경우의 수 ( 합의 법칙 )

(1)

(2)

경우의 수 ( 합의 법칙 )

(1) 두 사건 A, B 가 동시에 일어나지 않을 때 , A, B 가 일어나는 경우를 각각

m 가지 , n 가지라고 하면 A 또는 B 가 일어나는 경우의 수는 m+n 가지이다 .

(3)

( 곱의 법칙 )

한 사건 A 가 m 가지로 일어나고 그 각각에 대하여 다른 사건 B 가 n 가지로 일어날 때 A 와 B 가 동시에 일어나는 경우의 수는

이다 .

n

m 

(4)

* point-up

경우의 수를 조사할 때는 다음을 주의한다 . (i) 빠짐없이 , 중복되지 않게 조사한다 .

(ii) 수형도 , 사전식 배열법 등을 이용한다 .

(5)

연습문제

A, B, C, D 의 네 지점을 잇는 도로망이 오른쪽

그림과 같을 때 ,

다음 물음에 답하여라 .

(1) B 에서 A 를 지나 C 로 가는 방법의 수

(2) B 에서 C 로 가는 방법의 수를 구하라 .

A

D C

B

(6)

세 개의 문자 a, b, c 중 두 개를 택하여 일렬로 배열하는 방법의 수는 ?

첫째자리 둘째

자리

a b

c

b c a c b a

결과



^ab



^ac



^ba



^bc



^ca

cb

(7)

따라서 , 위의 결과는 첫째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수에다 둘째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수를 곱의 법칙에 의하여 곱한 가지수가 된다 .

이것을 서로 다른 3 개에서 2 개를 택하는 순열 이라 한다 .

) (

6 2

3   가지



(8)

순 열

서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을 n 개에서 r 개를 택하는 순열이라 하고 , 이 순열의 수를 로 순열 나타낸다 .

r n

P

) 1 (

) 2 )(

1 (    

 n n n n r

P

_r

n



( 단 , )r  n

(9)

의 공식n

P

r

* point-up

)!

(

! r n

P

_r

n

 

! 1

2 )

2 (

) 1

( n n n

n P

_n

n

       

1 !

0 

_n

P

0

 ¹

r

n

P

에서 r = n 이면 ,

(10)

(i) 몇 개가 이웃할 때는 순열은

첫째 , 이웃한 것을 하나로 생각

둘째 , 이웃하는 것끼리 자리바꿈 하여 생각 .

(ii) < 적어도 ...> 의 순열은 여집합을 생각한다 .

의 활용n

P

r

(11)

연습문제

1, 2, 3, 4, 5 의 다섯 개의 숫자 중에서 서로 다른 세 숫자를 이용하여 만들 수 있는

세 자리의 자연수는 모두 몇 개인가 ?

[60]

(12)

4 명의 가족 A, B, C, D 가 원탁에 둘러 앉는 경우의 수와 일렬로 배열할 때의 차이 ?

A B

C ABCD D

D A

B

C DABC

C D

A CDAB B

B C

D

A BCDA

(13)

원순열

서로 다른 n 개의 원소를 원형으로 배열하는 것을 원순열 이라 한다 .

또 이를 계산하는 방법은

)!

1 ( n 

(14)

원순열에서 다음을 생각해 보자 . A

B

C

D

A D

C

B

위의 두 가지를 만약에 뒤집어 놓는다면 ? ( 예를 들어 목걸이라 하자 .)

일반적으로 원형으로 배열할 때 같지 않던 것이 이것을 뒤집어 놓으면 같게 되는 것이 몇 개씩 있을까 ?

(15)

염주순열 ( 목걸이 수열 )

서로 다른 n 개의 원소를 원형으로 배열한 것을 뒤집어 놓을 수 있는 순열을 염주순열 이라 한다 .

이것은 원순열의 개수 중 각각 2 개씩 동일한 것이 있으므로 구하는 가지수는

)!

