실수와 그 계산
I
.
제곱근과 실수
01
00
1
-6000
2
ㄷ, ㄹ00
3
'15`cm00
4
;;Á4°;;00
5
2x-100
6
000
7
100
8
6300
9
2, 11, 140
10
150
11
110
12
'1.5, 1, ®Â;1Á6;, -'2, -;3%;0
13
10
14
3개0
15
340
16
30
17
3개0
18
②0
19
90개0
20
ㄱ, ㄴ, ㅁ0
21
C<B<A0
22
100
23
2-'130
24
P(4-'8), Q(4+'8)0
25
⑤ 본교재 007 ~ 010쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
00
1
-60 "(-81)Û`=81이므로 81의 양의 제곱근은 a='81="9Û`=9 16 9 의 음의 제곱근은 b=-®É169 =-®É{43 }Û`=- 43 제곱근 25는 c='25="5Û`=5 ∴ abc=9_{-43 }_5=-6000
2
ㄷ, ㄹ ㄱ. -49의 제곱근은 없다. ㄴ. 0.5의 제곱근은 Ñ'0.5이고, 제곱근 0.5는 '0.5이므로 같지 않다. ㄷ. 제곱근 aÛ`이 6이므로 "aÛ`=6, aÛ`=6Û`=36∴ a=Ñ'36=Ñ6 ㄹ. ¿·0.H1=®19 =®É{13 }Û`이므로 ®19 =13 의 제곱근은 Ñ®13 이다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
00
3
'15`cm 두 정사각형의 닮음비가 1 : 3이므로 두 정사각형의 넓이의 비는 1Û` : 3Û`=1 : 9이다. 작은 정사각형의 넓이를 S`cmÛ`라고 하면 큰 정사각형의 넓이는 9S`cmÛ` 이므로 S+9S=150, 10S=150 ∴ S=15 따라서 작은 정사각형의 넓이가 15`cmÛ`이므로 작은 정사각형의 한 변의 길이는 '15`cm이다.00
4
154 (주어진 식)=11-6_38 +10Ö(-2) =11-94 -5=15400
5
2x-1 -2-x<0, 3-x>0이므로 (주어진 식) =-(-2-x)-(3-x) =2+x-3+x=2x-100
6
0 a-b>0이므로 a>b ab<0이므로 a>0, b<0 ∴ (주어진 식)=a-(a-b)-b=a-a+b-b=000
7
1 Ú 2a-1¾0, 즉 a¾ 12 일 때2a-1=7이므로 2a=8 ∴ a=4
Û 2a-1<0, 즉 a< 12 일 때 -(2a-1)=7이므로 -2a+1=7 -2a=6 ∴ a=-3 Ú, Û에서 모든 정수 a의 값의 합은 4+(-3)=1
00
8
63 '¶252a="2Û`_3Û`_7_a가 자연수가 되려면 a=7_(자연수)Û` 꼴이어 야 하므로 a=7, 28, 63, 112, … 따라서 두 자리의 자연수 a의 값 중 가장 큰 수는 63이다.00
9
2, 11, 14 '¶42-3x가 정수가 되려면 42-3x는 0 또는 42보다 작은 제곱수이어 야 하므로 42-3x=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 ∴ x=14, 413 , 383 , 11, 263 , 173 , 2 따라서 구하는 자연수 x의 값은 2, 11, 14이다.0
10
15 '¶60x="2Û`_3_5_x가 자연수가 되려면 x=3_5_(자연수)Û` 꼴이 어야 한다. ®É240x =®É2Ý`_3_5x 가 자연수가 되려면 x는 240의 약수이면서 3_5_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 자연수 x의 값은 3_5, 2Û`_3_5, 2Ý`_3_5 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_5=150
11
11 '¶Ä31+a가 자연수가 되려면 31+a는 31보다 큰 제곱수이어야 하므로 31+a=36, 49, 64, y ∴ a=5, 18, 33, y 이때 가장 작은 자연수 a의 값은 5이고, 그때의 b의 값은 6이므로 a+b 의 값 중 가장 작은 값은 5+6=110
12
'1.5, 1, ®Â16 , -'2, -1 53 Ú 음수 : 53 =®Â259 이고 259 >2이므로 53 >'2 ∴ -53 <-'2Û 양수 : 1='1이고 16 <1<1.5이므로 ®Â1 16 <1<'¶1.51 Ú, Û에서 큰 수부터 차례대로 나열하면 '¶1.5, 1, ®Â16 , -'2, -1 53
0
13
1 5='¶25, 6='¶36이고 5<'¶29<6이므로 5-'¶29<0, 6-'¶29>0 ∴ ¿·(5-'¶29)Û`+¿·(6-'¶29)Û` =-(5-'¶29)+(6-'¶29) =-5+'¶29+6-'¶29 =10
14
3개 3<'¶2x+1<4의 각 변을 제곱하면 9<2x+1<16, 8<2x<15 ∴ 4<x<152 따라서 자연수 x의 개수는 5, 6, 7의 3개이다.0
15
34 '1=1, '4=2, '9=3, '¶16=4, '¶25=5이므로 f(11)= f(12)=f(13)=f(14)= f(15)= f(16)=3 f(17)= f(18)=f(19)= f(20)=4 ∴ (주어진 식)=3_6+4_4=340
16
3 1.2<'x<2.5의 각 변을 제곱하면 1.44<x<6.25 ∴ a=2, b=6 따라서 ¾¨ ba _n='3n이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 n은 3이다.0
17
3개 '¶0.04=0.2, ¿·0.H1=®19 =13 , 3.H5H9는 유리수이다. 따라서 무리수는 0.1234 y, '6-2, p의 3개이다.0
18
② ① 유한소수는 유리수이다. ③ 두 무리수 '2와 '3 사이에는 정수가 없다. ④ 수직선은 무리수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 없다. ⑤ 두 무리수 '2 와 -'2 의 합은 0이므로 유리수이다. 따라서 옳은 것은 ②이다.0
19
90개 'x가 무리수가 되려면 x는 제곱수가 아니어야 한다. 100 이하의 자연수 중 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 의 10개이므로 'x가 무리수가 되도록 하는 자연수 x의 개수는 100-10=90(개)0
20
ㄱ, ㄴ, ㅁ ㄷ. a=0, b='2일 때, ab=0 (유리수) ㄹ. a=0, b='2일 때, ab =0 (유리수) ㅂ. a=1, b='2일 때, aÛ`-bÛ`=1-2=-1 (유리수) 따라서 항상 무리수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.0
21
C<B<A A-B=(1-'8)-(-2)=3-'8='9-'8>0 ∴ A>B B-C=-2-('7-5)=3-'7='9-'7>0 ∴ B>C ∴ C<B<A0
22
10 3<'14<4이므로 -4<-'14<-3 ∴ -1<3-'14<0 3<'10<4이므로 4<'10+1<5 따라서 3-'14와 '10+1 사이에 있는 정수는 0, 1, 2, 3, 4이므로 0+1+2+3+4=100
23
2-'13 ACÓ="3Û`+2Û`='13 APÓ=ACÓ='13이고 점 P에 대응하는 수가 2+'13이므로 점 A에 대 응하는 수는 2이다. 따라서 AQÓ=ACÓ='13이므로 점 Q에 대응하는 수는 2-'13이다.0
24
P(4-'8), Q(4+'8) 오른쪽 그림과 같이 OCÓ, ODÓ를 그으면△
OBC에서 OCÓ="2Û`+2Û`='8△
ODA에서 ODÓ="2Û`+2Û`='8 OPÓ=ODÓ='8이므로 P(4-'8) OQÓ=OCÓ='8이므로 Q(4+'8)0
25
⑤ ABÓ="1Û`+3Û`='10이고 ABÓ=PBÓ이므로 a=PQÓ=PBÓ+BQÓ='10+1=3.162+1=4.162 ① '15<4이므로 '15<a ② 95 +'5=1.8+2.236=4.036<a ③ 4.1<a ④ a2 +2=4.1622 +2=4.081<a ⑤ a+12 =4.162+0.5=4.662이므로 a<a+12 <5 따라서 a와 5 사이에 있는 수는 ⑤이다. P 2A 4 6 QB 2 O C D0
26
;2(;0
27
150
28
400
29
40
30
2a0
31
-a-b-10
32
-bc0
33
ㄴ, ㄷ0
34
;6!;0
35
6개0
36
80
37
①0
38
3개0
39
220
40
150
41
1080
42
6개0
43
ㄷ0
44
162개0
45
80
46
-1-'50
47
⑤0
48
5+'100
49
2-6'2p 본교재 013 ~ 016쪽 실전문제 체화를 위한STEP
2
심 화 유 형
0
26
92 제곱근 12116 은 ®É12116 =114 이므로 p=114 {-74 }Û`= 4916 의 제곱근은 Ñ®É4916 =Ñ74 이므로 q=Ñ74 Ú p= 114 , q=74 일 때, p-q=114 -74 =1 Û p= 114 , q=-74 일 때, p-q=114 -{-74 }=92 Ú, Û에서 p-q의 값 중 가장 큰 값은 92 이다.0
27
15 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
ABC의 넓이가 84 이므로 1 2 _14_AHÓ=84 ∴ AHÓ=12△
ABH에서 BHÓ="Ã13Û`-12Û`='25=5 따라서△
AHC에서 HCÓ=14-5=9이므로 ACÓ="Ã12Û`+9Û`='225=150
28
40 [1단계]의 정사각형의 넓이는 ('a)Û`=a [2단계]의 정사각형의 넓이는 12 _a=12 a [3단계]의 정사각형의 넓이는 12 _12 a=14 a [4단계]의 정사각형의 넓이는 12 _14 a=18 a 따라서 18 a=5이므로 a=400
29
4 조건 ㈎에서 a, b, c, d는 모두 제곱수이다. 조건 ㈐에서 a+d=65이고, 조건 ㈏에서 1<a<d이므로 a=16, d=49 16<25<36<49이고 조건 ㈏에서 a<b<c<d이므로 b=25, c=36 ∴ a-b-c+d=16-25-36+49=4 A B 13 H14 C0
30
2a 0<a<1이므로 a>0, a >1 ∴ a+1 1a >0 이때 a >1이므로 a<1 1a ∴ a-a <01 ∴ (주어진 식)=a+1a -[-{a-1a }]=a+1a +a-1a =2a
0
31
-a-b-1 점 (a, b)가 제 2 사분면 위의 점이므로 a<0, b>0 따라서 b+2>0, a-b<0, 1-a+b>0이므로 (주어진 식) =-a-(b+2)-{-(a-b)}+(1-a+b) =-a-b-2+a-b+1-a+b =-a-b-10
32
-bcab>0, ac<0이므로 a와 b의 부호는 같고, a와 c의 부호는 다르다.
