Vibration Characteristics of Cantilever Beam with a Crack

단일 크랙을 갖는 외팔보의 진동특성

Vibration Characteristics of Cantilever Beam with a Crack

Jong-do Kim^a, Ji-yun Jo^b, Moon-chul Yoon^b*

a

Department of Mechanical Design, Kyungnam College of information & Technology, Sasanggu, Juraero 45, Busan, 617-701, Republic of Korea

b

Department of Mechanical and Automotive Engineering, Pukyong National University, Namgu, Sinseonro 365, Busan, 608-739, Republic of Korea

ARTICLE INFO ABSTRACT

Article history: In this paper, the natural frequency and damping ratio are analyzed with the acceleration signal of an Euler-Bernoulli beam using the impact hammer test. The results are presented according to crack depth and position using the recursive least squares method. The results are compared and investigated with FEM analysis of CATIA. Both methods agree well with each other regarding the natural mode characteristics. The captured acceleration can be used for the calculation of the natural frequency and damping ratio using time series methods that are based on the measured acceleration. Using these data, a recursive time series model with the acceleration signal was configured and the behaviors of the natural frequency and damping ratio were investigated and analyzed. Finally, the results can be used for the prediction of crack position and depth under different crack conditions for an Euler-Bernoulli beam.

Received 7 March 2014 Revised 12 April 2014 Accepted 20 May 2014 Keywords:

Crack position Euler-Bernoulli beam FEM

Natural frequency

* Corresponding author. Tel.: +82-51-629-6160 Fax: +82-51-629-6150

E-mail address: [email protected] (Moon Chul Yoon).

1. 서 론

최근까지 기계구조물 내의 균열은 외부하중이 강하게 걸릴 때 구조물이 파괴되는 주요 원인의 하나로 여겨지고 있다. 이러한 균 열의 조기탐지는 매우 중요하다. 크랙을 탐지하기 위하여 많은 연 구가 수행되어 왔다

. 그 중 Lee, Y. S. 는 고유진동수를 이용하 여 크랙을 탐지하는 방법에 대하여 연구하여 왔고

결과를 이론적 으로 규명하려 하였다. 그러나 실험적인 결과가 부족하였고 또한 그 결과가 잘 일치하는가에 대하여는 아직도 의문이 있으며, 따라 서 본 연구는 기존의 비파괴 방법 외에 최근 진동 신호의 측정에 기초한 분석법으로써 균열에 대한 연구를 보다 구체적으로 나타낼

수 있는 시계열 방법으로 그 결과를 분석하였다. 이 결과의 타당성

은 아주 유용하게 널리 사용되고 있는 FEM과 비교하여 분석되었

고 해석결과와 대등하게 사용될 수 있었다. 따라서 본 연구에서는

두 방법으로 고유진동수와 감쇠계수를 분석하여 그 타당성을 밝히

고 상호 비교하여 각 방법의 그 특징을 알아보고자 하였다. 그 동안

현재까지 일반적으로 연구되어 온 연구 중, 진동특성 연구에 의하

여 균열을 탐지하는 방법으로 균열의 크기와 위치를 동시에 고려하

여 탐지하고자 하는 방법이 매우 흥미로우며, 임의의 진폭을 측정

하는 방법과 고유진동수나 감쇠계수를 측정하여 분석하는 방법이

있다. 이 방법은 두 가지 이상의 진동 특성치를 필요로 한다

.

본 연구에서는 Euler-Bernoulli 빔을 연구대상으로 하여 고유진동

Table 1 Crack position and depth of Euler-Bernoulli beam Crack Position

(mm) Cracked Depth

(mm)

Crack position from end point of beam

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

20

50 100 150 200 250 300 350 10

none

(a) cracked cantilever beam

(b) impulse test and its configuration

Fig. 1 The basic configuration for measuring the acceleration signal (A: Impulse hammer, B: Accelerometer point) 수를 크랙의 위치와 크기에 따라 표현하고자 하였다. 고유진동수나

