으 면

으 면

.

,

.

,

.

이 단원에서는

1

의

의

의

고대 그리 의 학자 라 (Platon, B C 427 B C 347)은 다 개만 재하 는 다면체를 이용하여 시 물질을 이 다고 생각 네 가지 기본 원소인 불, , 물, 공기와 우주를 설명하 고 습니다.

1

1 각형의 성질

이면체를 제 한 다면체의 면은 각형과 사각형으로 이루어 있는데, 이들은 각각 다 과 이 30 60 90 직각 각형과 45 45 90 직각이등변 각 형으로 분해됩니다.

이면체를 제 한 네 가지 다면체는 이 가지 직각 각형으로 부 만들어 다고 하여 라 은 이 가지를 ‘원자(atomic) 각형’

이라 불 다고 합니다. 한 , 이면체의 면인 각형은 다 개의 이등변 각형으로 분해가 됩니다.

이와 이 각형은 도형을 이루는 가장 기본적인 요소로 생각할 수 있기 문에 여러 가지 양의 각형이 는 성질을 아는 것은 우 중요합니다.

(출처 Lloyd, D. R., 「The Chemistry of Platonic Triangles Problems in the Interpret ation of the ma s」)

이 단원에서는 여러 가지 각형의 성질을 아 니다.

라 불

(정사면체) (정육면체)

공기 (정 면체)

우주

(정 이면체) (정이 면체)

형으로 분해됩니다

이등변 각형으로 분해가 됩니다

이와 이 각형은 도형을 이루는 가장 기본적인 요소로 생각할 수 있기 문에 여러 가지 양의 각형이 는 성질을 아는 것은 우 중요합니다

이 단원에서는 여러 가지 각형의 성질을 아 니다

라

준비 학습

r

1

B C

D

E

F 8 cm

10 cm 10 cm

8 cm 60^æ

60^æ

•이등변 각형의 성질을 이해하고 할 수 있다.

위의 생각 기에서 이등변 각형은 각의 크기가 을 수 있다. 이 사 실을 인해 자.

▶ 이등변 각형에서 길이 가 같은 두 변이 이 는 각 을 지각, 지각의 대변 을 밑변, 밑변의 양 각 을 밑각이라고 한다.

지 른 그 과 이 = 인 이등변 각형 ABC에서

D A

B C

의 이등분 과 변 BC의 교 을 D라고 하자.

와 에서

= , = , 는 공통

이 로

r

따라서 = 이다. 즉, 이등변 각형의 각의 크 기는 다.

▶ SSide(^변) AAngle(^각)

다 과 이 사각형 양의 이를 으로 어 가위로 자른 펼쳐서 이등변 각형 ABC를 만들어 자.

A

B C

와 같 을 말해 보자.

?

2 쪽

이등변 각형은 두 변의 길이가 같은 각형이다.

다음 에서

R

A 80^æ

B x C

A

B 40^æ C

x

1

다 을 통하여 이등변 각형에서 지각의 이등분 과 변 사이의 관 를 아 자.

위의 함 하기에서 이등변 각형의 지각의 이등분 은 변을 수직이등분함을 수 있다.

른 그 과 이 = 인 이등변 각형 ABC에 서 의 이등분 과 변 BC의 교 을 D라고 할 ,

는 를 수직이등분함을 설명하 고 한다.

1 ^r

= , = 을 설명해 자.

2

3 1

2

D A

B C

이상을 리하면 다 과 다.

1 이등변 각형의 각의 크기는 다.

2 이등변 각형의 지각의 이등분 은 변을 수직이등분한다.

▶ (Thales^, B^.C^. 624 B^.C^. 546 ) 고대 그리 의 수학자로, 이등변 각형의 두 밑각의 기가 같다는 사실을 알 아냈다.

른 그 은 로그 을 이용하여

= 인 를 그 것이다.

와 의 이 하 = 지 해 보자.

?

위의 생각 기에서 각의 크기가 은 각형은 이등변 각형 을 수 있다.

이 사실을 인해 자.

른 그 과 이 = 인 에서 의 이

D A

B C

등분 과 변 BC의 교 을 D라고 하자.

와 에서

=

=

이다. 이 각형의 각의 크기의 합은 180 이 로

= 이고,

는 공통 이다.

따라서 , , 에 의하여

r

=

이다. 즉, 각의 크기가 은 각형은 이등변 각형이다.

▶ 이등변 각형임을 보이 기 위해서는 두 변의 길이 가 같음을 보이면 된다.

오른쪽 그림과 같이 = ^{인 이등변 각형} ABC^에서 의 이등분 과 의 교점을 D^{라고 하자.}

m^{, 일 때}, 다음을 구하시오.

의 크기 의 크기 의 길이

2

D A

B C

50^æ

4`cm

알콩 달콩 수학

이상을 리하면 다 과 다.

다음 에서 x^{의 값을 구하시오.}

A

B C

6 cm

70^æ 40^æ

x cm

60^æ

30^æ A

B C

5 cm

x cm

3

오른쪽 그림과 같이 = ^{인 이등변 각형} ABC^에서 와 의 이등분 의 교점을 D^{라고 하자.}

= 을 설명하시 .

는 이등변 각형 을 설명하시 .

4

D A

B C

각의 크기가 은 각형은 이등변 각형이다.

추론

분 AB의 수직이등분 위에 한 점 P^{를 잡으면} = 임을 확인하려고 한다.

