수리 영역 (가형)
1.
1.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은? [점]
① ② ③
④ ⑤
2.
2.lim
→ln
의 값은? [점]
①
② ③
④
⑤
3.
3.좌표공간의 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [점]① ② ③
④ ⑤
4.
4.두 사건
에 대하여
와
은 서로 배반사건이고P
P
∩
일 때, P
의 값은? (단,
은
의 여사건이다.) [점]①
②
③
④
⑤
2 2 2 2 2 2 2 2 2교시 2 2 교시 교시 교시 교시 교시 교시 교시 교시 교시 교시
2교시 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형 홀수형
5.
5.함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프가 함수 log의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프와 직선 에 대하여 대칭일 때, 상수 의 값은? [점]① ② ③
④ ⑤
6.
6.초점이 F인 포물선 위의 점 P 에 대하여PF 일 때, 점 P의 좌표는? [점]
① ②
③
④
⑤
7.
7.곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는? [점]① ② ③
④ ⑤
8.
8.확률변수 가 이항분포 B
을 따르고,E
V
를 만족시킬 때, 의 값은? [점]① ② ③
④ ⑤
9.
9.함수 의 역함수를 라 할 때,
′ 의 값을 구하면? [점]
①
②
③
④
⑤
10.
10.주머니 속에 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 구슬 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소일 확률은? [점]①
②
③
④
⑤
11.
11. ≤ 일 때, 에 대한 이차방정식 cos sin
이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 의 값의 범위는
이다. 의 값은? [점]
①
② ③
④
⑤
12.
12.네 명의 학생 A B C D에게 같은 종류의 초콜릿 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? [점](가) 각 학생은 적어도 개의 초콜릿을 받는다.
(나) 학생 A는 학생 B보다 더 많은 초콜릿을 받는다.
13.
13.좌표공간에서 점 를 지나고 직선
을 포함하는 평면이 축과 만나는 점의 좌표는? [점]
①
②
③
④
⑤
14.
14.이차함수 의 그래프와 일차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식
≥
을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [점]
① ② ③
④ ⑤
15.
15.어느 회사 직원들의 어느 날 출근 시간은 평균이분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다.
이 날 출근 시간이 분 이상인 직원들 중에서 ,
분 미만인 직원들 중에서 가 지하철을 이용하였고, 나머지 직원들은 다른 교통수단을 이용하였다. 이 날 출근한 이 회사 직원들 중 임의로 선택한 명이 지하철을 이용하였을 확률은? (단,
가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤
≤ 로 계산한다.)[점]
① ② ③
④ ⑤
16.
16. 에서 정의된 연속함수 가 모든 양수 에 대하여
을 만족시킬 때
의 값은?
① ln
②
ln
③
ln ④
ln
⑤ ln
17.
17.다음은 집합
과 함수
→
에 대하여 합성함수 ∘ 의 치역의 원소의 개수가 인 함수 의 개수를 구하는 과정이다.함수 와 함수 ∘ 의 치역을 각각
와
라 하자.
이면 함수 는 일대일 대응이고, 함수 ∘ 도 일대일 대응이므로
이다.또한
≤ 이면
⊂
이므로
≤ 이다.그러므로
, 즉
인 경우만 생각하면 된다.(ⅰ)
인
의 부분집합
를 선택하는 경우의 수는 가 이다.(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합
에 대하여,
의 원소 중
에 속하지 않는 원소를 라 하자.
이므로 집합
에서 를 선택하는 경우의 수는 나 이다.(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한
와(ⅱ)에서 선택한 에 대하여, ∈
이며
이므로
⋯⋯ ∗
이다. ∗을 만족시키는 경우의 수는 집합
에서 집합
로의 일대일 대응의 개수와 같으므로나 이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 의 개수는 가 × 나 × 다 이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 라 할 때,
의 값은? [점]
① ② ③
④ ⑤
18.
18.그림과 같이 AB ∠B 인 직각삼각형
ABC 에서 ∠C 를 이등분하는 직선과 선분 AB의 교점을 D 중심이 A이고 반지름의 길이가 AD 인 원과 선분 AC 의 교점을 E라 하자. ∠A 일 때, 부채꼴 ADE의 넓이를
삼각형 BCE의 넓이를
라 하자.lim
→
의 값은? [점]
①
②
③
④ ⑤
19.
19.한 변의 길이가 인 정삼각형 BCD를 한 면으로 하는 사면체 ABCD의 꼭짓점 A에서 평면 BCD의 내부에 놓여 있다. 삼각형 CDH의 넓이는 삼각형 BCH넓이의 배, 삼각형 DBH의 넓이는 삼각형 BCH의 넓이의 배이고 AH 이다. 선분 BD의 중점을 M, 점 A에서 선분 CM에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 선분 AQ의 길이는? [점]①
②
③
④
⑤
20.
