Ⅰ 이차곡선 이차곡선 이차곡선

Ⅰ

^{14 포물선} 이차곡선의 접선의 방정식 ^{2 타원 3 쌍곡선}

이차곡선

건축물을 설계할 때 포물선, 타원, 쌍 곡선 같은 이차곡 선들이 사용된 다.

생활 속의

이차곡선

배운 내용 확인하기

이차곡선은 오늘날 실생활의 여러 분야에서 활용된다.

이차곡선에 반사되는 빛이나 전파의 성질을 이용하여 안테나를 제작하고 자동 차의 전조등이나 의료용 조명 기구들을 만든다.

또한, 다리 또는 건물을 설계할 때도 미적인 측면과 안정성을 고려하여 이차곡 선을 활용하는 등 그 쓰임새가 다양하다.

아름다운 외관을 자랑하는 현수교는 수심이 깊거나 하부 구조를 설치하기 곤란한 지형에 건설하기 유리하며 다리 상판의 무게 등으로 인하여

케이블이 포물선에 가까운 모양을 띠고 있다.

(송정화, “아폴로니우스가 들려주는 이차곡선 1 이야기”)

10

^{Ⅰ. 이차곡선}

1

두 점 (2, 5), (4, 9) 사이의 거리를 구하시오.

2

점 (1, 2)와 직선 x=-2 사이의 거리를 구하시오.

콘크리트 골조를 쌍곡면 양식으로 건설한 브라질리아 대성당은 단순성과

예술성이 조화된 명작으로 꼽힌다.

(두산백과 http://www.doopedia.co.kr)

파라볼라 안테나 는 포물면 거울의 초점에서 쏘아진 전파가 강하게 방사되기 때문에 텔레비전 중계에 적합하며 수신용으로 사용할

경우에도 안테나의 효율이 매우 높다.

(송정화, “아폴로니우스가 들려주는 이차곡선 1 이야기”)

덴마크의 천문학자인 튀코 브라헤 (Tycho Brahe, 1546-1601)를 기념하기 위한 천문관으로 원기둥을 비스듬히 잘라

만든 타원 모양의 지붕을 가지고 있다.

(두산백과 http://www.doopedia.co.kr)

3

다음 방정식이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하시오.

⑴ y=x+1 ⑵ xÛ`+yÛ`=4

4

원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

포물선

포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.

성취 기준

평면 위에 한 점 F와 점 F를 지나지 않는 한 직선 l 이 있을 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점 들의 집합을 포물선이라 한다. 이때 점 F를 포물선의

초점, 직선 l을 포물선의 준선이라 한다.

또 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭

짓점이라 한다.

포물선의 뜻

준선

꼭짓점 초점 F 축 l

포물선을 영어로

‘parabola’라 한다.

포물선의 방정식은 어떻게 구할까?

탐구 학습

다음 순서에 따라 곡선을 그려 보고, PFÓ와 PBÓ의 길이를 비교하여 보자.

(단, 막대자와 점 F의 위치는 고정해 둔다.) 열기

실의 길이와 BCÓ의 길이는 같으므로 곡선 위의 한 점 P에 대하여

PFÓ=(실의 길이)-CPÓ=BCÓ-CPÓ=PBÓ이므로 PFÓ와 PBÓ의 길이는 같다.

다지기

점 P가 나타내는 곡선을 식으로 어떻게 나타낼까?

키우기 준비물 막대자, 삼각자, 실, 압정, 필기구

➊ 삼각자의 한 변 BC와 길이가 같은

실의 한쪽 끝을 삼각자의 꼭짓점 C 에, 다른 끝을 점 F에 고정한다.

➋ 실을 팽팽하게 유지하며 막대자를

따라 삼각자를 움직이면서 곡선을 그린다.

성화 봉에 불을 어떻게 붙이나요?

거울에 반사된 햇빛을 한곳으로 모으면

불이 붙어요.

A

B P C

F

A

B P C

F

12

^{Ⅰ. 이차곡선}

오른쪽 그림과 같이 포물선의 초점 F를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 A, B에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하자. ACÓ=4, BDÓ=10일 때, ABÓ의 길이를 구하시오.

1

문제

C

D A

B 10 4 l

F

좌표평면에서 0이 아닌 실수 p에 대하여 점 F(p, 0)을 초점으로 하고 직선 x=-p 를 준선으로 하는 포물선의 방정식을 구하여 보자.

포물선 위의 임의의 점 P(x, y)에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H의 좌표는 (-p, y)이다.

포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로

"Ã(x-p)Û`+yÛ`=|x+p|

이고, 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같다.

yÛ`=4px yy ㉠

역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 점 P(x, y)는 PFÓ=PHÓ를 만족시키므로 주어진 포물선 위의 점이다.

따라서 ㉠은 구하는 포물선의 방정식이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

초점이 x축 위에 있는 포물선의 방정식

x y

F(p, 0) O

P(x, y)

-p H

x=-p y¤=4px

p>0 p<0

x y

y¤=4px F(p, 0) O P(x, y) H

x=-p -p

포물선 위의 어느 점에서도 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같아.

초점이 x축 위에 있는 포물선의 방정식

초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선의 방정식은 yÛ`=4px (단, p+0)

포물선 yÛ`=4px의 꼭짓점 은 원점이고, 축의 방정식은 y=0이다.

다음 포물선의 방정식을 구하시오.

⑴ 초점이 F(1, 0), 준선이 x=-1인 포물선

⑵ 초점이 F(-2, 0), 준선이 x=2인 포물선

2

문제

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ yÛ`=8x ⑵ yÛ`=-x

3

문제

yÛ`=-12x=4_(-3)_x이므로 p=-3 초점의 좌표는 (-3, 0)

준선의 방정식은 x=3 또 그래프는 다음 그림과 같다.

x y

-3 O 3 y¤=-12x

x=3

 풀이 참조

풀이 ▶ yÛ`=-4x= 이므로 p=

초점의 좌표는 준선의 방정식은

또 그래프는 다음 그림과 같다.

x y

O

 풀이 참조 풀이 ▶

포물선 yÛ`=-12x의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

포물선 yÛ`=-4x의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구 하고, 그 그래프를 그리시오.

| 포물선의 방정식 이해하기

예제

1

^{따라 하기}

14

^{Ⅰ. 이차곡선}

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ xÛ`=y ⑵ xÛ`=-8y

5

문제

다음 포물선의 방정식을 구하시오.

⑴ 초점이 F{0, ;2!;}, 준선이 y=-;2!;인 포물선

⑵ 초점이 F(0, -3), 준선이 y=3인 포물선

4

문제

좌표평면에서 0이 아닌 실수 p에 대하여 점 F(0, p) 를 초점으로 하고 직선 y=-p를 준선으로 하는 포물 선의 방정식을 앞에서와 같은 방법으로 구하면

xÛ`=4py

임을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

초점이 y축 위에 있는 포물선의 방정식

x y

x¤=4py

F(0, p)

O P(x, y)

H -p y=-p

p>0

p<0

x y

F(0, p) x¤=4py O

H -p y=-p

P(x, y)

초점이 y축 위에 있는 포물선의 방정식

초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선의 방정식은 xÛ`=4py (단, p+0)

포물선 xÛ`=4py의 꼭짓점 은 원점이고, 축의 방정식은 x=0이다.