로 분 AB의 수 분 을 어

은지

의 을

지

1

2

알콩 달콩 수학

와 금 는 자를 사용하여 90 나 와 은 수한 각의 등분 은 작도할 수 있 지만, 34 나 60 와 은 각의 등분 을 작도하는 것은 불가능하다고 있다.

그 데 우리가 배 이등변 각형의 성질을 이용한 이 기 방법으로 의의 각의 등분 을 을 수 있다.

이 한 장을 이용하여 다 서에 따라 각의 등분 을 아 자.

이로 의의 각을 하나 다 펼 다.

이의 가로와 한 2개를 이 도록 다 펼 다.

은 에서 은 각의 변 위에, 은 에서 은 아 위에 도 록 이를 다 펼치면 합동인 이등변 각형 2개를 을 수 있다.

과 초록 을 결하는 이 생기도록 다 펼 다.

에서 생 각을 이등분하는 을 다 펼치면 각의 등분 2개가 생 다.

2 쪽

1 의 각형이 이등변 각형임을 확인해 보자.

2 오른쪽 그림의 각형이 이등변 각형임을 해 보자.

3 에서 나 어진 세 각의 기가 같음을 해 보자.

추론

(출처 EBS , 2018)

?

직각 각형에서 한 각은 직각이 로 한 예각의 크기가 해지면 다른 예각의 크기도 해 다. 이것을 이용하면 직각 각형에서는 각형의 합동 다 단 한 합동 을 을 수 있다.

다 을 통하여 변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 은 직각 각형은 서로 합동 을 아 자.

▶ 직각 각형에서 직각의 대변을 변이라고 한다.

른 그 과 이 = =90 인 직

B

A

C E

D

F

각 각형 ABC와 DEF에서 = 이고

= 일 ,

r

명하 고 한다.

1

2 ^r

위의 함 하기에서 변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 은 직각 각형은 서로 합동 을 수 있다.

의

•직각 각형의 합동 조건을 이해하고 할 수 있다.

이제 변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 은 직각 각형은 서로 합동 을 아 자.

른 그 과 이 = =90 인 직각 ^A

A{D}

C{F}

B

B

C

D

E

E F

각형 ABC와 DEF에서 = 이고

= 일 , 와 가 도록 를 어 에 이면

+ =90 +90 =180

이다. 즉, B, C(F) E는 한 직 위에 있다.

또

=

이 로 는 이등변 각형이다. 그러 로

= 이다.

따라서 과 에 의하여 변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 으 로

r

즉, 변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 은 직각 각형은 서로 합동 이다.

오른쪽 그림과 같이 인 두 직각 각형 ABC^와 DEF^에서 의 길이를 구하시오.

1

B

A

C D

E F

8 cm

8 cm 4 cm

30^æ 60^æ

오른쪽 그림과 같이 인 두 직 각 각형 ABC^와 DEF에서 다음을 구하시오.

의 크기 의 길이

2

B C

D

E

5 cm F 40^æ

이상을 리하면 다 과 다.

다음 직각 각형 중에서 서로 합동인 것끼리 짝 지어 보고, 각각의 합동 조건을 말하시오.

4 cm 50^æ

5 cm

50^æ 40^æ 4 cm

40^æ

4 cm

5 cm 5 cm 50^æ

40^æ 4 cm 5 cm

3

▶R Rightangle(^직각)

s

( ^변)

1 변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 은 직각 각형은 서로 합동이다.

( 합동)

2 변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 은 직각 각형은 서로 합동이 다. ( 합동)

의 이등분 위의 한 점 P^{에서 두 직} BA^와 BC에 이 는 거리가 같음을 확인하려고 한다. 다음 순서에 따라 이를 고, 음에 해 보자.

1 이 위에 세 점 A^, B^, C를 표시하고 두 직 AB^와 BC^{를 각각 는다.}

2 두 직 AB^와 BC가 서로 개어지도록 고, 은 위에 점 P^{를 잡는다.}

3 직각자를 이용하여 점 P^{에서 두 직} AB^와 BC에 수 을 고, 그 수 의 을 각각 E^와 F^{라고 한다.}

1

2

추론

C A

B C

A E

F B

C P

1 2 3

위의 생각 기에서 각형의 변의 수직이등분 은 한 에서 만나고, 그 에서 에 이르는 리는 을 수 있다.

이 사실을 인해 자.

다 서에 따라 활동해 자.

1 이를 서 만 에서 A와 B가 서로 개어지도록 다 펼 쳐서 변 AB의 수직이등분 을 만 다.

2 은 방법으로 변 BC의 수직이등분 을 만 다.

3 1 과 2 에서 생 분의 교 을 O라고 하자.

A

B C

11 A

B C

2 A

O

B C

3

1 .

2 .

?

3 1쪽

의

• 각형의 외 과 내 의 성질을 이해하고 할 수 있다.

른 에서 변 AB와 BC의 수직이등분 ^A

B C

O

이 만나는 을 O라고 하자.

이 O는 변 AB와 BC의 수직이등분 위에 있 으 로

= , = 이다.

이제 O에서 변 AC에 수 의 발을 D라고 하자.

D A

B O C

직각 각형 OAD와 OCD에서

= =90 ,

= , 는 공통

이 로

r

따라서 = 이 로 는 변 AC의 수직이등분 이다.

즉, 의 변의 수직이등분 은 한 O에서 만 다.

한 , 에서 = = 이 로 O에서 에 이르는 리는 다.

따라서 의 은 O를 중심으로 하고 를 지름으로 하는 원 위에 있다.

