¯-a¯
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면에 벡터 a¯, b¯, c¯, d¯, e¯가 있다.
다음 물음에 답해 보자.
서로 같은 벡터들을 모두 시점이 원점이 되도록 평행 이동하면 각각의 종점들이 어떻게 되는지 설명해 보자.
2
서로 같은 벡터끼리 분류해 보자.
1
생각의 싹
b¯ d¯
a¯ e¯
c¯
O x
y
‘원점 O에 대한 점 P의 위치벡터’를 간단히‘점 P의 위치벡터’라고 한다.
원점 O의 위치벡터는 영 벡터 0¯이다.
점 P
벡터 OP≥
벡터 종점 OP≥의 점 P의
위치 벡터
p¯
P
O
b¯
b¯-a¯
a¯
O A
B
위치벡터의 성질
두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, `b¯라고 하면 AB≥=b¯-a¯
세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, c¯라고 할 때, AB≥+2BC≥를 a¯, `b¯, c¯
로 나타내면 다음과 같다.
AB≥+2BC≥=(OB≥-OA≥)+2( - )
= -OB≥+ OC≥=-a¯-b¯+ c¯
확인하기
세 점 A, B, C의 위치벡터를 a¯, `b¯, c¯라고 할 때, AB≥+3BC≥-CA≥를 a¯, `b¯, c¯로 나타 내시오.
문제
1
선분을 내분하는 점과 외분하는 점의 위치벡터를 알아보자.
두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, `b¯라고 할 때, 선분 AB를 m : n (m>0, n>0) 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 p¯는 다음과 같음을 보이시오.
p¯=mb¯+na¯
m+n
1
함께 해결 하기
p¯를 어떻게 나타낼 수 있는가?
점 P는 선분 AB 위의 점이고 OP≥=OA≥+AP≥이므로 OA≥와 AP≥를 이용하여 OP≥(=p¯)를 나타 낼 수 있다.
AP≥를 두 점 A, B의 위치벡터 a¯, b¯로 나타 낸다.
p¯를 구하는 다른 방법 은 없는가?
점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이므로 AP≥= AB≥
AB≥=b¯-a¯이므로 AP≥= m (b¯-a¯) m+n m
m+n
OP≥=OB≥+BP≥이므로 OB≥와 BP≥를 통해 OP≥(=p¯)를 구할 수도 있다.
OP≥=OA≥+AP≥를 이 용하여` p¯를 구한다.
OP≥=OA≥+AP≥이므로 p¯=a¯+ (b¯-a¯)=
풀이 참조 mb¯+na¯
m+n m
m+n
서로 다른 세 점 A, `P,
`B가 한 직선 위의 점이므 로 AP≥=kAB≥의 꼴로 나 타낼 수 있다.
(k+0인 실수)
수직선 위의 두 점 A(a), B(b)를 이은 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P 의 좌표는
이다.
mb+na m+n
b¯
a¯ p¯ P m
n O
A
B
두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, b¯라고 할 때, 선분 AB의 중점 M의 위치벡터 m≤은 m≤=a¯+b¯이다.
2 참고
서로 다른 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, b¯라고 할 때, 선분 AB를 m : n (m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점 Q의 위치벡터 q¯는 다음과 같음을 보이시오.
q¯=mb¯-na¯
m-n
문제
2
서로 다른 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, b¯라고 할 때, 다음 점의 위치벡터를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점 (2) 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점
문제
3
q¯
b¯
a¯ m
n
O Q
A
B
서로 다른 세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, c¯라고 할 때, 삼각형 ABC의 무게중심 G의 위치벡터 g¯는 다음과 같음을 보이시오.
g¯=a¯+b¯+c¯
3
2
함께 해결 하기
g¯를 어떻게 나타낼 수 있는가?
선분 BC의 중점을 M이라고 하 면 점 G는 삼각형 ABC 위의 무 게중심이므로 중선 AM을 2 : 1 로 내분하는 점이다. 따라서 OA≥
와 OM≥을 통해 OG≥(=g¯)를 나 타낼 수 있다.
점 M의 위치벡터 m≤
을 두 점 B, C의 위치 벡터 b¯, c¯로 나타낸다.
선분 BC의 중점을 M이라 하고, 점 M의 위치벡터를 m≤이라
고 하면 m≤=b¯+c¯ yy ①
2
g¯를 세 점 A, B, C의 위치벡터 a¯, b¯, c¯로 나 타낸다.
무게중심 G는 선분 AM을 2 : 1로 내분하는 점이므로
g¯ = =;3!;a¯+;3@;m≤ yy ②
①, ②에 의하여`` g¯ =;3!;a¯+;3@;{ }=
풀이 참조 a¯+b¯+c¯
3 b¯+c¯
2 2m≤+a¯
2+1
2 1
C G
M m≤
g¯
O A
B b¯
a¯
c¯
삼각형 ABC의 무게중심을 G라고 할 때, GA≥+GB≥+GC≥=0¯이 성립함을 보이시오.
문제
4
문제 해결
C G
A
B
좌표평면에서 위치벡터와 좌표의 관계에 대하여 알아보자.
좌표평면 위의 두 점 E¡(1, 0), E™(0, 1)의 위치벡터 OE¡≥, OE™≥를 각각 e¡≤≤, e™≤로 나타낸다. 이때 |e¡≤|=|e™≤|=1 이므로 e¡≤, e™≤는 모두 단위벡터이다.
이제 좌표평면 위의 임의의 점 A(a¡, a™)의 위치벡터 a¯
를 e¡≤, e™≤로 나타내어 보자.
점 A에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 A¡(a¡, 0), A™(0, a™)라고 하면
OA¡≥=a¡e¡≤, OA™≥=a™e™≤이므로
a¯=OA≥=OA¡≥+OA™≥=a¡e¡≤+a™e™≤
와 같이 나타낼 수 있다.
이때 a¡, a™를벡터 a¯의 성분이라고 하며, a¡을 x성분, a™를 y성분이라고 한다.
또 벡터 a¯를 그 성분을 사용하여 a¯=(a¡, a™)
와 같이 나타낸다.
이때 점 A(a¡, a™)와 그 위치벡터 a¯=(a¡, a™)가 일대일로 대응됨을 알 수 있다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
평면벡터의 성분
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 E¡(1, 0), E™(0, 1) 의 위치벡터를 각각 e¡≤, e™≤라고 할 때, 다음 물음에 답해 보자.
벡터 b¯를 b¯= e¡≤+ e™≤의 꼴로 나타낼 수 있는지 생각해 보자.
2
시점이 원점이고 벡터 a¯와 동일한 벡터 b¯를 그려 보자.