즉 b와 c의 부호가 다르므로 bc<0 yy 30% 따라서 -bc>0, bc-1<0, 1-bc>0이므로 yy 30% (주어진 식) =-bc-{-(bc-1)}+(1-bc) =-bc+bc-1+1-bc =-bc yy 40%
0
33
ㄴ, ㄷ ㄱ. x¾1이면 x-1¾0, x+1>0이므로 A=(x-1)-(x+1)=x-1-x-1=-2 ㄴ. -1Éx<1이면 x-1<0, x+1¾0이므로 A=-(x-1)-(x+1)=-x+1-x-1=-2x ㄷ. x<-1이면 x-1<0, x+1<0이므로 A=-(x-1)-{-(x+1)}=-x+1+x+1=2 ㄹ. Ú x¾1이면 A=-2이므로 성립하지 않는다. Û -1Éx<1이면 A=-2x이므로 -2x=1 ∴ x=- 12 Ü x<-1이면 A=2이므로 성립하지 않는다. Ú ~ Ü에서 A=1이면 x=- 12 이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.0
34
16 모든 경우의 수는 6_6=36 '50xy="2_5Û`_xy가 자연수가 되려면 xy=2_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. ∴ xy=2, 8, 18, 32 (∵ 1ÉxyÉ36) Ú xy=2인 경우 : 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (2, 1)의 2가지 Û xy=8인 경우 : 순서쌍 (x, y)는 (2, 4), (4, 2)의 2가지 Ü xy=18인 경우 : 순서쌍 (x, y)는 (3, 6), (6, 3)의 2가지 Ý xy=32인 경우 : 순서쌍 (x, y)는 없다. Ú ~ Ý에서 '50xy가 자연수가 되는 경우의 수는 2+2+2=6 따라서 구하는 확률은 36 =6 160
35
6개 ¾¨5600x =¾¨2Þ`_5Û`_7x =¾¨ 14_20Û`x 이 자연수가 되려면 x=14_mÛ` (m은 20의 약수) 꼴이어야 한다. 이때 20=2Û`_5이므로 20의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개) 따라서 자연수 x의 개수는 6개이다. [다른 풀이] ¾¨ 5600x =¾¨2Þ`_5Û`_7x 이 자연수가 되려면 x는 5600의 약수이면서 2_7_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 2_7, 2Ü`_7, 2Þ`_7`, 2_5Û`_7, 2Ü`_5Û`_7, 2Þ`_5Û`_7 따라서 자연수 x의 개수는 6개이다.0
36
8 '¶54-x-'¶y+13이 가장 큰 정수가 되려면 '¶54-x는 가장 큰 자연 수, '¶y+13은 가장 작은 자연수이어야 한다. …… 30% '¶54-x가 가장 큰 자연수가 되려면 54-x는 54보다 작은 제곱수 중 가장 큰 수이어야 하므로 54-x=49 ∴ x=5 …… 30% '¶y+13이 가장 작은 자연수가 되려면 y+13은 13보다 큰 제곱수 중 가 장 작은 수이어야 하므로 y+13=16 ∴ y=3 …… 30% ∴ x+y=5+3=8 …… 10%0
37
① ① a >1 1 ② 0<a<1 ③ 0<aÛ`<1 ④ 0<'a<1 ⑤ ®a >11 0<a<1일 때, 1a >®a 이므로 그 값이 가장 큰 것은 ①이다. 10
38
3개 '7 7 과 '33 사이에 있는 분수 중 분모가 21인 기약분수를 21 (x는 자x 연수)라고 하면 '7 7 <21 <x '33 이므로 {'77 }Û`<{ x21 }Û`<{ '33 }Û` 1 7 <441 <xÛ` 13 ∴ 63<xÛ`<147 …… 40% 이때 이 식을 만족하는 자연수 x는 8, 9, 10, 11, 12이다. …… 30% 그런데 21 , 9 1221 는 기약분수가 아니므로 구하는 기약분수는 21 , 8 1021 , 11 21 의 3개이다. …… 30%0
39
22 '1=1, '4=2, '9=3, '16=4, '25=5, y이므로 f(1)= f(2)= f(3)=1 f(4)= f(5)= f(6)= f(7)= f(8)=2 f(9)= f(10)= f(11)=y= f(15)=3 f(16)= f(17)= f(18)=y= f(24)=4 이때 1_3+2_5+3_7+4_7=62이므로 주어진 식을 만족하는 자 연수 n의 값은 f(x)=4를 만족하는 7번째 값이다. ∴ n=220
40
15 조건 ㈎에서 4É'nx<5의 각 변을 제곱하면 16Énx<25 조건 ㈏에서 nx는 자연수이므로 nx=16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ∴ x=16n , 17n , 18n , 19n , 20n , 21n , 22n , 23n , 24n 이때 모든 x의 값의 합이 12이므로 16 n +17n +18n +19n +20n +21n +22n +23n +24n =12 180 n =12 ∴ n=150
41
108 14Û`<209<15Û`이므로 14<'¶209<15 3Û`<14<'¶209<15<4Û`이므로 a=3 즉 ® n3 이 자연수가 되려면 n=3_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 n=3, 12, 27, 48, 75, 108, … 따라서 자연수 n의 값 중 100에 가장 가까운 수는 108이다.0
42
6개 f(n)=¿·0.Hn=® n9 =®3Û`n= 'n3 이때 '3 이 유리수이려면 한 자리의 자연수 n은 제곱수이어야 하므로 n 1, 4, 9이어야 한다. 따라서 무리수는 f(2), f(3), f(5), f(6), f(7), f(8)의 6개이다.0
43
ㄷ BEÓ=BDÓ="1Û`+1Û`='2이므로 q=p+1, r=p+'2 ㄱ. p가 유리수이면 q는 유리수이고 r는 무리수이다. ㄴ. p가 무리수이면 q는 무리수이고 r는 유리수 또는 무리수이다. ㄷ. q가 유리수이면 p도 유리수이므로 r는 무리수이다. 따라서 옳은 것은 ㄷ이다.0
44
162개 1과 2 사이에는 '2, '3의 2개 2와 3 사이에는 '5, '6, '7, '8의 4개 3과 4 사이에는 '10, '11, '12, '13, '14, '15의 6개 ⋮ 즉 n과 n+1 사이에는 2n개의 점이 있다. 따라서 40과 42 사이에 있는 무리수에 대응하는 점의 개수는 2_40+2_41=162(개)0
45
8a+b=4+('26-1)='26+3>0 a-b=4-('26-1)=5-'26='25-'26<0 ∴ "(a+b)Û`-"(a-b)Û` =a+b-{-(a-b)} =a+b+a-b=2a =2_4=8
0
46
-1-'5△
CFE에서 CEÓ="1Û`+1Û`='2 CQÓ=CEÓ='2이고 점 Q에 대응하는 수가 '2-2이므로 점 C에 대응 하는 수는 ('2-2)-'2=-2△
ABF에서 FAÓ="1Û`+2Û`='5 따라서 점 F에 대응하는 수가 -2+1=-1이므로 점 P에 대응하는 수 는 -1-'5이다.0
47
⑤① a<0에서 a-1<0이므로 "(a-1)Û`=-(a-1)=-a+1 ② a>-1에서 a+1>0이므로 "(a+1)Û`=a+1
③ b<0에서 -b>0이므로 -"(-b)Û`=-(-b)=b ④ b>-1에서 b+1>0이므로 "(b+1)Û`=b+1 ⑤ b<0에서 -b>0이므로 1-b>0 ∴ "(1-b)Û`=1-b 이때 -1<b<a<0이므로 -1<b<a<0<b+1<a+1<-a+1<1-b 따라서 그 값이 가장 큰 것은 ⑤이다.