두 포물선 yÛ`=4x와 xÛ`=4y는 어떻게 다른가요?

초점이 있는 축이 달라요.

포물선 yÛ`=4x의 초점은 x축 위 에 있고, 포물선 xÛ`=4y의 초점 은 y축 위에 있어요.

평행이동한 포물선의 방정식은 어떻게 구할까?

포물선의 평행이동

포물선 yÛ`=4px를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방 향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은

(y-n)Û`=4p(x-m)

이다.

이때 포물선의 꼭짓점, 초점, 준선도 모두 평행이동된 다.

포물선 (y-3)Û`=8(x+2)의 초점의 좌표와 준선의 방 정식을 구하시오.

포물선 (y+2)Û`=12(x+1)의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

| 포물선의 평행이동 이해하기 ⑴

예제

2

^{따라 하기}

풀이 ▶ 포물선 (y-3)Û`=8(x+2)는 포물선 yÛ`=8x를 x축의 방향으로 -2만큼,

y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

한편 포물선 yÛ`=8x의 초점의 좌표는 (2, 0) 준선의 방정식은 x=-2 따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (0, 3) 준선의 방정식은 x=-4

 초점의 좌표: (0, 3), 준선의 방정식: x=-4

풀이 ▶ 포물선 (y+2)Û`=12(x+1)은 포물선 를 x축의 방향으로 만큼,

y축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

한편 포물선 의

초점의 좌표는 준선의 방정식은 따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 준선의 방정식은

 초점의 좌표: , 준선의 방정식:

x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동

방정식

(y-n)Û`=4p(x-m)

꼭짓점의 좌표

(m, n)

초점의 좌표

(p+m, n)

준선의 방정식

x=-p+m

방정식

yÛ`=4px

꼭짓점의 좌표

(0, 0)

초점의 좌표

(p, 0)

준선의 방정식

x=-p

x y

y¤=4px (y-n)¤=4p(x-m)

O m n

16

^{Ⅰ. 이차곡선}

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

⑴ (y+2)Û`=-4(x+3) ⑵ (x-3)Û`=8y

6

문제

다음 포물선을 그리시오.

⑴ yÛ`-2y+x+2=0 ⑵ xÛ`-6x-8y+17=0

7

문제

예제 포물선 yÛ`+4y-4x=0을 그리시오.

| 포물선의 평행이동 이해하기 ⑵

3

풀이 ▶ 주어진 포물선의 방정식을 변형하면 (y+2)Û`=4(x+1)

이고, 이 포물선은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼

평행이동한 것이므로 주어진 포물선은 오른쪽 그림과 같다.

 풀이 참조 x y

y¤=4x -4 -2

-1 O

(y+2)¤=4(x+1)

생각을넓히는 수학

태양열 조리기의 단면은 포물선 모양이기 때문에 축에 평행하게 입사한 햇빛이 거울에 반 사되어 초점에 모인다. 따라서 초점에 모인 햇빛에 의해 발생한 열을 이용하여 음식을 조리할 수 있다. (EBS 클립뱅크 http://clipbank.ebs.co.kr)

오른쪽 그림과 같은 태양열 조리기를 만들고자 할 때, 초점은 꼭짓점으로 부터 얼마나 떨어져 있는지 구하여

보자. ^{32 cm}

80 cm

초점

맑은 날에는 6~10 분이면 1 L의 물을

끓일 수 있어.

문제 해결

스스로 확인하기

정답 및 풀이 167쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 평면 위에 한 점 F와 점 F를 지나지 않는 한 직선 에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 (이) 라 한다.

⑵ 초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선의 방정 식은 이다. (단, p+0)

⑶ 초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선의 방정 식은 이다. (단, p+0)

⑷ 포물선 yÛ`=4px를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은

이다.

2

다음 포물선의 방정식을 구하시오.

⑴ 초점이 F(-5, 0), 준선이 x=5인 포물선

⑵ 초점이 F(0, 3), 준선이 y=-3인 포물선

4

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

⑴ (y-3)Û`=-12(x+1)

⑵ (x+1)Û`=4(y+3)

⑶ yÛ`+2y-12x-23=0

3

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

⑴ yÛ`=2x



⑵ xÛ`=-3y

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

5

오른쪽 그림과 같이 세 점 (0, 0), (0, -2), (-4, 2)를 지나는 포물선의 방정식을 구하 시오.

x y

O -2 -4

2

6

다음 그림과 같이 어느 놀이공원 길의 일부는 놀이 기구 P 의 위치가 초점인 포물선 모양이다. 이 길의 A~E 지점 중 에서 한 지점에 매점을 설치하려고 한다. 매점에서 두 놀이 기구 P, Q 지점에 이르는 거리의 합이 최소가 되도록 할 때, 매점의 위치로 적절한 지점을 말하시오.

창의• 융합

P

Q

18

^{Ⅰ. 이차곡선}

컴퓨터와 수학   

click!

포물선 그리기

컴퓨터 프로그램을 이용하여 포물선 yÛ`=4x를 그려 보자.

정보 처리

능력 기르기 컴퓨터 프로그램을 이용하여 위와 같은 방법으로 포물선 yÛ`=-8x를 그려 보자.

1

입력 창에 ‘F=(1, 0)’, ‘l:x=-1’을 각각 입력하여 초점과 준선을 그린다.

3

점 A를 지나고, 직선 x=-1에 수직인 직선을 그린 다. 이 직선과 2 에서 그린 수직이등분선과의 교점을 P 라 한다. 점 P에서 마우스의 오른쪽 버튼을 클릭하여 자취 보이기를 활성화한다.

2

직선 x=-1 위에 한 점 A를 잡고, 선분 AF를 그린 후, 선분 AF의 수직이등분선을 그린다.

4

점 A를 마우스로 클릭하여 위아래로 움직이면 다음 그림과 같이 포물선이 그려진다.

입력:

O 1

-1

-3 -3

-4 3 4 5

1 3

-2 2

2

-2 -1 x=-1

x y

F

입력:

F O A

1 -1

-3 -3

-4 3 4 5

3

-2 2

2

-2 x=-1

1

-1 x

y

입력:

F

A P

1 -1

-3 -3

-4 3 4 5

3

-2 2

-2 x=-1

1 -1

2

O x

y

입력:

F

A P

1 -1

-3 -3

-4 3 4 5

3

-2 2

-2 x=-1

1 -1

2

O x

y

점 A를 움직여 봐.

평면 위의 두 점 F, F'으로부터의 거리의 합이 일정 한 점들의 집합을 타원이라 하고, 두 점 F, F'을 타원 의 초점이라 한다.