감쇠계수를 구하기 위해서는 가속도 신호나 절삭력 신호 등이 필요 하다. 본 연구에서는 전자의 방법을 이용하였고 충격실험에 의한 가진으로 가속도신호를 이용하여 시계열모델링 하였다. 이 모델링 에서 계산된 고유진동수와 감쇠계수를 구하여 크랙 깊이와 위치에 따른 고유진동수의 변화를 알아보았다. 이 결과는 실제 실험결과를 고려한 값으로 기존의 이론 결과와 비교할 시 약간의 오차가 있었 으며 이것은 이론적인 결과와 비교하여 보다 실험데이터를 중시하 여 모델링 한 결과로 볼 수 있다

. 본 연구의 목적은 진동 특성을 나타내는 고유진동수를 이용하여 균열의 크기와 위치에 따라 분석 하고자 하였다. 또 수치적 해석법인 기존의 CATIA FEM 방법과 비교하여 그 타당성을 검토하고자 하였다. 특히 본 연구에서는 시 계열 모델링을 이용하여 고유진동수와 감쇠계수를 구하였고 그 고 유진동수의 응답표면을 크랙의 크기와 위치변수로 표현한 결과가 기존의 이론적인 결과와 같음을 밝히고자 한다. 또한 FEM 소프트 웨어로 구한 고유진동수와 그 응답 표면을 비교하여 적용한 방법도 매우 타당한 결과임을 보였고 특히 실험적인 결과를 고려하여 구한 응답 표면으로 보다 실제적인 고유진동수 응답표면임을 밝혔다

.

2. 크랙 빔의 고유진동수와 감쇠계수 측정

빔의 고유진동수와 감쇠계수를 구하기 위하여 Euler- Bernoulli 빔을 준비하였으며 그 형상조건은 크기와 위치에 따라 Table 1과 같이 하였다. 빔의 고유진동수와 감쇠계수 측정을 위하여 A 위치 를 가진 점으로 하여 Fig. 1(a)와 같은 일곱 가지 위치 중 한 곳에 크랙을 내어 크랙의 위치가 다른 시편을 7가지 준비하였고 또 크랙 의 깊이가 다르도록 10 mm, 20 mm의 빔과 크랙이 없는 빔 등 15가지 빔을 준비하였다. 준비된 빔을 고정하여 A점 위치에서 타 격하고 일곱 위치 중 한 곳에 크랙을 만들고 이 빔의 B점 위치에 가속도계를 부착하여 충격시험 후 가속도신호를 얻었다. 측정된 가 속도 신호는 시계열 모델링 데이터로 이용되고 자체 개발한 시계열 모델링(time series modeling) 소프트웨어를 이용하여 실험이 반 영되도록 하였다

. 이때 ARMA(n,m) 모델을 순환최소자승법

으로 자동회귀부분과 이동평균부분의 상수를 구할 수 있었다

. 모델 차수가 n, m 인 ARMA(n,m)모델의 자동회귀 부분에서 다항 식이 얻어지고 이 다항식의 근을 이용하여 고유진동수와 감쇠계수 를 구할 수 있다. 본 연구에서는 모델의 자동회귀부와 이동회귀부 의 차수로 3개 이상의 고유진동수를 구할 수 있도록 모델 차수를 고려하여 ARMA(8,3) 모델을 택하였다. 이때 자동회귀부에서 최 대 4개의 고유진동수와 감쇠계수를 구할 수 있다

.

크랙 크기는 Table 1과 같이 10 mm, 20 mm로 Fig. 1(a)와 같 이 각 크랙의 위치에 따라 한 개의 크랙이 있는 시편을 각 조건에 맞도록 각각 준비하였고 실험을 통하여 충격시험을 하여 시계열 모델링을 위한 가속도 신호를 얻었다. 실험을 이용한 시계열모델링 에 의한 방법으로 고유진동수와 감쇠계수를 얻을 수 있었고 CATIA FEM 해석법의 결과와 비교하였다. 각각의 경우와 대응하는 크랙 깊이와 위치에 따른 FEM 모델링 해석을 하여 한 가지 예로 Fig.

