1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식 01
1.1.로그함수 log 의 그래프가 포물선 의 초점을 지나고, 이 로그함수의 그래프의 점근선이 포물선 의 준선과 일 치할 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?
[3점][2008(가) /수능(홀) 5]
①
②
③
④
⑤
2.2.그림과 같이 실수 에 대하여 함수 의 그래프와 포물선 가 있다. 일 때, 함수 의 그래프와 포물 선 의 준선, 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2016(가) 4월/교육청 11]
O
① ② ③
④
⑤
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
3.3.좌표평면에서 초점이 F인 포물선 위의 점 A 가 AF 을 만족시킨다. 점 B 에 대하여 AB 일 때, 의 값을 구하시 오.
[3점][2016(가) 9월/평가원 25]
4.4.그림과 같이 포물선 의 초점 F 를 중심으로 하고 원점을 지 나는 원 가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B 에 대하여 선분 FA 와 선분 FB 가 원 와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P 는 선분 FA 의 중점이고, 점 Q 는 선분 FB 를 로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB 의 넓이가 일 때, 의 값은? (단, 점 A 와 점 B 는 제 사분면 위에 있다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 18]
B
O
A
P Q
F
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 1. 이차곡선
5.5.포물선 의 초점을 F, 준선이 축과 만나는 점을 P , 점 P 를 지나고 기울기가 양수인 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. FA FB 일 때, 직선 의 기울기는?
[4점][2012(가) 6월/평가원 20]
①
②
③
④
⑤
6.6.초점이 F 인 포물선 위에 FP 인 점 P 가 있다. 그림과 같 이 선분 FP 의 연장선 위에 FP P Q 가 되도록 점 Q 를 잡을 때, 점 Q 의 좌표는?
[3점][2007(가) /수능(홀) 5]
①
② ③
④
⑤
두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합 03
7.7.그림과 같이 좌표평면에서 축 위의 두 점 A B 에 대하여 꼭짓점이 A 인 포물선 과 꼭짓점이 B 인 포물선 가 다음 조건을 만족시킨다.
이때, 삼각형 ABC 의 넓이는?
[4점][2011(가) /수능 14]
(가) 의 초점은 B 이고, 의 초점은 원점 O 이다.
(나) 과 는 축 위의 두 점 C , D 에서 만난다.
(다) AB
무게중심을 이용한 포물선의 정의 04
8.8.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정삼각형 O AB 의 무게중심 G 가 축 위에 있다. 꼭짓점이 O 이고 초점이 인 포물선과 직선 G B 가 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, 선분 G P 의 길이를 구하시오.(단, O 는 원점이다.)
[4점][2011(가) 6월/평가원 29]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
9.9.두 양수 , 에 대하여 포물선 와 직선 가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과 축이 만 나는 점을 B , 직선 와 축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼 각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 28]
초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의 05
10.10.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 위의 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 P FH 의 넓이가
일 때, 선 분 P F의 길이는? (단, 점 P 의 좌표는 점 F 의 좌표보다 크다.)[3점][2016(가) 4월/교육청 13]
O F H
P
① ② ③
④ ⑤
11.11.좌표평면에서 포물선 의 초점을 F, 포물선
의 초점을 F라 하자. 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 중심이 위에 있고 점 F을 지나는 원과 중심이 위 에 있고 점 F를 지나는 원의 교점이다.
(나) 제 사분면에 있는 점이다.
원점 O 에 대하여 O P의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 6월/평가원 28]
초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화 06
최단거리 구하기
07
기하와벡터 1. 이차곡선
2 타원
타원의 방정식 01
12.12.원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원 의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.
[3점][2012(가) 7월/교육청 23]
13.13.타원 의 한 초점의 좌표가 일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 6월/평가원 26]
14.14.[그림 ]과 같이 타원
과 한 변의 길이가 인 정삼 각형 ABC 가 있다. 변 A B 는 축 위에 있고 꼭짓점 A , C 는 타원 위 에 있다. 한 변이 축 위에 놓이도록 정삼각형 ABC 를 축을 따라 양 의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 BC 가 두 번째로 축 위에 놓이고 꼭짓점 C 는 타원 위에 놓일 때가 [그림 ]이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 7월/교육청 28]
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합 02
15.15.그림과 같이 타원
의 두 초점은 F F′이고, 제사분 면에 있는 두 점 P Q 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P F
(나) 점 Q 는 직선 P F′과 타원의 교점이다.