오른쪽 그림과 같이 타원에서 두 초점을 잇는 직선 이 타원과 만나는 점을 각각 A, A'이라 하고, FF'Ó의 수직이등분선이 타원과 만나는 점을 각각 B, B'이라 하자.

타원의 뜻

타원

타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.

성취 기준

타원을 영어로

‘ellipse’라 한다.

저 행성의 궤도는 원이 아니구나?

A' F'

B' B

F A 꼭짓점

꼭짓점 단축

장축 중심

초점 탐구 학습

다음 순서에 따라 곡선을 그려 보고, PFÓ+PF'Ó의 값을 알아보자.

열기

타원의 방정식은 어떻게 구할까?

두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점이 나타내는 도형은 무엇일까?

키우기

실의 길이는 일정하므로 곡선 위의 한 점 P에 대하여 PFÓ+PF'Ó의 값은 실의 길이와 같은 30 cm이다.

다지기 준비물

자, 실 (30`cm), 압정, 필기구

➊ 거리가 20 cm 떨어진 두 점 F, F'

에 길이가 30 cm인 실의 양 끝을 고정한다.

➋ 필기구 끝으로 실을 팽팽하게 당기

면서 필기구의 끝점 P가 나타내는 도형을 그린다.

P

F' F

P

F' F

20

^{Ⅰ. 이차곡선}

오른쪽 그림은 장축이 AA'이고 단축이 BB'이며 두 초점이 F, F' 인 타원이다. 장축의 길이가 8일 때, 선분 BF의 길이를 구하시오.

1

문제

A' F'

B'

A B

F

좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고, 두 초점으로부터의 거 리의 합이 2a (a>c>0)인 타원의 방정식을 구하여 보자.

초점이 x축 위에 있는 타원의 방정식

타원 위의 어느 점에서도 두 초점으로부터의 거리의

합은 일정해.

1

^{단계 |} 타원의 정의에 의해 식 세우기

타원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면

PFÓ= "Ã(x-c)Û`+yÛ`

PF'Ó= "Ã(x+c)Û`+yÛ`

이고, 타원의 정의에 의하여

"Ã(x-c)Û`+yÛ`+"Ã(x+c)Û`+yÛ`=2a

"Ã(x-c)Û`+yÛ`=2a-"Ã(x+c)Û`+yÛ`

2

^{단계 |} 식을 제곱하여 정리하기

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

cx+aÛ`=a

"Ã(x+c)Û`+yÛ`

이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면

(aÛ`-cÛ`)xÛ`+aÛ`yÛ`=aÛ`(aÛ`-cÛ`)

F'(-c, 0) F(c, 0) P(x, y)

O x

y

이때 네 점 A, A', B, B'을 타원의 꼭짓점이라 하고, 선분 AA'을 타원의

장축, 선

분 BB'을 타원의 단축이라 하며, 장축과 단축의 교점을 타원의 중심이라 한다.

초점이 x축 위에 있는 타원의 방정식

두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의 거리의 합이 2a인 타원의 방정식은 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1 (단, a>c>0, bÛ`=aÛ`-cÛ` )

초점의 좌표와 거리의 합만 알면 타원의 방정식을 구할 수 있어.

두 초점 F(2, 0), F'(-2, 0)으로부터의 거리의 합이 8인 타원의 방정식을 구하시오.

2

문제

3

^{단계 |} 타원의 방정식 구하기

여기서 a>c>0이므로 aÛ`-cÛ`=bÛ`으로 놓으면

bÛ`xÛ`+aÛ`yÛ`=aÛ`bÛ`

이고, 이 식의 양변을 aÛ`bÛ`으로 나누면 다음과 같은 타원의 방정식을 얻는다.

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 yy ㉠

역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 점 P(x, y)는 PFÓ+PF'Ó=2a를 만족시키므로 주 어진 타원 위의 점이다. 따라서 ㉠은 구하는 타원의 방정식이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

의사소통 생각을넓히는 수학

다음 두 학생의 대화에서 은수가 타원 모양이라고 생각한 이유를 말하여 보자.

동심원들의 중심이 각각 F, F'인 간격이 일정한

동심원을 그렸어.

동민

그림처럼 점을 찍으니 타원 모양이 나타나네.

은수 F

F' F

F'

22

^{Ⅰ. 이차곡선}

오른쪽 그림과 같은 타원

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 (a>b>0)

에서 두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)이라 하면

bÛ`=aÛ`-cÛ`에서 c="ÃaÛ`-bÛ`이므로

F( "ÃaÛ`-bÛ`, 0), F'(-"ÃaÛ`-bÛ`, 0) 이다. 또 꼭짓점의 좌표는

A(a, 0), A'(-a, 0), B(0, b), B'(0, -b)

이고, 장축의 길이는 AA'Ó=2a, 단축의 길이는 BB'Ó=2b이다.

타원의 초점, 꼭짓점의 좌표와 장축, 단축의 길이

O y

a x a

a¤-b¤

-a

-b b b F'

B' B

A'

F A

타원 xÛ`

100 +yÛ`

64 =1의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길 이를 구하시오.

타원 xÛ`

16 +yÛ`

9 =1의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이 를 구하시오.

| 타원의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이 구하기

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ a=10, b=8이므로 c="Ã10Û`-8Û`=6 초점의 좌표는 (6, 0), (-6, 0) 장축의 길이는 2a=20

단축의 길이는 2b=16

 초점의 좌표: (6, 0), (-6, 0)

 장축의 길이: 20, 단축의 길이: 16

풀이 ▶ a= , b= 이므로 c=

초점의 좌표는 장축의 길이는 2a=

단축의 길이는 2b=

 초점의 좌표:

 장축의 길이: , 단축의 길이:

다음 타원의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 구하시오.

⑴

xÛ`

8 +

yÛ`

4 =1 ⑵ 4xÛ`+9yÛ`=36

⑶

xÛ`

121 +

yÛ`

81 =1 ⑷ 16xÛ`+25yÛ`=400

3

문제

원점을 중심으로 하고 초점이 x축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 10이고, 단 축의 길이가 4일 때, 타원의 방정식을 구하시오.

4

문제

장축의 길이는 타원 위의 임 의의 점에서 타원의 두 초점까지 의 거리의 합과 같다.

초점이 y축 위에 있는 타원의 방정식

두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 합이 2b인 타원의 방정식은 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1 (단, b>c>0, aÛ`=bÛ`-cÛ` )

타원의 두 초점은 장축 위에 있다.

두 초점 F(0, 5), F'(0, -5)로부터의 거리의 합이 14인 타원의 방정식을 구하시오.

5

문제

좌표평면에서 두 점 F(0, c), F'(0, -c)를 초점으로 하고, 두 초점으로부터의 거리의 합이 2b (b>c>0)인 타원의 방정식을 구하면

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 (단, aÛ`=bÛ`-cÛ`)

이다. 이때 초점의 좌표는

F(0, "ÃbÛ`-aÛ`), F'(0, -"ÃbÛ`-aÛ`) 이고, 꼭짓점의 좌표는

A(a, 0), A'(-a, 0), B(0, b), B'(0, -b) 이다. 또 장축의 길이는 BB'Ó=2b, 단축의 길이는 AA'Ó=2a이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

초점이 y축 위에 있는 타원의 방정식

O y

a a x b

-b -a

b

F'

A' A

B' F B b¤-a¤

타원 xÛ`

25 + yÛ`

169 =1의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 구하시오.