2와 같이 1차 고유진동수와 그 때의 모드형상과 응력분포를 구할

수 있었다. 그 고유진동수의 결과는 반응표면으로 표현하여 시계열

모델링 결과와 비교 분석할 수 있다. Fig. 2의 FEM 모델링 해석

결과는 26 Hz의 1차 모드에서 고유진동수와 그때의 응력분포를

나타내고 있으며 이때 모드형상(mode shape)도 나타내고 있으나

그 증폭정도가 작아 뚜렷이 보이지는 않고 있다. 그리고 경계조건

(boundary condition)은 외팔보를 지지하는 지지대에 고정된 것을

Fig. 3 Natural mode behavior according to time elapse Fig. 2 FEM analysis for 1st natural frequency

Table 2 Metererial property for FEM analysis

Material SS400

Connectivity TE4

Young’s modulus 2.0⨉10

N/m

Poisson’s ratio 0.26

Density 7850 kg/m

Yield strength 1.52⨉10

N/m

보여주고 있다. 이때 메쉬는 CATIA에서 지원되는 메쉬생성방식 (Tetrahedron Octree)을 이용하였고 그림의 좌측이 고정되도록 외 팔보의 조건을 구현하였다. 이 모델링 해석의 결과로 각 모드에서 변형 및 응력상태와 빔의 고유진동수와 감쇠계수를 구할 수 있다.

모델링 할 때 평균적인 절점 (node)의 수는 17만개이고 요소(element) 의 수는 75만개로 하였다. 또한 모델링 해석을 위하여 실험에 해당 되는 조건과 동일한 물성치를 적용하여 분석하였고 그 물성치는 Table 2와 같다.

3. 고유진동수 표면생성

Fig. 3은 충격햄머시험(impact hammer test)을 수행하여 얻은 가속도 신호를 순환최소자승법(recursive least square method)의 시계열 모델링으로 구하였고 각 고유진동수를 나타내는 파워 스펙 트럼을 3차원적으로 나타낸 것이다. 시간이 지남에 따라 각 1차

～ 고차 진동수는 약간씩 이동을 하면서 나타났다. 그러나 각 시간 의 경우 여러 진동수가 동시에 계산되므로 그 신호가 갖는 고유진 동수와 감쇠계수는 모델 차수만 높이면 충분히 모두 계산하여 나타 낼 수 있었고 그 한 예를 Fig. 3에 나타내었다. 위와 같은 스펙트럼 과 고유진동수를 최종 시간인 15초의 위치에서도 구할 수 있었고 이 고유진동수와 감쇠계수를 크랙의 크기와 위치에 따라 여러 빔에 대하여 나타내어 분석할 수 있었다.

4. 크랙생성조건 분석

Fig. 4(a)～Fig. 4(c)는 크랙의 깊이 0, 10, 20 mm의 빔에서 측 정된 1차～3차 고유진동수를 크랙의 위치에 대하여 나타낸 것이다.