1
생각의 싹
a¯
e¡¯
e¯™
O x
y
E¡
E™
2 4
2 4
E¡(1, 0)
O x
y
e¡¯
e¯™
E™(0, 1)
1
1 a¯
a¡
a™
O x
y
e¡¯
e¯™
A(a¡, a™)
A¡
A™
평면벡터의 성분 표시
좌표평면 위의 점 A(a¡, a™)의 위치벡터를 a¯라고 하면 a¯=(a¡, a™)
x성분≈
≈y성분 a¯=a¡e¡≤+a™e™≤
=( a¡ , a™ )
확인하기 점 A(-3, 5)의 위치벡터를 a¯라 하고 e¯¡=(1, 0), e¯™=(0, 1)일 때, a¯= e¯¡+ e¯™=( , )
문제
5
다음에서 e¡≤, e™≤로 나타낸 벡터는 성분으로, 성분으로 나타낸 벡터는 e¡≤, e™≤로 나타내 시오. (단, e¡≤=(1, 0), e™≤=(0, 1)이다.)(1) a¯=e¡≤-2e™≤ (2) b¯=-4e¡≤-3e™≤
(3) c¯=(-1, 3) (4) d¯=(0, 5)
a¯=(a¡, a™)일 때, 원점 O와 점 A(a¡, a™)에 대하여 a¯=OA≥이므로 벡터 a¯의 크기는 선분 OA의 길이와 같다.
|a¯|=OA”="“a¡¤ +a™¤
또 점 A(a¡, a™)의 위치벡터 a¯는 a¯=(a¡, a™)로 유일 하게 표현되므로 두 벡터 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)가 서 로 같으면 대응하는 성분이 각각 같다. 즉
a¯=b¯ HjjK a¡=b¡, a™=b™
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
a¡
a™
O x
y
A(a¡, a™) a¯
평면벡터의 크기와 두 평면벡터가 서로 같을 조건 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)일 때,
❶|a¯|="“a¡¤ +a™¤
❷a¯=b¯HjjK a¡=b¡, a™=b™
(1) a¯=(1, -2)일 때, |a¯|="“1¤ +( )¤ =
(2) a¯=(x, 2), b¯=(-1, y)일 때, a¯=b¯이면 x= , y=
확인하기
다음 벡터의 크기를 구하시오.
(1) a¯=(3, 4) (2) b¯=(-1, 5)
문제
6
두 벡터 a¯=(k-l, 2), b¯=(l+1, -l-4)가 서로 같을 때, 두 실수 k, l의 값을 구 하시오.
문제
7
평면벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 성분으로 나타내어 보자.
두 평면벡터 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)에 대하여
a¯=a¡e¡≤+a™e™≤, b¯=b¡e¡≤+b™e™≤
이므로 다음이 성립한다.
❶`a¯+b¯=(a¡e¡≤+a™e™≤)+(b¡e¡≤+b™e™≤)
=(a¡+b¡)e¡≤+(a™+b™)e™≤
=(a¡+b¡, a™+b™)
❷`a¯-b¯=(a¡e¡≤+a™e™≤)-(b¡e¡≤+b™e™≤)
=(a¡-b¡)e¡≤+(a™-b™)e™≤
=(a¡-b¡, a™-b™)
❸`k가 실수일 때, ka¯=k(a¡e¡≤+a™e™≤)
=ka¡e¡≤+ka™e™≤
=(ka¡, ka™)
이와 같이 벡터를 그리지 않고도 성분을 이용하여 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 나타낼 수 있다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
평면벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배의 성분 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)일 때,
❶`a¯+b¯=(a¡+b¡, a™+b™)
❷`a¯-b¯=(a¡-b¡, a™-b™)
❸`ka¯=(ka¡, ka™) (단, k는 실수)
a¯=(2, 1), b¯=(1, -3)일 때,
(1) a¯+b¯=(2, 1)+(1, -3)=(2+ , +(-3))=( , ) (2) a¯-b¯=(2, 1)-(1, -3)=(2-1, 1-( ))=(1, ) (3) 2a¯=(2_2, _1)=(4, )
확인하기
a¯=(3, -2), b¯=(2, 1), c¯=(1, -1)일 때, 다음 벡터를 성분으로 나타내시오.
(1) a¯+2b¯ (2) 3(2a¯-b¯)-2(a¯-3b¯) (3) a¯-2b¯+3c¯ (4) 2(a¯+3b¯)+5(-2a¯+c¯)
문제
8
b¯
a¯ a¡
a™
b¡
b™
a¡+b¡
a™+b™
a¯+b¯
O x
y
b¯
a™
b™
b¡
a¡
a™-b™
a¡-b¡
O
a¯
x y
a¯-b¯
a¯=(2, -1), b¯=(-1, 1)일 때, c¯=(7, -5)를 ka¯+lb¯의 꼴로 나타내시오. (단, k, l은 실수이다.)
3
함께 해결 하기
실수 k와 l을 어떻게 구할 수 있을까?
c¯=ka¯+lb¯에서 c¯와 ka¯+lb¯의 성분을 비교하여 k, l의 값을 구한다.
c¯=ka¯+lb¯에서 c¯와 ka¯+lb¯를 각각 성분 으로 나타낸다.
c¯=ka¯+lb¯를 성분으로 나타내면 (7, -5)=k(2, -1)+l(-1, 1)
=(2k, -k)+(-l, l)
=(2k-l, -k+l)
c¯=ka¯+lb¯에서 x성분 과 y성분을 각각 비교 한다.
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여 2k-l=7, -k+l=-5
이 식을 연립하여 풀면 k=2, l=-3
따라서 c¯를 ka¯+lb¯`의 꼴로 나타내면 c¯=2a¯-3b¯
c¯=2a¯-3b¯
a¯=(-1, 2), b¯=(3, 1), c¯=(8, -2)일 때, c¯=ka¯+lb¯를 만족시키는 두 실수 k, l 의 값을 구하시오.
문제
9
모눈종이 위에 세 벡터 a¯, b¯, c¯를 오른쪽 그림과 같이 나타내었 다. 벡터 c¯를 벡터 a¯, b¯ 로 나타내시오.
문제
10
좌표평면 위의 두 점 A(a¡, a™), B(b¡, b™)에 대하여 벡터 AB≥를 성분으로 나타 내고, 그 크기를 구해 보자.
OA≥=(a¡, a™), OB≥=(b¡, b™)이므로 AB≥=OB≥-OA≥
=(b¡, b™)-(a¡, a™)
=(b¡-a¡, b™-a™) 이다.
따라서 벡터 AB≥의 크기는
|AB≥|="‘(b¡-a¡)¤ ‘+(b™-a™)¤
이다.
a¯ b¯
c¯
AB≥
O x
y
A(a¡, a™)
B(b¡, b™)
(b¡-a¡, b™-a™)
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 점에 의한 평면벡터의 성분과 크기 두 점 A(a¡, a™), B(b¡, b™)에 대하여
❶AB≥=(b¡-a¡, b™-a™)
❷|AB≥|="‘(b¡-a¡)¤ ‘+(b™-a™)¤
두 점 A(2, 1), B(6, 4)에 대하여
AB≥=(6-2, - )=(4, ), |AB≥|="‘4¤ + ¤ =
확인하기
다음 두 점 A, B에 대하여 벡터 AB≥를 성분으로 나타내고, 그 크기를 구하시오.