삼각형 P FQ 의 둘레의 길이와 삼각형 P F′F 의 둘레의 길이의 합을 구 하시오.
[4점][2016(가) 9월/평가원 27]
16.16.아래 그림과 같이 두 초점 F F ′ 이 축 위에 있는 타원
위의 점 P 가 FP 를 만족시킨다. 점 F 에서 선분 P F ′에 내린 수선의 발 H 에 대하여 FH
일 때, 상수 의 값 은?[4점][2014(B) 6월/평가원 17]
① ② ③
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
17.17.그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 , ,
이고 반지름의 길이가 모두 같은 개의 원에 동시에 접하고, 초점이 축 위에 있는 타원이 있다.
이 타원의 두 초점 사이의 거리가
일 때, 장축의 길이를 구하시 오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.)[4점][2007(가) 10월/교육청 21]
18.18.그림과 같이 타원
의 장축을 등분한 후 장축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직 선을 그어 축 위쪽 부분에 있는 타원과 의 교점을 차례로 P, P, P, ⋯, P 라 하자. 타원의 한 초점을 F 라고 할 때,
FP의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 23]
19.19.그림과 같이 두 초점이 F , F′ c 인 타원
이 있다. 타원 위에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에 대하여 선분 P F′
의 중점을 Q , 선분 P F 를 으로 내분하는 점을 R 라 하자.
∠P Q R
, Q R
, RF 일 때, 의 값을 구하시오.(단, , , 는 양수이다.)
[4점][2016(B) /수능 26]
20.20.그림과 같이 축 위의 점 A 와 두 점 F F ′을 초점으로 하 는 타원
위를 움직이는 점 P 가 있다. AP FP 의 최솟 값이 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014(B) /수능 27]
기하와벡터 1. 이차곡선 타원 위의 점에서 거리의 합의 활용
03
타원의 방정식과 중점연결 정리 04
21.21.그림과 같이 타원
의 두 초점 중 좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P 에 대하여 선분 P F′
의 중점 M 의 좌표가 이고 P M P F 일 때, 의 값은?
(단, , 는 상수이다.)
[4점][2016(가) 4월/교육청 17]
O
F F′
M
P
① ② ③
④ ⑤
타원의 성질 05
22.22.그림과 같이 타원
에 내접하는 정삼 각형 ABC 가 있다. 타원의 두 초점 F , F ′이 각각 선분 AC , AB 위 에 있을 때,
의 값은? (단, 점 A 는 축 위에 있다.)
[3점][2008(가) 10월/교육청 5]
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기 06
23.23.타원
의 두 초점을 F , F ′ 라 하자. 타원 위의 점 P
가 ∠FP F ′
를 만족시킬 때, 삼각형 FP F ′ 의 넓이는?
[3점][2016(가) 7월/교육청 10]
F ′ F
O
P
① ② ③
④ ⑤
24.24.그림과 같이 두 점 F , F ′ 을 초점으로 하는 타원
과 직선 의 교점을 A B 라 하자.
두 점 C , D 에 대하여, 사각형 AD BC 의 넓이를 구하 시오.(단, 와 는 양수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 23]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
25.25.오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCD EF 의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 개를 그 린 것이다.
그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형 개 의 넓이의 합이
일 때, 타원의 단축 의 길이는?[3점][2006(가) /수능(홀) 7]
①
② ③
④ ⑤
타원과 원 07
26.26.그림과 같이 두 점 F F′ 을 초점으로 하고 장축의 길이가 인 타원이 있다. 점 F 를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원이 타원과 점 P 에서 만난다. 점 P 에서 원에 접하는 직선이 점 F′을 지날 때, 의 값은?
[3점][2015(B) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
27.27.두 초점이 ′이고, 장축의 길이가 , 단축의 길이가 6인 타원 이 있다. 중심이 이고 점 ′을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을 라 하자. 삼각형 ′의 넓이는?
[3점][2011(가) 9월/평가원 13]
①
②
③
④
⑤
28.28.타원
의 두 초점 F , F′ 에 대하여 선 분 F′ F 를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제 사분면 에 있는 점을 P 라 하자. 원 위의 점 P 에서의 접선이 축의 양의 방향 과 이루는 각의 크기가
일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, , 는
인 상수이다.)[4점][2016(가) 10월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 1. 이차곡선
29.29.중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 축과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. 이 원과 타원
이 만나는 점 중 한 점을 P 라 할 때, AP × BP 의 값은?