0
48
5+'10△
ABC에서 ACÓ="1Û`+3Û`='10 이때 점 C는 다음 그림과 같이 이동하므로 점 C'에 대응하는 수는 1+'10+1+3=5+'10 10 B 1 3 C B' C' A A' 3 1 10
49
2-6'2p 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 넓이가 2p이므로 prÛ`=2p, rÛ`=2 ∴ r='2 (∵ r>0) 이때 원을 세 바퀴 굴렸으므로 PQÓ=3_(2p_'2)=6'2p 따라서 점 P에 대응하는 수가 2이므로 점 Q에 대응하는 수는 2-6'2p 이다.0
50
300
51
-200
52
6개0
53
70
54
1050
55
23, 270
56
81개0
57
10 창 의 융 합0
58
160
59
275`mÛ` 본교재 017 ~ 019쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP3
최 고 난
도
유
형
0
50
30 '¶1+3='4="2Û`=2 '¶1+3+5='9="3Û`=3 '¶1+3+5+7='16="4Û`=4 ⋮ 따라서 '¶1+3+5¶+…+(2n-1)=n이고 59=2_30-1이므로 n=30 ∴ '¶1+3+5+¶7+…+59=300
51
-20 (-5)Û`=25의 제곱근은 Ñ5이므로 p=5, q=-5 (∵ p>q) "(p-q+a)Û`="{5-(-5)+a}Û`="(10+a)Û`이므로 "(10+a)Û`=4 Ú 10+a¾0, 즉 a¾-10일 때, 10+a=4 ∴ a=-6 Û 10+a<0, 즉 a<-10일 때,-(10+a)=4, -10-a=4, -a=14 ∴ a=-14 Ú, Û에서 모든 정수 a의 값의 합은 -6+(-14)=-20
0
52
6개a.Hb=a+0.Hb=a+ b9 =9a+b9 이므로 ¿·a.Hb=®Â9a+b9 yy 30% ®Â 9a+b9 =®Â 9a+b3Û` 가 유리수가 되려면 9a+b가 제곱수이어야 한다.
yy 30% 이때 a와 b는 한 자리의 자연수이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 7), (2, 7), (3, 9), (5, 4), (7, 1), (8, 9)의 6개이다. yy 40%
0
53
7 소수 p에 대하여 'pa가 양의 정수가 되려면 a=p_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 이때 0<a<200을 만족하는 자연수 a의 개수가 5개이므로 a=p, 4p, 9p, 16p, 25p a의 값 중 가장 큰 값은 25p이므로 25p<200 ∴ p<8 이때 36p는 a의 값이 될 수 없으므로 36p¾200 ∴ p¾509 =5.5 y 따라서 5.5 y Ép<8을 만족하는 소수 p의 값은 7이다.0
54
105x=y-2, z=y+2이므로 x+y+z=(y-2)+y+(y+2)=3y x+y+z<250이므로 3y<250 ∴ y<2503 =83.3 y 자연수 n에 대하여 '¶x+y+z=n, 즉 '¶3y=n이므로 y=3_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 따라서 y의 값이 될 수 있는 수는 3, 12, 27, 48, 75이고 이 중 홀수는 3, 27, 75이므로 모든 y의 값의 합은 3+27+75=105
0
55
23, 27 2É® yx É3의 각 변을 제곱하면 4Éx É9 ∴ 4xÉyÉ9xy 각 변에 x를 더하면 5xÉx+yÉ10x 이때 x+y=35이므로 5xÉ35É10x ∴ xÉ7É2x 위의 부등식을 만족하는 자연수 x의 값은 x=4, 5, 6, 7 Ú x=4일 때, x+y=35에서 y=31 이때 x, y는 서로소이므로 조건을 만족한다. Û`x=5일 때, x+y=35에서 y=30 이때 x, y는 서로소가 아니므로 조건을 만족하지 않는다. Ü x=6일 때, x+y=35에서 y=29 이때 x, y는 서로소이므로 조건을 만족한다. Ý x=7일 때, x+y=35에서 y=28 이때 x, y는 서로소가 아니므로 조건을 만족하지 않는다. Ú ~ Ý에서 x=4, y=31 또는 x=6, y=29이므로 |x-y|=|4-31|=27 또는 |x-y|=|6-29|=230
56
81개 Ú '3x가 유리수가 되는 경우 '3x가 유리수가 되려면 x=3pÛ` (p는 자연수) 꼴이어야 한다. 3pÛ`É100에서 pÛ`É1003 =33.3y ∴ p=1, 2, 3, 4, 5 즉 자연수 x는 3_1Û`, 3_2Û`, 3_3Û`, 3_4Û`, 3_5Û`의 5개이다. Û '4x가 유리수가 되는 경우 '4x가 유리수가 되려면 x=qÛ` (q는 자연수) 꼴이어야 한다. qÛ`É100에서 q=1, 2, 3, …, 10 즉 자연수 x는 1Û`, 2Û`, 3Û`, …, 10Û`의 10개이다. Ü '5x가 유리수가 되는 경우 '5x가 유리수가 되려면 x=5rÛ` (r는 자연수) 꼴이어야 한다. 5rÛ`É100에서 rÛ`É20 ∴ r=1, 2, 3, 4 즉 자연수 x는 5_1Û`, 5_2Û`, 5_3Û`, 5_4Û`의 4개이다. Ú ~ Ü에서 구한 x의 값은 중복되지 않으므로 '3x, '4x, '5x가 모두 무리수가 되도록 하는 100 이하의 자연수 x의 개수는 100-(5+10+4)=81(개)0
57
10 2<'7<3이므로 a+2<a+'7<a+3 -3<-'7<-2이므로 b-3<b-'7<b-2 ∴ a+'7<a+3ÉnÉb-3<b-'7 이때 위의 식을 만족하는 정수 n의 개수가 5개이므로 (b-3)-(a+3)+1=5 ∴ b-a=100
58
16 창 의 융 합 오른쪽 그림의 전개도에서 3과 마주 보는 면은 b이고, 조건 ㈎에서 b='3 또는 b=9 11과 마주 보는 면은 c이고, 조건 ㈎에서 c='11 Ú b='3일 때, a<'3이고 11<㉠을 만족 하는 수 중 조건 ㈎를 만족하는 수는 없다. Û b=9일 때, a<9이고 11<㉠을 만족하는 수 중 조건 ㈎를 만족하는 수는 a=4, ㉠=16 Ú, Û에서 ㉠=160
59
275`mÛ` 창 의 융 합 정사각형 모양의 땅 A의 넓이가 40n`mÛ`이므로 한 변의 길이는 '¶40n`m 정사각형 모양의 땅 B의 넓이가 (115-n)`mÛ`이므로 한 변의 길이는 '¶115-n`m '¶40n="2Ü`_5_n이 자연수가 되려면 n=2_5_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 n=10, 40, 90, 160, … '¶115-n이 자연수가 되려면 115-n은 115보다 작은 제곱수이어야 하 므로 115-n=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ∴ n=114, 111, 106, 99, 90, 79, 66, 51, 34, 15 이때 '¶40n, '¶115-n을 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 값은 90이다. 따라서 땅 C의 가로의 길이는 '¶115-90='¶25=5 (m)이고, 세로의 길이는 '¶40_90-5='¶3600-5=60-5=55 (m)이므로 땅 C의 넓이는 5_55=275 (mÛ`)근호를 포함한 식의 계산
0
2
0
60
130
61
70
62
③0
63
④, ⑤0
64
;2!;0
65
12'2`cm0
66
10
67
70
68
5'220
69
280
70
0.08610
71
⑤0
72
-20
73
4'7-100
74
18'6`cm0
75
30
76
'3+10
77
;1Á2;0
78
-150
79
112 -'6 3850
80
1030
81
'3-20
82
4p-10