(1) A(1, 5), B(2, -3) (2) A(-2, 3), B(3, 1)
문제
11
평행사변형 ABCD의 세 꼭짓점의 좌표가 각각 A(3, -4), B(2, -1), C(4, 1)일 때, 다음 단계에 따라 점 D의 좌표를 구해 보시오.
문제
12
단계 1 점 D의 좌표를 (x, y)라고 할 때, 두 벡터 AB≥, DC≥를 각각 성분으로 나타내 시오.
단계 2 평행사변형의 조건을 이용하여 두 벡터 AB≥와 DC≥의 관계를 말하시오.
단계 3 두 벡터 AB≥와 DC≥의 관계를 이용하여 점 D의 좌표를 구하시오.
단계형
추론
좌표평면 위의 두 점 A(1, 0), B(2, 1)과 직선 y=x+1 위를 움직 이는 점 P에 대하여 |AP≥+BP≥|의 최솟값을 다음 두 학생의 의견 에 따라 서로 다른 방법으로 각각 구해 보자.
민지
점 P가 y=x+1 위의 점이므로 성분으로 나타내면 P(x, x+1)이고 AP≥+BP≥=(x-1, x+1)+(x-2, x)=(2x-3, 2x+1)이야.
이를 활용하여 |AP≥+BP≥|의 최솟값을 구할 수 있을 것 같은데?
민재
난 다르게 생각해 봤어!
점 M을 두 점 A, B의 중점이라고 하면 AP≥+BP≥=-2_ =-2PM≥이라는 것을 활용 하여 |AP≥+BP≥|의 값이 최소가 되는 점 P의 위치와 그 최솟값을 구할 수 있을 것 같아.
PA≥+PB≥
2
y=x+1 1
-1 A 2
B
O P
x y
평면벡터의 내적
•두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.
평면벡터의 내적
0 2
생각의 싹에서 상자의 이동 방향으로 작용한 힘의 크기는 |F≤|가 아니라
|F≤|cos h이므로 상자에 작용한 일의 양은 |F≤||s¯|cos h이다.
영벡터가 아닌 두 평면벡터 a¯, b¯를 각각 점 O를 시점 으로 하는 두 위치벡터 OA≥, OB≥로 나타낼 때,
h=∠AOB(0˘…h…180˘)를 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루 는 각의 크기라고 한다.
생각의 싹에서 두 벡터 F≤, s¯와 두 벡터가 이루는 각의 크기 h를 이용하여 일의 양 |F≤||s¯|cos h를 구하였는데, 일반적으로 두 벡터 a¯, b¯와 두 벡터가 이루는 각 의 크기 h를 이용하여 |a¯||b¯|cos h라는 하나의 값을 정할 수 있다.
이때 |a¯||b¯|cos h를 두 평면벡터 a¯와 b¯의내적이라고 하며, 이것을 기호로 a¯∑`b¯
와 같이 나타낸다. 즉
a¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos h 이다.
또 a¯=0 또는 b¯=0일 때에는 a¯∑`b¯=0으로 정한다.
힘을 작용하여 물체를 이동시킬 때, 힘이 물체에 한 일의 양은 다음과 같이 정의한다.
(일의 양)=(물체의 이동 방향으로 작용하는 힘의 크기)_(물체의 이동 거리) 오른쪽 그림과 같이 수평면에서 상자에 끈을 매달아 이동시
키고 있다. 상자를 끄는 힘을 F≤, 상자의 위치 변화를 s¯라고 할 때, 상자를 끄는 힘의 크기는 20 N, 상자의 이동 방향과 끄는 방향이 이루는 각의 크기 h는 30˘이다. 다음 물음에 답 해 보자.
상자의 이동 거리 |s¯|가 2 m일 때, 상자에 작용한 일의 양을 구해 보자.
2
상자를 끄는 힘 F≤가 상자의 이동 방향으로 작용한 힘의 크기를 구해 보자.
1
생각의 싹
h s¯
F¯
s¯
지면 지면
h A
B
b¯
O a¯
수학Ⅰ의 삼각함수를 배 우면 90˘<h…180˘일 때 cos h<0이며,
cos h=-cos(180˘-h) 인 사실을 알 수 있다.
그라스만(Grassmann, H. G., 1809~1877) 독 일의 수학자로 벡터의 내 적을 연구하여 벡터 해석 의 기초를 닦았다.
[출처: Boyer, C. B. &
Merzbach, U. C.(양영오, 조윤동 역), “수학의 역사・
하”]
힘의 단위는 N(뉴 턴)이고, 1 N의 힘 으로 1 m의 거리를 이동했을 때의 일의 양을 1 J(줄)이라고 한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
벡터의 내적 a¯∑`b¯는 벡터 가 아니라 실수 값이다.
h b¯
A B
O
a¯
.
b¯= a¯b¯ cos h b¯ cos h
a¯
a¯
평면벡터의 내적
두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 h(0˘…h…180˘)일 때, a ¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos h
특히 a¯∑`a¯=|a¯||a¯|cos 0˘=|a¯|¤
|a¯|=4, |b¯|=3인 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 60˘일 때, a¯∑`b¯=4_ _cos =
확인하기
|a¯|=2, |b¯|=1인 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 0˘, 45˘, 90˘일 때의 a¯∑`b¯
의 값을 차례로 구하시오.
문제
1
오른쪽 그림과 같이 AB”=3, AD”=2인 직사각형 ABCD 에 대하여 다음을 구하시오.
(1) AB≥∑`AD≥ (2) AB≥∑`AC≥
문제
2
3 2
A B
D C
평면벡터의 내적을 성분을 이용하여 나타내어 보자.
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 두 평면벡터 OA≥=a¯=(a¡, a™), OB≥=b¯=(b¡, b™)가 이루는 각 의 크기를 h라고 하자. 0˘…h<90˘일 때, 점 A에 서 선분 OB에 내린 수선의 발을 H라고 하면 직각 삼각형 AHB에서 다음이 성립한다.
AB”¤ =AH”¤ +BH”¤ =AH”¤ +(OB”-OH”)¤
=AH”¤ +OH”¤ +OB”¤ -2OB”_OH”
=OA”¤ +OB”¤ -2OA”_OB” cos h
이때 AB”=|AB≥|, OA”=|OA≥|, OB”=|OB≥|이므로
(b¡-a¡)¤ +(b™-a™)¤ =(a¡¤ +a™¤ )+(b¡¤ +b™¤ )-2|OA≥||OB≥|cos h 이 식을 정리하면 |OA≥||OB≥|cos h=a¡b¡+a™b™
이때 a¯∑`b¯=OA≥∑`OB≥=|OA≥||OB≥|cos h이므로 다음이 성립한다.
a¯`∑`b¯=a¡b¡+a™b™
OA”¤ =AH”¤ +OH”¤
OH”=OA” cos h
각 h가 90˘…h…180˘인 경우에도 성립한다.
h b¯ H a¯
b¯-a¯
O x
y
A(a¡, a™)
B(b¡, b™)
이상을 정리하면 다음과 같다.