이때의 고유진동수는 우선 실험에 의하여 각 크랙이 있는 외팔보를

충격햄머로 가진하여 가속도 신호를 얻었고 이 신호를 시계열 모델

링하여 고유진동수와 감쇠계수 등을 계산하였다. 따라서 각 크랙의

크기와 위치에 따라 고유진동수를 얻을 수 있고 이 데이터로 고유

진동수와 크랙의 위치와 크기 등의 크랙조건에 따른 관계를 나타낼

수 있다. Fig. 4(a)는 26 Hz 부근의 1차 고유진동수를 크랙의 위치

에 따른 거동을 나타내는 것으로 외팔보 끝에서 고정 부위의 위치

로 갈수록 크랙의 위치에 따라 조금씩 줄어들다 늘어나는 경향을

보이고 있고 이것은 크랙 위치가 외팔보의 끝에서 가까운 곳에 크

랙이 있을 경우에는 그 감소폭이 작고 외팔보 고정점 쪽에 가까워

질수록 그 감소폭이 커지며 기존의 단순한 결과와 달리 웨이브 형

태의 증감특성을 나타내었다. 일반적으로 낮은 주파수에서는 크랙

의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙의 위치에 따라 변화가 심하지

않고 단순하게 고유진동수가 감소하는 경향을 나타내고 있다. 그러

나 빔에서는 더 낮은 주파수 영역에서 그러한 고유진동수와 감쇠계

수의 특성이 생기고 20 Hz 진동수에서는 Fig. 4(a)의 거동을 나타

내었다. Fig. 4(b)는 153 Hz 부근의 2차 고유진동수의 거동을 보

여주고 있으며 2차 모드 진동수는 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금

씩 줄어드는 경향을 보이고 특히 크랙 위치가 외팔보의 중간 정도

의 위치에 있을 경우에 고유진동수가 감소하여 나타났고 안쪽으로

갈수록 다시 증가하는 형태로 나타났다. 즉 2차 모드 진동수에서는

크랙의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙이 빔의 중간 위치에서 고

유진동수가 가장 심하게 줄어들었다. 이러한 결과는 FEM 해석결

과와 비교하여도 비슷한 결과를 보였고 따라서 실험데이터를 이용

한 시계열방법도 매우 타당하고 오히려 실험을 고려한 실제적인

(a) 1st mode

(b) 2nd mode

(c) 3rd mode

Fig. 4 Natural modes according to crack position for cracked beam (Experimental)

(a) 1st mode

(b) 2nd mode

(c) 3rd mode

Fig. 5 Damping ratio according to crack position for cracked beam (Experimental)

결과라 할 수 있다. Fig. 4(c)는 430 Hz 부근의 3차 고유진동수의 거동을 보여주고 있으며 3차 모드는 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금씩 줄어드는 경향을 보이고 특히 2차 모드와 달리 크랙 위치가 외팔보의 중간 정도의 위치에 있을 경우 고유진동수가 작게 나타났 고 그 주위가 오히려 크게 Fig. 4(c)의 파형형태로 나타났다. 1차의 진동수의 오차가 크게 발생하는 이유는 1차 진동수는 낮은 값이기 에 이 수치는 고유진동수 값의 계산 시 나타나는 데이터의 작은 오차가 고차진동수에 상대적으로 크게 반영되는 결과로 고유진동 수 계산오차가 크게 나타난다고 사료된다. 그러나 오히려 실험적인

실제상황은 항상 크랙 가공 시 오차가 있게 마련이기 때문에 이

오차를 더욱 잘 반영한 결과로 볼 수 있기에 오히려 더 옳은 실험적

분석결과라 사료된다. 그러나 2차나 3차의 고유진동수는 그 수치

가 크기 때문에 오차의 결과가 상대적으로 작게 반영되고 따라서

결과가 더 FEM의 수치해석 치에 근접할 정도로 정확한 고유진동

수를 나타낸 것으로 사료됩니다. 이 결과는 본 연구의 빔 시편이

레이져 가공된 것으로 크랙에 정확한 형상을 주지 못한 오차 때문

에 이 형상오차가 1차 모드에 상대적으로 크게 반영되어 계산된

것으로 사료된다.

(a) 1st mode

(b) 2nd mode

(c) 3rd mode

Fig. 6 Response of natural frequency for cracked beam (Experimental)

Fig. 5는 실험에서 얻은 가속도 신호를 이용하여 감쇠계수를 구 한 결과를 보여주고 있다. Fig. 5(a)는 26 Hz 의 1차 모드의 감쇠 계수의 거동을 나타내는 것으로 크랙의 위치가 외팔보 끝에서 고정 위치로 갈수록 크랙의 위치에 따라 고유진동수가 조금씩 늘어나는 경향을 보이고 있고 크랙 위치 약 250 mm 지점에서 가장 크게 나타났다. 2차 모드는 Fig. 5(b)와 같이 크랙 위치가 외팔보의 중간 정도의 위치에 크랙이 있을 경우에는 감쇠계수가 감소하여 나타났 고 양쪽으로 갈수록 다시 증가하다 감소하는 형태로 나타났다. 즉 3차 모드 감쇠계수는 크랙의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙이 중간 위치에서 감쇠계수가 크게 나타났다. 전체적인 결과는 고유진 동수와 달리 반대로 나타나는 경향을 보였고 즉 고유진동수가 감소 폭이 큰 경우 감쇠계수는

오히려 그 감소폭이 작게 나타나는 결과를 보였다. 이 결과는 시 계열방법의 장점으로서 FEM 결과에서는 감쇠계수의 분석이 곤란 하나 이 방법으로는 감쇠계수의 분석도 할 수 있었다.