83
13개 본교재 021 ~ 024쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
3 11 a c b ㉠0
60
13 '108="6Û`_3=6'3이므로 a=6 ®É147 =®É15 49 =®É5 7Û`5= '7 이므로 b=75 ∴ a+b=6+7=130
61
7 'a_'2_'3_'3a_'50 ='¶a_2_3¶_3a_50 ="aÛ`_2Û`_3Û`_5Û` ="(30a)Û`=30a (∵ a는 자연수) 따라서 30a=210이므로 a=70
62
③ '¶252="2Û`_3Û`_7=3_('2)Û`_'7=3aÛ`b0
63
④, ⑤ ① ab<0이므로 "aÛ`bÛ`="(ab)Û`=-ab ② -a>0이므로 "(-a)Û`b="(-a)Û`'b=-a'b ③ -®É b aÛ`=- 'b"aÛ`=- 'b-a ='ba ④ a <0이므로 ¾Ðb bÛ` aÛ`=®É{ ba }Û`=- ba ⑤ -ab>0이므로 "(-ab)Û`=-ab 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.0
64
;2!; 2 b ®ba +3a ®ab =®ÉbÛ`4_ ba +®É 9 aÛ`_ ab =®Éab +®É4 ab 9 = 2 'ab+ 3 'ab =10 +2 10 3 = 510 =120
65
12'2`cm 오른쪽 그림과 같은 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 ACÓ=x`cm라고 하면 BHÓ=CHÓ= 12 BCÓ=x2 (cm)△
AHC에서 AHÓ=®ÉxÛ`-{ x2 }Û`= '32 x (cm) ∴△
ABC= 12 _x_'32 x='34 xÛ` (cmÛ`) 즉 '4 xÛ`=8'3이므로 xÛ`=8'3_3 4 '3=32 ∴ x='32=4'2 (∵ x>0) 따라서 구하는 둘레의 길이는 3_4'2=12'2 (cm) A B H C x cm cm x -2 cm x -20
66
1 8 3'32=3_48'2=3'22 =3'2_'22_'2 =2'26 ='23 이므로 a=13 21'2 '14 =21'14_'14'2_'14=2114 ='28 6'72 =3'7이므로 b=3 ∴ 'ab=®É13 _3=10
67
7 '500 5'a =105'a'5=2'a'5 따라서 2'5 'a =2'357 이므로 'a=2'5_2'357 =7'5 '35 =7'5_'35 '35_'35=3535 ='7'7 ∴ a=70
68
5'22BCÓEFÓ이므로
△
ABC»△
AEF (AA 닮음) 이때△
AEF=
BCFE이므로△
AEF :△
ABC=1 : 2 즉△
AEF와△
ABC는 닮음비가 1 : '2인 닮은 도형이다. EFÓ=x라고 하면 EFÓ : BCÓ=1 : '2이므로 x : 5=1 : '2, '2x=5 ∴ x= 5 '2='2_'25_'2 =5'22 ∴ EFÓ=5'220
69
28 '¶760 =2'¶190=2'¶100_1.9=20'¶1.9 =20_1.378=27.56 따라서 '¶760에 가장 가까운 정수는 28이다.0
70
0.0861 '¶8.61=2.934이므로 0.2934= '¶8.6110 ∴ (0.2934)Û`=8.61100 =0.08610
71
⑤ ① '¶3.22=1.794 ② '¶301='¶100_3.01=10'¶3.01=10_1.735=17.35 ③ '¶0.033=®É100 =3.3 '¶3.310 =1.817 10 =0.1817 ④ '¶1240='¶400_3.1=20'¶3.1=20_1.761=35.22 ⑤ '¶28800='¶900_32=30'¶32 따라서 그 값을 구할 수 없는 것은 ⑤이다.0
72
-2 '27+3'50-'6 ('2+'¶108) =3'3+15'2-2'3-18'2 =-3'2+'3 따라서 a=-3, b=1이므로 a+b=-3+1=-20
73
4'7-10 2-'7='4-'7<0, 3'7-8='63-'64<0이므로 ¿·(2-'7)Û`-¿·(3'7-8)Û` =-(2-'7)-{-(3'7-8)} =-2+'7+3'7-8 =4'7-100
74
18'6`cm 세 정사각형의 한 변의 길이는 각각 '6`cm, '24=2'6 (cm), '54=3'6 (cm)이다. 따라서 도형의 둘레의 길이는 2_('6+2'6+3'6)+2_3'6=12'6+6'6=18'6 (cm)0
75
3 (2-4'2)a-(-3+'2)b =2a-4'2a+3b-'2b =(2a+3b)+(-4a-b)'2 즉 2a+3b=-1, -4a-b=7이므로 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 ∴ b-a=1-(-2)=30
76
'3+1 Ú 음수 : '3-5, -'3+1 ('3-5)-(-'3+1)=2'3-6='12-'36<0이므로 '3-5<-'3+1 Û 양수 : 2+'3, 2'3, 3 (2+'3)-2'3=2-'3='4-'3>0이므로 2+'3>2'3 2'3-3='12-'9>0이므로 2'3>3 ∴ 3<2'3<2+'3 Ú, Û에서 '3-5<-'3+1<3<2'3<2+'3 따라서 왼쪽에서 두 번째에 오는 수는 -'3+1, 오른쪽에서 두 번째에 오는 수는 2'3이므로 (-'3+1)+2'3='3+10
77
121 f(12)+ f(13)+ f(14)+y+ f(47) ={ 1 '12 -1 '13}+{ 1 '13 -1 '14}+{ 1 '14 -1 '15}+y +{'471 - 1 '48} = 1 '12-'481 =2'31 -41'3 = '6 -3 '312 ='312 ∴ a=1210
78
-15 (주어진 식) ='7(3-'¶70)-{102 +'7 5'102 }_15 =3'7-7'¶10-'7- '2 10 =2'7-15'102 따라서 m=2, n=-152 이므로 mn=2_{-152 }=-150
79
112 -'6 385 A='27+ 3 '2=3'3+ 3'2 2 이므로 2A-5B =2 {3'3+3'22 }-5{2'2-'35 } =6'3+3'2-10'2+'3=-7'2+7'3 ∴ 1 '2(2A-5B)+'3B = 1 '2(-7'2+7'3)+'3 {2'2- ' 3 5 } =-7+7'62 +2'6-35 =112 -'6 3850
80
103 3'2 {x-'24 }-'5 {2'10- x3 '5 } =3'2x-12-10'2+53 x ={53 x-12}+(3x-10)'2 이때 이 식이 유리수가 되려면 3x-10=0이어야 하므로 3x=10 ∴ x=1030
81
'3-2 8<'75<9이므로 f(75)='75-8=5'3-8 6<'48<7이므로 f(48)='48-6=4'3-6 ∴` f(75)- f(48) =(5'3-8)-(4'3-6) =5'3-8-4'3+6='3-20
82
4p-1 3<'11<4이므로 p='11-3 ∴ '11=p+3 13<'176<14이므로 '176의 소수 부분은 '176-13 =4'11-13=4(p+3)-13 =4p+12-13=4p-10
83
13개 'x의 정수 부분이 6이므로 6É'x<7 각 변을 제곱하면 36Éx<49 따라서 조건을 만족하는 자연수 x는 36, 37, 38, y, 48의 13개이다.0
84
430
85
170
86
450
87
④0
88
60
89
3'11`cmÛ`0
90
100
91
'5 50
92
5'300
93
-0.24490
94
1.5720
95
110
96
524 '60
97
7+23'20
98
(20+30'2)`cm0
99
-;2!;100
(3+'5)p101
3'3-14102
3+2'33103
-1104
- '330105
3'3-'64106
4'55 -1107
7'7-18 본교재 026 ~ 029쪽 실전문제 체화를 위한STEP
2
심 화 유 형
0
84