1 2 (

1 n 

(16)

서로 다른 3 개의 과일 사과 , 배 , 수박 이 있다 . 이 중에서 2 개를 택하여 일렬로 배열하는

순열의 수는 가지 이다 . ₃ ₂ ₆

2

3 P   

중복을 허용하면 어떨까 ?

( 즉 같은 과일을 택하는 것까지 생각하면 ?) 위의 순열의 수에 추가하여

( 사과 , 사과 ), ( 배 , 배 ), ( 수박 , 수박 ) 의 3 가지를 더 생각할 수 있다 . 이것을 중복순열 이라 한다 .

(17)

중복 순열

r r

n

  n

서로 다른 n 개의 중복을 허용하여 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을 n 개에서 r 개를 택하는 중복순열 이라 하고 ,

이 중복순열의 수를 로 나타낸다 .

r n



(18)

* point-up

함수의 개수는

중복순열의 수와 같다 . 이를테면 , X={1, 2, 3} , Y={a, b} 일 때 ,

집합 X 에서 Y 로의 함수의 총수는

이다 .₂



₃

 2

³

 8

1 2 3

b

a b

a ba b a

a b

a ba b

(19)

세 문자 a, a, b 를 일렬로 배열하는 순열의 수 (x) 는 같은 a 를 로 분류해서 생각해 보자 . 그럼 순열의 수는 모두 이다 .

2 1

, a a

6 ! 3  b

a a

₁ ₂

b a

a

₂ ₁

2

1

b a

a

1

2

b a

a

2

1

a

a b

1

2

a

a b b

a a

a b

a

a a

b

! 3

!

2 



x

(20)

같은 것이 있는 순열

n 개 중에서 같은 것이 p 개 , q 개 , r 개 , ….

있을 때 ,

n 개를 모두 택하여 만든 순열의 수는

) ,

! (

!

! p q r n

r q p

n     

 단

(21)

* point-up

다음과 같은 상황은

[ 같은 것을 나열하는 순열 ] 의 수를 이용한다 . (i) 다음의 그림과 같은 도로망이 있을 때 ,

A 에서 출발하여 B 로 가는 최단 경로의

수는 가로로 가는 것을 a , 세로로 가는 것을 b 라고 할 때 , a, a, a, a, b, b, b 를 일렬로

나열하는 방법의 수와 같다 .

(22)

A

B

즉 , ( 가지 ) 와 같다 .³⁵

! 3

! 4

7 !

(23)

(ii) 순서가 정해진 것이 있는 순열의 수는

순서가 정해진 것을 같은 것으로 보고 나열 하는 방법의 수와 같다 .

Ex) SEOUL 이라는 문자를 모두 써서 만들

수 있는 순열 중 O, U 순서로 있는 경우의 수는 O, U 를 같은 것으로 보고 5 개의

문자를 나열하는 방법의 수 .

즉 , ( 가지 ) 와 같다 . ₆₀

! 2

5 !

(24)

연습문제

다섯 개의 문자 a, a, a, b, b 를 모두 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라 .

[10 가지 ]

(25)

연습문제

다음을 구하여라 .

(1) 숫자 1, 2, 3 을 사용하여 만들 수 있는 네 자리 정수의 개수

( 단 , 한 숫자는 여러 번 사용할 수도 있다 .) (2) 서로 다른 5 통의 편지를 A, B, C 의 세 우체통에 넣는 방법의 수

[(1) 81 개 (2) 243 가지 ]

(26)

3 개의 문자 A, B, C 에서 2 개를 택하는 것과 2 개를 택해서 나열하는 것 까지 생각하는

순열과의 차이는 ? 먼저 순열의 수는

(A,B) , (B,A) , (B,C) , (C,B) , (A,C) , (C,A) 이상 6 가지 .

단지 2 개를 택하는 경우의 수는

(A,B) (B,C) (A,C)

(27)

조합

서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고

r 개 를 택하는 것을 조합이라 하고 , 이 조합의 수를 로 나타낸다 .

r n

C

) 0

(  r  n

1 )! ,

(

!