이와 이 의 이 원 O 위에 있을 , ^A

B O C

원 O는 에 한다고 한다. 또 원 O를 의 이라 하 , 원의 중심 O를 의 이라 고 한다.

▶ 의 수직이등분 위 의 한 점 O^{에서 두 점} A 와 B에 이 는 거리는 같 다. 즉, = ^이다.

O

A B

이상을 리하면 다 과 다.

각형의 변의 수직이등분 은 한 ( 심)에서 만나고, 심에서 각형의 에 이르는 리는 다.

다음 그림에서 점 O^{가 의 외 일 때,} x^{의 기를 구하시오.}

30^æ

x A

B C

25^æ O

A

B 22^æ 38^æ x

C O

2

오른쪽 그림에서 점 O^{가 의 외 일 때}, 다음을 구하시오.

의 길이 의 크기

1

B 30^æ 45^æ C O

3 cm

오른쪽 그림에서 점 O는 의 외 이다.

20^æ O

40^æ

x A

B C

=4 이고 =2 일 때,

R

이 O는 의 심이 로 = =

즉, , , 는 이등변 각형이고 각형의 각의 크기 의 합은 180 이 로

2(40 +20 +

R

R

30

1

제

오른쪽 그림에서 점 O^{는 의 외 이다. 일} 때, 의 기를 구하시오.

3

B 50^æ C

O

원 O와 직 l이 한 에서 만 , 직 l은 원 O에

l

O

T

한 고 한다. 이 직 l을 원 O의 이라 하고, 원 과 이 만나는 T를 이라고 한다.

한 , 원의 은 그 을 지나는 지름과 서로 수 직이다.

위의 생각 기에서 각형의 각의 이등분 은 한 에서 만나고, 그 에 서 변에 이르는 리는 을 수 있다. 이 사실을 인해 자.

▶ l

?

3 1쪽

다 서에 따라 활동해 자.

1 이를 서 만 에서 의 변이 서로 개어지도록 다 펼 쳐서 의 이등분 을 만 다.

2 은 방법으로 의 이등분 을 만 다.

3 1과 2 에서 생 분의 교 을 I라고 하자.

A

B C

11 A

B C

2 A

I

B C

3

1 .

2 .

한 점에서 직 지의 거 리는 그 점에서 직 에 내 린 수 의 지의 거리 이다.

이제 C와 I를 결하는 를 자.

E D F

A

C I

B

직각 각형 ICE와 ICF에서

= =90 , IE=IF, 는 공통 이 로

r

른 에서 와 의 이등분 이 만나는

E D F

A

C I

B

을 I라 하고, I에서 변 AB, BC, 에 수 의 발을 각각 D, E, F라고 하자.

이 I는 와 의 이등분 위에 있으 로 ID=IF, ID=IE

이다.

▶ 의 이등분 위의 한 점 I^{에서 각의 변에 각} 각 내린 수 의 D^, E 에 이 는 거리는 같다.

즉, ID=IE^이다.

I

B E

D

각형의 각의 이등분 은 한 ( 심)에서 만나고, 심에서 각형의 변에 이르는 리는 다.

따라서 = 이 로 는 의 이등분 이다.

즉, 의 각의 이등분 은 한 I에서 만 다.

한 , 에서 ID=IE=IF이 로 I에서 변에 이르는 리는 다.

따라서 의 변은 I를 중심으로 하고 ID를 지름으로 하는 원에 한다.

이와 이 의 변이 원 I에 할 , 원 I는 ^A

C I

B

에 한다고 한다. 또 원 I를 의 이라 하 , 원의 중심 I를 의 이라고 한다.

이상을 리하면 다 과 다.

오른쪽 그림에서 점 I^가 의 내 일 때, 다음을 구하 시오.

IE의 길이 의 크기

4

B C

D

E I

20^æ 80^æ 4 cm

오른쪽 그림에서 점 I는 의 내 이다. ^A

B C

25^æ I 35^æ

=25 이고 =35 일 때,

R

시오.

이 I는 의 심이 로

= =

R

2(

R

따라서

R

2

제

다음 그림에서 점 I^{가 의 내 일 때,} x^{의 기를 구하시오.}

A

B

25^æ

40^æ x

C I

32^æ 34^æ

x A

B C

I

5

오른쪽 그림에서 점 I^{는 의 내 이다. 일 때,} 의 기를 구하시오.

6

I A

B C

72^æ

문제 해결

지영이는 오른쪽 그림과 같은 지도에서 학교, 은 , 원 으로부터 같은 거리에 있는 지점을 찾으려고 한다.

1

2

으로부 은 리에 있는 위치를 아 자. ^은

지

로그 을 이용하여 여러 가지 각 의 심과 심의 위 를 아 자.

ABC에서 점 A를 직여 이등변 각형, 예각 각형, 직각 각형, 각 각형을 각각 그리고, 외 과 내 의 위치를 관 하여 그 결과를 이야기해 보자.

각형의 외 찾기

다각 도구 를 하고 점을 어 ABC를 그 다.

수 이 도구 를 하고 AB를 하여 의 수 이 을 그 다. 같은 으로 와 의 수 이 을 각각 그 다.

교점 도구 를 하고 에서 그 변의 수 이 의 교점을 하여 이 점을 O라고 하자. 이때 점 O가 ABC의 심이다.

각형의 내 찾기

다각 도구 를 하고 점을 어 ABC를 그 다.

각의 이 도구 를 하고 점 B, A, C를 대로 하여 의 이 을 그 다. 같은 으로 와 의 이 을 각각 그 다.

