1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식 01
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
1.1.포물선 의 초점을 F , 포물선의 준선이 축과 만 나는 점을 A 라 하자. 포물선 위의 점 B 에 대하여 AB 이고
BF 가 되도록 하는 의 값이 또는 일 때, 의 값을 구 하시오. (단, ≠ 이다.)
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 27]
두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합 03
무게중심을 이용한 포물선의 정의 04
초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의 05
2.2.그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F 인 포물선 과 점 F 를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B 라 하자. 선분 AF를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB 의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.)[4점][2012(가) 9월/평가원 26]
초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화 06
3.3.자연수 에 대하여 포물선
의 초점 F 를 지나는 직선이 포물
선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 하자. P F 이고 FQ 이라 할 때,
의 값은?
[4점][2013(가) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
최단거리 구하기
07
기하와벡터 1. 이차곡선
2 타원
타원의 방정식 01
4.4.좌표평면에서 원 위를 움직이는 점 P 와 점 A 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 Q 전체의 집합을 라 하자. (단, ≠ )
(가) 점 Q 는 선분 O P 위에 있다.
(나) 점 Q 를 지나고 직선 AP 에 평행한 직선이 ∠O Q A 를 이등 분한다.
집합의 포함관계로 옳은 것은?
[4점][2008(가) 9월/평가원 8]
① ⊂
② ⊂
③ ⊂
④ ⊂
⑤ ⊂
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합 02
5.5.타원
의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가장 가까운 꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P 에 대하여
∠P FF′
일 때, P A의 값을 구하시오. (제2코사인법칙)
[4점][2005(가) /수능(홀) 22]
타원 위의 점에서 거리의 합의 활용 03
타원의 방정식과 중점연결 정리 04
6.6.두 점 F , F ′ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 P , Q 에 대하여 원점 O 에서 선분 P F 와 선분 Q F′ 에 내린 수 선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 P F 와 선분 Q F′ 의 중점이고, O H × O I 일 때, 이 타원의 장축의 길이를 이 라 하자. 의 값을 구하시오. (단, O H ≠ O I )
[4점][2012(가) 6월/평가원 27]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원의 성질
05
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기 06
타원과 원 07
7.7.그림과 같이 점 A 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원과 타원
의 한 교점을 P 라 하자. 점 B 에 대하 여 P A P B 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 10월/교육청 27]
타원과 포물선 08
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식 01
쌍곡선의 점근선 02
8.8.쌍곡선
의 두 초점
,
을 각각 F F′ 이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 P ＞ 에 대 하여 선분 F′P 위의 점 Q 가 FP P Q 를 만족시킬 때, 점 Q 가 나타 내는 도형 전체의 길이는?[4점][2006(가) 9월/평가원 9]
① ②
③ ④ ⑤
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이
03
쌍곡선의 정의와 원의 활용 04
쌍곡선의 정의를 이용한 넓이 05
쌍곡선과 타원 06
쌍곡선과 포물선 07
9.9.그림과 같이 F 을 초점으로 하는 포물선 와 F 과 F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하자. AF , cos ∠AFF′
일 때, 의 값은?
[4점][2012(가) 7월/교육청 20]
O F
F′
A
① ②
③
④
⑤ 이차곡선과 함수의 연속 08
10.10.닫힌구간 에서 정의된 함수 는
≤ ≤ ≤
이다. 좌표평면에서 인 실수 에 대하여 함수 의 그래프 와 타원
이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함 수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?
[4점][2016(가) 4월/교육청 21]
① ②
③
④
⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식 01
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 02
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식 01
기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식 02
11.11.좌표평면의 포물선 위의 점 A 에 대하여 점 B 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 A 가 원점이면 점 B 도 원점이다.
(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B 는 점 A , 원점 그리고 점 A 에 서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심이다.
점 A 가 포물선 위를 움직일 때 점 B 가 나타내는 곡선을 라 하자. 점 을 지나는 직선이 곡선 와 두 점 P , Q 에서 만나 고 P Q 일 때, 두 점 P , Q 의 좌표의 값의 합을 구하시오.