[4점][2014(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
30.30.타원
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 O P O F 를 만족시킬 때, P F ⋅ P F′ 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 9월/평가원 22]
타원과 포물선 08
31.31.좌표평면에서 두 점 A , B 에 대하여 장축이 선분 AB 인 타원의 두 초점을 F , F ′이라 하자. 초점이 F이고 꼭짓점이 원 점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 P , Q 라 하자.
P Q
일 때, 두 선분 P F 와 P F ′의 길이의 곱 P F × P F ′ 의 값은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이 다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 20]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식 01
쌍곡선의 점근선 02
32.32.한 변의 길이가 인 정육각형 ABCD EF 와 쌍곡선 가 다음 조 건을 만족시킨다.
(가) 쌍곡선 의 초점은 점 A 와 점 D 이다.
(나) 쌍곡선 의 점근선은 직선 BE 와 직선 CF이다.
쌍곡선 와 변 AB 가 만나는 점을 P 라 할 때, D P AP 의 값은?
[3점][2011(가) 10월/교육청 16]
①
② ③
④
⑤ 33.33.쌍곡선 의 초점을 지나고 점근선과 평행한 4개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
[3점][2009(가) 9월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
34.34.쌍곡선
이 점 을 지나고 두 점근선의 방정식이
, 이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[3점][2016(가) 4월/교육청 24]
35.35.점근선의 방정식이 ±
이고 두 초점이 F ,
F ′ 인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 P F ′ ,
≤ P F ≤ 이다.
(나) 좌표가 양수인 꼭짓점 A 에 대하여 선분 AF 의 길이는 자연수이다.
이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[4점][2017(가) /수능 28]
36.36.원 과 쌍곡선
이 서로 다른 네 점에서 만 나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방 정식이
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)[3점][2015(B) 7월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
37.37.두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡 선의 한 점근선이
일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는?[3점][2004(가) 9월/평가원 5]
①
②
③
④ ⑤
기하와벡터 1. 이차곡선
38.38.점근선의 방정식이 ±
이고, 한 초점의 좌표가 인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[3점][2013(B) 7월/교육청 24]
39.39.쌍곡선
과 직선 는 상수의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. 이고 일 때 교점은 없다.
ㄴ. 이고 일 때 교점은 개이다.
ㄷ.
이고 일 때 교점은 개이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이 03
40.40.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F, F′이라 하자.
제 사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 와 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 Q 에 대하여 P F′ Q F′ 일 때, Q F P F 의 값을 구하시오.
[3점][2008(가) /수능(홀) 21]
41.41.그림과 같이 초점이 각각 F F′과 G G ′이고, 주축의 길이가
중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분 면에서 만나는 점을 Q 라 하자. P G × Q G P F× Q F 일 때, 사 각형 P G Q F 의 둘레의 길이는? (단, 점 F 의 좌표와 점 G 의 좌표 는 양수이다.)
[4점][2015(B) 6월/평가원 19]
①
②
③ 1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
42.42.쌍곡선
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 ∠F ′P F 의 이등분선이 축과 점 A 에서 만 날 때, 삼각형 P F ′ F 의 둘레의 길이를 구하시오.
[3점][2007(가) 10월/교육청 19]
쌍곡선의 정의와 원의 활용 04
43.43.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F , F′ 이라 하자. 두 점 F F′ 을 지름의 양 끝점으로 하는 원과 쌍곡선
이 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, cos∠P FF′ 의 값은? (단, 는 양수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
44.44.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점은 F, F ′이고, 점 F 를 중심으로 하는 원 는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제사분면에 있 는 쌍곡선 위의 점 P 에서 원 에 접선을 그었을 때 접점을 Q 라 하자.
P Q 일 때, 선분 P F ′의 길이는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
기하와벡터 1. 이차곡선
45.45.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P 를 중심으로 하고 선분 P F′을 반지름으로 하는 원을 라 하자. 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여 선분 FQ 의 길 이의 최댓값이 일 때, 원 의 넓이는? (단, P F′ P F )
[4점][2016(가) 6월/평가원 18]
① ② ③
④ ⑤
46.46.원 과 쌍곡선 이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수 의 최댓값은?