교점 도구 를 하고 에서 그 각의 이 의 교점을 하여 이 점을 I라고 하자. 이때 점 I가 ABC의 심이다.

1

이 의

이 변 각 의 각의 기는 같다.

이 변 각 의 지각의 이 은 변을 수 이 한다.

이 이

각의 기가 같은 각 은 이 변 각 이 다.

2

변의 이와 한 예각의 기가 각각 같은 각 각 은 서로 합동이다. ( 합동) 변의 이와 다른 한 변의 이가 각각 같은

각 각 은 서로 합동이다. ( 합동)

3

의

각 의 변의 수 이 ^A

B O C

은 한 점( 심)에서 만 나고, 심에서 각 의

점에 이르는 거리는 같다.

과

선 과 한 점에서 만나는 과 이 만나는 점

의

각 의 각의 이 ^A

C I

B

은 한 점( 심)에서 만나고, 심에서 각 의 변에 이르는 거리는 같다.

다 직각 각형 중에서 서로 합동인 것을 아 기호로 나 고, 직각 각형의 합동 을 하시 .

A 7

4

B

C D

E F

G

H

I J L

K 50^æ 7

7 4

40^æ 7

02

른 그 과 이 = 인 이등변 각형 ABC에서 의 이등분 과 의 교 을 D라고 하자. = m이고

= 일 , 다 을 구하시 . 의 크기

의 크기 의 길이

01

기본 문제

D A

B C

5 cm 25^æ

다 그 에서 O가 의 심일 , x의 을 구하시 .

A

B C

O 7 cm

x cm

A

B C

O

30^æ 50^æ x^æ

03

다 그 에서 I가 의 심일 , x의 을 구하시 .

A

B C

x cm I 6 cm

A

I

B C

36^æ

24^æ x^æ

04

른 그 과 이 = 인 이등변 각형 ABC에서 의 이등분 과 변 AB의 교 을 D라고 할 , 의 길이를 구하시 .

05

문제

A D

B C

6 cm 36^æ

른 직각이등변 각형 ABC에서 A를 지 나는 직 l을 고, B와 C에서 직 l에 수 의 발을 각각 D와 E라고 하자. = m이고

= m일 , 의 길이를 구하시 .

06

B

C

D E

8 cm 6 cm

른 그 에서 O는 의 심이다.

=4 6 일 , 의 크기를 구하시 .

07

B O C

른 그 과 이 = 인 이등변 각형 ABC에서

=36 이고, 의 심과 심을 각각 O와 I라고 할 , 의 크기를 구하시 .

10

B C

I O

36^æ

른 그 에서 I가 의 심일 , I를 지 나고 변 BC에 한 직 과 변 AB, AC의 교 을 각각 D, E라고 하자. =4~ m, = ~ m일 ,

의 길이를 구하시 .

09

문제

A

D I E

B C

4 cm 5 cm

2

2

른 그 에서 I는 의 심이다. 다 기 중에 ^A

B E C

D F

I

서 은 것을 고르시 .

. = .

r

. IA=IB=IC . ID=IE=IF

보기

08

이와 은 한 사각형은 국의 한 천체 물리학자가 고 한 것입니다. 그는 과 화 을 일 [그 2]에서 T는 T 리, 는 리만 도록 하여 다 과 은 면 우기 자인을 만들 습니다.

이 자인을 구성하는 데도 사각형의 여러 가지 성질이 중요하게 입니다.

의

각형의 대각 에 의하여 [그 1]과 은 름 가 만들어 니다. 이 름 는 [그 2]와 이 다시 개의 사각형으로 수가 있는데, 록한 사각형을 ,

목한 사각형을 화 이라고 부 니다.

2

2 사각형의 성질

이 단원에서는 여러 가지 사각형의 성질과 그들 사이의 관 를 아 니다.

준비 학습 1

선의 성

오른쪽 그림에서 l

t

R

R

시오.

2

b m

45^æ 80^æ 72^æ

1

1 1

1

72^æ 36^æ 36^æ

36^æ

36^æ 36^æ 36^æ

[그림 1] [그림 2]

H

T

T T T

H H

H

각형 ABC를 기호로 와 이 나 것 사각형 ABCD를 기호로 와 이 나 다.

A

B C

D

또 사각형에서 주 는 변을 대변, 주 는 각을 대각 이라고 한다.

위의 생각 기에서 각형 ABC와 CDA를 개 을 전 쳐지 로 사변형 ABCD의 의 대변의 길이와 의 대각의 크기는 각각 을 수 있다. 이 사실을 인해 자.

다 과 이 직사각형 양의 이에 자를 대고 양 을 라 사변형 ABCD를 만 , 대각 AC를 따라 라 자.

A

B C

D A

B C A

C

D

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20

A

B C

D

와 을 지는지 해 보자.

?

3 1쪽

사변형은 마주 보는 두 의 변이 서로 한 사각형이다. 즉, AB DC^, AD BC

A

B C

D

• 사변형의 성질을 이해하고 할 수 있다.

른 사변형 ABCD에서 대각 AC를 그으면 ^A

B C

D

와 에서 , 이 로

= ( 각)

= ( 각) 는 공통

이다. , , 에 의하여

r

= , =

이다. 따라서 사변형의 의 대변의 길이는 각각 다.

또

r

= + = + =

이다. 따라서 사변형의 의 대각의 크기도 각각 다.

한 두 직 이 한 직 과 만 때, 동위각과 각의 기는 각각 같다.