⁰



 

 C

r n

r

n r

C

_r ⁿ

P

^r _n

n

! r C

P

_r _n _r

n

 

(28)

* point-up

r n n

r

n

C C

i ) 

_

(

(ii) 서로 다른 n 개의 물건을 p 개 , q 개 , r 개

(p+q+r = n) 의 3 개조로 나누는 방법의 수는

단 , p, q, r 에 있어서 어느 두 수가 같으면 2!, 세 수가 같으면 3! 로 나눈다 .

r r

q p

n p

n

C 

_

C  C

(29)

예 ) 서로 다른 종류의 꽃 15 송이를 다섯 송이씩 세 묶음으로 나누는 방법의 수

)

! ( 3

5 5

5 10

5

15

C  C  C 가지

(30)

연습문제

남자 5 명 , 여자 3 명 중에서 남자 3 명 , 여자 2 명의 임원을 선출하는 방법의 수를 구하여라 .

[ ]₅

C

₃

 C

₃ ₂

 30

(31)

* point-up

* point-up _n

H

_r



_n__r_₁

C

_r

이를테면 , 숫자 1, 2 에서 중복을 허락하여 3 개를 택하는 조합은



^ㄱ

) 2 , 2 , 2 ( , ) 2 , 2 , 1 ( , ) 2 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 1 (

이고 , 각 조합의 둘째 , 셋째 숫자에 각각 1, 2 를 더하면



^ㄴ

) 4 , 3 , 2 ( , ) 4 , 3 , 1 ( , ) 4 , 2 , 1 ( , ) 3 , 2 , 1 (

의 서로 다른 네 숫자 1, 2, 3, 4 에서 3 개를 택하는 조합이 된다 .

(32)

중복조합

서로 다른 n 개에서 중복을 허락 하여 r 개를 택하는 조합을 중복조합 이라 하고 ,

이 중복조합의 수를 로 나타낸다 .

r n

H

r r

n r

n

H 

_ _₁

C

(33)

이때 , , 의 수는 같으므로

이 성립함을 알 수 있다 . ㄱ ㄴ

3 1

3 2 3

4 3

2

H  C 

_ _

C

(34)

보충문제

1. 감 , 사과 , 배 3 종류의 과일이 있다 .

5 개의 과일을 사는 방법은 몇 가지인가 ? 2. 6 명의 선거인이 2 명의 후보자에게 무기명으로 투표하는 방법의수는 ?

6 2

5

3

H H

[ ]

(35)

r n

P i)

(

: 중복을 허락하지는 않지만 , 순서는 생각한다 .

r

ii )

n



(

^: 중복을 허락하고 순서도 생각한다 .

r n

C iii)

(

: 중복을 허락하지 않고 순서도 생각 하지 않는다 .

r n

H iv)

(

_: 중복을 허락하고 순서도 생각하지 않는다 .

순열 , 중복순열 , 조합 , 중복조합의 차이점

(36)

이를테면 , 세 개의 숫자 1, 2, 3 에 대하여 생각해 보자 .

(i) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는

12 , 21 , 13 , 31 , 23 , 32 의 6 가지

즉 , ₃

P

₂

 3  2  6 순열

(37)

(ii) 1, 2 ,3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33 의 9 가지

즉 ,

9 3

²

2

3

   중복순열

(38)

(iii) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑는 경우의 수는

12 , 13 , 23 의 3 가지 즉 ,

! 3 1

! 2

! 3

2

3



  C

(iv) 1, 2, 3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑는 경우의 수는

11 , 12 , 13 , 22 , 23 , 33 의 6 가지 즉 ,

! 6 4

2 4

2

3

H  C   중복조합

조합

(39)

( 갑 ) ( 을 ) ( 병 )

A A A

A A B

A B A

B A A

A B B

B A B

B B A

B B B

갑 , 을 , 병 의 세 명의 선거인 A, B 의 두 명의 후보

(1) 기명투표 :

모두 A 가 2 표 , B 가 1 표로 결과는 같지만 갑 , 을 , 병이 누구를 투표했는가 를 따질

때는 전혀 다른 경우가 된다 .