[3점][2011(가) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
쌍곡선의 정의를 이용한 넓이 05
47.47.쌍곡선
의 두 초점을 각각 F , F′ 이라 하고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 P 의 원점에 대한 대칭인 점을 Q 라 하자. 사 각형 F′Q FP 의 넓이가 가 되는 점 P 의 좌표를 라 할 때,
의 값은?
[3점][2006(가)/수능(홀) 5]
① ② ③
④ ⑤
48.48.두 초점이 F F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 가 다음 조건 을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 제 사분면에 있다.
(나) 삼각형 P F ′F 가 이등변삼각형이다.
삼각형 P F ′F 의 넓이를 라 할 때, 모든 의 값의 곱은?
[4점][2015(B) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 쌍곡선과 타원
06
49.49.보다 큰 실수 에 대하여 타원
의 두 초점과 쌍곡선
의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 일 때,
의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 9월/평가원 25]
쌍곡선과 포물선 07
50.50.그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
과 점 F 를 초점으로 하는 포물선 가 있 다.
쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여 P F P F′ 이 성립하고, 포 물선의 꼭짓점 A 에 대하여 AF′ FF′ 이 성립한다. 이 때,
의 값은? (단, 이다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
이차곡선과 함수의 연속
08
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식 01
51.51. 가 의 함수일 때, 곡선 ln 위의 점 에서의 접선 의 기울기는?
[3점][2006(가) 9월/평가원 27]
① ②
③
④ ⑤
52.52.곡선 ln 위의 점 에서의 접선의 기울기는?
[3점][2012(가) 4월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
53.53.좌표평면에서 곡선 위의 점 에서의 접선의 기 울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 4월/교육청 24]
54.54.좌표평면에서 곡선 ln 위의 점 에서 의 접선의 기울기는?
[3점][2011(가) /수능 27]
①
②
③
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 02
55.55.그림과 같이 포물선 위의 점 A 에서 이 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B 라 하자. 다음은 점 A 에서의 접선과 직선 O B 가 만나는 점을 P 라 할 때, 점 P 의 좌표를 구하는 과정이다. (단,
≠ 이고 O 는 원점이다.)
포물선의 방정식 의 양변을 에 대하여 미분하여 정리 하면
㈎ (단, ≠ )
이므로 점 A 에서의 접선의 방정식을 구하면
㈏ × ··· ㉠
이다.
B ㈐ 이므로 직선 O B 의 방정식은
㈐
··· ㉡
이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P 의 좌표를 구하면
㈐ ×
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, × 의 값은?
[4점][2016(가) 6월/평가원 17]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식 01
56.56.포물선 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. P Q
일 때, 의 값은?[3점][2010(가) /수능 4]
① ② ③
④ ⑤
57.57.두 양수 에 대하여 점 A 에서 포물선 에 그 은 두 접선이 축과 만나는 두 점을 각각 F F ′, 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 할 때, ∠P AQ
이다. 두 점 F F ′을 초점으로
하고 두 점 P Q 를 지나는 타원의 장축의 길이가
일 때, 의 값은?
[4점][2017(가) 수능 19]
① ② ③
④ ⑤
58.58.그림과 같이 포물선 의 초점을 F 라 하고, FA 을 만족하는 포물선 위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 ABF 의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오. (단,
이다.)
[4점][2011(가) 7월/교육청 25]
59.59.포물선 의 초점과 포물선 위의 점 에서의 접선 사 이의 거리를 라 하자. ≥ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2012(가) /수능 26]
기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식 02
60.60.좌표평면에서 포물선 에 접하는 두 직선 의 기울기 가 각각 이다. 가 방정식 의 서로 다른 두 근일 때, 과 의 교점의 좌표는?
[3점][2014(B) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 접점이 주어진 타원의 접선의 방정식
03
61.61.그림과 같이 두 초점이 F , F ′인 타원 위를 움직이 는 제 사분면 위의 점 P 에서의 접선 이 축과 만나는 점을 Q , 점 P 에서 접선 과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R 라 하자. 세 삼각형 P RF , P F ′R , P FQ 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P 의 좌표는?