다 을 통하여 사변형의 대각 은 서로를 이등분함을 아 자.

위의 함 하기에서 사변형의 대각 은 서로를 이등분함을 수 있다.

른 사변형 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 할 , = 이고 = 을 설명하

고 한다.

1

은 각을 아 자.

2 1

^r

3 2

A

B C

D

O

1 사변형의 의 대변의 길이는 각각 다.

2 사변형의 의 대각의 크기는 각각 다.

3 사변형의 대각 은 서로를 이등분한다.

이상을 리하면 다 과 다.

다 과 이 이 2장을 개어 라 서로 합동인 각형을 만들고 의 대 각에 각각 은 표시를 한 , 그 과 이 의 대 각이 서로 리도록

여 사각형을 만들어 자.

어 이 이 말해 보자.

?

3 3쪽

오른쪽 사변형 ABCD에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할} 때, x^와 y의 값을 각각 구하시오.

2

O 4 cm 3 cm x cm y cm

B C

A D

오른쪽 그림과 같이 컴퓨터 프로그램을 이용하여 사변형 ABCD의 두 대각 의 교점 O^{를 지나} 는 직 EF^{를 그린 후, 와} 의 길이를 각각

어 보니 두 길이가 같 다. 그 이유를 하시오.

3

위의 생각 기에서 만 사각형은 의 대변이 각각 하 로 사변형 이다.

오른쪽 사변형 ABCD에서 다음을 구하시오. 의 길이

와 의 크기

1

B C

A D

60^æ 5 cm

의 대변의 길이가 각각 은 사각형은 사변형 을 아 자.

른 그 과 이 = 이고 = 인

B C

A D

에서 대각 AC를 그으면, 와 에서

=

= 는 공통

이다. , , 에 의하여

r

= , =

이다. 따라서 과 각의 성질에 의하여 ,

이 로 는 사변형이다.

즉, 의 대변의 길이가 각각 은 사각형은 사변형이다.

서로 다른 두 직 이 한 직 과 만 때, 동위각이 나 각의 기가 같으면 두 직 은 서로 하다.

오른쪽 에서 = 이고 =

B C

A D

일 때, 는 사변형임을 하시오.

이 = 이고 = 인 에서

B C

A E

+ + + =360 이 로 D

+ =180

른 그 과 이 의 장 위에 한 E를 잡 으면

+ =180 과 에 의하여 =

그 데 와 는 동위각이 로 은 방법으로

따라서 의 대변이 각각 하 로 는 사변형이다.

이

1

제

이제 의 대각의 크기가 각각 은 사각형은 사변형 을 아 자.

사각형이 어 을 만 시 사변형이 되는지 아 자.

오른쪽 에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할 때,}

B C

A

O

D

= ^이고 = ^이다.

, 와 합동인 각형을 각각 고, 합 동인 이 를 설명하시 .

가 사변형 을 설명하시 .

4

이상을 리하면 다 과 다.

른 에서 대각 AC를 그으면,

B C

A D

와 에서

=

= 는 공통

이다. , , 에 의하여

r

=

이다. 따라서 과 각의 성질에 의하여

즉, 의 대변이 각각 하 로 는 사변형이다.

다음은 오른쪽 에서 이고 = ^일

때, 가 사변형임을 하는 과정이다. 다음 안에 알맞은 것을 으시오.

5

B C

A D

다 중에서 어 하나를 만 시키는 사각형은 사변형이다.

1 의 대변이 각각 하다.

2 의 대변의 길이가 각각 다.

3 의 대각의 크기가 각각 다.

4 대각 이 서로를 이등분한다.

5 한 의 대변이 하고, 그 길이가 다.

이 하는 두 내각의 기 의 합 이 항 상 180^{인 사각형은}

사변형일

다음 그림에서 가 사변형인 이유를 말하고, x^와 y의 값을 각각 구하시오. (^{단, 점} O는 두 대각 의 교점이다.)

B 55^æ

x^æ y^æ

C

A D

B C

A 9 cm D

6 cm x cm

y cm

B O

C

A 7 cm D

5 cm x cm

40^æ y^æ

B C

A 5 cm D

4 cm 4 cm

x cm y^æ 70^æ

6

오른쪽 사변형 ABCD^{에서 두 변} AB^와 CD^{의 중점} 을 각각 M^과 N^{이라고 할 때, 가 사변형임} 을 하시오.

7

M N

B C

D

다음 점 위에 주어진 점과 분을 이용하여 사변형을 그리고, 자신이 그린 방법을 해 보자.

1

2

A

C

B A

B O

다 과 이 직사각형 양의 이를 은 펼쳐서 라 하고, 힌 의 교 을 O라고 하자.

A

B C

D

O

1 .

2 .

?

3 쪽

직사각형은 네 각의 크기가 90 로 은 사각형이다.

그 데 네 각의 크기가 으면 의 대각의 크기가 각각 으 로, 직 사각형은 사변형이다.

따라서 직사각형의 의 대변의 길이는 각각 고, 대각 은 서로를 이등 분한다.

또 위의 생각 기에서 = 이 로 직사각형의 대각 의 길이는 다.

▶ 직사각형은 사변형 이므로 사변형의 성질 을 모두 만족시 다.

•여 가지 사각형의 성질을 이해하고 할 수 있다.

오른쪽 에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할 때, A}

O B

D

C

= = = ^이다.

, 와 합동인 각형을 각각 고, 합 동인 이 를 설명하시 .

가 직사각형 을 설명하시 .