이 식은 a¯=0 또는 b¯=0 일 때도 성립한다.
평면벡터의 내적과 성분 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)일 때,
a¯∑`b¯=a¡b¡+a™b™
(1) a¯=(2, 0), b¯=(1, 1)일 때, a¯∑`b¯의 값은 다 음 두 가지 방법으로 구할 수 있다.
|a¯|=2, |b¯|='2, cos 45˘=
a¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos h=
성분을 이용하여 평면벡터의 내적을 계산하면 a¯∑`b¯=a¡b¡+a™b™=
(2) a¯=(2, -1), b¯=(4, 3)일 때, a¯∑`b¯=2_ +( )_ =
확인하기
다음 두 벡터의 내적을 구하시오.
(1) a¯=(2, 3), b¯=(2, 7) (2) a¯=(8, -2), b¯=(2, 7)
문제
3
평면벡터의 내적의 성질에 대하여 알아보자.
세 평면벡터 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™), c¯ =(c¡, c™)에 대하여 다음이 성립한다.
❶`a¯∑`b¯=a¡b¡+a™b™=b¡a¡+b™a™=b¯∑`a¯
❷`b¯+c¯=(b¡+c¡, b™+c™)이므로 a¯∑`(b¯+c¯)=a¡(b¡+c¡)+a™(b™+c™)
=a¡b¡+a¡c¡+a™b™+a™c™
=(a¡b¡+a™b™)+(a¡c¡+a™c™)
=a¯∑`b¯+a¯∑`c¯
같은 방법으로 (a¯+b¯)∑`c¯=a¯∑`c¯+b¯∑`c¯도 성립한다.
❸`임의의 실수 k에 대하여 ka¯=(ka¡, ka™)이므로
(ka¯)∑`b¯=(ka¡)b¡+(ka™)b™=a¡(kb¡)+a™(kb™)=a¯∑`(kb¯) 또 (ka¯)∑`b¯=(ka¡)b¡+(ka™)b™=k(a¡b¡+a™b™)=k(a¯∑`b¯)
45˘
1 1 B(1, 1)
A(2, 0) b¯
O a¯ x
y
방법1
방법2
이상을 정리하면 다음과 같다.
평면벡터의 내적의 성질 세 평면벡터 a¯, b¯, c¯에 대하여
❶`a¯∑`b¯=b¯∑`a¯ (교환법칙)
❷`a¯∑`(b¯+c¯)=a¯∑`b¯+a¯∑`c¯ (분배법칙) (a¯+b¯)∑`c¯=a¯∑`c¯+b¯∑`c¯
❸`(ka¯)∑`b¯=a¯∑`(kb¯)=k(a¯∑`b¯) (단, k는 실수)
평면벡터의 크기와 내적에 대한 다음 등식이 성립함을 보이시오.
|a¯+b¯|¤ =|a¯|¤ +2a¯∑`b¯+|b¯|¤
1
함께 해결 하기
평면벡터의 크기를 내 적을 이용하여 나타낼 수 있는가?
임의의 평면벡터 a¯에 대해서 다음이 성립한다.
|a¯|¤ =|a¯||a¯|cos 0˘=a¯∑`a¯
|a¯+b¯|¤ 을 내적을 이 용하여 나타낸다.
|a¯+b¯|¤ =(a¯+b¯)∑`(a¯+b¯)
|a¯+b¯|¤=(a¯+b¯)∑a¯+(a¯+b¯)∑b¯
=a¯∑a¯+b¯∑a¯+a¯∑b¯+b¯∑b¯
=|a¯|¤ +2a¯∑b¯+|b¯|¤
풀이 참조 내적의 성질 ❶, ❷를
사용한다.
다음 등식이 성립함을 보이시오.
(1) |a¯-b¯|¤ =|a¯|¤ -2a¯∑b¯+|b¯|¤
(2) (a¯+b¯)∑(a¯-b¯)=|a¯|¤ -|b¯|¤
문제
4
|a¯|=3, |b¯|=2, |a¯-b¯|=4일 때, a¯∑b¯의 값을 구하시오.
문제
5
(BA≥-AC≥)`∑`BC≥=0을 만족시키는 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인지 설명해 보 시오.
문제
6
의사소통 추론
|a¯|=2, |b¯|=3이고, 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 60˘일 때, a¯+2b¯의 크기를 구하시오.
2
함께 해결 하기
a¯+2b¯의 크기를 내적 을 이용하여 어떻게 나타낼 수 있는가?
|a¯+2b¯|¤ =(a¯+2b¯)∑`(a¯+2b¯)이므로 우변을 계산하면
|a¯+2b¯|의 값을 구할 수 있다.
내적을 이용하여
|a¯+2b¯|¤ 의 값을 계산 한다.
|a¯+2b¯|¤ =(a¯+2b¯)∑`(a¯+2b¯)
=a¯∑`a¯+a¯∑`2b¯¯+2b¯∑`a¯+2b ¯∑`2b¯
=|a¯|¤ +4a¯∑`b¯+4|b¯|¤ yy ① a¯∑b¯¯를 계산한다. a¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos 60˘
a¯∑`b¯=2_3_;2!;=3 yy ②
|a¯+2b¯|의 값을 구한 다.
②를 ①에 대입하면 |a¯+2b¯|¤ =4+12+36=52 따라서 |a¯+2b¯|=2'å13
2'å13
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC에서 a¯=AC≥, b¯=AB≥라고 할 때, 다음을 구하시오.
(1) |2a¯+4b¯| (2) (a¯+b¯)`∑`(a¯-2b¯)
문제
7
A B
1 C
b¯
a¯
의사소통 추론
임의의 두 실수 a, b에 대하여 부등식 |a+b|…|a|+|b|가 성립한다. 벡터에서도 임의의 두 평면벡터 a¯, b¯에 대하여 비슷한 형태의 부등식이 성립한다. 다음 물음에 답해 보자.
(1) 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 h라고 할 때, 부등식 a¯`∑`b¯…|a¯||b¯|가 성립함을 보이자.
(2) (1)의 부등식을 이용하여 부등식 |a¯+b¯|…|a¯|+|b¯|가 성립함을 보이자.
(3) (2)의 결과가 어떤 의미를 가지는지 오른쪽 그림을 이용하여 설명해
보자. b¯
a¯
a¯+b¯
두 평면벡터가 이루는 각의 크기
두 평면벡터가 이루는 각의 크기를 내적을 이용하여 구해 보자.