20.점
에서 곡선 sin 에 접선을 그어 접점의 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, 번째 수를 이라 하자. 모든 자연수 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은?<보 기>
ㄱ. tan
ㄴ. tan tan
ㄷ.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
21.
21.실수 전체의 집합에서 미분가능 한 함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [점](가) 모든 실수 에 대하여
′ ′ 이다.
(나)
①
②
③
④
⑤
22.
22.PC의 값을 구하시오. [점]23.
23.tan 일 때, sec의 값을 구하시오. [점]24.
24.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≥ 에서의 위치 가
cos sin
이다. 점 P 의 속력이 최대일 때, 점 P 의 가속도의 크기를 구하시오. [점]
25.
25.
cos 의 값을 구하시오. [점]26.
26.어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다.
이 지역 주민 중 명을 임의추출하여 구한 하루 여가활동 시간의 표본평균이 분일 때, 모평균 에 대한 신뢰도
의 신뢰 구간이 ≤ ≤ 이다.
이 지역 주민 중 명을 다시 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 분일 때, 모평균 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간이 ≤ ≤ 이다.
을 만족시키는 의 값을 구하시오. (단,
가 표준정규분포를 다르는 확률변수일 때,P
≤ P
≤ 로 계산한다.) [점]27.
27.한 개의 주사위를 한 번 던지다. 홀수의 눈이 나오는 사건을
, 이하의 자연수 에 대하여 의 약수의 눈이 나오는 사건을
라 하자. 두 사건
와
가 서로 독립이 되도록 하는 모든 의 값의 합을 구하시오.[점]
28.
28.두 초점이 F F ′인 타원
이 있다. 원
위의 점 P에 대하여 직선 F′P 가 이 타원과 만나는 점 중 좌표가 양수인 점을 Q라 하자.
PQ FQ 의 최댓값을 구하시오. [4점]
29.
29.좌표평면에서 넓이가 인 삼각형 ABC 의 세 변 AB BC CA 위를 움직이는 점을 각각 P Q R 라 할 때,AX
AP AR
AQ
를 만족시키는 점 X 가 나타내는 영역의 넓이가
이다.
의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [점]
30.
30.최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여 함수 sin 이 에서 극대 또는 극소이고, ≥ 인 모든 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 , , , , , ⋯라 할 때, 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 이고
이다.(나)
′
라 할 때, 의 값을 구하시오.
단,
[점]※ 확인사항
∘ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
[2019학년도 대학수학능력시험 가형 홀수형]
[정답 및 해설]
⑤ ③ ③ ② ③
① ③ ① ⑤ ④
④ ② ① ④ ⑤
② ② ② ③ ⑤
④
1. 정답 ⑤
따라서 성분의 합은 이다.
2. 정답 ③
lim
→ln
lim
→
ln
×
3. 정답 ③
선분 AB의 내분점은
× ×
× ×
× ×
∴
축 위에 있으므로 좌표는
∴
4. 정답 ②
두 사건
에 대하여
와
은 서로 배반사건이므로
와
는 교집합이 존재하지 않는다.이 때 P
P
∩
이므로 이를 벤다이어 그램으로 이렇게 표현된다.
따라서 P
5. 정답 ③
(ⅰ) 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는
(ⅱ) log의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는 log
log ⋯⋯ ㉠ (ⅲ) 를 축에 대하여 대칭이동한 그래프는
,
log
∴ log ⋯⋯ ㉡
㉠㉡이므로
6. 정답 ①
포물선 의 준선의 방정식은 이다.
포물선 위의 점 P 에서 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여
PF PH 이므로 점 P의
좌표는
7. 정답 ③
주어진 을 에 대하여 미분하면
′ ′，
즉, ′
이므로 에서의 접선의 기울기는
8. 정답 ①
이항분포 B
을 따르므로E
, V
그런데 E
V
E
이므로 대입하면 E
V
,
∴
9. 정답 ⑤
′
이고, 는 의 역함수이므로
이 성립한다.
이를 미분하면 ′ ′ 이다.
′ ′
∴ ′ ′
10. 정답 ④
주머니 속에 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 구슬 개에서 개를 꺼내는 경우의 수는
C
×
(가지)
꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소인 경우는
,
,
, ,
즉, (가지)
따라서 이 주머니에서 임의로 개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소일 확률은
11. 정답 ④
실근을 갖지 않기 위해서는 이차방정식
cos sin 의 판별식
이어야 한다.따라서
cos sin 에서cos sin ,
cos sin
sin sin
sin sin
sin sin
∴
sin ≤ ∵ ≤ sin ≤
∴
따라서
이므로
12. 정답 ②
A B C D가 각각 받는 초콜릿의 개수를
개라 하면
(≥ ≥ ≥ ≥ , ) 이다.