[4점][2013(B) 6월/평가원 29]
접점이 주어진 타원의 접선의 방정식 03
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 04
12.12.타원
의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내접하는
타원
이 있다. 타원
의 두 초점이 F ,
F′ 일 때,
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2009(가) /수능 19]
13.13.그림과 같이 좌표평면에서 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원 위의 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 P ′ 이라 하자. 점 P ′ 을 초점으로 하고, 축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원 에 대하여 점 P 에서 타원에 그은 접선 의 기울기가
일 때, 직선
O P 의 기울기는?
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 17]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
05
기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 06
14.14.쌍곡선 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것 은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다.
ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.
ㄷ. 포물선 ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난 다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식 07
15.15.좌표평면에서 점 A 와 타원
위의 점 P 에 대하 여 두 점 A 와 P 를 지나는 직선이 원 과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지 날 때, 점 Q 가 나타내는 도형의 길이는?
[3점][2011(가) /수능 5]
①
②
③
④
⑤
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 01
16.16.자연수 에 대하여 함수 를 매개변수 로 나타내면
이고, ≥
일 때 함수 는 에서 최솟값 을 갖 는다.
의 값은?
[4점][2013(B) 9월/평가원 21]
①
② ③
④ ⑤
매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법 02
매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 03
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
17.17.실수 에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tan sin
인 직선과 원 이 만나는 점 중에서 좌표가 양수인 점을 P 라 하고, 점 P 가 나타내는 곡선을 라 하자. 일 때, 곡선 위의 점 P 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
× 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점][2014(B) 3월/교육청 30]
1. 평면벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
18.18.타원
의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 O P O F 을 만족시킬 때, 선분 P F의 길이는 이다.
의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2007(가) 수능(홀) 20]
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
19.19.그림과 같이 선분 AB 위에 AE D B 인 두 점 D , E 가 있 다. 두 선분 AE D B 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , D B 가 만나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA OB 인 두 점 을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 D C 위를 움직 이는 점 Q 에 대하여
OP OQ
의 최솟값이 일 때, 선분 AB의 길이는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, OO 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 6월/평가원 28]
20.20.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , ,
, 가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원
위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
AP AQ의 최댓값은?
[4점][2013(B) 10월/교육청 21]
①
② ③
④
⑤ 부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용 05
2 벡터의 실수배
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
21.21.AD AB 인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되게 접는다.
접은 도형에서 내적 AB ⋅ D C
( 는 서로소인 자연수)일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 22]
벡터의 내적의 부호 02
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
22.22.좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여
O B ∙ AB 일 때, 양수 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [3점][2012예비(B) 5월/평가원 23]
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면벡터의 수직 조건과 평행 조건
04
벡터의 내적의 성질 05
평면벡터의 내적의 성질의 활용 06
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
23.23.그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC 와 선분 AC 를 지름으로 하 는 원 가 있다. 선분 BC 위의 점 D 를 ∠D AB
가 되도록 정
한다. 점 가 원 위를 움직일 때, 두 벡터 AD CX 의 내적
AD ∙ CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X 를 점 P 라 하자.
∠ACP
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) /수능 22]
내적의 기하학적 의미의 활용 09
24.24.그림은 AB , AD
인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형 의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직 이는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC ∙ AP 의 최댓값 은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)[4점][2010(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
25.25.평면에서 그림과 같이 AB 이고 BC
인 직사각형 ABCD 와 정삼각형 EAD 가 있다. 점 P 가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010(가) 9월/평가원 14]
ㄱ. CB CP의 최솟값은 이다.
ㄴ. CA ∙ CP 의 값은 일정하다.
ㄷ. D A CP의 최솟값은
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
04
기하와벡터 3. 평면운동
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
26.26.양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≥ 에서의 위치 가
ln 이다. 점 P 가 점 로부터 움직인 거리가 가 될 때, 시각 는
이고, 일 때, 점 P 의 속도는
이다. 시각 일 때 점 P 의 가속도를
라 할 때, 의 값을 구하시 오.[4점][2016(가) 6월/평가원 29]
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
27.27.좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원 와 이 원 위를 움직이는 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 원 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 속력 으로 움직인다.