영벡터가 아닌 두 평면벡터 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)가 이루는 각의 크기를 h(0˘…h…180˘)라고 하면
a¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos h 이다. 따라서
cos h=
이고, 이것을 벡터의 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
cos h=
이상을 정리하면 다음과 같다.
a¡b¡+a™b™
"“a¡¤ +a™¤ "“b¡¤ +b™¤
a¯∑`b¯
|a¯||b¯|
h b¯
a¯
두 평면벡터가 이루는 각의 크기
영벡터가 아닌 두 평면벡터 a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)가 이루는 각의 크기를 h (0˘…h…180˘)라고 할 때,
cos h= = a¡b¡+a™b™
"“a¡¤ +a™¤ "“b¡¤ +b™¤
a¯∑`b¯
|a¯||b¯|
두 벡터 a¯=(1, 2), b¯=(3, 1)이 이루는 각의 크기를 구하시오.
3
함께 해결 하기
두 평면벡터가 이루는 각의 크기를 어떻게 구할 수 있는가?
cos h= 를 이용하여 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구할 수 있다.
a¯∑`b¯
|a¯||b¯|
|a¯|, |b¯|, a¯∑`b¯의 값 을 각각 구한다.
|a¯|="“1¤ +2¤ ='5
|b¯|="“3¤ +1¤ ='å10 a¯∑`b¯=1_3+2_1=5 cos h의 값을 구하여
각의 크기 h를 구한다. cos h= = = 이므로 h=45˘
따라서 두 벡터가 이루는 각의 크기는 45˘이다.
45˘
'2 2 5 '5 'å10 a¯∑`b¯
|a¯||b¯|
1 h 2
3 1 b¯
a¯
O x
y
다음 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하시오.
(1) a¯=(2, 3), b¯=(-3, 2) (2) a¯=(0, 2), b¯=(1, '3)
문제
8
|a¯|=2, |b¯|=3, |a¯+b¯|=4인 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 h라고 할 때, cos h의 값을 구하시오.
문제
9
두 평면벡터가 수직일 때의 조건을 내적을 이용하여 나타내어 보자.
영벡터가 아닌 두 평면벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 h라고 하면 a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos h이다.
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 90˘일 때, 두 벡터 a¯와 b¯는 서로 수직이라고 하며, 이것을 기호로
a¯⊥b¯
와 같이 나타낸다.
이때` a¯⊥b¯ 이면 h=90˘이고 cos 90˘=0이므로 a¯∑`b¯=|a¯||b¯|cos 90˘=0
이다.
역으로 a¯∑b¯=0이면 |a¯||b¯|cos h=0이므로 cos h=0이다.
즉 h=90˘가 되어 `a¯⊥b¯ 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
b¯
a¯
평면벡터의 수직과 내적
영벡터가 아닌 두 평면벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯⊥b¯ HjjK a¯∑`b¯=0
확인하기 두 벡터 a¯=(1, 2), b¯=(4, -2)에 대하여 a¯∑b¯= 이므로 두 벡터 a¯와 b¯는 서로 이다.
두 벡터 a¯=(-1, 2), b¯=(x, 3)에 대하여 다음을 만족시키는 실수 x의 값을 구하 시오.
(1) a¯⊥b¯ (2) a¯⊥(2a¯+b¯)
4
함께 해결 하기
두 평면벡터가 수직일 조건은 무엇인가?
두 평면벡터 a¯, b¯가 수직일 조건은`` a¯∑`b¯=0이다.
a¯⊥b¯일 때, a¯∑`b¯=0 임을 이용한다.
(1) a¯⊥b¯일 때,` a¯∑`b¯=0이므로 -x+6=0 따라서 x=6
성분을 이용하여 2a¯+b¯를 계산하고 a¯`∑`(2a¯+b¯)=0임을 이용한다.
(2) 2a¯+b¯=2(-1, 2)+(x, 3)=(x-2, 7) a¯⊥(2a¯+b¯)일 때, a¯∑`(2a¯+b¯)=0이므로 -(x-2)+14=0, 즉 x=16
(1) x=6 (2) x=16
두 벡터 a¯=(x-1, 2), b¯=(2, 3)에 대하여 다음을 만족시키는 실수 x의 값을 구하 시오.
(1) a¯⊥b¯ (2) (a¯+b¯)⊥(a¯-b¯)
문제
10
벡터 a¯=(-1, 3)과 수직이고 크기가 2'5인 벡터 b¯를 모두 구하시오.
5
함께 해결 하기
b¯를 어떻게 나타낼 수 있을까?
b¯=(x, y)로 놓으면 다음 두 조건을 이용하여 x, y를 구할 수 있다.
⁄ a¯⊥b¯ ¤ |b¯|=2'5 a¯⊥b¯일 때, a¯∑`b¯=0
임을 이용한다.
주어진 평면벡터 a¯¯에 수직이고 크기가 일정 한 벡터 b¯는 항상 두 가지일까?
a¯=(-1, 3)과 b¯=(x, y)가 서로 수직이므로
a¯∑`b¯=-x+3y=0 ` yy ①
벡터 a¯에 수직인 평면벡터 b¯는 오른쪽 그림 과 같이 두 가지 방향으로 존재하므로 두 가 지이며, 각 성분의 부호는 반대이다.
|b¯|=2'5임을 이용한 다.
|b¯|=øπx¤ +y¤ =2'5
양변을 제곱하면 x¤ +y¤ =20 ` yy ② 두 조건에서 구한 식
을 연립한다.
①, ②를 연립하여 풀면
x=3'2, y='2 또는 x=-3'2, y=-'2 따라서 b¯=(3'2, '2) 또는 b¯=(-3'2, -'2)
b¯=(3'2, '2) 또는 b¯=(-3'2, -'2)
b¯
b¯
a¯
벡터 a¯=(1, '3)과 수직이고 크기가 4인 벡터 b¯를 모두 구하시오.
문제
11
추론
오른쪽 그림과 같이 중심이 O이고 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원이 있다. 원 위의 임의의 점 P에 대하여
AP≥⊥BP≥
가 성립하는지 다음 단계에 따라 확인해 보자.
AP≥, BP≥를 OA≥, OB≥, OP≥를 이용하여 각각 나타내어 보자.
을 이용하여 AP≥•BP≥를 나타내고 내적의 성질을 이용하여 그 식을 정리해 보자.
를 이용하여 AP≥⊥BP≥가 성립하는지 확인해 보자.
준석이와 소연이는 원점 O에서 동시에 출발하여 서로 수직 인 방향으로 각각 13 m씩 걸어갔다. 준석이가 있는 지점의 위치벡터를 a¯=(12, 5)라고 할 때, 소연이가 있는 지점의 위치벡터 b¯를 모두 구하시오.
문제
12
O x
y 5
12 준석 a¯
좌표평면 위에 있는 직각삼각형 ABC에서 ∠A=90˘이고, AB≥=(1, 2), BC≥=(m¤ , m-4)일 때, 실수 m의 값을 모두 구해 보시오.
문제
13
A B
P
O
단계 1 단계 2 단계 3 문제 해결
단계 2 단계 1
직선의 방정식
•좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선과 원의 방정식을 구할 수 있다.