(40)

( 갑 ) ( 을 ) ( 병 )

A A A

A A B

A B A

B A A

A B B

B A B

B B A

B B B

(2) 무기명투표 :

A 가 2 표 , B 가 1 표 A 가 1 표 , B 가 2 표 각각 한가지로 셈한다 . 그러므로 모두 4 가지 .

(41)

* point-up

n 명의 선거인이 r 명의 후보에게 투표할 때 , 개표 결과는

기명투표일 경우 : _r



_n

무기명투표일 경우 : _r

H

_n

(42)

을 전개할 때 , 생기는 항의 수 ?ⁿ

z y

x )

(  

전개할 때의 나타나는 항들을 생각해 보자 . , 

, ,

, ⁴ ³ ² ²

5 x y x yz x y z

x _{예를 들어 ,}

xxxxx x⁵ 

 



 xxxxy xyxxx y

x⁴

 



 xxxyz xxyzx yz

x³

 



 xxyyz xyxyz z

y x² ²

x, y, z 중에서

중복을 허락하여 5 개를 택하는 조합

5 1

5 3 5

3

H 

_ _

C

(43)

부정방정식 에서

x

1

 x

2

 x

3

   x

_n

 r

(1) 음이 아닌 정수해 : _n

H

_r

(2) 양의 정수해 : _n

H

_r__n

(44)

) )(

)(

( )

( a  b

⁴

 a  b a  b a  b a  b

4 3

2 2

3

4

4 a b 6 a b 4 ab b

a    



이것의 항들을 생각해 보자 .

4 개의 인수 (a+b) 로 부터 각각 a 또는 b 를 하나씩 택하여 곱한 것이다 .

예를 들어 , 항은 4 개의 (a+b) 중에서 3 개로부터 b 를 택하고 , 나머지 하나는 a 를 택하여 곱한 것 . 즉 ,

ab

3

 4

 C

C

(45)

이항정리

이항계수



일반항













n r

r r

n r

n

n n

n r

r n r

n

n n

n

b a

C

b a

C b

a C

b a

C b

a C a

C b

a

0

2 2

2 1

1

)

0

(



(46)

* point-up

* point-up 이항계수의 성질

n n

n

C C C C

i ) 2

(

₀



₁



₂

   

0 )

1 (

)

( ii

_n

C

₀



_n

C

₁



_n

C

₂

   

ⁿⁿ

C

_n



 



₂ ₄

)

0

( iii

_n

C

_n

C

_n

C

1 5

3

1

    2

^



_n

C

_n

C

_n

C 

ⁿ

(47)

1 1 2

1 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

5 10 10 5

1 1

) (a  b

)2

(a  b )3

(a  b )4

(a  b )5

(a  b



       

파스칼의 삼각형

(48)

다항정리



 







n r q p

r q

p

n

a b c

r q p

c n b

a ! ! !

) ! (

일반항 : a ^pb^qc^r r

q p

n

!

( 단 , p, q, r 는 0 이상의 정수이고 p+q+r=n)

(49)

확대











 r

r n r

n

n n

n

C b

a C

C b

a C

b a

C

c b

a

) (

] )

[(

1 1

1 0

r q

q r n q r

n r

nC ( _ C₀a ^  _ C₁a ^ ^¹b¹  _ C a ^ ^ b )C

r q p

b c

 a

_{항의 계수는}

!

! p q

r C n

C

_r _n _r _q

n



_



(50)

연습문제

의 전개식에서 일차항 x 의 계수를 구하여라 .

5 2 2) (x  x

[-80]

(51)

보충문제

1. 의 전개식에서 의 계수는 ?

