벡터 CP≥의 크기를 구해 보자.
1
생각의 싹
2
2 4 6
4 6
P C
O x
y
p¯=(x, y), c¯=(x¡, y¡) 이라고 하면 ④의 식은 (x-x¡)¤ +(y-y¡)¤ =r¤
으로 나타내어진다.
P p¯-c¯
C c¯
p¯
O x
y
원의 방정식
원의 중심 C와 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라고 할 때, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식을 벡터로 나타내면
|p¯-c¯|=r 또는 (p¯-c¯)`∑`(p¯-c¯)=r¤
원의 중심 C(1, 2)와 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 각각 c¯, p¯라고 할 때, 반지름의 길이가 2인 원의 방정식을 벡터로 나타내면 | -c¯|=
이때 p¯=(x, y)로 놓고, 위의 식을 정리하면 (x- )¤ +(y- )¤ =
확인하기
두 점 A(1, 2), B(3, -4)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 벡터를 이용 하여 구하시오.
4
함께 해결 하기
원의 성질을 이용하여 원의 방정식을 어떻게 벡터로 나타낼 수 있 는가?
원 위의 임의의 점 P에 대하여 지름 AB를 빗변으로 하는 삼각 형 ABP는 직각삼각형이다.
따라서 AP≥⊥BP≥이므로 AP≥∑`BP≥=0을 이용하여 원의 방정식을 나타낼 수 있다.
AP≥∑`BP≥=0을 위치 벡터 a¯, b¯, p¯를 이용하 여 나타낸다.
원 위의 임의의 점 P(x, y)에 대하여 세 점 A, B, P의 위치 벡터를 각각 a¯, b¯, p¯라고 하면
AP≥∑`BP≥=(OP≥-OA≥)∑`(OP≥-OB≥)=(p¯-a¯)∑`(p¯-b¯)=0 벡터의 성분을 이용하
여 원의 방정식을 구 한다.
a¯ b¯
A B
P O p¯
a¯=(1, 2), b¯=(3, -4), p¯=(x, y)이므로 위의 식을 성분 을 이용하여 나타내면 (x-1, y-2)`∑`(x-3, y+4)=0 (x-1)(x-3)+(y-2)(y+4)=0
이 식을 정리하면
x¤ +y¤ -4x+2y-5=0 x¤ +y¤ -4x+2y-5=0
다음 조건을 만족시키는 원의 방정식을 벡터를 이용하여 구하시오.
(1) 점 A(3, -2)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 '2인 원 (2) 두 점 A(2, 5), B(-4, 7)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원
문제
8
의사소통 추론
다음은 세 점 A(-3, 0), B(0, 3), C(3, 0)에 대하여 |PA≥+PB≥+PC≥|=3을 만족시키는 점 P 가 나타내는 도형을 구하는 과정에 대한 두 학생의 대화이다.
점 P(x, y)에 대하여 식 |PA≥+PB≥+PC≥|=3을 성분으로 나타내면 어떤 도형을 나타내는 식이 구해질 것 같아!
네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, c¯, p¯라고 하면 |PA≥+PB≥+PC≥|=3은
|a¯+b¯+c¯-3p¯|=3으로 고칠 수 있어.
이 식은 원의 방정식을 벡터로 나타낸 것과 연관 있는 것 같은데?
두 학생의 의견에 따라 서로 다른 방법으로 점 P가 나타내는 도형을 찾아보고, 그 도형의 넓이 를 구해 보자.
민호
지수
1. 위치벡터의 성질
2. 평면벡터의 성분과 내적
오른쪽 그림과 같이 직사각형 OABC 에서 선분 AB의 중점을 M이라 하고, 선분 BC를 2 : 1로 내분한 점을 N이라 고 할 때, OB≥=x ON≥+y OM≥을 만족 시키는 실수 x, y의 값을 구하시오.
5
평면 위의 점 P와 넓이가 10인 삼각형 ABC에 대하여 다음 등식이 성립 할 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구해 보시오.
PA≥+2PB≥+PC≥=0¯
9
기본 문제
심화 문제
‘스스로 확인하기’를 한 결과 부족한 부분은 무엇인가요?
중단원의 학습 계획을 잘 실천하였나요?
위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.84
|a¯|=1, |b¯|='3인 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 h라고 하자.
|2a¯+b¯|…3일 때, cos h의 최댓값을 구하시오.
10
평면벡터의 내적 p.96 위치벡터와 평면벡터의 성 분 p.84
세 벡터 a¯=(2, 1), b¯=(1, -3), c¯=(4, 5)에 대하여 a¯-b¯와 ka¯+c¯가 서로 수직일 때, 실수 k의 값을 구하시오.
6
평면벡터의 내적 p.97
직선 l: (t는 실수)에 대하여 점 (1, 2)를 지나고 직선 l에 평행한 직선과 수직인 직선의 방정식을 각각 구하시오.
7
직선과 원의 방정식 p.100, p.102
두 점 A(1, -2), B(5, -6)과 한 점 P의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, p¯라고 할 때, (p¯-a¯)∑`(p¯-b¯)=0을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 넓이 를 구해 보시오.
8
직선과 원의 방정식 p.106
C N
M A B
O
x=3t-1 y=-2t+3 (“
ª
추론
문제 해결