Fig. 6은 크랙의 깊이 0, 10, 20 mm의 빔에서 측정된 1차～3차 고유진동수를 이용하여 고유진동수 응답표면을 나타낸 것이다. 이 때의 고유진동수의 계산은 시계열 모델링의 결과로 우선 실험에 의하여 각 크랙이 있는 외팔보를 충격햄머시험을 하여 얻은 가속도 신호를 시계열 모델링하여 고유진동수와 감쇠계수 등을 계산하였 다. 즉 각기 다른 크랙 크기와 위치를 갖는 각각의 시편에서 얻을 수 있고 이 결과를 이용하여 고유진동수 응답표면을 구성하였다.

Fig. 6(a)은 고유진동수 응답을 나타낸 것으로 1차 모드의 거동을 나타내고 있다. 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금씩 줄어드는 경향 을 보이고 있고 그 줄어드는 양은 증가됨을 보여준다. 이것은 크랙 위치가 외팔보의 끝에서 가까운 쪽으로 크랙이 있을 경우에는 그 감소폭이 작고 외팔보 고정점에 가까워질수록 그 감소폭이 커지는 것을 보여주고 있다. 즉 낮은 진동수에서는 크랙의 크기가 일정할 때 크랙의 위치에 따라 변화가 단순하게 감소하는 경향을 나타내고 있다. Fig. 6(b)는 2차 고유진동수의 거동을 보여주고 있으며 2차 고유진동수는 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금씩 줄어드는 경향을 보이고 이것은 크랙 위치가 외팔보의 끝에서 가까운 크랙이 있을 경우 그 감소가 일정하게 감소하지 않고 조화함수의 형태로 나타난 다. 이는 이론식에 의한 결과와 비슷한 경향을 보여주고 있다

. 즉 2차 고유진동수에서는 크랙의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙 의 위치에 따라 변화가 심하게 변화하고 있다. 이 결과는 FEM 결 과와 비교할 경우 같은 결과를 보였다.

따라서 실험데이터를 이용한 본 방법도 매우 타당한 방법임을 알 수 있고 실험을 고려한 보다 실제적인 분석 결과임을 알 수 있 다. Fig. 6(c)는 475 Hz 부근의 3차 고유진동수의 표면을 나타내 고 있으며 3차 고유진동수도 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금씩 줄어드는 경향을 보이고 크랙이 큰 경우 크랙의 위치에 따라 뚜렷 한 조화함수 특성이 나타나는 것을 보여준다. 즉 고차로 갈수록 더 욱 조화진동의 고유진동수 값의 변동이 뚜렷하게 나타내고 있다.

이때의 고유진동수는 실험에 의하여 가속도신호를 시계열 모델링 하여 얻은 결과이고 고유진동수 응답표면으로 고유진동수 값의 변 화를 수월하게 확인할 수 있었다.

Fig. 7은 FEM으로 고유진동수를 각 크랙크기와 위치에 따라 고

유진동수와 크랙위치와의 관계를 나타낸 것이다. 즉 크랙의 깊이

0, 10, 20 mm의 빔을 같은 조건이 되도록 모델링하여 유한요소해

석을 하였고 해석된 1차～3차 고유진동수를 크랙의 위치에 대하여

나타낸 것이다. 이때의 고유진동수는 CATIA의 FEM으로 고유진

동수를 구한 것으로 실험을 통한 시계열 모델링한 고유진동수와

비교할 시 약간 달리 나타났다.

(a) 1st mode

(b) 2nd mode

(c) 3rd mode

Fig. 7 Natural frequency according to crack position for cracked beam (FEM)

(a) 1st mode (around 27 Hz)

(b) 2nd mode (around 170 Hz)

(c) 3rd mode (around 475 Hz)

Fig. 8 Response of natural frequency for cracked beam (for FEM)