6

문제

초점이 y축 위에 있으면 거리의 합이 2b야.

24

^{Ⅰ. 이차곡선}

평행이동한 타원의 방정식은 어떻게 구할까?

타원

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1을 x축의 방향으로 m만큼, y축

의 방향으로 n만큼 평행이동한 타원의 방정식은

(x-m)Û`

aÛ` + (y-n)Û`bÛ` =1

이다.

이때 타원의 초점, 꼭짓점도 모두 평행이동된다.

타원의 평행이동

타원 9xÛ`+16yÛ`-54x-128y+193=0을 그리시오.

7

문제

예제 타원 9xÛ`+4yÛ`-54x-16y+61=0을 그리시오.

| 타원의 평행이동 이해하기

2

풀이 ▶ 주어진 타원의 방정식을 변형하면 9(xÛ`-6x+9)+4(yÛ`-4y+4)=36 (x-3)Û`

4 +(y-2)Û`

9 =1 이고, 이 타원은 타원 xÛ`

4 +yÛ`

9 =1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼

평행이동한 것이므로 주어진 타원은 위의 그림과 같다.

 풀이 참조 O

3

-2

-3 2 2

3 y

x

4 9

x¤4 y¤

9 + =1

+ =1

(x-3)¤ (y-2)¤

x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동

방정식

(x-m)Û`

aÛ` +(y-n)Û`

bÛ` =1

초점의 좌표

(c+m, n), (-c+m, n)

꼭짓점의 좌표

(a+m, n), (-a+m, n), (m, b+n), (m, -b+n)

방정식

xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1

초점의 좌표

(c, 0), (-c, 0)

꼭짓점의 좌표

(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)

x y

O m

n

x¤

a¤+ y¤=1 b¤

(x-m)¤

a¤ +(y-n)¤=1 b¤

스스로 확인하기

정답 및 풀이 168쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 평면 위의 두 점 F, F'으로부터의 거리의 합이 일 정한 점들의 집합을 (이)라 한다.

⑵ 타원의 방정식을

xÛ`

aÛ`+yÛ`bÛ`=1 (a>b>0)이라 할 때

⑴ ➊ 초점의 좌표: (

, 0), ( , 0)

⑴ ➋ 장축의 길이:

⑴ ➌ 단축의 길이:

2

다음 타원의 방정식을 구하시오.

⑴ 두 초점의 좌표가 (4, 0), (-4, 0)이고 장축의 길이가 16인 타원

⑵ 중심이 원점이고 점 (0, 2)가 초점이며 단축의 길 이가 4인 타원

4

점 A(0, 3)을 지나는 직선이 타원 xÛ`

16 +yÛ`

25 =1과 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자. y축 위의 점 R(0, -3)에 대하 여 삼각형 PQR의 둘레의 길이를 구하시오.

(단, 두 점 P, Q는 모두 y축 위에 있지 않다.)

3

다음 타원의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴

xÛ`

12+ yÛ`16=1

⑵ 9xÛ`+25yÛ`=225

5

타원 5xÛ`+9yÛ`+18y-36=0의 두 초점 사이의 거리를 p 라 하고, 장축과 단축의 길이를 각각 q, r라 할 때, p+q+r 의 값을 구하시오.

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

6

두 점 F(5, 0), F'(-5, 0)을 초점으로 하는 타원 위의 한 점 P에 대하여 원점 O에서 선분 PF'에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 H가 선분 PF'의 중점이고, PF'Ó

OHÓ=4일 때, 이 타원의 방정식을 구하시오.

도전

F'(-5, 0) O F(5, 0) H

y P

x

26

^{Ⅰ. 이차곡선}

탐구 학습

다음 순서에 따라 곡선을 그려 보고, PF'Ó-PFÓ의 값을 알아보자.

열기

쌍곡선의 방정식은 어떻게 구할까?

쌍곡선 모양이 나오게 자를 수 있을까?

원뿔을 평면으로 자르니까 원, 포물선, 타원 모양이 생기네.

점 P가 나타내는 도형은 오른쪽 그림과 같고 이때 PF'Ó=(자의 길이)-APÓ=30-APÓ, PFÓ=(실의 길이)-APÓ=15-APÓ 이므로 PF'Ó-PFÓ=15`(cm)이다.

즉 PF'Ó-PFÓ의 값은 일정하다.

다지기

두 점으로부터의 거리의 차가 일정한 점이 나타내는 도형은 무엇일까?

키우기

F

P A

F' 준비물

자 (30`cm), 실(15`cm), 압정, 필기구

➊ FF'Ó=22`(cm)인 두 점 F와 F'을

잡고 길이가 15`cm인 실의 양쪽 끝 을 각각 자의 한쪽 끝점 A와 점 F 에 붙인 후에 자의 나머지 끝을 F' 에 고정한다.

➋ 필기구 끝이 자에 붙도록 유지하고

실을 팽팽하게 당긴다. 이때 자를 F'을 중심으로 회전시키면서 필기 구의 끝점 P가 나타내는 도형을 그 린다.

쌍곡선

쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.

성취 기준

A

F' F

P A

F' F

P

평면 위의 두 점 F, F'으로부터의 거리의 차가 일 정한 점들의 집합을 쌍곡선이라 하고, 두 점 F, F'을 쌍곡선의 초점이라 한다.

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선에서 두 초점을 잇는 직 선이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 A, A'이라 하자.

이때 두 점 A, A'을 쌍곡선의 꼭짓점이라 하고, 선

분 AA'을 쌍곡선의 주축, 주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라 한다.

쌍곡선의 뜻

쌍곡선을 영어로

‘hyperbola’라 한다.

초점 F'A' 초점

F

꼭짓점 중심 A 꼭짓점

주축

쌍곡선 위의 어느 점에서도 두 초점으로부터의 거리의

차는 일정해.

오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F, F'인 쌍곡선 위의 두 점 P, Q 에 대하여 PF'Ó-PFÓ=8이고 PF'Ó-QF'Ó=7이다. QFÓ-PFÓ의 값을 구하시오.

1

문제

F' F

Q

P

좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고, 두 초점으로부터의 거 리의 차가 2a (c>a>0)인 쌍곡선의 방정식을 구하여 보자.

초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식

1

^{단계 |} 쌍곡선의 정의에 의해 식 세우기

쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

|PF'Ó-PFÓ|=2a

이므로

| "Ã(x+c)Û`+yÛ`-"Ã(x-c)Û`+yÛ`|=2a

"Ã(x+c)Û`+yÛ`-"Ã(x-c)Û`+yÛ`=Ñ2a

"Ã(x+c)Û`+yÛ`="Ã(x-c)Û`+yÛ`Ñ2a

O y

F'(-c, 0) F(c, 0) x P(x, y)

28

^{Ⅰ. 이차곡선}

이상을 정리하면 다음과 같다.