43 2'Ä25+a=6'3에서 2'Ä25+a="4(25+a)='Ä100+4a, 6'3='108이므로 'Ä100+4a='108, 100+4a=108 4a=8 ∴ a=2 'Ä57-b=7'2에서 7'2='98이므로 'Ä57-b='98, 57-b=98 ∴ b=-41 ∴ a-b=2-(-41)=430
85
17 '2.16=®É216100 =¾Ð10Û`6Ü` =10 '6=6 35 '6이므로 x=35 yy 40% '0.005=®É1000 =®É5 200 =®É1 400 =®É2 20Û`2 = '202 즉 '2=20'0.005이므로 y=20 yy 40% ∴ y-5x=20-5_35 =17 yy 20%0
86
45 a'b'c="aÛ`bc='700="2Û`_5Û`_7 이때 b, c의 최대공약수가 5이고 a+1, a<b<c이므로 a=2, b=5, c=35 ∴ ab+c=2_5+35=450
87
④ '0.5=®É10 =¾Ð5 50 =5Û` '505 = bÛ` d '0.3=®É10 =¾Ð3 30 =3Û` 3 '30= a Û` c ∴ '0.5-'0.3= bÛ` d- a Û` c0
88
6 넓이가 3p인 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 prÛ`=3p, rÛ`=3 ∴ r='3 (∵ r>0) 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 2'3이므로 (내접하는 정사각형의 넓이)=12 _2'3_2'3=6 외접하는 정사각형의 한 변의 길이는 2'3이므로 (외접하는 정사각형의 넓이)=2'3_2'3=12 따라서 구하는 넓이의 차는 12-6=60
89
3'11`cmÛ` 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 PQÓ= 12 BDÓ=12 _4'3=2'3 (cm) CPÓ, CQÓ는 한 변의 길이가 4'3`cm인 정삼각형의 높이이므로 CPÓ=CQÓ=¿·(4'3)Û`-(2'3)Û`='36=6 (cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 PQÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 이등변삼각형 CPQ에서 PHÓ=HQÓ='3 (cm)이므로 CHÓ =¿·6Û`-('3)Û`='33 (cm) ∴△
PCQ= 12 _2'3_'33 ='99=3'11 (cmÛ`)0
90
10 2a '3b+8=2a3b+8 ='3b+8 4'2613 이고 a, b가 10 이하의 자연수이므로 2a 3b+8 =13 , 3b+8=264 따라서 a=4, b=6이므로 a+b=4+6=100
91
'55 5x+2y 3x-2y =3에서 5x+2y=9x-6y 4x=8y ∴ x=2y yy 40%∴ ¾Ð 2xÛ`-5yÛ`4xÛ`-yÛ` =¾Ð 2_(2y)Û`-5yÛ`4_(2y)Û`-yÛ` =¾Ð 3yÛ` 15yÛ` =®15 = 1 '5= ' 5 5 yy 60%
0
92
5'30 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 3k, 2k (k>0)라고 하면 정사 각형의 한 변의 길이는 2k이므로 (2k)Û`=30 4kÛ`=30, kÛ`=152 ∴ k=¾¨152 ='15 '2 = '230 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 2(3k+2k)=10k=10_ '302 =5'30`` C P H Q0
93
-0.2449 '0.24+'2.94-'66 =®Â100 +®Â24 294100 -'6 =210 +'6 710 -'6 '6 =- '10 =-6 2.44910 =-0.24490
94
1.572 '265='Ä100_2.65=10'2.65=10_1.628=16.28 이때 '265-xÛ`=13.81이므로 xÛ`=16.28-13.81=2.47 ∴ x='2.47=1.572 (∵ x는 양수)0
95
11 '8(a+b)=10.2=10_1.02=10'1.04 ='¶100_1.04='104 즉 8(a+b)=104이므로 a+b=13 yy ㉠ 'ab=3.464='12이므로 ab=12 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a=12, b=1 (∵ a>b) ∴ a-b=12-1=110
96
524'6 1 '6 - 1 '6 - '61 = 1 '6 - 1 '6 - '66 = 1 '6 - 51'6 6 = 1 '6 - 56 '6 = 1 '6 - '56 = 1 4'6 5 = 5 4'6= 5'6 240
97
7+23'2 AÕMÓ=BÕMÓ= 3+'2-(-1-'2)2 =4+22'2=2+'2 yy 40% 이때 MÕNÓ : NBÓ=2 : 1이므로 NBÓ=13 BMÓ=2+3'2 yy 30% 따라서 점 N에 대응하는 수는 3+'2-2+3'2=7+23'2 yy 30%0
98
(20+30'2)`cm 한 변의 길이가 10`cm인 정사각형 안에 그린 세 정사각형의 넓이는 각 각 100_12 =50 (cmÛ` ), 50_12 =25 (cmÛ`), 25_12 =252 (cmÛ`) 세 정사각형의 한 변의 길이는 각각 '50=5'2 (cm), '25=5 (cm), ®É252 =5'22 (cm) 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이의 합은 세 정사각형의 둘레의 길이의 합과 같으므로 4_{5'2+5+5'22 }=4_{5+152 }=20+30'2 (cm)'20
99
-;2!; '¶504a="2Ü`_3Û`_7_a가 자연수가 되려면 a=2_7_(자연수)Û` 꼴이 어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 a는 2_7_1Û`=14 3<'14<4이므로 -1<-4+'14<0 ∴ ¿·(-4+'a)Û`-2b'a =¿·(-4+'14)Û`-2b'14 =-(-4+'14)-2b'14 =4-'14-2b'14 =4-(1+2b)'14 이때 이 식이 유리수가 되려면 1+2b=0이어야 하므로 b=-;2!;100
(3+'5)p 사분원 A의 반지름의 길이는 4 사분원 B의 반지름의 길이는 (5+'5)-4=1+'5 사분원 C의 반지름의 길이는 4-(1+'5)=3-'5 사분원 D의 반지름의 길이는 (1+'5)-(3-'5)=2'5-2 따라서 사분원 A, B, C, D의 호의 길이의 합은 ;4!;_2p_4+;4!;_2p_(1+'5)+;4!;_2p_(3-'5) +;4!;_2p_(2'5-2) =;4!;_2p_{4+(1+'5)+(3-'5)+(2'5-2)} =;4!;_2p_(6+2'5) =(3+'5)p101
3'3-14 '2 (2'3-5)- '2= '3+4 '2 에서 2'6-5'2- '2= '6+42 '2 '2 =2'6-5'2- ' 6+4'2 2 =4'6-10'2-'6-4'22 =3'6-14'22 ∴ =3'6-14'22 _'2 =6'3-282 =3'3-14102
3+2'33 (2'3-1) ◎ '34 =(2'3-1)-'3_ 4 '3+(2'3-1)_'34 =2'3-1-4+8-4'33 =3+2'33103
-1 '12('6-'3)x+3'2<2('2-3)x-1에서 6'2x-6x+3'2<2'2x-6x-1 4'2x<-3'2-1 ∴ x<-34'2-1'2 =-6-8 '2 이때 1<'2<2이므로 -2<-'2<-1 -8<-6-'2<-7 ∴ -1<-6-8 '2<-78 따라서 주어진 부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 정수는 -1이다.104
