[4] 수형도를 이용한 경우의 수

(1)

29강 경우의 수를 세는 요령

[1] 합의 법칙

사건  가 일어나는 경우의 수가 가지이고 사건 가 일어나는 경우의 수가 가지일 때,

① 두 사건  가 동시에 일어나지 않는 경우

사건  또는 사건 가 일어나는 경우의 수 ⇒   (가지) 참고) ∩  ∅ 일 때, ∪    

② 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우가 가지 있는 경우 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수 ⇒     (가지) 참고) ∪         ∩ 

③ 합의 법칙은 세 개 이상의 사건에 대하여도 성립한다.

∪∪∪            

 ∩   ∩  ∩   ∩  ∩   ∩ 

 ∩∩  ∩∩   ∩∩   ∩∩  ∩∩∩ 

[2] 곱의 법칙

두 사건  에 대하여 사건  가 일어나는 경우의 수가 가지이고 그 각각에 대하여 사건  가 일어 나는 경우가 가지일 때,

사건  와  가 동시에 일어나는 경우의 수 ⇒  × (가지)

[3] 곱집합

두 사건 A, B가 일어나는 경우의 집합을

 ^ _ ⋯ _^ ^{ }^_ ⋯ _^{로 나타내면,}

순서쌍의 집합  ×  ^ _  _∈ _∈  의 곱집합이라고 한다.

따라서 다음이 성립한다.  ×      ×  

[4] 수형도를 이용한 경우의 수

어떤 사건이 일어나는 모든 경우를 나무에서 가지가 나누어지는 것과 같은 모양으로 그린 것을 수형도 라고 한다. 규칙성을 찾기 어려울 때 수형도를 이용하면 겹치지 않고 빠짐없이 셀 수 있다.

참고) 완전순열

함수       ⋯  →    ⋯  중    ≠ (단,      ⋯ )를 만족하는 함수의 개 수를 _이라 하면 _{  }   _ _{  }가 성립한다.

그리고 _ 



^{    }

  

  

  ⋯  ^





^{이 된다.}

(2)

01

한 개의 주사위를 두 번 던져서 첫 번째 나온 눈의 수를 , 두 번째 나온 눈의 수를 라 하자.

        ,         라 할 때, 합성함수    ∘  의 그래프가 축과 만나지 않는 경우의 수는?¹⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

02

그림과 같은 직선 도로망이 있다.  개의 지점      중 어느 한 지 점도 지나지 않고  지점에서 지점까지 최단거리로 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시오.²⁾

03

그림은 어떤 학생이 작성한 수행평가 보고서의 표지이다.

머리말, 제목, 인적사항의 글꼴을 표에서 각각 한 개씩 선택하여 바꾸려고 할 때, 글꼴이 모두 다른 경 우의 수를 구하시오.³⁾

구분 글꼴

머 리 말 중고딕, 견고딕, 굴림체

제 목 중고딕, 견고딕, 굴림체,

신명조, 견명조, 바탕체

인적사항 신명조, 견명조, 바탕체

(3)

04

A B

C

D

E

F

G A,B,C,D,E,F,G의 일곱 도시 사이에 오른쪽 그림과 같은 도로

망이 있다. 같은 지점은 많아야 한 번 밖에 지날 수 없다고 할 때, _A 에서 _G로 가는 방법의 수는?⁴⁾

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

05

^자연수^^,^^,^으로 중복을 허용해서 자리의 수를 만들어 작은 수부터 차례대로 배열하였다.

^번째 수를 _,

 × ^번째 수를 _,

 × ^번째 수를 _,

⋮

 × ^번째 수를 _

라 할 때, _, _, _, ⋯, _ 중에서 의 배수인 것의 개수는?⁵⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

06

_





 



 그림과 같은 칠각형의 각 꼭지점에 에서 까지의 숫자를 써 넣었다. 이 중

꼭지점 개를 골라 삼각형을 만들 때 꼭지점에 써있는 정수의 합이 으로 나 누어 떨어지는 삼각형의 개수는?⁶⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(4)

07





 

 서로 다른 5가지의 색 빨강, 주황, 노랑, 초록, 파랑을 사용하여 오른쪽 그림의

5개의 영역에 색칠하려고 한다. 같은 색을 여러번 사용해도 좋지만 이웃한 영 역은 서로 다른 색을 칠한다고 할 때, 색을 칠하는 서로 다른 방법의 수는?⁷⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

08

^{세 숫자}^^,^^,^을 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, 과 가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는?⁸⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

09

1부터 6까지의 수가 쓰여 있는 한 개의 주사위를 4회 던져서 나오는 눈의 숫자를 차례로 _a, _b, _c, _d 라 할 때, ( a - b)( b - c)( c - d ) = 0이 되는 경우의 수는?⁹⁾

① 546 ② 556 ③ 564

④ 572 ⑤ 580

10

^^,^^,^으로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 개가 있다. 이 중에서 다음 규칙을 만족시키는 세 자리 의 자연수의 개수를 구하시오.¹⁰⁾

(가)  바로 다음에는 이다.

(나)  바로 다음에는  또는 이다.

(다)  바로 다음에는 ,  또는 이다.

(5)

11

^집합 A = { 1, 2, 3, 4, 5}에서 로의 함수 _{f : A→A}중에서    인 가 꼭 두 개만 존재하 는 함수 _f의 개수는? (단, 함수 _f는 일대일 대응이다.)¹¹⁾

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

12

  ⋯ 의 번호가 붙은 개의 상자에 ①, ②, ③,⋯, ⓝ의 번호가 붙은 개의 공을 임의로 개 씩 넣을 때, 상자와 공의 번호가 개도 맞지 않을 경우의 수를 _이라하자.¹²⁾

(1) _ _ _ _ _를 구하시오.

(2) _ _{  } _{  }  ≧ 사이의 관계식을 구하시오.

01 ④ 02  03  04 ③ 05 ③ 06 ① 07 ④ 08 ⑤ 09 ① 10 가지

11 ① 12 (1) _  _  _  _   _  (2) _    _{  } _{  }  ≧ 

정답