초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식

두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1 (단, c>a>0, bÛ`=cÛ`-aÛ` )

다음 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

⑴ 두 초점 F(4, 0), F'(-4, 0)으로부터의 거리의 차가 4인 쌍곡선

⑵ 두 초점 F('3, 0), F'(-'3, 0)으로부터의 거리의 차가 2인 쌍곡선

2

문제

3

^{단계 |} 쌍곡선의 방정식 구하기

여기서 c>a>0이므로 cÛ`-aÛ`=bÛ`으로 놓으면

bÛ`xÛ`-aÛ`yÛ`=aÛ`bÛ`

이고, 이 식의 양변을 aÛ`bÛ`으로 나누면 다음과 같은 쌍곡선의 방정식을 얻는다.

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1 yy ㉠

역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 점 P(x, y)는 |PF'Ó-PFÓ|=2a를 만족시키므로 주어진 쌍곡선 위의 점이다. 따라서 ㉠은 구하는 쌍곡선의 방정식이다.

2

^{단계 |} 식을 제곱하여 정리하기

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

cx-aÛ`=Ña

"Ã(x-c)Û`+yÛ`

이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면

(cÛ`-aÛ`)xÛ`-aÛ`yÛ`=aÛ`(cÛ`-aÛ`)

초점의 좌표와 거리의 차만 알면 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있어.

오른쪽 그림과 같은 쌍곡선

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1에서 두 초

점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>a>0)이라 하면

bÛ`=cÛ`-aÛ`에서 c=

"ÃaÛ`+bÛ`이므로

F( "ÃaÛ`+bÛ`, 0), F'(-"ÃaÛ`+bÛ`, 0) 이다. 또 꼭짓점의 좌표는 A(a, 0), A'(-a, 0)이고 주축의 길이는 AA'Ó=2a이다.

쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이

주축의 길이는 쌍곡선 위의 임의의 점에서 쌍곡선의 두 초점 까지의 거리의 차와 같다.

A A'O F F'

x y

a -a

a¤+b¤

쌍곡선 xÛ`

64 - yÛ`

36 =1의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이를 구하시오.

쌍곡선 xÛ`

25 -yÛ`

9 =1의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이를 구하시오.

| 쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이 구하기 ⑴

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ a=8, b=6이므로 c="Ã8Û`+6Û`=10 초점의 좌표는 (10, 0), (-10, 0) 꼭짓점의 좌표는 (8, 0), (-8, 0) 주축의 길이는 2a=16

 초점의 좌표: (10, 0), (-10, 0)

 꼭짓점의 좌표: (8, 0), (-8, 0), 주축의 길이: 16

풀이 ▶ a= , b= 이므로 c=

초점의 좌표는 꼭짓점의 좌표는 주축의 길이는

 초점의 좌표:

꼭짓점의 좌표: , 주축의 길이:

좌표평면에서 두 점 F(0, c), F'(0, -c)를 초점으로 하고, 두 초점으로부터의 거리의 차가 2b (c>b>0)인 쌍곡선의 방정식을 구하면

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=-1 (단, aÛ`=cÛ`-bÛ`)

이다. 이때 초점의 좌표는

F(0, "ÃaÛ`+bÛ` ), F'(0, -"ÃaÛ`+bÛ` ) 이고, 꼭짓점의 좌표는

B(0, b), B'(0, -b) 이다. 또 주축의 길이는 BB'Ó=2b이다.

초점이 y축 위에 있는

쌍곡선의 방정식 _{F P(x, y)}

B

F' B'

O x

y

-b b c

-c 다음 쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이를 구하시오.

⑴

xÛ`

144 -

yÛ`

25 =1 ⑵ 5xÛ`-16yÛ`=80

3

문제

30

^{Ⅰ. 이차곡선}

다음 쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이를 구하시오.

⑴

xÛ`

5 -

yÛ`

11 =-1 ⑵ xÛ`-

yÛ`

8 =-1

5

문제

이상을 정리하면 다음과 같다.

초점이 y축 위에 있는 쌍곡선의 방정식

두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식은 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=-1 (단, c>b>0, aÛ`=cÛ`-bÛ` )

쌍곡선의 방정식 xÛ`

aÛ`- yÛ`

bÛ`=Ñ1에서 초점이 x축 위에 있을 때는 우변이 1이고, 초 점이 y축 위에 있을 때는 우변이 -1이다.

두 초점 F(0, 3), F'(0, -3)으로부터의 거리의 차가 4인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

4

문제

예제 쌍곡선 xÛ`

7 - yÛ`

9 =-1의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이를 구하시오.

| 쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표와 주축의 길이 구하기 ⑵

2

풀이 ▶ a='7, b=3이므로 c="Ã('7)Û`+3Û`=4 초점의 좌표는 (0, 4), (0, -4) 꼭짓점의 좌표는 (0, 3), (0, -3) 주축의 길이는 2b=6

 초점의 좌표: (0, 4), (0, -4), 꼭짓점의 좌표: (0, 3), (0, -3), 주축의 길이: 6

초점이 y축 위에 있으면 거리의 차가 2b이고, 방정식의 우변이 -1이야.

쌍곡선의 점근선의 방정식은 무엇일까?

쌍곡선의 방정식

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1

yy ㉠ 을 y에 대하여 풀면

y=Ñ;aB;x¾Ð1- aÛ`xÛ`

이다. 이때 |x|의 값이 한없이 커지면

aÛ`

xÛ`

의 값은 0에 한없이 가까워지므로 쌍곡선

㉠은 두 직선 y=

;aB;x, y=-;aB;x에 한없이 가까워진다. 이 두 직선을 쌍곡선 ㉠의 점 근선이라 한다.

같은 방법으로 쌍곡선

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=-1의 점근선의 방정식도 y=;aB;x, y=-;aB;x임

을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

쌍곡선의 점근선

a=b일 때 쌍곡선 ㉠의 점 근선은 y=x, y=-x 이고, 이 들은 서로 수직이다.

O x

y

a -a

-b b y=- xb

a

=1 - y¤b¤

x¤

a¤

y= xb a

쌍곡선의 점근선 쌍곡선 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1, xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=-1의 점근선의 방정식은 y=;aB;x, y=-;aB;x

다음 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

⑴ xÛ`-

yÛ`

4 =1 ⑵

xÛ`

12 -

yÛ`

20 =-1

6

문제

예제 쌍곡선 xÛ`

9 -yÛ`

4 =1의 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

| 쌍곡선의 점근선 이해하기

3

풀이 ▶ xÛ`

3Û`-yÛ`

2Û`=1이므로 a=3, b=2 점근선의 방정식은 y=;3@;x, y=-;3@;x

또 꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)이므로 주어진 쌍곡선과 점근선은 오른쪽 그림과 같다.