(나) 원 는 축의 양의 방향으로 매초 의 속력으로 움 직인다.
원 는 중심이 원점에서, 점 P 는 점 에서 동시에 출발할 때, 원 의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 출발한 후
초가 되는 순간, 점 Q 는 직선 위를
매초 의 속력으로 움직인다. 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) 10월/교육청 30]
시간에 대한 길이의 변화율 04
28.28.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 O AB 가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AO P °가 되는 순간 점 P 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 28]
①
②
③
④ ⑤
29.29.곡선 ≥ 과 곡선 의 접선
이 있다. 곡선 위의 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q 라 하자.점 P 가 점 A 을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으 로 점 B 까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 P Q 의 길이 의 순간변화율의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 7월/교육청 26]
O
P Q
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
30.30.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가
이고 반지름의 길이 가 인 부채꼴 O AB 가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위의 점 Q 는 P Q
를 만족시키면서 축 위를 움직인다.
O A
B
Q P
∠P O A
가 되는 순간, 점 Q 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율
을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 4월/교육청 30]
31.31.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 P Q 가 점 B 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.
(가) ∠Q AB ∠P AB
(나) 선분 BP 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은
이다.
점 P 가 점 B 에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 AQ 의 길이의 시 간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단,
≤ ∠P AB
이다.)
[4점][2008(가) 10월/교육청 30]
32.32.지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌 고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따른 높이의 변화율이 이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 초라 하자.
( 는 서로소)일 때, 의 값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하 지 않는다.)
[4점][2009(가) 7월/교육청 30]
기하와벡터 3. 평면운동 시간에 대한 넓이의 변화율
05
33.33.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 는 점 A 에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초
의
일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하여 점 B 을 향하여 매초 의 일정한 속력으로 축 위를 움직이고 있 다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A 에서 출발하여 초가 되는 순간, 선분 P Q , 선분 Q A , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자.
출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
34.34.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O 와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 정 사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매 초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD 의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 라 하자. 원 O 의 중심이
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, ≤ ≤ )
[4점][2012(가) 7월/교육청 19]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
35.35.밑면의 지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 평행한 두 선분 AB 와 D C 는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 D A 와 AB 는 수직이다.
점 P 가 매초 의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 A 에서 출발하여 선분 CB 위의 점을 지나 점 D 까지 최단거리로 움직인다. 점 P 에서 선분 AB 를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 삼 각형 P AH 의 넓이를 라 하자.
점 P 가 점 A 에서 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 30]
36.36.그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 직선
와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하자.점 P 는 원점 O 를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정 한 속력으로 움직인다. 점 P 가 원점 O 를 출발하여 초가 되는 순간, 점 P 를 지나고 직선
에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q 라 하자.세 선분 AO , O P , P Q 와 호 Q A 로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때, 점 Q 의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율 을 구하시오. (단, )
[4점][2015(B) 4월/교육청 30]
O
A
Q
P
37.37.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 가 점
에서 출발하여 원점을 중심으로 매초
(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하 자. 점 P 가 점
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연 수이다.)
[4점][2007(가) 수능(홀) 30]
38.38.그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 사분원 O AB 에 대하여 각 AO B 를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 C 라 하 자. 두 점 P , Q 는 점 C 에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한 속력으로 움직 인다. 두 점 P , Q 가 점 C 에서 출발하여 초 가 되는 순 간, 선분 P Q 를 한 변으로 하고 사분원 O AB 에 내접하는 직사각형의 넓이를 라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은?
[4점][2011(가) 3월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 3. 평면운동
39.39.그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 O , 길이가 인 시침의 끝점을 P , 길이가 인 분침의 끝점을 Q 라 할 때, 삼각형 O P Q 의 넓이를 라 하자. 시 정각이 되는 순간, 넓이 의 시간(분) 에 대한 순간변화율은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는
서로소인 자연수이고, 세 점 O P Q 가 일직선 위에 있는 경우는
으로 한다.)