직선과 원의 방정식
0 3
좌표평면 위의 한 점 A(x¡, y¡)을 지나고, 영벡터가 아닌 벡터 u¯=(a, b)에 평행한 직선 l의 방정식을 구해 보자.
오른쪽 그림과 같이 직선 l 위의 한 점 P(x, y)와 점 A의 위치벡터를 각각 p¯, a¯라고 하면 AP≥//u¯이므로
AP≥=tu¯ yy ①
인 실수 t가 존재한다.
그런데 AP≥=OP≥-OA≥=p¯-a¯ yy ② 이므로 ①과 ②에 의해서 다음을 얻는다.
p¯=a¯+tu≤ yy ③
역으로 ③을 만족시키는 벡터 p¯를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 l 위에 있다.
따라서 ③은 점 A를 지나고 u¯에 평행한 직선 l을 나타낸다.
이때 직선 l에 평행한 벡터 u¯를 직선 l의방향벡터라고 한다.
직선 l을 벡터로 나타낸 방정식 ③을 벡터의 성분을 이용하여 나타내어 보자.
p¯=(x, y), a¯=(x¡, y¡), u¯=(a, b)이므로 ③을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
(x, y)=(x¡, y¡)+t(a, b)=(x¡+ta, y¡+tb)
따라서 x=x¡+ta, y=y¡+tb yy ④
a+0, b+0일 때, ④에서 t를 소거하면 다음과 같은 직선 l의 방정식을 얻는다.
= y-y¡
b x-x¡
a
좌표평면 위의 한 점 A를 지나고 벡터 u¯와 평행한 직선 l 위에 점 P가 있다. 다음 물음에 답해 보자.
벡터 OP≥를 벡터 OA≥와 벡터 u¯를 이용하여 나타 낼 수 있는지 말해 보자.
2
벡터 AP≥를 벡터 u¯를 이용하여 나타내어 보자.
1
생각의 싹
y PA u¯
O x
l
A
P
a¯
p¯
u¯
O x
y l
이상을 정리하면 다음과 같다.
방향벡터를 이용한 직선의 방정식
점 A(x¡, y¡)을 지나고 벡터 u¯=(a, b)에 평행한 직선의 방정식은
= y-y¡ (단, a+0, b+0) b
x-x¡
a
a=0이거나 b=0일 때의 직선의 방정식은 다음과 같다.
⁄ a=0, b+0이면 직선의 방정식은 x=x¡
¤ a+0, b=0이면 직선의 방정식은 y=y¡
참고
(1) 점 (4, 2)를 지나고 벡터 u¯=(2, 3)에 평행한 직선의 방정식은
(1) =
(2) 점 (-2, 5)를 지나고 벡터 u¯=(0, -3)에 평행한 직선의 방정식은 (1)x=
y-2 , ;.
x-, ;.
2
확인하기
다음 직선의 방정식을 구하시오.
(1) 점 (-1, 2)를 지나고 벡터 u¯=(3, -2)에 평행한 직선 (2) 점 (3, 5)를 지나고 방향벡터가 u¯=(7, 0)인 직선
문제
1
점 (3, -2)를 지나고, 직선 -x+1=y+3 에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.
1
2함께 해결 하기
구하는 직선의 방향벡 터는 어떻게 구할까?
구하는 직선이 주어진 직선과 평행하므로 두 직선의 방향벡 터도 서로 평행함을 이용해서 구한다.
직선의 방향벡터를 구
한다. -x+1= 은 = 이므로 주어진 직선의
방향벡터는 u¯=(-1, 2)
y+3 2 x-1
-1 y+3
2
직선의 방정식을 구한 다.
점 (3, -2)를 지나고 방향벡터가 u¯=(-1, 2)와 평행하 므로 구하는 직선의 방정식은 =
즉 -x+3= -x+3=y+2
2 y+2
2
y+2 2 x-3
-1 x
y
(x¡, y¡) u
O
x=x¡ y=y¡
u x y
O
(i) a=0 (ii) b=0
u x
y
O
다른 벡터를 직선의 방 향벡터로 사용할 수 있 는가?
구하는 직선의 방향벡터 u¯가 직선 -x+1= 의 방향 벡터와 평행하므로 일반적으로 u¯=k(-1, 2)=(-k, 2k) 로 나타낼 수 있다. 이때 k의 값과 상관없이 항상 동일한 직 선의 방정식이 구해지므로 간단히 u¯=(-1, 2)를 사용한다.
y+3 2
좌표평면에서 점 (5, -2)를 지나고 다음 직선과 평행한 직선의 방정식을 구하시오.
(1) =y-3 (2) x=3+2t, y=-1+7t (단, t는 실수)
-5 x
3
문제
2
서로 다른 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 지나는 직선 l의 방정식을 방향벡터를 이용하여 구해 보자.
두 점 A, B를 지나는 직선 l의 방향벡터는 AB≥=(x™-x¡, y™-y¡)
이므로 점 A(x¡, y¡)을 지나는 직선 l의 방정식은
= (x¡+x™, y¡+y™) 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
y-y¡
y™-y¡
x-x¡
x™-x¡ O x
y
l
A(x¡, y¡)
B(x™, y™)
두 점 A(-4, -1), B(1, 2)를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
2
함께 해결 하기
직선의 방향벡터를 구 한다.
구하는 직선의 방향벡터는 AB≥이므로 AB≥=(1-(-4), 2-(-1))=(5, 3) 직선의 방정식을 구한
다.
점 A를 이용해서 직 선의 방정식을 구해도 그 결과가 같은가?
점 B(1, 2)를 지나고 방향벡터가 AB≥인 직선의 방정식은
= = y-2
3 x-1
5 y-2
3 x-1
5
점 A를 지나는 직선의 방정식을 구하면
= 이고 양변에서 1을 빼면
= y-2 이므로 점 B를 이용해 구한 직선과 동일하다.
3 x-1
5
y-(-1) 3 x-(-4)
5
다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 벡터를 이용하여 구하시오.
(1) A(-3, 6), B(1, 3) (2) A(-1, 7), B(5, 7)
문제
3
x™=x¡이거나 y™=y¡일 때의 직선의 방정식은 각 각 x=x¡, y=y¡이다.
두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 지나는 직선의 방정식은
= y-y¡ (단, x¡+x™, y¡+y™) y™-y¡
x-x¡
x™-x¡
좌표평면 위의 한 점 A(x¡, y¡)을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 n¯=(a, b)에 수직인 직선 l의 방정식을 구해 보자.
오른쪽 그림과 같이 직선 l 위의 임의의 점을 P(x, y)라고 하면 AP≥⊥n¯이므로
AP≥`∑`n¯=0 yy ① 이다. 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 a¯, p¯라고 하면 AP≥=OP≥-OA≥=p¯-a¯ yy ② 이므로 ①과 ②에 의해서 다음을 얻는다.
(p¯-a¯)`∑`n¯=0 yy ③
역으로 ③을 만족시키는 벡터 p¯를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 l 위에 있다.
따라서 ③은 점 A를 지나고 n¯에 수직인 직선 l을 나타낸다.