 풀이 참조

O 2

-2

-3 3 x

y

y=- x2 3 y= x2

3 - =1 x¤9 y¤

4 쌍곡선을 그릴 때

점근선을 먼저 그리면 쌍곡선의 모양을 쉽게

짐작할 수 있어.

32

^{Ⅰ. 이차곡선}

평행이동한 쌍곡선의 방정식은 어떻게 구할까?

쌍곡선

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1을 x축의 방향으로 m만큼, y

축의 방향으로 n만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식은

(x-m)Û`

aÛ` - (y-n)Û`bÛ` =1

이다.

이때 쌍곡선의 초점, 점근선, 꼭짓점도 모두 평행 이동된다.

쌍곡선의 평행이동

쌍곡선 2xÛ`-3yÛ`-4x-12y+38=0을 그리시오.

7

문제

예제 쌍곡선 4xÛ`-9yÛ`-16x-20=0을 그리시오.

| 쌍곡선의 평행이동 이해하기

4

풀이 ▶ 주어진 쌍곡선의 방정식을 변형하면 4(x-2)Û`-9yÛ`=36, (x-2)Û`

9 -yÛ`

4 =1 이고, 이 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ`

9 -yÛ`

4 =1을 x축의 방향으로 2만큼

평행이동한 것이므로 주어진 쌍곡선은 오른쪽 그림과 같다.

 풀이 참조

-3 O 5 x

y

x¤- =1 9 y¤

4

(x-2)¤- =1 9 y¤

4 23 점근선의 방정식은 -1

y=;3@;(x-2), y=-;3@;(x-2)

x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동

방정식

(x-m)Û`

aÛ` -(y-n)Û`

bÛ` =1

초점의 좌표

(c+m, n), (-c+m, n)

점근선의 방정식

y-n=;aB;(x-m), y-n=-;aB;(x-m)

꼭짓점의 좌표

(a+m, n), (-a+m, n)

방정식

xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1

초점의 좌표

(c, 0), (-c, 0)

꼭짓점의 좌표

(a, 0), (-a, 0)

점근선의 방정식

y=;aB;x, y=-;aB;x

O x

y

x¤- =1 a¤

y¤

b¤

- =1

(x-m)¤

a¤

(y-n)¤

b¤

m n

쌍곡선

원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 x, y에 대한 이차방정식으로 나타내어진다.

이처럼 x, y에 대한 이차방정식

AxÛ`+ByÛ`+Cxy+Dx+Ey+F=0

의 그래프는 특수한 경우를 제외하면 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 중의 어느 하나가 되 며 이들을 통틀어 이차곡선이라 한다.

이차곡선

x, y에 대한 이차방정식의 그래프가 곡선이 아닌 경우도 있 나요?

xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)

=0 ⇨ 두 직선 xÛ`+yÛ`=0 ⇨ 한 점

xÛ`+yÛ`+1=0 ⇨ 그래프로 나 타낼 수 없음

이처럼 곡선이 아닌 경우도 있어 요.

예제 방정식 yÛ`-2y-4x-7=0이 나타내는 도형을 말하시오.

| 방정식이 나타내는 도형

5

풀이 ▶ yÛ`-2y-4x-7=0을 변형하면

-2 1

O x

y

y¤=4x y¤-2y-4x-7=0

  (y-1)Û`=4(x+2)

따라서 주어진 방정식이 나타내는 도형은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으 로 1만큼 평행이동한 포물선을 나타낸다.

 풀이 참조

다음 방정식이 나타내는 도형을 말하시오.

⑴ xÛ`-2x-8y-7=0 ⑵ yÛ`-4x+4y+4=0

⑶ 3xÛ`+4yÛ`-36x+96=0 ⑷ xÛ`-4yÛ`+6x+8y-11=0

8

문제

이차곡선인 원, 포물선, 타원, 쌍곡선을 흔히 원뿔 곡선이라고도 부른다. 이는 원뿔을 꼭짓점 을 지나지 않는 평면으로 자를 때 생기는 단면이 이와 같은 곡선들로 나타나기 때문이다. 이때 자 른 평면의 기울기에 따라 다음과 같은 곡선을 얻을 수 있다.

數

수 ^군 수 ^군

원뿔 곡선

원 밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때

모선에 평행한 평면보 다 기울기가 더 급한 평면으로 잘랐을 때

포물선 모선에 평행한

평면으로 잘랐을 때

타원 모선에 평행해지기 전까지 기울인 평면 으로 잘랐을 때

34

^{Ⅰ. 이차곡선}

스스로 확인하기

정답 및 풀이 169쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 평면 위의 두 점 F, F'으로부터의 거리의 차가 일 정한 점들의 집합을 (이)라 한다.

⑵ 쌍곡선의 방정식을

xÛ`

aÛ`-yÛ`bÛ`=1 (a>0,b>0)이라

⑵ 할 때

⑴ ➊ 초점의 좌표: (

, 0), ( , 0)

⑴ ➋ 주축의 길이:

⑴ ➌ 점근선의 방정식:

,

2

다음 쌍곡선의 초점, 꼭짓점의 좌표 및 주축의 길이와 점근 선의 방정식을 구하시오.

⑴ xÛ`-2yÛ`=2 ⑵ 3xÛ`-2yÛ`-6x=-15

4

점 (0, 6)을 한 초점으로 하고 점근선의 방정식이 y=x, y=-x인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

3

오른쪽 그림과 같이 쌍곡 선 xÛ`

81-yÛ`

40=1의 두 초 점 F, F'과 쌍곡선 위의 한 점 P에 대하여 PF'Ó=2PFÓ가 성립할 때,

삼각형 PF'F의 둘레의 길이를 구하시오.

P

F' O F x

y

- =1 x¤

81 y¤

40

5

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 xÛ`-yÛ`=1의 두 초점을 F, F'이라 하고, 사각형 PF'QF  가 직사각형이 되도록 쌍곡 선 위에 두 점 P, Q를 정한

다. 직사각형 PF'QF의 넓이를 구하시오. (단, 두 점 P, Q 는 각각 제 2 사분면과 제 4 사분면 위에 있다.)

x¤-y¤=1

O x

y

F' F

P

Q

O

A 100 km B x

y

6

다음 그림과 같이 해안선 위에 100 km 떨어진 두 기지 A, B가 있다. 이동하고 있는 어느 배에 두 기지 A, B에서 각각 전파를 보내어 전파가 도착하는 시간을 이용하여 계산하였 더니 배와 두 기지 사이의 거리의 차가 항상 40`km로 일정 하였다. 두 기지 A, B를 지나는 직선을 x축, 두 기지 A, B 의 중간 지점을 원점 O로 하는 좌표축을 그릴 때, 배의 이동 경로를 포함하는 곡선의 방정식을 구하시오.

창의• 융합

접선이어야 안전하게 진입할 수 있대.

직선 도로가 곡선 도로에 접하는 것처럼 보여.

이차곡선과 직선의 위치 관계를 이차방정식의 판별식을 이용하여 알아보자.