[4점][2010(가) 7월/교육청 30]
시간에 대한 부피의 변화율 06
시간에 대한 각의 변화율 07
40.40.지점 O 와 지점 E 사이의 거리는 m 이 다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O 에서 출발 하여 선분 O E 에 수직인 반직선 O S를 따라 초 속 m 의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 지점 E 에서 출발 하여 선분 O E 에 수직인 반직선 EN 을 따라 초속 m 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑 과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 O E 가 만나서 이루는 각을 (라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 의 변화율 은?
[4점][2006(가) /수능(홀) 29]
①
라디안/초 ②
라디안/초
③
라디안/초 ④
라디안/초
⑤
라디안/초
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
치환적분을 이용한 움직인 거리 02
곡선의 길이(1) 03
41.41.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos sin cos ≤ ≤ 이다.
점 P 가 에서 까지 움직인 거리 (경과 거리)를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 30]
곡선의 길이(2) 04
42.42.실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 ,
을 만족시키는 모든 함수 에 대하여
′ 의최솟값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 27]
①
② ③
④
⑤
43.43. 에서 까지 곡선
의 길이를 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 30]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
44.44.정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이라 하자. 직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) 10월/교육청 30]
45.45.정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개 수를 이라 하자. 예를 들어 , 이다.
정삼각기둥 정사각기둥 이때,
의 값을 구하시오.[4점][2007(가) 10월/교육청 20]
46.46.그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름 의 길이가 이고 높이가 인 원뿔이 평면 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 와 만나는 원 기둥의 밑면의 중심을 O , 원뿔의 꼭짓점을 A 라 하자. 중심이 B 이고 반지름의 길이가 인 구 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 구 S는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.
(나) 두 점 A , B 의 평면 위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때, ∠A′O B′ 이다.
직선 AB 와 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때,
tan 이다. 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.)
[4점][2012(가) /수능 29]
47.47.그림과 같이 반지름의 길이가 모두
이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 위에 놓여 있다. 평면 와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R 라 할 때, 삼각형 Q P R 는 이등변삼각형이고, 평면 Q P R 와 평면 가 이루는 각의 크기는 °이다. 세 원기둥의 높이를 각각 , , 라 할 때, 의 값을 구하시 오. (단, ＜＜ )
[4점][2009(가) /수능 24]
P Q
R
기하와벡터 1. 공간도형 삼수선의 정리
02
48.48.그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가
인 두 평면 와 가 있고, 평면 위의 점 A 와 평면 위의 점 B 가 있다.
두 점 A B 에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D 라 하자.
AB AD
이고 직선 AB 와 평면 가 이루는 각의 크기가
일 때, 사면체 ABCD 의 부피는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2016(가) 9월/평가원 29]
직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각 03
두 평면이 이루는 이면각의 크기 04
여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기 05
49.49.그림과 같이 AB AD 인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선분 AB 위의 점 E 와 선분 D C 위의 점 F를 연결하는 선을 접 는 선으로 하여, 점 B 의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다. AE 일 때, 두 평면 AEFD 와 EFCB 가 이루는 각 의 크기가 이다. cos 의 값을 구하시오. (단,
이고, 종 이의 두께는 고려하지 않는다.)
[4점][2013(가) /수능 28]
50.50.같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 , , 이 있다.
직선 위의 두 점 , , 직선 위의 점 , 직선 위의 점 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) AB
, CD (나) AC ⊥, AC (다) BD ⊥, BD
두 직선 , 을 포함하는 평면과 세 점 A , C , D 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 라 할 때, tan 의 값을 구하시오.
단
[4점][2010(가) 9월/평가원 25]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
51.51.반지름의 길이가 인 구의 중심 O 를 지나는 평면을 라 하고, 평면 와 이루는 각이 인 평면을 라 하자. 평면 와 구가 만나 서 생기는 원을 , 평면 와 구가 만나서 생기는 원을 라 하자.