- '303 a : b : c=('6-'2) : ('2+'5) : ('6-'5)이므로 a=('6-'2)k, b=('2+'5)k, c=('6-'5)k (k>0)라고 하면 ('6-'2)k+('2+'5)k+('6-'5)k='10 ('6-'2+'2+'5+'6-'5)k='10 2'6k='10 ∴ k= '210 '6= ' 15 6 ∴ a-b-c =('6-'2)k-('2+'5)k-('6-'5)k =('6-'2-'2-'5-'6+'5)k=-2'2k =-2'2_ '156 =-'303105
3'3-'64 3<'12<4이므로 2<'12-1<3 ∴ f(x)=2, g(x)=('12-1)-2='12-3 3'2='18이고 4<3'2<5이므로 6<3'2+2<7 ∴ f(y)=6, g(y)=(3'2+2)-6=3'2-4 ∴ f(x)-g(y)+32 g(x)+f(y) =2-(3'2-4)+3 2('12-3)+6 = 9-3'2 4'3 =9'3-3'612 =3'3-'64106
4'55 -1 2'5='20이고 4<2'5<5이므로 2<2'5-2<3 ∴ [ a ]=2 a a+[ a ] -[ a ]-a [ a ] = 2'5-2 (2'5-2)+2 -2-(2'5-2) 2 =2'5-2 2'5 -4-2'5 2 ` =10-210'5 -2+'5 =1- '5 -2+'5 5 =4'55 -1107
7'7-18 조건 ㈎에서 'a, 'b, 'c, 'd가 모두 10 이하의 자연수이므로 a, b, c, d는 모두 2 이상 100 이하의 제곱수이다. 조건 ㈏에서 2a+b=43이므로 a=9, b=25 d-3c=1이므로 c=16, d=49 5'¶c-a=5'7이고 13<5'7<14이므로 5'¶c-a의 소수 부분은 x=5'7-13 ¾Ð7(d-b)6 ='¶28=2'7이고 5<2'7<6이므로 ¾Ð7(d-b)6 의 소수 부분은 y=2'7-5 ∴ x+y=(5'7-13)+(2'7-5)=7'7-18108
8109
(2+'2)p110
4111
4개112
6'2+10'3113
5'24114
16115
5 창 의 융 합116
27117
[그림 1] 본교재 030 ~ 032쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP3
최 고 난
도
유
형
108
8 "20ß`+4¡` "10ß`+4Þ` =¾Ð (2Û`_5)ß`+(2Û`)¡`(2_5)ß`+(2Û`)Þ`=¾Ð 2Ú`Û`_5ß`+2Ú`ß`2ß`_5ß`+2Ú`â` =¾Ð 2Ú`Û`(5ß`+2Ý`)2ß`(5ß`+2Ý`) ="2ß` ="(2Ü`)ÛÛ`=8109
(2+'2)p
ABCD를 수직선을 따라 오른쪽으로 1회전 시키면 다음 그림과 같 다. A -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7B D C A' B' D' C' 이때 ACÓ="2Û`+2Û`='8=2'2이므로 점 A가 움직인 거리는 2p_2'2_360 +2_{2p_2_90 360 } ='2p+2p 90 =(2+'2)p110
4 104Û`=10816이므로 104='¶10816 ∴ 10.4=10410 ='1081610 =®Â10816100 ='¶108.16 105Û`=11025이므로 105='¶11025 ∴ 10.5=10510 ='1102510 =®Â11025100 ='¶110.25 즉 '¶108.16<'¶110<'¶110.25이므로 10.4<'¶110<10.5 따라서 '¶110을 소수로 나타내었을 때, 소수점 아래 첫째 자리의 숫자는 4이다.111
4개 '175=5'7이므로 'x+'y=5'7 5'7은 무리수이고 x, y는 자연수이므로 주어진 식을 만족하는 x, y는 x=7mÛ`, y=7nÛ` (m, n은 자연수) 꼴이어야 한다. 이때 "7mÛ`+"7nÛ`=5'7이므로 m'7+n'7=5'7 ∴ m+n=5 m+n=5를 만족하는 두 자연수 m, n의 값은 m=1, n=4 또는 m=2, n=3 또는 m=3, n=2 또는 m=4, n=1 Ú m=1, n=4일 때 x=7_1Û`=7, y=7_4Û`=112 Û m=2, n=3일 때 x=7_2Û`=28, y=7_3Û`=63 Ü m=3, n=2일 때 x=7_3Û`=63, y=7_2Û`=28 Ý m=4, n=1일 때 x=7_4Û`=112, y=7_1Û`=7 Ú ~ Ý에서 구하는 순서쌍 (x, y)는 (7, 112), (28, 63), (63, 28), (112, 7)의 4개이다.112
6'2+10'3 네 정사각형의 한 변의 길이는 각각 '2, '3, '8=2'2, '12=2'3이고 겹치는 부분의 세 정사각형의 한 변의 길이는 각각 '22 , '32 , '2이다. ∴ (새로 만든 도형의 둘레의 길이) =(처음 네 정사각형의 둘레의 길이의 합) -(겹치는 부분의 세 정사각형의 둘레의 길이의 합) =4_('2+'3+2'2+2'3)-4_{ '2 +2 '32 +'2} =4_(3'2+3'3)-4_{3'22 +'32 } =12'2+12'3-6'2-2'3 =6'2+10'3113
5'24[
'2x+'3y=1 yy ㉠ '3x-'2y=-1 yy ㉡ 에서 ㉠_'3-㉡_'2를 하면 5y='3+'2 ∴ y=q='3+'25 yy 40% y= '3+5'2 를 ㉠에 대입하면 '2x+ '3 ('3+'2 )5 =1 '2x=2-5'6 ∴ x=p=2-'6 5'2 = ' 2-'3 5 yy 40% 따라서 p+q= '2-5'3+ '3+5'2=2'25 이므로 1 p+q =2'25 =5'24 yy 20%114
16일곱 자리의 자연수 a는 10ß`Éa<10à`이므로 1000É'a<1000'10 따라서 'a의 정수 부분은 네 자리의 자연수이다.
∴ m=4
"xÛ`+yÛ`의 정수 부분이 6이면 6É"xÛ`+yÛ`<7이므로
36ÉxÛ`+yÛ`<49
이를 만족하는 x¾y인 두 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (5, 4),
(6, 1), (6, 2), (6, 3)의 4개이므로 n=4 ∴ mn=4_4=16
115
5 nÛ`<nÛ`+1<(n+1)Û`이므로 n<"ÃnÛ`+1<n+1 즉 "ÃnÛ`+1의 정수 부분이 n이므로 aÇ="ÃnÛ`+1-n aªªªª="Ã2222Û`+1-2222이므로 (aªªªª+2222)Û` =("Ã2222Û`+1-2222+2222)Û` =("Ã2222Û`+1)Û` =2222Û`+1 따라서 일의 자리의 숫자는 5이다.116
27 창 의 융 합 눈금 12는 원점으로부터 거리가 '12인 위치를, 눈금 48은 원점으로부터 거리가 '48인 위치를 나타내므로 두 눈금 12와 48 사이의 거리는 '48-'12=4'3-2'3=2'3 또, 눈금 3은 원점으로부터 거리가 '3인 위치를, 눈금 x는 원점으로부터 거리가 'x인 위치를 나타낸다. 그림에서 눈금 12와 48 사이의 거리는 눈금 3과 x 사이의 거리와 같으므 로 'x-'3=2'3, 'x=3'3 ∴ x=27117
[그림 1] 창 의 융 합 [그림 1]을 이루는 각 조각에 번호를 붙이면 다음 그림과 같으므로 둘레 의 길이는 2_5+'2_6+2'2_2+4+(4-2'2)+(2'2-2)=16+10'2 212 212 4-212 212-2 12 12 12 12 12 12 2 2 2 2 2 4 ① ⑤ ④ ③ ⑥ ⑦ ② [그림 2]를 이루는 각 조각에 번호를 붙이면 오른쪽 그림과 같으므로 둘레 의 길이는 2_4+'2_3+2'2_2+(2-'2) +(4-2'2)+4+(2'2-2) =16+6'2 이때 16+10'2>16+6'2이므로 [그림 1]의 둘레의 길이가 더 길다. 212 212 212-2 2-12 4-212 12 12 12 2 2 2 4 2 ① ⑤ ④ ③ ⑥ ⑦ ②다항식의 곱셈과 인수분해
II
.