[4점][2014(B) 7월/교육청 20]
O R F
F′ Q
P
①
②
③
④
⑤
62.62.점 에서 타원
에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q 라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F라 할 때, 삼각형 P FQ 의 둘레의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2011(가) 6월/평가원 28]
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 04
63.63.직선 위의 점 P 에서 타원
에 그은 두 접선의 기
울기의 곱이
이다. 점 P 의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2013(B) 6월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 05
64.64.쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 타원
의 넓이를 이등분할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 26]
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
65.65.그림과 같이 두 초점이 F , F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 에서의 접선과 축과의 교점이 선분 F′F 를 로 내분할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 26]
66.66.쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선 에 대하여 원점 O 에서 에 내린 수선의 발을 H , 직선 O H 와 이 쌍곡선이 제 사 분면에서 만나는 점을 Q 라 하자. 두 선분 O H 와 O Q 의 길이의 곱
O H ⋅ O Q 를 구하시오.
[3점][2008(가) 9월/평가원 20]
기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 06
67.67.좌표평면 위의 점 에서 쌍곡선 에 그은 접선의 방정식을 이라 할 때, 의 값은? (단, , 은 상수 이다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 4]
①
② ③
④ ⑤
68.68.좌표평면에서 쌍곡선
의 한 점근선에 평행하고 타원
에 접하는 직선을 이라 하자. 원점과 직선 사이의 거
리가 일 때,
의 값은?
[3점][2012(가) 9월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
69.69.직선 가 쌍곡선
에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?
[3점][2005(가) 9월/평가원 5]
①
②
③ ④
⑤
곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식 07
곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건
08
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 01
70.70.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 좌표 가 을 매개 변수로 하여
,
으로 나타내어진다. 점 P 가 그리는 곡선 위의 한 점 에서의 접 선의 기울기가 일 때, 의 값은?
[3점][2016(가) 7월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법 02
71.71.매개변수 로 나타내어진 함수
tan , cos
단,
에 대하여 이 곡선 위의 점
에서의 접선의 기울기는?[3점][2011(가) 4월/교육청 20]
① ②
③
④
⑤
매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 03
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
사이클로이드
05
1. 평면벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
정 각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
72.72.AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB , CD , D A , BD 의 중점을 각각 E , F , G , H 라 하자. 선분 CF 를 지 름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 EG HP의 최댓값은?
[4점][2016(가) 10월/교육청 18]
① ②
③
④
⑤
부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용 05
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산 01
벡터의 평행 02
벡터와 방향이 같은 단위벡터
03
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
73.73.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가
P A P B P C P D CA
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 16]
ㄱ. P B P D CP ㄴ. AP
AC
ㄷ. 삼각형 AD P 의 넓이가 이면 직사각형 ABCD 의 넓이는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
74.74.평면 위에 삼각형 O AB 가 있다.
O P O A O B ( ≥ , ≥ )를 만족하는 점 P 가 그리는 도 형에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2005(가) 10월/교육청 9]
ㄱ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.
ㄴ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.
ㄷ. ≤ 일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 O AB 를 포함한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
75.75.벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2016(가) 6월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
76.76.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터
O P , O Q 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 각각 P ′, Q ′ 이라 할 때, <보 기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) /수능(홀) 4]
ㄱ. O P O P ′
ㄴ. O P O QO P ′ O Q ′ ㄷ. O P ⋅O Q O P ′⋅O Q ′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
77.77.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점 과 각 분점을 왼쪽부터 차례로
P, P, P, P, P, P, P
이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P ≤ ≤ 이라 하고, 선분 PP의 중점을 O 라 하자.
두 벡터 O P, O P의 내적 O P⋅O P의 값을 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 27]
벡터의 내적의 부호 02
78.78.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A , B 라 하자. 호 AOB 위의 점 P 와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,
OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,
의 값은?
[3점][2008(가) 9월/평가원 7]
① ②
③
④
⑤
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
79.79.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 을 만족시키 는 실수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 23]
80.80.그림은 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여 만든 도형이다.
개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하 고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 라 하자. 집합 의 두 원소 , 에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. ⋅ 이면 , 의 값은 모두 정수이다.
ㄴ.
,
이면 ⋅ ≠ 이다.ㄷ. ⋅ 는 정수이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적 평면벡터의 수직 조건과 평행 조건
04
벡터의 내적의 성질 05
81.81.좌표공간에서 원점에 대한 세 점 A B C 의 위치벡터를 차례로
, , 라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같 다.