원 의 중심 A 와 평면 사이의 거리가
일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 위에 점 P , 원 위에 두 점 Q , R 를 잡는다.
(가) ∠Q AR °
(나) 직선 O P 와 직선 AQ 는 서로 평행이다.
평면 P Q R 와 평면 AQ P O 가 이루는 각을 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 30]
2 정사영
정사영의 길이 01
정사영을 이용한 타원의 넓이 구하기 02
두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이 03
52.52.한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD EFG H 와 밑면의 반지름 의 길이가
이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥 의 밑면이 평면 ABCD 에 포함되고 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교 점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포함 되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자.평면 AEG C 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN , 평면 BFHD 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 P Q 라 할 때, 삼각형 MP Q 의 평면 D EG 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 30]
A
B
E
F
D
C
H
G Q P
M N
기하와벡터 1. 공간도형
53.53.그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를 로 내분하는 점을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를
라 할 때, cos 의 값은?
단,
[4점][2012(가) 7월/교육청 21]
A
D
C B
P
①
②
③
④
⑤
54.54.그림과 같이 평면 위에 점 A 가 있고, 로부터의 거리가 각각
인 두 점 B C 가 있다. 선분 AC 를 로 내분하는 점 P 에 대하 여 BP 이다. 삼각형 ABC 의 넓이가 9일 때, 삼각형 ABC 의 평면
위로의 정사영의 넓이를 라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 29]
두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04
55.55.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 와 서로 다른 두 직선 ,
이 있다. 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼 각형 AP Q 는 한 변의 길이가
인 정삼각형이고 AB
,∠ABQ
일 때 평면 AP B 와 평면 AP Q 가 이루는 각의 크기
에 대하여 cos 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 29]
A
B
P Q
두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각 05
복잡한 도형의 정사영의 넓이 06
56.56.그림과 같이 평면 위에 ∠A
, AB AC
인 삼각형ABC 가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A 에서 접한다. 세 직선 O A , O B , O C 와 구의 교점 중 평면 까 지의 거리가 보다 큰 점을 각각 D , E , F 라 하자. 삼각형 D EF의 평 면 O BC 위로의 정사영의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 30]
A
B
C O
D F E
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이
07
57.57.반지름의 길이가 인 반구가 평면 위에 놓여 있다. 반구와 평면
가 만나서 생기는 원의 중심을 O 라 하자. 그림과 같이 중심 O 로부터 거리가
이고 평면 와 °의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 자연수이다.) [4점][2007(가) 9월/평가원 24]58.58.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽 면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 인 각을 이루 면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선 이 벽면과 지면의 교선 과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라 하자. 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 9월/평가원 15]
ㄱ. 그림자와 교선 의 공통부분의 길이는 이다.
ㄴ. ° 이면 이다.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
59.59.서로 수직인 두 평면 의 교선을 이라 하자. 반지름의 길이가
인 원판이 두 평면 와 각각 한 점에서 만나고 교선 에 평행하 게 놓여 있다. 태양광선이 평면 와 °의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 에 나타나는 원판의 그림자의 넓 이를 라 하자. 의 값을
라 할 때, 의 값을 구하시 오. (단, 는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)[4점][2006(가) 9월/평가원 25]
기하와벡터 1. 공간도형 태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이
08
60.60.그림과 같이 중심 사이의 거리가
이고 반지름의 길이가 인 두 원판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가 이다. 태양광선 이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평 면 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.)[4점][2011(가) /수능 11]
①
②
③
④
⑤
61.61.그림과 같이 태양광선이 지면과 °의 각을 이루면서 비추고 있다.
한 변의 길이가 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광 선과 °의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림 자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 라 하자. 의 값
을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 정수 이고 판의 두께는 무시한다.)
[4점][2008(가) 9월/평가원 25]
정사면체의 활용 09
62.62.중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구에 내접하는 정사면체 ABCD 가 있다. 두 삼각형 BCD , ACD 의 무게중심을 각각 F , G 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2008(가) 9월/평가원 12]
ㄱ. 직선 AF 와 직선 BG 는 꼬인 위치에 있다.