2

직사각형의 대각 의 길이가 은 이 를 아 자.

른 직사각형 ABCD에서 대각 AC와 DB를 ^A

B

D

C

그으면, 와 에서

= =90 는 공통

이다. 그 데 직사각형은 사변형이 로

=

이다. , , 에 의하여

r

=

이다. 즉, 직사각형의 대각 의 길이는 다.

이상을 리하면 다 과 다.

다음 직사각형 ABCD에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할 때,} x^와 y의 값을 각각 구하 시오.

A

B

O D

C 50^æ

y^æ x cm 6 cm

A

B

O

D

C

55^æ y^æ

x cm 8 cm

1

직사각형의 대각 은 길이가 고, 서로를 이등분한다.

다 과 이 직사각형 양의 이를 고 자른 펼쳐서 름 ABCD를 만들 고, 힌 의 교 을 O라고 하자.

A

B D

C O

1 .

2 .

?

3 쪽

름 는 네 변의 길이가 은 사각형이다.

그 데 네 변의 길이가 으면 의 대변의 길이가 각각 으 로, 름 는 사변형이다.

따라서 름 의 의 대각의 크기는 각각 고, 대각 은 서로를 이등분 한다.

또 위의 생각 기에서 =90 이 로 름 의 대각 은 서로 수직이다.

▶ 마름모는 사변형이 므로 사변형의 성질을 모두 만족시 다.

름 의 대각 이 서로 수직인 이 를 아 자.

른 름 ABCD에서 대각 AC와 BD의

O A

C

B D

교 을 O라고 하자.

와 에서

=

는 공통

이다. 그 데 름 는 사변형이 로

=

이다. , , 에 의하여

r

=

이고, + =180 이 로 = =90 이다.

따라서 이다. 즉, 름 의 대각 은 서로 수직이다.

이상을 리하면 다 과 다.

?

사각형은 네 변의 길이가 고 네 각의 크기도 90 로 은 사각형이다.

그 데 사각형은 네 변의 길이가 으 로 름 이 고, 네 각의 크기가 90 로 으 로 직사각형이다.

따라서 사각형의 대각 은 길이가 고, 서로를 수직이 등분한다.

이상을 리하면 다 과 다.

▶ 정사각형은 마름모이면 서 직사각형이므로 마름모 와 직사각형의 성질을 모 두 만족시 다.

오른쪽 마름모 ABCD에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할 때,} 다음을 구하시오.

, 의 길이 의 크기

3

O A

C

B 4 cm D

3 cm 37^æ

름 의 대각 은 서로를 수직이등분한다.

사각형의 대각 은 길이가 고, 서로를 수직이등분한다.

오른쪽 정사각형 ABCD에서 두 대각 의 교점을 O^{라고 할 때,} 다음을 구하시오.

의 길이 의 크기

4

C B

D

O 4 cm

알콩 달콩 수학

?

사다리 , 사변형, 직사각형, 름 , 사각형 사이의 관 를 아 자.

사다리 중에서 또 다른 한 의 대변이 서로 한 것은 사변형이다.

사변형 중에서 한 각의 크기가 90 인 것은 직사각형이고, 이 하는 변 의 길이가 서로 은 것은 름 이다.

또 직사각형이면서 름 인 것은 사각형이다.

위의 용을 리하여 그 으로 나 면 다 과 다.

사다리꼴은 마주 보는 한 의 변이 서로 한 사 각형이다.

.

.

.

. .

.

사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴 보기

?

은 ?

? ?

?

다음 안에 주어진 조건에 가장 알맞은 사각형의 이름을 보기에서 라 어 보자.

추론

알콩 달콩 수학

우리 생활 주변의 여러 에는 기하학적 도형이 이 이용되고 있다. 그중에서 사변형과 름 는 양 그 자체 다는 이들이 는 도형적 성이 기 장치나 형물의 기능을 상하 는 데 이 활용되고 있다.

우리 주변에서 사변형과 름 의 성질을 활용한 사 에 대하여 아 자.

리 상자를 여러 으로 아 면 물 을 다 일일이 상자를 고 어 아야 하는 불 함이 있다. 이 불 함을 기 위하여 상자와 상자를

길이가 은 대 개로 사변형이 되도록 결하면 리 상자를 한 에 직일 수 있어서 리하게 사용할 수 있다.

또한 전등의 위치를 게 할 수 있도록 고 된 전기 에서도 사변형의 성질을 이용한 아 이 어를 아 수 있다.

수 과 수 을

자동 의 이어를 아 우기 위하여 체를 수직 으로 들어 , 자동 용 ( a jack)을 사용한 다. 이것은 우의 이 수 으로 아지게 되면 수직 으로 이가 아 서 를 들어 리는 원리를 기 으 로 하여 만 것으로, 름 의 대각 이 서로를 수직 이등분하는 성질을 이용한 것이다.

또한 필요에 따라 을 넓 다 다 할 수 있는 이식 문 역시 름 의 성질을 이용한 것이다.

기 위하여 상자와 상자를 길이가 은 대 개로 사변형이 되도록 결하면 리 상자를 한 에 직일 수 있어서 리하게 사용할

우리 주변에서 사각형의 성질을 이용한 아이디어를 찾아보자.

1

의

평행 변 의 의 대변의 이는 각각 같다.

평행 변 의 의 대각의 기는 각각 같다.

평행 변 의 대각 은 서로를 이 한다.

이

의 대변이 각각 평행하다.

의 대변의 이가 각각 같다.

의 대각의 기가 각각 같다.