Fig. 7(a)는 1차 고유진동수의 거동을 나타내는 것으로 고유진동 수가 계속 줄어들고 있다. 크랙의 위치가 외팔보 끝에서 고정위치 로 갈수록 크랙의 위치에 따라 조금씩 줄어들었다 늘어나는 경향을 보이고 있는 실험에 의한 방법과 달리 계속 줄어들었다. 크랙 위치 가 외팔보의 끝에서 가까운 곳에 크랙이 있을 경우에는 그 감소폭 이 작고 외팔보 고정점에 가까워질수록 그 감소폭이 커지는 실험결 과와 다르고 1차 고유진동수에서는 크랙의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙의 위치에 따라 고유진동수 변화가 심하지 않고 단순하게 감소하는 경향을 나타내고 있다. Fig. 7(b)은 FEM으로 고유진동 수를 구한 것으로 2차 고유진동수의 파형을 보여주고 있으며 2차 고유진동수는 크랙의 크기가 커짐에 따라 조금씩 줄어들었다 감소 하는 경향을 보이고 특히 크랙 위치가 외팔보의 중간 정도의 위치 에 크랙이 있을 경우 고유진동수의 감소정도가 크게 나타났고 안쪽

으로 갈수록 감소하는 경향을 나타냈다. Fig. 7(c)는 3차 고유진동

수의 파형을 보여주고 있으며 3차 고유진동수는 크랙의 크기가 커

짐에 따라 조금씩 늘어나다 중간지점에서 감소하고 이를 반복하는

경향을 보이고 있다. 특히 크랙 위치가 외팔보의 중간 정도의 위치

하여 있을 경우 고유진동수의 감소 정도가 가장 작게 나타났고, 안

쪽으로 갈수록 다시 증가 후 감소하는 형태로 나타났다. 1, 2, 3차

고유진동수에서는 크랙의 크기가 고정되어 있는 경우 크랙이 파형

형태로 나타나고 고유진동수의 감소폭이 각기 달리 나타났으며 이

결과 실험에 의한 고유진동수 결과와 비교할 경우 약간의 차이는

있으나 동일한 결과를 보였다. 따라서 본 연구의 실험에 의한 방법

으로도 FEM 방법과 같이 고유진동수 및 감쇠계수의 경향을 비교

적 정확하게 얻을 수 있음을 알 수 있었다.

Fig. 8(a)는 크랙깊이 0, 10, 20 mm의 빔에서 FEM으로 해석된 1차～3차 고유진동수를 이용하여 그 응답표면과 크랙위치를 나타 낸 것이다. Fig. 8(a)에서 크랙의 깊이 0, 10, 20 mm 빔의 1차 고유진동수를 일괄적으로 보여주는 응답표면을 보여주고 있고 Fig. 7(a)의 결과를 한꺼번에 분석할 수 있다. Fig. 8(b)는 169 Hz 의 2차 고유진동수의 거동을 보여주고 있으며 2차 고유진동수의 변화는 크랙의 크기와 위치에 따라 심하게 변하는 상태를 볼 수 있다. Fig. 8(c)는 475 Hz 부근의 3차 모드를 FEM으로 구하여 그 고유진동수의 응답표면을 나타내고 있다. 3차 모드는 크랙의 크 기가 커짐에 따라 조금씩 줄어드는 경향을 보이고 크랙이 큰 경우 크랙의 위치에 따라 더욱 뚜렷한 조화 파형 특성이 나타나는 것을 보여주고 있다. 즉 고차로 갈수록 더욱 뚜렷하게 조화진동의 고유 진동수 값의 변동을 볼 수 있다. 이때의 고유진동수 표면은 FEM으 로 구한 고유진동수를 이용하였고 시계열모델링에 의한 고유진동수 값으로 표현한 표면과 비교할 때 서로 비슷한 경향을 나타내고 있다.

두 가지 방법의 연구 분석결과 크랙이 없을 시의 Euler-Bernoulli 빔의 고유진동수는 크랙이 커짐에 따라 감소하였으며 이는 크랙에 의하여 빔의 강성이 작아지기 때문이고, 고유진동수는 강성의 루트 제곱근에 비례하기 때문에 크랙이 커져 강성이 감소하면 그 크기가 감소하여 나타났다. 크랙의 위치는 고유진동수가 1차인 경우는 감 소하고 2차 이상인 경우는 크랙이 없는 경우에 비하여 위치에 따라 크기가 조화함수의 곱의 형태로 나타났다. 본 연구의 결과로 1차～

3차 고유진동수의 분석으로도 크랙 위치를 검출 할 수 있으나 각 고유진동수와 감쇠계수는 그 오차 값이 검출될 때에는 상대적으로 저차의 고유진동수에 크게 반영되는 경향을 보였다. 또한 각 고유 진동수는 크랙 크기와 위치 범위를 판단할 수 있게 한다. 즉 고유진 동수 측정으로 크랙의 크기와 위치의 상관관계를 알 수 있고 크랙 의 위치와 깊이 등의 특성은 고차의 고유진동수에서 그 특성이 잘 나타나게 되는 것을 알 수 있었다.