ㄴ. 삼각형 ABC 의 넓이는
보다 작다.
ㄷ. ∠AO G 일 때, cos
이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 공간좌표
공간좌표의 이해 01
2 선분의 내분점과 외분점
선분의 내분점과 외분점 01
63.63.좌표공간에서 두 점 , 를 이은 선분 를
로 외분하는 점의 좌표가 일 때, 의 값은?
[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
삼각형의 무게중심 02
64.64.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 ABCD EFG H 에서 A , E , F , H 이다.
점 M 과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 P 에 대하여 직선 MP 가 평면과 만나는 점을 Q 라 하자. 이때, 선분 MQ 의 길이의 최댓값은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
3 구의 방정식
구의 방정식 01
65.65.좌표공간에 구 과 점 P 가 있다.
다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의 평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을
라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) /수능 29]
(가) 원 는 점 P 를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.
(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.
66.66.좌표공간에서 평면, 평면, 평면은 공간을 개의 부분으로 나눈다. 이 개의 부분 중에서 구
가 지나는 부분의 개수는?
[4점][2006(가) /수능(홀) 10]
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 공간좌표 구의 위치 관계
02
67.67.다음 조건을 만족하는 점 P 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레 의 길이는?
[3점][2008(가) 9월/평가원 9]
좌표공간에서 점 P 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 두 개의 구
에 동시에 외접한다.
①
②
③
④
⑤
68.68.평면 에 수직인 직선 을 경계로 하는 세 반평면 , , 가 있 다. , 가 이루는 각의 크기와 , 가 이루는 각의 크기는 모두
이다. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접한다.
두 구의 중심 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 의 같은 쪽에 있다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 24]
69.69.그림과 같이 평면 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 , , ,
이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 의 반지름의 길이는 3이고, , , 의 반지름의 길 이는 1이다.
(나) , , 은 모두 에 접한다.
(다) 은 와 접하고, 는 과 접한다.
, , 의 중심을 각각 O, O, O이라 하자. 두 점 O, O 를 지나고 평면 에 수직인 평면을 , 두 점 O, O을 지나고 평면
에 수직인 평면이 과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면 위로의 정사영의 넓이를
라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 9월/평가원 29]
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 구 밖의 한 점에서 그은 접선의 자취
03
구의 방정식의 활용 04
70.70.좌표공간에서 구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 에서 구 에 접하는 평면이 구
과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 자연수이다.) [4점][2012(가) 9월/평가원 27]71.71.두 구 , 을 각각
라 하자. 두 구 , 가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P 라 하고, 점 P 의 평면 위로의 정사영을 P ′이라 하자. 구 과 축이 만나 는 점을 각각 Q R 라 할 때, 사면체 P Q P ′R 의 부피의 최댓값을 구하 시오.
[4점][2006(가) 수능(홀) 21]
72.72.좌표공간에서 축을 포함하고 평면과 이루는 각의 크기가
인 평면을 라 하자.평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로 의 정사영이 영역 ∣ ≤ 에 포함되도록 하는 에 대하여 cos 의 최댓값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 25]
기하와벡터 1. 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
73.73.다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.
AA
이고, 점 P 가 모서리 AB의 중점일 때, 벡터
P Ai P B
의 크기를 구하시오.[3점][2009(가) 9월/평가원 20]
구의 벡터의 크기 02
74.74.그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 가 있고, 반지름의 길이가 인 구 는 점 A 에서 평면 에 접한다. 구 위의 점 D 에 대하여 선분 AD 가 구 의 중심 O 를 지날 때,
AB D C 의 값을 구하시오.