∙
예를 들어, ∙
이다. 세 점 A B C 에 대하여 두 점 사 이의 거리의 대소 관계로 옳은 것은?[4점][2017(가) /수능 16]
① AB AC BC ② AB BC AC
③ AC AB BC ④ BC AB AC
⑤ BC AC AB
82.82.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P
가 두 조건
P A ⋅ P B ≤ , O P ⋅ O A O B ≤ 를 만족할 때, 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는?
[4점][2004(가) 10월/교육청 13]
① ②
③ ④ ⑤
83.83.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를 로 내 분하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를 과 으로 내분하는 점을 각각 E , F 라 할 때, BF D E 의 값은?
[3점][2013(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
84.84.평면에서 그림의 오각형 ABCD E 가
AB BC , AE ED , ∠B ∠E °를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) /수능 14]
ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM 은 서로 평행하다.
ㄴ. AB ∙ AE BC ∙ ED ㄷ. BC ED BE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면벡터의 내적의 성질의 활용
06
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
85.85.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 꼭짓점 A 에서 변 BC 에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,
P A ⋅P B의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(가) /수능 26]
내적의 기하학적 의미의 활용 09
86.86.그림과 같이 AB 인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 중심을 I 라 하고, 점 I 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 하자. BD 일 때, BA ∙ BI 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/교육청 25]
87.87.그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때, CA ∙ CH 의 값은?
[4점][2016(가) 7월/교육청 19]
A H B
C
(가) 점 H 가 선분 AB 를 으로 내분한다.
(나) AB ∙ AC
(다) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다.
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
88.88.함수
의 그래프는 그림과 같다. 함수 의
그래프 위의 두 점 P , Q
을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가
인 벡터를 라 하자. 의 값은?[3점][2016(가) 7월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
89.89.좌표평면에서 두 직선
,
이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2016(가) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
두 직선의 평행 조건과 수직 조건 04
방향벡터와 법선벡터의 위치 관계 05
벡터를 이용한 원의 방정식
06
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
90.90.수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos
이다. 점 P 의 시각
에서의 가속도의 크기를 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 26]
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
시간에 대한 길이의 변화율 04
91.91.높이가 m 인 번지점프대에 길이 가 m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연 결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길 이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.
어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 m 였던 탄력줄의 길이가
m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 m초 이고, 탄력줄 의 반지름의 길이는
m 이다. 이 순간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화 율을
m초 라 할 때, 의 값
을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 30]
92.92.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각 에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.
P , Q ln
두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 의 범위가
일 때, 실수 의 값은?
[3점][2012(가) 3월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤
기하와벡터 3. 평면운동 시간에 대한 넓이의 변화율
05
93.93.두 곡선 과 축 위의 점 P 가 있다.
점 P 를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선 과 만나 는 점을 각각 A B 라 하자. 또, 점 B 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 C 라 하고, 점 C 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 D 라 하자. 점 P 가 점 를 출 발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다. 점 P 가 점 를 지나는 순간, 삼각형 AD C 의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?
[4점][2013(B) 3월/교육청 14]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
94.94.좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에서 의 좌표는
이다. 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 sin 와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 P Q 를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자.
95.95.한 변의 길이가
인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으 로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초
씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가
이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 7월/교육청 24]
시간에 대한 부피의 변화율 06
시간에 대한 각의 변화율
07
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
96.96.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치벡터를
라 하면
,
이 성립한다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 29]
ㄱ. 에서 점 P 의 속도 와 위치벡터 는 서로 수직이다.
ㄴ. 임의의 시각 에서 점 P 의 가속도 와 위치벡터 는 서로 같다.
ㄷ. 점 P 가 에서 까지 움직인 거리는 이상이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
치환적분을 이용한 움직인 거리 02
곡선의 길이(1) 03
곡선의 길이(2) 04
97.97.좌표평면 위의 곡선
≤ ≤ 에 대하여 에서 까지의 곡선의 길이를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.[3점][2016(가) 7월/교육청 25]
기하와벡터 1. 공간도형
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
98.98.사면체 ABCD 의 면 ABC , ACD 의 무게중심을 각각 P , Q 라고 하자. <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고르면?