다항식의 곱셈
03
118
3119
12xÛ`+7x-10120
;8!;121
18122
-15123
-16aÛ`+36ab-18bÛ`124
2051125
;3*;126
16127
-3128
1129
21130
6+23'6131
5'2-1132
33-18'3133
xÛ`-4yÛ`-4yz-zÛ`134
24-8'3135
18136
;5$;137
-;1@1^;138
47139
13140
'3-'2141
40 본교재 035 ~ 038쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
118
3 xy항이 나오는 부분만 전개하면 3x_(-2y)+(-ay)_bx=(-6-ab)xy이므로 -6-ab=4 ∴ ab=-10 또, y항이 나오는 부분만 전개하면(-ay)_5=-5ay이므로 -5a=10 ∴ a=-2 a=-2를 ab=-10에 대입하면 b=5 ∴ a+b=-2+5=3
119
12xÛ`+7x-10 (3x-k)(5x+4)=15xÛ`+(12-5k)x-4k=15xÛ`+2x-8이므로 12-5k=2, -4k=-8 ∴ k=2 따라서 바르게 계산하면 (3x-2)(4x+5)=12xÛ`+7x-10120
;8!; {x-;6!;}(x+a)=xÛ`+{a-;6!;}x-;6!;a 이때 x의 계수가 상수항의 2배이므로a-;6!;=2_{-;6!;a}, a-;6!;=-;3!;a, ;3$;a=;6!; ∴ a=;8!;
121
18 (x-1)(x+1)(xÛ`+1)(xÝÝ`+1)(x¡`+1) =(xÛ`-1)(xÛ`+1)(xÝ`+1)(x¡`+1) =(xÝ`-1)(xÝ`+1)(x¡`+1) =(x¡`-1)(x¡`+1)=xÚ`ß`-1 따라서 a=16, b=-1이므로 a-2b=16+2=18122
-15 (x+a)(x+8)=xÛ`+(a+8)x+8a=xÛ`+5x+b이므로 a+8=5, 8a=b ∴ a=-3, b=-24(cx-1)(3x+1)=3cxÛ`+(c-3)x-1=dxÛ`-1이므로 3c=d, c-3=0 ∴ c=3, d=9 ∴ a+b+c+d =-3+(-24)+3+9 =-15
123
-16aÛ`+36ab-18bÛ` BEÓ=BAÓ=3b이므로 ECÓ=4a-3b ECÓ=HDÓ=HFÓ이므로 EFÓ=3b-(4a-3b)=6b-4a ∴
FECG =(4a-3b)(6b-4a) =24ab-16aÛ`-18bÛ`+12ab =-16aÛ`+36ab-18bÛ`124
2051 2046_2054+2066 2050 =(2050-4)(2050+4)+20662050 =2050Û`-16+20662050 =2050Û`+20502050 =2050+1 =2051125
;3*; (4-'7)Û`-m(10-3'7) =16-8'7+7-10m+3'7m =(23-10m)+(3m-8)'7 이때 유리수가 되려면 3m-8=0이어야 하므로 3m=8 ∴ m=;\3*;126
16 (2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2¡`-1)(2¡`+1) =2Ú`ß`-1 ∴ a=16127
-3 ('5+2)ß`('5-2)à` =('5+2)ß`('5-2)ß`('5-2) ={('5+2)('5-2)}ß`('5-2) =(5-4)ß`('5-2) ='5-2 따라서 a=-2, b=1이므로 a-b=-2-1=-3128
1 1003_997+998Û` =(10Ü`+3)(10Ü`-3)+(10Ü`-2)Û` =10ß`-9+10ß`-4_10Ü`+4 =2_10ß`-4_10Ü`-5 따라서 a=2, b=4, c=5이므로 a+b-c=2+4-5=1129
21 3 7+4'3-7-44'3 = 3(7-4'3) (7+4'3)(7-4'3)-(7-44(7+4'3)(7+4'3)'3) =(21-12'3)-(28+16'3) =21-12'3-28-16'3=-7-28'3 따라서 a=-7, b=-28이므로 a-b=-7-(-28)=21130
6+23'6 2<'6<3이므로 -3<-'6<-2 ∴ 2<5-'6<3 따라서 a=2, b=(5-'6)-2=3-'6이므로 a b =3-2'6=(3-2(3+'6)(3+'6) '6) =6+23'6131
5'2-1 f(x)='x+'¶x+1에서 1 f(x) = 1 'x+'¶x+1=('x+'¶x+1)('x-'¶x+1)'x-'¶x+1 = 'x-'¶x+1 x-(x+1)= 'x -'¶x+1 -1 ='¶x+1-'x ∴ 1 f(1)+ 1 f(2)+ 1 f(3)+…+ 1 f(49) =('2-'1)+('3-'2)+('4-'3)+…+('50-'49) =-'1+'50=5'2-1132
33-18'3
ABFE와
EGHD의 넓이의 비가 4 : 3이므로 닮음비는 2 : '3이 다.ABÓ=2a라고 하면 EDÓ='3a이고
ABCD의 둘레의 길이가 78이므 로2{2a+(2a+'3a)}=78, (4+'3)a=39 ∴ a= 39 4+'3=(4+39(4-'3)(4-'3)'3) =39(4-13'3)=3(4-'3) ∴ GFÓ =2a-'3a=(2-'3)a =3(2-'3)(4-'3)=3(11-6'3) =33-18'3
133
xÛ`-4yÛ`-4yz-zÛ` (x+2y+z)(x-2y-z)={x+(2y+z)}{x-(2y+z)} 2y+z=A로 놓으면 (x+A)(x-A) =xÛ`-AÛ`=xÛ`-(2y+z)Û` =xÛ`-(4yÛ`+4yz+zÛ`) =xÛ`-4yÛ`-4yz-zÛ`134
24-8'3 (2x+3-'3)(2x-1-'3)={(2x-'3)+3}{(2x-'3)-1} 2x-'3=A로 놓으면 (A+3)(A-1)=AÛ`+2A-3 =(2x-'3)Û`+2(2x-'3)-3 =4xÛ`-4'3x+3+4x-2'3-3 =4xÛ`+(4-4'3)x-2'3 따라서 x의 계수는 4-4'3, 상수항은 -2'3이므로 (4-4'3)_(-2'3)=24-8'3135
18 (x+1)(x+2)(x-3)(x-4) ={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)} =(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8) xÛ`-2x=A로 놓으면 (A-3)(A-8) =AÛ`-11A+24 =(xÛ`-2x)Û`-11(xÛ`-2x)+24 =xÝ`-4xÜ`+4xÛ`-11xÛ`+22x+24 =xÝ`-4xÜ`-7xÛ`+22x+24 따라서 xÜ`의 계수는 -4, x의 계수는 22이므로 -4+22=18136
;5$; aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab이므로 6=4Û`+2ab 6=16+2ab, 2ab=-10 ∴ ab=-5∴ 1a -1b =b-aab =-(a-b)ab =-4-5 =45
137
-;1@1^;(x-3)(y-3)=4에서 xy-3(x+y)+9=4 xy=-11을 대입하면
-11-3(x+y)+9=4, -3(x+y)=6 ∴ x+y=-2
∴ x +y xy =xÛ`+yÛ`xy =(x+y)Û`-2xyxy =(-2)Û`-2_(-11)-11 =-2611
138
47 xÛ`+ 1 xÛ`= {x-1 x }Û`+2=('5)Û`+2=7이므로 xÝ`+ 1 xÝ`={xÛ`+ 1 xÛ` }Û`-2=7Û`-2=47139
13 x= 1 5-2'6= 5+2'6 (5-2'6)(5+2'6)=5+2'6 x-5=2'6이므로 양변을 제곱하면 xÛ`-10x+25=24, xÛ`-10x=-1 ∴ xÛ`-10x+14=-1+14=13140
'3-'2 '¶x+1-'¶x-1 '¶x+1+'¶x-1 =('¶x+1+'¶x-1)('¶x+1-'¶x-1) ('¶x+1-'¶x-1)Û` = x+1-2x+1-(x-1)¿·xÛ`-1+x-1=2x-22¿·xÛ`-1 =x-"ÃxÛ`-1='3-"Ã('3)Û`-1 ='3-'2141
40 x+0이므로 xÛ`-6x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-6+x =0 ∴ x+1 x =61 ∴ xÛ`+x+x +1 1 xÛ` ={x+ 1 x }Û`-2+{x+ 1x } =6Û`-2+6=40142
7143
15144
④145
;2#5^;146
-208+112'7147
32148
11149