포물선과 직선의 방정식을 각각

yÛ`=4px, y=mx+n (m+0)

이라 할 때, y=mx+n을 yÛ`=4px에 대입하여 정리하면

mÛ`xÛ`+2(mn-2p)x+nÛ`=0 …… ㉠

이다. 이때 포물선 yÛ`=4px와 직선 y=mx+n의 교점의 개수는 이차방정식 ㉠의 실 근의 개수와 같다.

이차곡선과 직선의 위치 관계

이차곡선의 접선의 방정식

이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

원 xÛ`+yÛ`=4와 직선 y=x+1의 위치 관계를 말하여 보자.

열기

이차곡선과 직선은 어떤 위치 관계가 있을까?

y=x+1을 xÛ`+yÛ`=4에 대입하면

xÛ`+(x+1)Û`=4, 2xÛ`+2x-3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D

4 =1Û`-2_(-3)=7>0

따라서 원 xÛ`+yÛ`=4와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.

다지기

포물선, 타원, 쌍곡선과 같은 이차곡선과 직선의 위치 관계는 어떻게 알 수 있을까?

키우기

원과 직선의 교점의 개수는 이차방정식의

서로 다른 실근의 개수와 같아.

36

^{Ⅰ. 이차곡선}

따라서 ㉠의 판별식을 D라 하면 포물선과 직선의 위치 관계는 다음과 같다.

타원, 쌍곡선과 직선의 위치 관계도 포물선과 직선의 위치 관계와 마찬가지로 이 차방정식의 판별식을 이용하여 구할 수 있다.

D<0 x D=0

D>0 y

y¤=4px y=mx+n

O 판별식의 값의 부호 포물선과 직선의 위치 관계

D>0 서로 다른 두 점에서 만난다.

D=0 한 점에서 만난다. (접한다.)

D<0 만나지 않는다.

판별식의 값의 부호에 따라 위치 관계가 달라져.

다음 이차곡선과 직선 y=2x+k가 서로 다른 두 점에서 만나게 하는 실수 k의 값의 범위를 구 하시오.

⑴ yÛ`=-2x ⑵ xÛ`-

yÛ`

5 =-1

1

문제

풀이 ▶ 풀이 ▶

포물선 yÛ`=4x와 직선 y=-x+k의 위치 관계를 실수 k의 값의 범위에 따라 조사하시오.

타원 xÛ`+yÛ`

4 =1과 직선 y=-x+k의 위치 관계를 실 수 k의 값의 범위에 따라 조사하시오.

| 이차곡선과 직선의 위치 관계 구하기

예제

1

^{따라 하기}

y=-x+k를 yÛ`=4x에 대입하면 　　(-x+k)Û`=4x

　　xÛ`-2(k+2)x+kÛ`=0 yy ㉠　

㉠의 판별식을 D라 하면 　　 D4 ={-(k+2)}Û`-kÛ`

　　 =4k+4

판별식의 값의 부호에 따라 위치 관계를 조사하면 Ú D>0, 즉 k>-1일 때, 서로 다른 두 점에서

만난다.

Û D=0, 즉 k=-1일 때, 한 점에서 만난다.

Û (접한다.)

Ü D<0, 즉 k<-1일 때, 만나지 않는다.

 풀이 참조

y=-x+k를 xÛ`+ yÛ`4 =1에 대입하면 　　

　　 yy ㉠　

㉠의 판별식을 D라 하면 　　 D4 =

　　 =

판별식의 값의 부호에 따라 위치 관계를 조사하면 Ú D>0, 즉 일 때, 서로 다른 두

점에서 만난다.

Û D=0, 즉 일 때, 한 점에서 만난다.

Û (접한다.) Ü D<0, 즉 일 때, 만나지

않는다.

 풀이 참조

기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식

포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx+p

m   (단, m+0)

포물선의 접선의 방정식은 어떻게 구할까?

기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식

포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m (m+0)인 접선의 방정식을 구하여 보자.

구하는 접선의 방정식을 y=mx+n이라 하고, 포물선 의 방정식 yÛ`=4px에 대입하여 정리하면

mÛ`xÛ`+2(mn-2p)x+nÛ`=0 …… ㉠

이다. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D=16p(p-mn)=0

이다. p+0이므로 p-mn=0, 즉

n= pm

이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은

y=mx+ pm

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

x y

y=n O

y¤=4px

y¤=4px x y

O

다음 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ 포물선 yÛ`=-16x에 접하고 기울기가 4인 접선

⑵ 포물선 yÛ`=6x에 접하고 직선 x-2y+2=0에 평행한 접선

2

문제

포물선과 직선이 한 점에서 만나면 그 직선은 접선인가요?

직선 y=mx+n에서 m=0이면 포물선과 직선의 교 점은 1개이지만 이 직선은 접 선이 아니에요.

38

^{Ⅰ. 이차곡선}

Û 점 P가 x축 위의 점인 경우 ( yÁ=0일 때)

yÁ=0이므로 꼭짓점 (0, 0)에서의 접선의 방정식 x=0은 yÁ y=2p(x+xÁ)

을 만족시킨다.

마찬가지 방법으로 포물선 xÛ`=4py 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은

xÁ x=2p(y+yÁ)

임을 알 수 있다.

y¤=4px x=0

x y

O

P(x¡, y¡)

포물선 yÛ`=4px 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구하여 보자.

Ú 점 P가 x축 위의 점이 아닌 경우 ( yÁ+0일 때) 포물선 위의 점에서의

접선의 방정식

접선의 기울기를 m(m+0)이라 하면 구하는 접선의 방정식은

y-yÁ=m(x-xÁ)

y=mx-mxÁ+yÁ

yy ㉠

또 포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m인 접선의 방 정식은

y=mx+ pm

yy ㉡

먼저 기울기가 m인 접선의 방정식을 2가지

방법으로 구해요.

y¤=4px x y

O

P(x¡, y¡)

㉠과 ㉡에서 -mxÁ+yÁ=

p m , 즉 xÁmÛ`-yÁm+p=0

yÁÛ`=4pxÁ이므로 m에 대한 이차방정식을 풀면 m=yÁÑ

"Ã(-yÁ)Û`-4pxÁ

2xÁ = yÁ2xÁ= 2pyÁ

두 식을 연립하여 m의 값을 구해요.

이것을 ㉠에 대입하면

y= 2pyÁ  x-2p

yÁ  x

Á+yÁ

yÁ y=2px-2pxÁ+yÁÛ`

yÁÛ`=4pxÁ이므로

yÁ y=2px+2pxÁ, 즉 yÁ y=2p(x+xÁ)

이다.

대입해서 식을 정리해요.