)

9

( a  b  c a

⁴

b

³

c

²

2. 의 전개식에서 계수가 4 인 항은 몇 개 ?

)4

(a  b  c

(52)

확률에 관한 여러 용어의 뜻 :

(1) 시행 : 동일한 조건에서 여러 차례 반복할 수 있는 실험이나 관찰 .

(2) 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 전체집합 (3) 사건 : 표본공간의 부분집합

(4) 근원사건 : 사건 중에서 더 이상 세분할 수 없는 기본적인 사건

(53)

(5) 전사건 : 표본공간 자신의 집합 ( 반드시 일어나는 사건 ) (6) 공사건 : 결코 일어나지 않는 사건

(7) 합사건 : A 또는 B 가 일어날 사건

(8) 곱사건 : A 와 B 가 동시에 일어날 사건

(54)

(9) 배반사건 :

두 사건 인 A 와 B 를 서로 배반사건이라 한다 .





 B A

(10) 여사건 :

사건 A 에 대하여 A 가 일어나지 않는 사건을 A 의 여사건 이라 한다 .

A

c

(55)

확률의 정의

하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수치로 나타낸 것

사건 A 가 일어날 확률을 P(A) 로 나타낸다 .

(56)

* point-up

확률의 기본 성질

여사건의 확률

임의의 사건 A 에 대하여 이며 , 특히 , 이다 .

1 )

(

0  P A 

0 )

( ,

1 )

( U  P   P

A 의 여사건을 , 사건 A 가 일어날 확률을 P(A) 라고 하면

A

c

) (

1 )

( A P A

P

^c

 

(57)

수학적 확률

어떤 시행에서 얻어지는 근원사건이 모두 같은

정도로 일어날 것이라고 기대될 때 , 전사건 S 에 속하는 총수를 n(S) , 사건 A 에 속하는

근원사건의 개수를 n(A) 라 하면 , 사건 A 가 일어날 확률 P(A) 는

수 경우의

모든

수 경우의

일어날 가

사건 )

(

) ) (

( A

S n

A A n

P  

(58)

통계적 확률

한 사건 A 가 일어날 확률을 P 라 할 때 , n 번의 반복시행에서 사건 A 가 일어난 횟수를 r 이라 하면 , 상대돗수 은 n 이 커짐에 따라 확률 P 에 가까워 진다 . ⁿ

r

n P r

n



 lim

 P : 사건 A 의 통계적 확률

(59)

기하학적 확률

영역 B 가 영역 A 에 포함될 때 , 영역 B 내의 임의의 점이 영역 A 에 포함될 확률은

)

( 일어날 수 있는 전체 영역의 크기 크기 영역의

있는 수

일어날 가

A A

P 

기하학적 확률

(60)

연습문제

흰 공 3 개 , 검은 공 2 개가 들어 있는 주머니 에서 2 개의 공을 임의로 꺼낼 때 , 두 공이 같은 색일 확률을 구하여라 .

[ ]

5 2 10

1 10

3  

(61)

보충문제

1. 한 줄로 6 명이 설 때 , 특정한 3 사람이 이웃하게 될 확률은 ?

2. 흰 구슬 8 개와 붉은 구슬 2 개가 들어 있는 주머니에서 무심히 한 개를 꺼낼 때 , 이것이 붉은 구슬일 확률은 ?

! 6

! 4

!

3 3

6C  

1 2

C C

(62)

3. 20 개의 복권 중에 몇 개의 당첨 복권이 들어 있다 . 계속해서 2 개를 뽑을 때 ,

그 중 적어도 한 개가 당첨 복권일 확률은 7/19 이라 한다 . 당첨 복권의 개수는 ?

