먼저 [x] ⊆ [y]을 보이자.
z ∈ [x] =⇒ zEx (4.25)
=⇒ zEy (∵ xEy) (4.26)
=⇒ z ∈ [y] (4.27)
∴ [x] ⊆ [y]
같은 방법으로 [y] ⊆ [x].
따라서 [x] = [y].
정 리 4.60 X ̸= ϕ이고 E가 X 위의 동치관계라고 하면 X/E는 X의 분 할이다.
증명. 분명히 집합 X/E = {[x] | x ∈ X}는 X의 공집합이 아닌 부분집합
들을 모아놓은 집합이다. 위 정리에 의해 [x]∩ [y] ̸= ϕ ⇐⇒ [x] = [y]이 되므로 [x]̸= [y] =⇒ [x] ∩ [y] = ϕ이 된다.
또한 ∪
x∈X[x] = X이 성립하므로 X/E는 X의 하나의 분할이다. [[ 예 ]] 4.61 위 예제 4.55에서 동치관계 E로부터 만들어지는 상집합 Z/E = {[x] | x ∈ Z} = {[0], [1], [2]}은 정수의 집합 Z의 분할이다.
[[ 예 ]] 4.62 위 예제 4.56에서 동치관계 E로부터 만들어지는 상집합 M/E = {[x] | x ∈ M} = {[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}은 M의 분할이다.
[[예 ]] 4.63 위 예제 4.57에서 동치관계 R로부터 만들어지는 상집합 X/R = {f−1(y) | y ∈ Y }은 X의 분할이다.
[[ 예 ]] 4.64 위 예제 4.35에서 동치관계 R로부터 만들어지는 상집합은 출신 고교 모임으로서 A의 분할이 된다.
[[ 예 ]] 4.65 위 예제 4.36에서 만들어지는 상집합은 출신도별 모임으로서 A의 분할이 된다.
[[ 예 ]] 4.66 위 예제 4.37에서 만들어지는 상집합은 혈액형별 모임으로서 S의 분할이 된다. 예제 4.52와 비교하여 보아라.
정 의 4.67 T 가 X 상에서의 분할일 때 X 상에서 관계 X/T 를 x(X/T )y ⇐⇒ ∃A ∈ T , x ∈ A ∧ y ∈ A 로 정의한다.
정 리 4.68 T 가 공집합이 아닌 집합 X의 분할이면 관계 X/T 는 X 위 의 하나의 동치관계이다. 또한 동치관계 X/T 에 의하여 유도된 X의 동치류 들은 바로 분할 T 를 이룬다. 즉
X/(X/T ) = T
증명. (1)반사적:
x∈ X라 하자.
∃A ∈ T , x ∈ A (∵ 분할)
∃A ∈ T , x ∈ A ∧ x ∈ A
∴ x(X/T )x
(2) 대칭적: 위의 정의에 의해서 성립된다.
(3) 추이적:
x(X/T )y이고 y(X/T )z라 하자.
∃A ∈ T , x ∈ A ∧ y ∈ A 이고
∃B ∈ T , y ∈ B ∧ z ∈ B
=⇒ y ∈ A ∩ B
=⇒ A ∩ B ̸= ϕ
=⇒ A = B (∵ A, B ∈ T : 분할 ) 그러므로 ∃A ∈ T , x ∈ A ∧ z ∈ A 따라서 x(X/T )z
위 (1), (2), (3) 에 의해서 X/T 는 X 상에서의 동치관계이다.
이제 X/(X/T ) = T 를 보이기 위하여 먼저 X/(X/T ) ⊆ T 을 보이자.
X/T 가 X 상에서의 동치관계이므로 X/(X/T )는 X 상에서의 분할이다.
따라서 임의의 x ∈ X에 대해 ∃A ∈ T , x ∈ A.
그러므로 [x] = x/(X/T ) = A.
따라서 [x] = A ∈ T .
∴ X/(X/T ) ⊆ T
이제 반대로 T ⊆ X/(X/T )을 보이자.
A∈ T 라 하면 A ̸= ϕ이다.
그러므로 ∃x ∈ A이다.
그런데 [x] = x/(X/T ) = A이다.
따라서 A = [x] ∈ X/(X/T )
∴ T ⊆ X/(X/T ).
결국 T = X/(X/T )
참 고 4.69 위 정의 4.67와 정리 4.68에서 어떤 분할이 주어졌을 때, 같은
분할의 원소에 속하는 원소들은 동치관계가 있게 된다.
[[예 ]] 4.70 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 분할 {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7}}이 주어졌을 때, 이 분할에서부터 얻어지는 동치관계는
1 ∼ 2, 3 ∼ 4 ∼ 5, 6 ∼ 7 등이다.
[[ 예 ]] 4.71 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 분할 {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}이 주어졌을 때, 이 분할에서부터 얻어지는 동치관계는 1 ∼ 2 ∼ 3 ∼ 4 ∼ 5 ∼ 6 ∼ 7 등이다.
[[ 예 ]] 4.72 분할 {{감기, 기관지염, 천식},{고혈압, 당뇨병}, {위궤양, 십이 지장궤양}}에서 얻어지는 동치관계는
감기 ∼ 기관지염 ∼ 천식,
고혈압 ∼ 당뇨병, 위궤양 ∼ 십이지장궤양 등이다.
따름정리 4.73 X ̸= ϕ일 때, E이 X의 동치관계이면 X/E는 X 상에서의 분할이고, X/(X/E) = E이다.
증명. 연습문제로 남긴다.