[4점][2007(가) /수능(홀) 24]
공간벡터의 성분과 크기 03
공간벡터의 위치벡터 04
75.75.좌표공간의 점 A 과 중심이 원점 O 인 구 위를 움직이는 점 P 에 대하여
O A
O P
의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.) [4점][2009(가) /수능 22]세 점이 한 직선 위에 있을 조건
05
1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
76.76.좌표공간에서 네 점 A, A, A, A이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) AA AA (나)
AA∙
AA AA
cos
( )
AA의 최댓값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 9월/평가원 29]
공간벡터의 내적의 범위의 활용 02
성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03
두 벡터가 이루는 각의 크기 04
공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
77.77.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 삼각형 ABC 의 무 게중심을 O , 선분 AD 의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 O Q 와 O P 가 서로 수직일 때,
P Q의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2017(가) 수능 29]
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소 07
78.78.중심이 C 이고 반지름의 길이가 인 구와 구 위의 한 점 A 가 있 다. 구 밖의 한 점 B 를 AB 이고 CB 가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최 댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
[4점][2012(가) 10월/교육청 28]
79.79.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) O A ∙ O P , O P (나) AB ∙ BQ , BQ
O P ∙ AQ 의 최댓값이
일 때, 두 유리수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 29]
기하와벡터 2. 도형의 방정식
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식 01
80.80.좌표공간에 세 점 A , B , C 과 직선
가 있다.
직선 이 삼각형 ABC 의 변 또는 내부를 지나도록 상수 의 값을 정 할 때, 정수 의 개수는?
[4점][2008(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
직선과 교점의 좌표 구하기 02
평면의 방정식 03
직선과 평면의 교점 04
직선과 평면의 활용 05
81.81.점 O 를 원점으로 하는 좌표공간에 사면체 O ABC 가 있다.
삼각형 O AB , O BC , O CA , ABC 는 각각 네 평면
, , ,
위에 있을 때, 사면체 O ABC 의 부피는 이다. 의 값을 구하시 오.
[4점][2008(가) 10월/교육청 21]
82.82.좌표공간에서 평면 위의 세 점 A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 내부에 점 P 가 있다. 점 P 의 평면 위로의 정사영을 Q 평면 위로의 정사영을 R 평면 위로의 정사영을 S라 하자. Q R Q S 일 때, 사면체 Q P RS 의 부피의 최댓값을 구하시오.
[4점][2007(가) 수능(홀) 23]
83.83.좌표공간에서 세 직선
,
,
가 같은 평면 위에 있을 때, 의 값을 구하시오. (단, ≠ 이다.) [4점][2012예비(B) 5월/평가원 28]
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터 두 평면의 교선의 방정식
06
84.84.좌표공간에서 평면 과 평면 의 교 선을 이라 하자. 원점에서 직선 에 내린 수선의 발의 좌표를
라 할 때, 의 값은?
[3점][2010(가) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
평면에 대하여 대칭인 점 07
직선과 평면의 위치 관계 08
두 직선과 평면이 이루는 교각 09
직선과 평면이 이루는 각 10
두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11
점과 평면 사이의 거리 12
85.85.좌표공간에서 정사면체 ABCD 의 한 면 ABC 는 평면
위에 있고, 꼭짓점 D 는 평면 위에 있다.
삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표가 일 때, 정사면체 ABCD 의 한 모서리의 길이는?
[4점][2013(가) /수능 20]
①
② ③
④ ⑤
PA PB 의 최솟값 13
86.86.좌표공간에 두 점 A B 이 있다. 평면
위에 있는 점 P 에 대하여 P A P B의 최솟값은?
[4점][2005(가) /수능(홀) 15]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면의 내적 계산 14
87.87.좌표공간의 점 A 에서 평면
에 내린 수선의 발을 B 라 할 때, O A ∙ O B 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)[4점][2007(가) /수능(홀) 21]
OA∙ OP OP
의 내적 계산 15
88.88.좌표공간에서 중심이 원점이고 직선 와 서로 다 른 두 점 A , B 에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다.
두 벡터 AP , AB 에 대하여 AP ∙ AB AB 이 성립할 때, 점 P 가 나타내는 도형의 길이는?
[4점][2011(가) 10월/교육청 18]
① ② ③
④