(63)

확률의 덧셈정리

(1) 두 사건 A, B 에 대하여

(2) 두 사건 A, B 가 동시에 일어나지 않을 때 ,

) (

)

( A B P A P B P A B

P     

) (

)

( A B P A P B

P   

(64)

보충문제

1. 주머니 속에 흰공이 4 개 , 검은 공이 5 개 들어 있다 . 이 주머니에서 3 개의 공을 꺼낼 때 , 3 개 모두 같은 색일 확률은 ? 2. 어떤 문제를 갑이 풀 확률이 0.7,

을이 풀 확률이 0.5 ,

갑 또는 을이 풀 확률은 0.9, 겁과 을이 모두 풀 확률은 ?

(65)

조건부확률

A 안에서 가 일어날 확률 는 A 가 일어났을 때의 B 의 조건부 확률이다 .

B A 

) (

A n

B A

n 

) (

) ) (

( P A

B A

P A

n

B A

A n B

P    

) (

) ) (

( n S

A A n

P 

) (

) ) (

( n S

B A

B n A

P   

(66)

조건부확률

사건 A(B) 가 일어났다는 가정 아래 사건 B(A) 가 일어날 확률은

) (

) ) (

( P A

B A

A P B

P  

) ] (

) ) (

(

[ P B

B A

B P A

P  

(67)

보충문제

상자 A 에는 흰 공 2 개 , 검은 공 4 개가 들어 있고 , 상자 B 에는 흰 공 3 개 , 검은 공 2 개가 들어 있다 . 이 때 , 두 상자 A, B 중에서 한 상자를 임의로

택하고 , 그 상자에서 2 개의 공을 임의로

꺼냈더니 , 흰 공 1 개 , 검은 공 1 개가 나올 때 , 택해진 상자가 A 일 확률은 ?

(68)

독립사건 , 종속사건

이면 , 사건 A 와 B 는 서로 독립 이라고 하고 이 때 , 두 사건을

독립사건 이라 한다 .

또 , 서로 독립이 아닌 두 사건 즉 , 일 때 , 두 사건 A, B 를 종속사건 종속사건 이라 한다 .

) ( )

( )

(B A P B A P B

P  ^c 

) (

)

(B A P B

P 

(69)

연습문제

어느 고등학교에서 학생들의 혈액형을 조사 하였더니 O 형인 학생이 전체의 50% 이었고 , O 형인 남학생은 전체의 40% 이었다 .

O 형인 학생 중에서 1 명을 뽑을 때 , 그 학생이 남학생일 확률을 구하면 ?

[ ]

5

4

(70)

확률의 곱셈정리

) (

)

( A B P A P B A P B P A B

P     

독립사건의 곱셈정리

두 사건 A 와 B 가 서로 독립 이면

) (

)

( A B P A P B

P   

(71)

* point-up

한번 꺼낸 것을 다시 넣지 않는 추출 : 비복원비복원 반대로 꺼낸 것을 다시 넣는 추출을 : 복원 추출복원 추출

연습문제

흰 구슬 5 개 , 붉은 구슬 2 개가 들어 있는 주머니에서 구슬을 꺼낼 때 , 처음에는 붉은 구슬 , 두 번째에는 흰 구슬이 나올 확률은 ? [ ]₂₁⁵

(72)

* point-up

* point-up 독립시행

동전이나 주사위를 여러 번 던질 때와 같이 어떤 시행을 계속해서 되풀이할 때 , 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 경우 즉 ,

각 시행의 결과가 그 이전의 시행의 결과에 영향을 미치지 않는 시행

(73)

독립시행의 확률

어떤 시행에서 사건 A 가 일어날 확률이 p 이고 그 여사건 이 일어날 확률이 q (q=1-p) 일 때 ,

n 번의 독립시행에서 사건 A 가 r 번 일어날 확률 은

Pr

) ,

, 2 , 1 , 0

( r n

q p

C

P

_r



_n _r ^r ⁿ^^r

 

(74)

연습문제

5 개의 동전을 동시에 던질 때 , 이 중에서 2 개의 동전만 앞면이 나올 확률을 구하면 ?

16

[ ]5