(ⅰ) 일 때, ≥ 이므로
′ (′ ≥ )
′
′ 에서 H
(ⅱ) 일 때 ≥ 이므로
′ ′ ≥
′
′ 에서 H
(ⅰ), (ⅱ)에서 경우의 수는 가지
13. 정답 ①
직선의 방향벡터 이고 직선 위의 한 점
과 점 를 지나는 벡터를 라 하면
이 된다.
구하고자하는 평면의 방향벡터를 이라고 하면 ⊥ 이고 ⊥ 이어야 한다.
따라서
· ·
· ·
위 두 식을 연립하면
∴
따라서 구하고자 하는 평면은 점 를 지나고 벡터
에 수직인 평면이므로
이 평면의 축과의 교점은 을 대입하면 되므로
∴
14. 정답 ④
주어진 그래프에 의해
,
≥
,
≥
지수함수의 밑이 보다 지수가 증가할수록 감소하므로
≤ 에서
≤
,
≤ ,
≤ 따라서 부등식을 만족하는 의 범위는
≤ 또는 ≤ ≤
따라서 만족하는 자연수 는 이므로 모든 자연수 의 값의 합은 이다.
15. 정답 ⑤
P
≥ P
≥
P
≥ (ⅰ) 출근 시간이 분 미만이고 지하철을 이용할 사건을
라 하면 P
×
(ⅱ) 출근 시간이 분 이상이고 지하철을 이용할 사건을
라 하면 P
×
(ⅰ), (ⅱ)에서 임의로 선택한 명이 지하철을 이용할 확률은 P
∪
P
P
16. 정답 ②
주어진 식
의 양변을 구간
에서 정적분하면
이 때,
를 치환적분한다.
라고 하면
,
일 때 ,
일 때 이므로
ln
∴
ln
17. 정답 ②
(ⅰ)
인
의 부분집합
를 선택하는 경우의 수는 원소 개중 개를 선택하는 경우이므로 C 이다.(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합
에 대하여,
의 원소 중
에 속하지 않는 원소를 라 하자.
이므로 집합
에서 를 선택하는 경우의 수는 선택된 의 치역의 원소 개중 가대응되어야 할 원소를 선택하는 것이므로
C 이다.
(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한
와 에서선택한 에 대하여, ∈
이며
이므로
⋯⋯ ∗
이다. ∗을 만족시키는 경우의 수는 집합
에서 집합
로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 의 개수는
× × 이다.
∴
18. 정답 ②
∠A 이므로 AC cos
BC tan
∠DCB
이므로
DB tan × tan
AD DB
tan × tan
∴
tan × tan
× CE AC AE
cos
tan × tan
∴
CE× CB× sin
cos tan × tan
× tan × cos
cos sin × tan
× tan
lim
→
lim
→
cos sin × tan
× tan
tan × tan
×
분모, 분자에
을 곱하면
lim
→
cos sin × tan
× tan ×
tan × tan
×
×
lim
→
cos
sin
× tan
× tan
tan × tan
×
→ 일 때,
cos
→ , sin
→ , tan → , tan
→ , tan → 이므로
lim
→
× × ×
× × ×
19. 정답 ③
∆DBH ∆BCH이므로 BH의 연장선과 CD 가 만나는 점을 E라 할 때, CE DE 이다.
또한 ∆CEH ∆DEH 이므로
∆BCH ∆CEH 이다.
따라서 점 H는 선분 BE 의 중점이다.
또한 삼수선 정리에 의해 선분 HQ 와 선분 CM 도 수직이다.
CB , CD 라 하면
CQ CM
, CH
이고
HQ· CQ
·
∴
따라서
HQ
,
AQ
AH
HQ
에서∴
AQ
[다른 풀이]
A
B C
D H Q M
∆BCD는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 넓이는
이다.∆BCH의 넓이를 라 하면
∆BDH , ∆CDH
셋을 합하면
이므로
이다.따라서
∆BCH
, ∆BDH
,∆CDH
∆CDM의 넓이는
이고 ∆DMH의 넓이는
이므로 □CDMH
따라서 ∆CMH
이다.CM
이므로 삼수선의정리에 의해AH⊥QH이고 CM⊥QH이다.