5. 결 론

본 연구에서 시계열 모델의 고유진동수를 이용한 단일크랙을 갖 는 외팔보에서 크랙위치와 크기에 따른 진동해석법이 제안되었고 CATIA FEM 결과와 비교분석 되었다. 이 분석 결과를 이용하여 다음과 같은 결론을 얻었다.

(1) 독립변수인 크랙깊이와 크랙위치에 따른 고유진동수 모델로 1 차～ 3차 고유진동수를 나타낼 수 있었고, 외팔보에서 각각의 고유진동수가 발생할 경우 그 고유진동수 조건을 만족하는 단 일크랙 깊이와 크랙위치의 분포영역을 표현할 수 있었다.

(2) 실험에 의한 방법과 FEM 방법에 의한 고유진동수 표면의 구

성이 가능하였고, 시계열에 의한 실험적인 방법은 감쇠계수도 표면으로 나타낼 수 있었다. 특히 실험적인 방법은 진동해석에 서 외팔보 거동을 나타내는 고유진동수와 감쇠계수를 동시에 표현할 수 있었다.

(3) 주파수가 낮은 고유진동수의 경우는 FEM의 경우 크랙의 위치 에 따라 파형형태로 감소되어 나타나는 일반적인 결과와 달리 시계열 모델링에서는 파형형태와 같이 증감하는 고유진동수의 특성을 실제적인 오차를 포함하여 나타낼 수 있었다. 따라서 실험특성을 반영할 수 있는 시계열 방법은 이런 변동파형을 보 다 수월하게 표현할 수 있었고 그 값에는 FEM의 이론 해석과 비교하여 약간의 오차가 포함되어 나타났다.

References

[1] Lee, Y. S., Chung, M. J., 2000, A study on crack detection using eigen-frequency test data, Computers & Structures 77 327-342.

[2] Nahvi, H., Jabbari, M., 2005, Crack detection in beams using experimental modal data and finite element model, I. J. of Mech. Sci.

47 1477-1497.

[3] Owolabi, G. M., Swamidas, A. S. J. and Seshadri., R., 2003, Crack detection in beams using changes in frequencies and amplitudes of frequency response functions, J. of Sound & Vibration, 265 1-22.

[4] Barad, K. H., Sharma, D. S. and Vyas, V., 2013, Crack detection in cantilever beam by frequency based method, Procedia Engineering, 57 770-775.

[5] Patil, D. P. and Maiti, S. K., 2003, Detection of multiple cracks using frequency measurements, Eng. Fractal Mech., 70 1553-1572.

[6] Dado, M. H., 1997, A comprehensive crack identification algorithm for beams under different end conditions, Appl. Acou., 51:4 381-398.

[7] Rosales, M. B., Filipich, C. P. and Buezas, F. S., 2009, Crack detection in beam-like structures, Eng. Stru., 31 2257-2264.

[8] Ahn, S. J., Son, I. S. and Yoon, H. I., 2009, Put vibration characteristics of beams with crack, Proceed. of KSME(spring), 178-182.

[9] Karthikeyan, M., Tiwari, R. and Talukdar, S., 2007, Crack localisation and sizing in a beam based on the free and forced response measure- ments, MSSP, 21 1362-1385.

[10] Pandit, S. M. and Wu, S. M., 1993, Time series and system analysis with applications, John Wiley and Son.

[11] Kim, J. D., Yoon, M. C. and Cho, H. D., 2011, An analysis on the tooth passing frequency using end-milling force, J. of KSMPE, 10:4 1-7.

[12] Yoon, M. C., Cho, H. D. and Kim, S. K., 1999, A study on diagnostics of machining system with ARMA modeling and spectrum analysis, J.

of KSMTE, 8:3 42-51.