이때 직선 l에 수직인 벡터 n¯를 직선 l의법선벡터라고 한다.
직선 l을 벡터로 나타낸 방정식 ③을 벡터의 성분을 이용하여 나타내어 보자.
p¯=(x, y), a¯=(x¡, y¡), n¯=(a, b)이므로 ③을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
(x-x¡ , y-y¡)∑`(a, b)=0 따라서 다음과 같은 직선 l의 방정식을 얻는다.
a(x-x¡)+b(y-y¡)=0 이상을 정리하면 다음과 같다.
A
P l
O x
y
a¯
n¯ p¯
법선벡터를 이용한 직선의 방정식
점 A(x¡, y¡)을 지나고 벡터 n¯=(a, b)에 수직인 직선의 방정식은 a(x-x¡)+b(y-y¡)=0
점 (4, 2)를 지나고 벡터 n¯=(1, -3)에 수직인 직선의 방정식은 _(x-4)-3(y- )=0
이 식을 정리하면 x-3y+2=0
확인하기
다음 직선의 방정식을 구하시오.
(1) 점 (5, -4)를 지나고 벡터 n¯=(3, 2)에 수직인 직선 (2) 점 (1, 1)을 지나고 법선벡터가 n¯=(0, -1)인 직선
문제
4
벡터를 이용하여 점 (6, -1)을 지나고 직선 = 에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
y 2 x-1
문제
5
3두 직선이 이루는 각의 크기
방향벡터가 u¡≤=(a¡, a™), u™≤=(b¡, b™)인 두 직선 l¡, l™가 이루는 각의 크기를 h(0˘…h…90˘)라고 하면 다음이 성립한다.
cos h= = |a¡b¡+a™b™|
"“a¡¤ +a™¤ "“b¡¤ +b™¤
|u¡≤∑`u™≤|
|u¡≤||u™≤|
좌표평면에서 두 직선 l¡, l™가 이루는 각의 크기 h(0˘…h…90˘)를 방향벡터를 이용하여 구해 보자.
두 직선 l¡, l™의 방향벡터를 각각
u¡≤=(a¡, a™), u™≤=(b¡, b™)라 하고 두 직선 l¡, l™가 이루는 각의 크기를 h, 두 벡터 u¡≤, `u™≤가 이루는 각 의 크기를 a라고 하면 h는 a와 180˘-a 중에서 크 지 않은 쪽이다.
이때 cos hæ0이므로
cos h= =
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
|a¡b¡+a™b™|
"“a¡¤ +a™¤ "“b¡¤ +b™¤
|u¡≤∑`u™≤|
|u¡≤||u™≤|
두 직선이 이루는 각의 크기
두 직선이 이루는 각의 크기 h가 0˘…h…90˘일 때 cos hæ0이다.
다음 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하시오.
l¡: =y-1, l™: x-1=-y+5 2
x+2 3
3
함께 해결 하기
각의 크기는 어떻게 구할 수 있는가?
두 직선 l¡, l™가 이루는 각의 크기를 h로 놓고, cos h를 계산 하여 h의 값을 구한다.
두 직선의 방향벡터를 구한다.
두 직선 l¡, l™의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤라고 하면 u¡≤=(3, 1), u™≤=(2, -1)
cos h를 계산하여 h의 값을 구한다.
두 직선이 이루는 각의 크기를 h라고 하면
cos h= =
따라서 h=45˘
45˘
'2 2
|3_2+1_(-1)|
"“3¤ +1¤ "“2¤ +(-1)¤
a
O x
y
u¯
u¯
¡
™ l¡
l™
h
다음 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하시오.
l¡: x-4= , l™: x-2=y+1 '3
y '3
문제
6
좌표평면에서 두 직선이 평행할 조건과 수직일 조건을 알아보자.
서로 다른 두 직선 l¡, l™의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤라고 하면
❶두 직선 l¡, l™가 평행할 때 방향벡터 u¡≤, u™≤ 도 평행하고, 그 역도 성립한다.
❷두 직선 l¡, l™가 수직일 때 방향벡터 u¡≤, u™≤ 도 수직이고, 그 역도 성립 한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 직선의 평행과 수직
두 직선 l¡, l™의 방향벡터가 각각 u¡≤=(a¡, b¡), u™≤=(a™, b™)일 때,
❶평행 조건: l¡//l™ HjjK u¡≤//u™≤ HjjK u¡≤=tu™≤ (단, t+0인 실수) HjjK a¡=ta™, b¡=tb™
❷수직 조건: l¡⊥l™ HjjK u¡≤⊥u™≤ HjjK u¡≤∑`u™≤=0 HjjK a¡a™+b¡b™=0
좌표평면에서 두 직선 l¡, l™의 방정식이 다음과 같을 때, 물음에 답하시오.
l¡: = , l™: x=
(1) 두 직선이 서로 평행하도록 하는 실수 k의 값을 구하시오.
(2) 두 직선이 서로 수직이 되도록 하는 실수 k의 값을 구하시오.
y+1 2 y-3
k x+4
5
문제
7
좌표평면에서 세 직선 l¡, l™, l£의 방정식이 다음과 같다.
l¡: = , l™: = , l£: = 세 직선 l¡, l™, l£의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤, u£≤라고 하면
u¡≤=(6, 9), u™≤=(2, 3), u£≤=(3, -2)
u¡≤=3u™≤이므로 l¡, l™는 서로 하고 u™≤∑`u£≤= 이므로 l™, l£는
서로 이다.
y -2 x+4
3 y-1
3 x 2 y+2
9 x-1
6
확인하기
원의 방정식
좌표평면 위의 원의 중심이 C(x¡, y¡)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식을 벡터로 나타내어 보자.
오른쪽 그림과 같이 원 위의 임의의 점을
P(x, y)라고 하면 |CP≥|=r yy ① 이다. 두 점 C, P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라고 하면 CP≥=OP≥-OC≥=p¯-c¯ yy ② 이다. ①과 ②에 의하여
|p¯-c¯|=r yy ③
이다. 역으로 ③을 만족시키는 벡터 p¯를 위치벡터로 하는 점 P는 |CP≥|=r를 만족 시킨다. 따라서 ③은 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원을 나타낸다.
이때 ③의 양변을 제곱하면 |p¯-c¯|¤ =r¤ 이므로
(p¯-c¯)∑`(p¯-c¯)=r¤ yy ④
으로 나타내기도 한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
오른쪽 그림과 같이 중심이 점 C이고 반지름의 길이가 2인 원이 있다. 원 위의 임의의 점 P에 대하여 다음 물음에 답해 보자.
벡터 CP≥를 벡터 OP≥와 벡터 OC≥를 이용하여 나타내어 보자.
2
벡터 CP≥의 크기를 구해 보자.
1
생각의 싹
2
2 4 6
4 6
P C
O x
y
p¯=(x, y), c¯=(x¡, y¡) 이라고 하면 ④의 식은 (x-x¡)¤ +(y-y¡)¤ =r¤
으로 나타내어진다.