∆CMH
× CM× QH이므로
⋅
⋅QH∴ QH
피타고라스 정리에 의해 AQ
이다.20. 정답 ⑤
ㄱ. 접점의 좌표를 이라 하면 접점은
sin
접점에서의 기울기는 cos 이므로 따라서 접선의 방정식은
cos sin 이 직선이 점
을 지나므로 cos
sin
cos sin 양변을 cos
∵ ≠
으로 나누면
tan (참)
ㄴ.
lim
→∞
의 우극한임을 알 수 있다.
따라서
,
이 성립한다.
tan tan
(참) ㄷ. 은 점점 작아지므로
∴ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
[다른 풀이]
ㄷ.
lim
→∞
이므로
이라 하면
이고 감소하는 수열이다.
(∵ 은 간격이 점점 작아지는 수열)
∴
21. 정답 ④
(가)에서 을 미분하면 ⋅ ′ 이고
을 미분하면 ⋅ ′ ⋅
이므로
이다.
을 대입하면
⋯⋯ ㉠
를 대입하면
⋅
⋯⋯ ㉡
을 대입하면
⋅
⋯⋯ ㉢㉠, ㉡, ㉢을 연립하면
을 대입하면 ⋅
∴
22. 정답
PC × ×
×
23. 정답
sec tan
24. 정답
sin
cos이므로 점 P 의 시각 에서의
속도를 라 하면 시각 에서의 점 P 의 속력은
sin cos
sin 따라서 점 P 의 속력은 일 때 최댓값을 가진다.
cos
sin이므로 점 P 의 시각
에서의 가속도를 라 하면
cos sin
따라서
에서의 가속도는 이므로 구하는
가속도의 크기는
25. 정답
′ cos 이라 하면
′ sin 이므로 부분적분을 이용하여 풀면
cos
sin
sin
sin
cos
26. 정답
신뢰도 의 신뢰구간은
≤ ≤
이는 ≤ ≤ 이다.
신뢰도 의 신뢰구간은
≤ ≤
이는 ≤ ≤ 이므로 조건에서 을 만족시키는 는
∴
27. 정답
한 개의 주사위를 한 번 던졌을 때, 홀수가 나올 확률은 P
이다.
이하의 자연수 에 대하여 의 약수 중 홀수인 것의 개수를 , 짝수인 것의 개수를 라 하면
P
, P
∩
그런데 두 사건
와
가 독립이므로 P
∩
P
× P
을 만족하므로
×
∴
즉, 이하의 자연수 의 약수 중 홀수와 짝수의 개수가 같아야 하므로 이를 만족하는 자연수 은
따라서 모든 자연수 값의 합은
28. 정답
타원
에서 F ′Q FQ × 로 일정하고
PQ FQ 의 길이가 최대가 되려면 F ′P 가 최소이여야 하므로 원 의 중심 에서 초점 F′ 에 이르는 거리는
F ′P 의 최소는 원
의 반지름의 길이를 뺀 이므로 따라서 PQ FQ 의 최댓값은 29. 정답
AP AR
AT이라 하면 AX AT AQ 이고 점 T가 존재하는 영역은 아래 그림의 빗금친 영역과 같다.
AQ 가 존재하는 위치는 아래의 직선과 같다.
따라서 점 X 가 존재하는 영역은 T가 존재하는 영역을
AQ 만큼 평행이동하면 되므로
AQ 가 양끝인 선분 AB AC 위에 놓일 경우는 아래의 그림과 같다.
따라서 X 가 그리는 영역은 아래의 정육각형 영역이고
구하려는 넓이는 전체 넓이에서 닮음에 의해 닮음비가
인 위쪽의 삼각형 개와 닮음비가 인 아래쪽의 삼각형 개를 빼면 된다.
×
×
×
이므로 이고
이다.
30. 정답
함수 sin
에서 양변을 미분하면
′ sin
′cos
′ 인 경우는 ′ 또는 cos 이므로
⋯
(가)조건에서 이고
이므로 sin
,
sin
,
(나)조건에서
이므로
sin
sin
sin
sin
는 cos 의 근이고 는 ′ 의 근일 때,
이므로 cos ≠ , ′ 이어야 하므로
즉 sin sin
에서 sin 이면
sin
이라 모순이다.
∴ sin sin
∴ sin
함수 는 최고차항의 계수가 인 삼차함수이므로
′ sin
′cos
에서
⋅⋅
⋯⋯ ㉠
′
⋅ ⋅
×
⋯⋯ ㉡
sin
sin
(∵ ㉠) sin
sin
⋯⋯ ㉢
cos
cos
cos
cos
⋯⋯ ㉣
′ sin
′cos
에
를 대입하면
∴ ′
⋅
(∵ ㉡, ㉢, ㉣
′
이므로
∴