포물선 위의 점에서의 접선의 방정식

➊ 포물선 yÛ`=4px 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 yÁ y=2p(x+xÁ)

➋ 포물선 xÛ`=4py 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁ x=2p(y+yÁ)

이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ 포물선 yÛ`=8x 위의 점 (8, 8)에서의 접선

⑵ 포물선 xÛ`=-9y 위의 점 (3, -1)에서의 접선

3

문제

문제 해결 생각을넓히는 ^수학

오른쪽 그림과 같이 초점 F와 준선 사이의 거리가 2p인 포물선 위의 점 P에서의 접 선이 포물선의 축과 만나는 점을 T라 할 때, 다음 순서에 따라 삼각형 FPT가 어떤

삼각형인지 구하여 보자. T

P

F 축

순서

➊

포물선의 방정식 구하기

➋

점 P에서의 접선의 방정식을 이용하여 점 T의 좌표 구하기

➌

삼각형 FPT가 어떤 삼각형인지 구하기

40

^{Ⅰ. 이차곡선}

기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 타원 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`

타원의 접선의 방정식은 어떻게 구할까?

기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식

타원

xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식을 구하여 보자.

구하는 접선의 방정식을 y=mx+n이라 하고, 타원의 방정식

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1에 대입하여 정리하면

(aÛ`mÛ`+bÛ`)xÛ`+2aÛ`mnx+aÛ`(nÛ`-bÛ`)=0  yy ㉠

이다. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D=4aÛ`bÛ`(aÛ`mÛ`+bÛ`-nÛ`)=0

이다. a+0, b+0이므로 aÛ`mÛ`+bÛ`-nÛ`=0, 즉 nÛ`=aÛ`mÛ`+bÛ`에서 n=Ñ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`

이므로 구하는 접선의 방정식은

y=mxÑ

"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

O y

x b

-b

-a a

+ =1 x¤

a¤

y¤

b¤

다음 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ 타원

xÛ`

7 +

yÛ`

9 =1에 접하고 기울기가 -1인 접선

⑵ 타원 xÛ`+9yÛ`=9에 접하고 직선 y=;3!;x에 평행한 접선

4

문제

Û 점 P가 x축 위의 점인 경우 (yÁ=0일 때)

점 (a, 0)에서의 접선의 방정식 x=a와 점 (-a, 0) 에서의 접선의 방정식 x=-a는 모두

xÁx aÛ` + yÁ y

bÛ` =1

을 만족시킨다.

P(x¡, y¡) O

y

x b

-b -a

x=-a x=a

a

타원 위의 점에서의

접선의 방정식

타원

xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구하여 보자.

Ú 점 P가 x축 위의 점이 아닌 경우 (yÁ+0일 때)

㉠과 ㉡에서

-mxÁ+yÁ=Ñ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`

yy ㉢

xÁÛ`

aÛ` + yÁÛ`bÛ`=1이므로 ㉢의 양변을 제곱하여 정리하면

{;bA;yÁm+;aB;xÁ}2`=0, 즉 m=- bÛ`xÁ

aÛ` yÁ

두 식을 연립하여 m의 값을 구해요.

이것을 ㉠에 대입하면

y=- bÛ`xÁ

aÛ` yÁx+ bÛ`xÁ aÛ` yÁxÁ+yÁ yÁ y

bÛ` =- xÁx aÛ` + xÁÛ`

aÛ` + yÁÛ`

bÛ`

xÁÛ`

aÛ` + yÁÛ`

bÛ`=1이므로 yÁ y

bÛ` =- xÁx

aÛ` +1, 즉 xÁx aÛ` + yÁ y

bÛ` =1

이다.

대입해서 식을 정리해요.

접선의 기울기를 m이라 하면 구하는 접선의 방정식은

y-yÁ=m(x-xÁ)

y=mx-mxÁ+yÁ

yy ㉠

또 타원

xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1에 접하고 기울기가 m인 접선의

방정식은

y=mxÑ

"ÃaÛ`mÛ`+bÛ` yy ㉡

먼저 기울기가 m인 접선의 방정식을 2가지

방법으로 구해요. P(x¡, y¡)

O y

x b

-b

-a a

+ =1 x¤

a¤

y¤

b¤

42

^{Ⅰ. 이차곡선}

타원 위의 점에서의 접선의 방정식 타원 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx

aÛ` +yÁ y bÛ` =1

다음 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ 타원

xÛ`

6 +

yÛ`

2 =1 위의 점 (-'3, 1)에서의 접선

⑵ 타원 xÛ`+3yÛ`=12 위의 점 (3, -1)에서의 접선

5

문제

이상을 정리하면 다음과 같다.

數

수 ^군 수 ^군

체외 충격파 쇄석기와 타원

위와 같은 성질은 요로 결석이나 신장 결석 등을 치료하는 의료 기계인 체외 충 격파 쇄석기에 활용된다.

체외 충격파 쇄석기의 한 초점의 위치에서 보낸 충격파는 타원의 일부를 회전 시켜 만든 거울 면에 반사되어 다른 초점에 놓인 환자의 결석에 모여 신체의 다른 부위의 손상 없이 결석만을 파괴할 수 있다. (“한국경제”, 2014년 6월 2일)

결석 충격파발생기

타원에는 다음과 같은 성질이 있다.

F' F

타원의 한 초점 F에서 나온 빛이나 전파는 타원 위 의 점에 반사되어 타원의 다른 초점 F'을 향해 진행 한다.

기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 쌍곡선 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ` (단, aÛ`mÛ`-bÛ`>0)

쌍곡선의 접선의 방정식은 어떻게 구할까?

기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

쌍곡선

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식을 구하여 보자.

구하는 접선의 방정식을 y=mx+n이라 하고, 쌍곡 선의 방정식

xÛ`

aÛ`- yÛ`

bÛ`=1에 대입하여 정리하면

(aÛ`mÛ`-bÛ`)xÛ`+2aÛ`mnx+aÛ`(nÛ`+bÛ`)=0 yy ㉠

이다. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D=4aÛ`bÛ`(-aÛ`mÛ`+nÛ`+bÛ`)=0

이다. nÛ`=aÛ`mÛ`-bÛ`에서 aÛ`mÛ`-bÛ`>0이면

n=Ñ

"ÃaÛ`mÛ`-bÛ`이므로 구하는 접선의 방정식은

y=mxÑ

"ÃaÛ`mÛ`-bÛ`

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

쌍곡선 xÛ`

aÛ`- yÛ`

bÛ`=-1에 접 하고 기울기가 m인 접선의 방정 식은

y=mxÑ"ÃbÛ`-aÛ`mÛ`

(단, bÛ`-aÛ`mÛ`>0)

a x -a

y

O - =1 x¤

a¤

y¤

b¤

다음 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ 쌍곡선

xÛ`

8-yÛ`

4=1에 접하고 기울기가 1인 접선

⑵ 쌍곡선 xÛ`-5yÛ`=5에 접하고 직선 y= '2x에 평행한 접선

6

문제

쌍곡선에서 기울기가 m인 접선은 항상 존재하나요?

aÛ`mÛ`-bÛ`<0이면 접선이 존 재하지 않아요. 또

aÛ`mÛ`-bÛ`=0, 즉 m=Ñ;aB;

이면 점근선과 평행하므로 접선 이 아니에요.

44

^{Ⅰ. 이차곡선}