P p¯-c¯
C c¯
p¯
O x
y
원의 방정식
원의 중심 C와 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라고 할 때, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식을 벡터로 나타내면
|p¯-c¯|=r 또는 (p¯-c¯)`∑`(p¯-c¯)=r¤
원의 중심 C(1, 2)와 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라고 할 때, 반지름의 길이가 2인 원의 방정식을 벡터로 나타내면 | -c¯|=
이때 p¯=(x, y)로 놓고, 위의 식을 정리하면 (x- )¤ +(y- )¤ =
확인하기
두 점 A(1, 2), B(3, -4)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 벡터를 이용 하여 구하시오.
4
함께 해결 하기
원의 성질을 이용하여 원의 방정식을 어떻게 벡터로 나타낼 수 있 는가?
원 위의 임의의 점 P에 대하여 지름 AB를 빗변으로 하는 삼각 형 ABP는 직각삼각형이다.
따라서 AP≥⊥BP≥이므로 AP≥∑`BP≥=0을 이용하여 원의 방정식을 나타낼 수 있다.
AP≥∑`BP≥=0을 위치 벡터 a¯, b¯, p¯를 이용하 여 나타낸다.
원 위의 임의의 점 P(x, y)에 대하여 세 점 A, B, P의 위치 벡터를 각각 a¯, b¯, p¯라고 하면
AP≥∑`BP≥=(OP≥-OA≥)∑`(OP≥-OB≥)=(p¯-a¯)∑`(p¯-b¯)=0 벡터의 성분을 이용하
여 원의 방정식을 구 한다.
a¯ b¯
A B
P O p¯
a¯=(1, 2), b¯=(3, -4), p¯=(x, y)이므로 위의 식을 성분 을 이용하여 나타내면 (x-1, y-2)`∑`(x-3, y+4)=0 (x-1)(x-3)+(y-2)(y+4)=0
이 식을 정리하면
x¤ +y¤ -4x+2y-5=0 x¤ +y¤ -4x+2y-5=0
다음 조건을 만족시키는 원의 방정식을 벡터를 이용하여 구하시오.
(1) 점 A(3, -2)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 '2인 원 (2) 두 점 A(2, 5), B(-4, 7)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원
문제
8
의사소통 추론
다음은 세 점 A(-3, 0), B(0, 3), C(3, 0)에 대하여 |PA≥+PB≥+PC≥|=3을 만족시키는 점 P 가 나타내는 도형을 구하는 과정에 대한 두 학생의 대화이다.
점 P(x, y)에 대하여 식 |PA≥+PB≥+PC≥|=3을 성분으로 나타내면 어떤 도형을 나타내는 식이 구해질 것 같아!
네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, c¯, p¯라고 하면 |PA≥+PB≥+PC≥|=3은
|a¯+b¯+c¯-3p¯|=3으로 고칠 수 있어.
이 식은 원의 방정식을 벡터로 나타낸 것과 연관 있는 것 같은데?
두 학생의 의견에 따라 서로 다른 방법으로 점 P가 나타내는 도형을 찾아보고, 그 도형의 넓이 를 구해 보자.
민호
지수
1. 위치벡터의 성질 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 a¯, b¯라고 하면 AB≥=
3. 평면벡터의 내적
a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)이고 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 h일 때,
❶a¯∑`b¯=|a¯||b¯|
❷a¯∑`b¯=a¡b¡+
중단원 마무리
정답 및 풀이 p.178생각의 나무
다음 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.스스로 확인하기
위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.83
세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, 2a¯-b¯라고 할 때, 다음 벡터를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) AC≥ (2) CB≥
1
평면벡터의 내적 p.91, p.92
다음을 만족시키는 두 벡터의 내적을 구하시오.
(1) |a¯|=3, |b¯|=2이고 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기는 30˘
(2) a¯=(-1, 5), b¯=(4, -3)
3
직선과 원의 방정식 p.100
다음 직선의 방정식을 구하시오.
(1) 점 (-2, 5)를 지나고 방향벡터가 u¯=(1, 2)인 직선 (2) 점 (0, 1)을 지나고 직선 -x+1 =y+1에 평행한 직선
3
4
기초 문제 2. 평면벡터의 성분
a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)일 때,
❶a¯=b¯HjjK
❷a¯+b¯=( , )
❸a¯-b¯=(a¡-b¡, a™-b™)
❹ka¯=(ka¡, ka™)
4. 방향벡터를 이용한 직선의 방정식
점 A(x¡, y¡)을 지나고, 방향 벡터가 u¯=(a, b)인 직선의 방정식은 x-x¡=
a
5. 두 직선이 이루는 각의 크기 방향벡터가 u¡≤, u™≤인 두 직선 l¡, l™가 이루는 각의 크기를 h(0˘…h…90˘) 라고 할 때, cos h=, ll;.
|u¡≤||u™≤|
6. 원의 방정식
|CP≥|=r를 만족시키는 점 C와 점 P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라 고 할 때, |p¯- |=
위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.87, p.89
a¯=(1, 3), b¯=(3, -2)일 때, 다음을 구하시오.
(1) 2a¯-3b¯ (2) |a¯+b¯|
2
평면벡터의 성분과 내적
2. 평면벡터의 성분과 내적
오른쪽 그림과 같이 직사각형 OABC 에서 선분 AB의 중점을 M이라 하고, 선분 BC를 2 : 1로 내분한 점을 N이라 고 할 때, OB≥=x ON≥+y OM≥을 만족 시키는 실수 x, y의 값을 구하시오.
5
평면 위의 점 P와 넓이가 10인 삼각형 ABC에 대하여 다음 등식이 성립 할 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구해 보시오.
PA≥+2PB≥+PC≥=0¯
9
기본 문제
심화 문제
‘스스로 확인하기’를 한 결과 부족한 부분은 무엇인가요?
중단원의 학습 계획을 잘 실천하였나요?
위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.84
|a¯|=1, |b¯|='3인 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 h라고 하자.
|2a¯+b¯|…3일 때, cos h의 최댓값을 구하시오.
10
평면벡터의 내적 p.96 위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.84
세 벡터 a¯=(2, 1), b¯=(1, -3), c¯=(4, 5)에 대하여 a¯-b¯와 ka¯+c¯가 서로 수직일 때, 실수 k의 값을 구하시오.
6
평면벡터의 내적 p.97
직선 l: (t는 실수)에 대하여 점 (1, 2)를 지나고 직선 l에 평행한 직선과 수직인 직선의 방정식을 각각 구하시오.
7
직선과 원의 방정식 p.100, p.102
두 점 A(1, -2), B(5, -6)과 한 점 P의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, p¯라고 할 때, (p¯-a¯)∑`(p¯-b¯)=0을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 넓이 를 구해 보시오.
8
직선과 원의 방정식 p.106
C N
M A B
O
x=3t-1 y=-2t+3 (“
ª
추론
문제 해결