4150
6151
(6'3-9)배152
360153
xß`-xÝ`-xÛ`+1154
-6155
249156
25716157
140158
'6+'22159
75-30'6 본교재 040 ~ 042쪽 실전문제 체화를 위한STEP
2
심 화 유 형
142
7 a=8p+3, b=8q+5 (p, q는 자연수)라고 하면 ab =(8p+3)(8q+5) =64pq+40p+24q+15 =8(8pq+5p+3q+1)+7 따라서 ab를 8로 나눈 나머지는 7이다.143
15 ACÓ=12이므로 a+b=12ADÓ=CDÓ= a+b2 이므로 BDÓ=b-a+b2 =-a+b2 이때 Sª-SÁ=15이므로 { a+b2 }2`-{-a+b2 }2`=15 aÛ`+2ab+bÛ` 4 - aÛ`-2ab+bÛ`4 =15 ∴ ab=15
144
④ (x+A)(x+B)=xÛ`+(A+B)x+AB=xÛ`+Cx-40이므로 A+B=C, AB=-40 이때 A, B는 정수이므로 AB=-40을 만족하는 순서쌍 (A, B)는 (-40, 1), (-20, 2), (-10, 4), (-8, 5), (-5, 8), (-4, 10), (-2, 20), (-1, 40), (1, -40), (2, -20), (4, -10), (5, -8), (8, -5), (10, -4), (20, -2), (40, -1)이다. A+B=C이므로 C의 값이 될 수 있는 수는 -39, -18, -6, -3, 3, 6, 18, 39 따라서 C의 값이 될 수 없는 것은 ④ 12이다.145
;2#5^; 3005Û`-2999_3011 3010Û`-3005_3015 =3005Û`-(3005-6)(3005+6)3010Û`-(3010-5)(3010+5) =3005Û`-(3005Û`-6Û`)3010Û`-(3010Û`-5Û`) =6Û`5Û` =3625146
-208+112'7 (3+'7)(3-'7)=9-7=2이므로 (3+'7)Þ`(3-'7)Ý` =(3+'7){(3+'7)(3-'7)}Ý` =(3+'7)_2Ý`=48+16'7 (3+'7)Ý`(3-'7)ß` ={(3+'7)(3-'7)}Ý`(3-'7)Û` =2Ý`(16-6'7)=256-96'7 ∴ (3+'7)Þ`(3-'7)Ý`-(3+'7)Ý`(3-'7)ß` =(48+16'7)-(256-96'7) =-208+112'7147
32 2(4+2)(4Û`+2Û`)(4Ý`+2Ý`)(4¡`+2¡`)+2Ú`ß` =(4-2)(4+2)(4Û`+2Û`)(4Ý`+2Ý`)(4¡`+2¡`)+2Ú`ß` =(4Û`-2Û`)(4Û`+2Û`)(4Ý`+2Ý`)(4¡`+2¡`)+2Ú`ß` =(4Ý`-2Ý`)(4Ý`+2Ý`)(4¡`+2¡`)+2Ú`ß` =(4¡`-2¡`)(4¡`+2¡`)+2Ú`ß` =(4Ú`ß`-2Ú`ß`)+2Ú`ß` =4Ú`ß`=(2Û`)Ú`ß`=2Ü`Û` ∴ x=32148
11 "2Û`â` ('7+'8)¡` { '2 -'2`}7 Ú`â` =2Ú`â` ('7+'8)¡` { '2 -'2`}7 Ú`â` =('7+2'2)¡`_2Ú`â`_{ '2 -'2`}7 Ú`â` =('7+2'2)¡`('7-2'2)Ú`â` ={('7+2'2)('7-2'2)}¡`('7-2'2)Û` =(7-8)¡`(7-4'¶14+8) =(-1)¡`(15-4'¶14) =15-4'¶14 따라서 a=15, b=-4이므로 a+b=15+(-4)=11149
4 x-'6 '6+2 +y-'6-2 '6 = (x-'6)('6-2) ('6+2)('6-2)+ (y-'6)('6+2) ('6-2)('6+2) = '6x-2x-6+22 '6+ '6y+2y-6-22 '6 =(-2x+2y-12)+(x+y)2 '6 이때 이 수가 유리수가 되려면 x+y=0이어야 한다.x+y=0, 2x-3y=-10을 연립하여 풀면 x=-2, y=2
∴ y-x=2-(-2)=4
150
6 1 1+'2+'3 = (1+'2)-'3 {(1+'2)+'3 }{(1+'2)-'3 } = 1+'2-'3 (1+'2)Û`-3 = 1+'2-'3 2'2 =(1+'2-'3)_'2 2'2_'2 = 2+'2-'6 4 따라서 a=1, b=-1, c=6이므로 a+b+c=1+(-1)+6=6151
(6'3-9)배직육면체 A의 밑면의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 밑넓이가 aÛ`이므 로 정육면체 B의 밑넓이는 3aÛ`이고 한 모서리의 길이는 '3a이다. B의 부피는 ('3a)Ü`=3'3aÜ`이므로 A의 부피는
;3!;_3'3aÜ`='3aÜ`
즉 A의 높이는 '3a이다.
따라서 A의 모든 모서리의 길이의 합은 8a+4'3a, B의 모든 모서리의 길이의 합은 12'3a이므로 12'3a 8a+4'3a= 3'3 2+'3= 3'3(2-'3) (2+'3)(2-'3)=6'3-9 즉 정육면체 B의 모든 모서리의 길이의 합은 직육면체 A의 모든 모서리 의 길이의 합의 (6'3-9)배이다.
152
360 xÛ`+3x-40=0에서 xÛ`+3x=40 yy 20% ∴ (x-4)(x-2)(x+5)(x+7) ={(x-4)(x+7)}{(x-2)(x+5)} =(xÛ`+3x-28)(xÛ`+3x-10) yy 50% =(40-28)_(40-10) =12_30=360 yy 30%153
xß`-xÝ`-xÛ`+1 1-xÜ`=A, x-xÛ`=B로 놓으면 (주어진 식) =(A+B)(A-B) =AÛ`-BÛ` =(1-xÜ`)Û`-(x-xÛ`)Û` =1-2xÜ`+xß`-(xÛ`-2xÜ`+xÝ`) =1-2xÜ`+xß`-xÛ`+2xÜ`-xÝ` =xß`-xÝ`-xÛ`+1154
-6 x+y=2, xy=-4이므로 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2_(-4)=12 ∴ x-3 +y y-3 =x y(y-3)+x(x-3) (x-3)(y-3) = x Û`+yÛ`-3(x+y) xy-3(x+y)+9 =-4-3_2+9 =12-3_2 -1 =-6 6155
249 두 정사각형의 둘레의 길이의 합이 84`cm이므로 4x+4y=84 ∴ x+y=21 yy 30% 또, 두 정사각형의 넓이의 합이 345`cmÛ`이므로 xÛ`+yÛ`=345 이때 (x+y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`이므로 21Û`=345+2xy 2xy=96 ∴ xy=48 yy 40% ∴ (x-y)Û` =(x+y)Û`-4xy =21Û`-4_48=249 yy 30%156
25716 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy이므로 5=3Û`-2xy, 2xy=4 ∴ xy=2xÝ`+yÝ`=(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ`=5Û`-2_2Û`=25-8=17 ∴ yÝ` xÝ`+ x Ý` yÝ` = x¡`+y¡` xÝ`yÝ` = (xÝ`+yÝ`)Û`-2xÝ`yÝ` xÝ`yÝ` =17Û`-2_2Ý` 2Ý` = 257 16
157
140 a-b=-4, ab=-2이므로 aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=(-4)Û`+2_(-2)=12 x+y=3, xy=-1이므로 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=3Û`-2_(-1)=11 ∴ (ax+by)Û`+(bx+ay)Û` =aÛ`xÛ`+2abxy+bÛ`yÛ`+bÛ`xÛ`+2abxy+aÛ`yÛ` =(aÛ`+bÛ`)xÛ`+4abxy+(aÛ`+bÛ`)yÛ` =12xÛ`+4_(-2)_(-1)+12yÛ` =12(xÛ`+yÛ`)+8 =12_11+8=140158
'6+'22 x+y= '3+2'2+ '3-2'2=2'32 ='3 x-y= '3+2'2- '3-2'2=2'22 ='2 xy={ '2 +3 '22 }{'32 -'22 }=34 -24 =14 ∴ 'x+'y'x-'y =('x-'y)('x+'y)('x+'y)Û` =x+2x-y'xy+y ='3+2® 1 4 '2 = ' 3+1 '2 = ' 6+'2 2