대각 이 서로를 이 한다.

한 의 대변이 평행하고, 그 이가 같다.

2

의

각 의 대각 은 이가 같고, 서로를 이 한다.

의

모의 대각 은 서로를 수 이 한다.

의

정 각 의 대각 은 이가 같고, 서로를 수 이 한다.

이의

다 사변형 ABCD에서 x와 y의 을 각각 구하시 .

(단, O는 대각 의 교 이다.)

A

B C

D

x^æ

60^æ 65^æ

2 cm y cm

A

B C

D

4 cm x cm y cm O14 cm

01

기본 문제

른 직사각형 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 할 , 다 을 구하시 .

의 길이 의 길이

02

O B

D

C 12 cm

른 름 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 할 , 다 을 구하시 .

와 의 길이 의 넓이

03

O A

C

B 6 cm D

4 cm

른 사각형 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 할 , 다 을 구하시 .

의 크기 의 길이

04

C B

D

O 5 cm

른 사변형 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 하자. + =22~ m일 , 의 의 길이를 구하시 .

05

문제

A

B C

D

O 8 cm

른 사변형 ABCD에서 와 의 크 기의 가 3 2일 , x와 y의 크기를 각각 구하시 .

06

B C

x D

y

른 사변형 ABCD에서 의 이등분 과 의 장 의 교 을 E라고 하자. =6~ m이고 =10~ m 일 , 의 길이를 구하시 .

07

A

B C

D E

6 cm

10 cm

른 름 ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 하자.

O A

C

B D

다 기 중에서 은 것을 고르시 .

. = . =

. 는 의 이등분 이다.

. = , =

보기

08

사변형 ABCD가 사각형이 을 다 기 중에서 고르시 .

. = . = , =

. . = ,

보기

09

른 사변형 ABCD에서 네 각의 이등분 의 교 을 각각 E, F, G, 라고 하자.

+ 의 을 구하시 . 가 직사각형 을 설명하시 .

10

문제

A

B C

D

E F G

H

른 그 은 이고 = 인 사다리 ABCD이다.

= 을 설명하시 .

대각 AC와 DB의 길이가 을 설명하시 .

11

B

D

C

문제 해결

일 적으로 각형의 원과 원의 지름의 길이를 구하는 것은 지 지만, 직각 각 형의 경우에는 지금 지 배 용을 이용하여 게 구할 수 있다.

오른쪽 는 = 이고 =10 , =8 , ^A

B 8 cm C

10 cm 6 cm

=6 인 직각 각형이다. 이때 직각 각형 ABC의 외 원과 내 원의 반지름의 길이를 각각 구해 보자.

직각 각형의 외 원의 반지름의 길이 구하기 (단, 점 O는 직각 각형 ABC의 외 이다.)

원의 지름의 길이를 R 라고 하자. _A

B C

O

8 cm 10 cm R cm 6 cm

157 에서 인 이 직각 각형의 원의 중심은 변의 중 이 로 른 그 에서

R= = ( )

원의 지름의 길이를 r 라고 하자.

합동인 이용하기

=FC=r 이 로 = , =

A

B E C

I F D

8 cm 10 cm 6 cm

r cm

한 , ID=IE=IF이 로 른 그 과 이 IA와 IB를 각각 그으면

r

r

따라서 = , = 이다.

= + 를 r를 이용한 식으로 나 어 면

의 이 이용하기

른 그 에서 = 이 로,

A

B E C

I F D

8 cm 10 cm 6 cm

r cm

각 각형의 넓이를 r를 이용한 식으로 나 어 면

직각 각형의 내 원의 반지름의 길이 구하기 (단, 점 I는 직각 각형 ABC의 내 이다.)

도

01

B C

80D^æ

= 인 이등변 각 형 ABC에서 와 의 이등분 의 교 을 D

라고 하자. =80 일 , 의 크기를 구 하시 .

04

B C

D

E F

직각 각형 ABC와 DEF가 서로 합동이 되는

이 아 것은

= , =

= , =

= , =

= , =

= , =

03

B

D

C

= 인 이등변 각형 ABC에서

= = 일 , 의 크기를 구하시 .

05

=30 일 , 의 크기를 구하시 .

A

B C

D E

30^æ M

02

D P A

B C

= 인 이등변 각형 ABC에서 의 이등분 과 의 교 을 D라고 하자.

위의 한 P를 잡을 , 다 중에서 지 은 것은

= =

= =

=

06

B C

D

E 46^æ

=90 인 직각 각형 ABC에서 = 이고

이다.

=46 일 , 의 크기를 구하시 .

09

I

B D

E

60^æ C

I는 의 심이고 와 의 장 이 ,

와 만나는 을 각각 D, E라고 하자.

=60 일 , + 의 은 120 140 160 180 200

07

B

M L

C O

N

O가 의 심일 , 다 중에서 은 것을

고르면 ( 2개)

= =

=

=

=

r

11

O

B C

D

ABCD에서 대각 의 교 을 O라고 하자.

= 일 ,

다 중에서 은 것을 고르면 ( 2개)

= =

= =

=

08

B C

D I E

9 cm 7 cm

이고, I는 의 심이다.

=9~ m이고

= ~ m일 , 의 의 길이를 구하 시 .

10

B C

D

E F 8 cm

13 cm

형 ABCD에서 와 는 각각 와 의 이등분 이다.

=8~ m이고 =13~ m일 , 의 길이를 구하시 .

12

. = =5 , = =7 . = =6 ,

. = = , =7 . = = =

(단, O는 대각 의 교 이다.)