[3점][2004(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 직선 CD 와 직선 BQ ㄴ. 직선 AD 와 직선 BC ㄷ. 직선 P Q 와 직선 BD
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
99.99.그림은 AC AE BE 이고
∠D AC ∠CAB °인 사면체의 전개도이다.
이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 D E F 가 합쳐지는 점을 P 라 하자. 사면체 P ABC 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은?
ㄱ. CP
⋅ BPㄴ. 직선 AB 와 직선 CP 는 꼬인 위치에 있다.
ㄷ. 선분 AB 의 중점을 M 이라 할 때, 직선 P M 과 직선 BC 는 [ 보 기 ]
100.100.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정육면체 ABCD EFG H 에 내접하는 구가 있다. 변 AE , CG 를
으로 내분하는 점을 각각 P , R 라 하고 변 BF의 중점을 Q 라 한다.
네 점 D , P , Q , R 를 지나는 평면 으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는?
[4점][2005(가) 10월/교육청 15]
① ②
③ ④
⑤
삼수선의 정리 02
101.101.좌표공간에 서로 수직인 두 평면 와 가 있다. 평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 AB
이고 직선 AB 는 평면 에 평행하다.점 A 와 평면 사이의 거리가 이고, 평면 위의 점 P 와 평면 사이의 거리는 일 때, 삼각형 P AB 의 넓이를 구하시오.
[4점][2016(B) /수능 27]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
102.102.평면 위에 ∠A ° 이고 BC 인 직각이등변삼각형 ABC 가 있다. 평면 밖의 한 점 P 에서 이 평면까지의 거리가 이고, 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발이 점 A 일 때, 점 P 에서 직선 BC 까 지의 거리는?
[3점][2010(가) /수능 5]
①
② ③
④
⑤ 103.103.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 구 위에 점 C 가 있다.
점 A 를 지나고 직선 AB 에 수직인 직선 이 직선 BC 에 수직이다.
직선 위의 점 D 에 대하여 BD , CD 일 때, 선분 AC 의 길이 는? (단, 점 C 는 선분 AB 위에 있지 않다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 15]
①
② ③
④
⑤
104.104.공간에서 평면 위에 세 변의 길이가 AB AC
BC 인 삼각형 ABC 가 있다. 점 A 를 지나고 평면 에 수직인 직선 위의 점 D 에 대하여 AD 이 되도록 점 D 를 잡을 때
∆D BC 의 넓이를 구하시오.
[4점][2006(가) 10월/교육청 24]
105.105.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체
ABCD EFG H 가 있다. 모서리 AB 를 로 내분하는 점을 L , 모 서리 HG 의 중점을 M 이라 하자. 점 M 에서 선분 LD 에 내린 수선의 발을 N 이라 할 때, 선분 MN 의 길이는?
[4점][2013(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④
⑤
106.106.평면 위에 거리가 인 두 점 A , C 와 중심이 C 이고 반지름 의 길이가 인 원이 있다. 점 A 에서 이 원에 그은 접선의 접점을 B 라 하자. 점 B 를 지나고 평면 와 수직인 직선 위에 BP 가 되는 점 을 P 라 할 때, 점 C 와 직선 AP 사이의 거리는?
[4점][2012(가) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
기하와벡터 1. 공간도형 직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각
03
107.107.그림과 같이 AB BF AD 인 직육면체 ABCD EFG H 에서 대각선 AG 가 세 면 ABCD BFG C ABFE 와 이루는 각의 크기를 각각 , , 라고 할 때, cos cos cos 의 값은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
108.108.그림과 같이 AB AD AE 인 직육면체
ABCD EFG H 에서 평면 AFG D 와 평면 BEG 의 교선을 이라 하 자. 직선 과 평면 EFG H 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[4점][2013(B) 7월/교육청 19]
①
②
③
두 평면이 이루는 이면각의 크기 04
109.109.사면체 ABCD 에서 모서리 CD 의 길이는 , 면 ACD 의 넓이 는 이고, 면 BCD 와 면 ACD 가 이루는 각의 크기는 ° 이다. 점 A 에서 평면 BCD 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 AH 의 길이 는?
[3점][2009(가) 9월/평가원 5]
①
② ③ ④
⑤
110.110.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 선분 AD 를
으로 내분하는 점을 P , 로 내분하는 점을 Q 라 하자. 두 평면 P BC 와 Q BC 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) 10월/교육청 26]