보기

[16~19] 이 과 과

14

E

C B

D

70^æ

ABCD에서 대각 AC 위 의 한 E에 대하여

= 일 , 의 크기를 구하시 .

15

사다리 사변형 직사각형 름 사각형

17

I O

B 40^æ C

이 = 인 이등변 각형 ABC에서 O와 I는 각각

의 심과 심이다. =40 일 , 다 을 구하 시 .

의 크기 의 크기 의 크기

16

A

B D C

E

F

13

E F

C

B D

ABCD에서 대각 BD 의 등분 을 E와 F라 고 하자. = 일

, 의 크기를 구하시 .

19

, 의 교 을 각각 E, F라고 하자.

= m이고 = m일 , 의 길이를 구 하시 .

A E

F C O B

3 cm D

9 cm

18

B C

D

ABCD의 부의 한 P P

에 대하여 각형 PAB와 각형 PCD의 넓이의 합

이 24 m^2일 , 사각형 ABCD의 넓이를 구하시 .

자기 평가 과 , 이 의

, .

17^개~19^{개 훌륭합니다} 14^개~16개 실수를 줄여 봅시다

11^개~13개 부족한 부분을 검토해 봅시다

0^개~10개 개념 학습이 필요해요

학습 도

01 02 03 16 이등변 각형의 성질을 이해하고 할 수 있는가 04 05 06 직각 각형의 합동 조건을 이해하고 할 수 있는가 07 08 09 17 각형의 외 과 내 의 성질을 이해하고 할 수 있는가 10 11 12 18 사변형의 성질을 이해하고 할 수 있는가

13 14 15 19 여 가지 사각형의 성질을 이해하고 할 수 있는가

정 각 을 여러 가지 각 과 각 으로 할한 각을 어서 모양을 만 는 이는 리 있 는 , 그중에서 특 한 가지에 대해 아 자.

교

교판( )은 정 각 을 가지 기의 각이 변 각 5개, 은 정 각 1개, 평행 변 1개의 일 각으로 나 것을 이리 리

어서 모양을 만 는 , 고대 중 에서 발 되어 19 기에

‘Tangram’이라는 이 으로 유 에 소개되 다.

교판으로 만들 수 있는 모양은 그 종 가 5000가지 이상 려 있는 , 1942년에 수학자들이 그중에서 각 모양은 단 한 가지뿐이고 록한 각 모양도 여 가지뿐 을 다.

(출처 ma s, J., 『The Book of Games』 Wang, F. T., s , C C., 『A Theorem on the Tangram』

Darling, D., 『 금한 수학의 세계』, 황 외 3인 )

…

키 자

2200년 고대 그리스의 수학자 아르 스(Arch imedes, B.C. 287 B.C. 212)가 에는, 오른 그 과 같이 정 각 을 다 양한 기와 모양의 각 11개와 각 2개, 오각 1개로 나 이 나 다. 이것을 ‘아르 스의 상자( l s of Arch imedes)’라 고 르는 , 이 14개의 각 중에는 합동 것이 있다.

교판과 가지로 이 도 각을 어서 여러 가지 모양을 만 는 것 , 2003년에 의 한 수학자가 래 기의 정 각 으로 는 이 536가지뿐 을 를 이용하여

다고 한다.

182

펼쳐라

한 , 유적 발 장에서는 을 기 어려운 은 기 파 을 수 이 발 하게 되는 , 과학자들이 이들을 로 는 을 고 해

다고 합니다. 기 파 을 지 로 스 하여 상을 만들어 장 한 에, 기하학과 계학을 이용하여 각을 특성에 따라 하는 소 트 어를 개발 다고 합니다. 이 을 면 유실 각을 하 는 우 유용하다고 합니다.

(출처 리어 , 2018 a l , A. 외 2인, 「 a ma s 」 l , M. L. 외 8인, 「

al ma s」 ma , H., 「 ma 」)

문화 보 원은 , 사 , 미 관 관의 소장 등 유형 문화 와 관 하여 예 의 손된 부위를 복원, 관리하는 기 적인 무를 합니다. 또 문화 보 환 에 대한 연구 개 을 수 하 , 문화 의 생 학적 손상을 방지하고 손상 원인을 하여 적 한 방제 방안을 수립하고 문화 의 생 학적 피해를 최소화하기 위한 방제 약 개 등에 대한 연구를 수 하기도 합니다.

중요한 이나 유적 의 문화 수리나 를 하는 문화 은 문화 수리 기 자, 문화 수리 기 자, 과학 기 자 기 자 이 각자의 할에 일을 합니다.

문화 수리 기 자는 각 에 대한 기 을 자문하고, 각종 와 문화 수리 기 자를 관 리 하 , 에 따라 고 를 하거나 기 에 따른 제 무를 합니다. 또

과학 기 자 기 자는 문화 의 상 을 과학적으로 하여 파 문화 를 적합한 으로 리하 , 적 기, 자 경 을 용하여 예 품의 , 제 기 기 예 적 단서를 합니다.

이 리아 로 의 어 시장 유적지에 있는 상 모자이 일 닥을 복 한 가 있는 , 이때 각 과 각 의 합동, 도 의 이동의 성 과 평면의 리를 이용 다고 합니다.

다음 그 은 일 닥을 이 기 을 이용하여 복 하는 과정을 여 주고 있습니다.

al ma s」 ma , H., 「 ma 」)

90^æ 180^æ

네 꿈을 펼쳐라

183