다면체와
그의 변형
생활속의 다면체의 이용
우리가 살고 있는 자연의 현상 중에 변하지 않 는 것은 없다. 위치와 크기와 모양 등 물리적인 변환은 끊임없이 연속적으로 일어나고 있다. 이 변환 속에서 변하지 않는 성질이 무엇이 있을까 생각하는 것은 자연과학도로서는 당연한 질문이 될 것이다. 여기서는 여러 가지 변환의 종류와 성질을 생각해 보고 이들 변환 중 연속성을 보존 하는 변환에 대해서 생각해 보자.
변환에 의한 기하학의 분류
합동변환 닮음변환 사영변환 공형변환 위상변환
변환은 광원과 원상과 스크린의 위치에 따라 합동변환, 상사변환, 아핀변환, 사영변환, 위상변 환 등으로 분류되고 이러한 변환에 불변인 도형 들을 서로 합동, 닮음, 위상동형, 미분위상동형 등으로 부른다.
이 중에서 위상변환이란 연속성을 보존하면서
도형을 확대 축소하면 다른 변형된 도형을 처음
도형과 위상동형이라고 한다.
합동변환
길이와 면적이 보존 된다.
닮음변환
대응변의 길이의 비가 일정하다.
아핀변환
같은 변상의 길이의 비와 점의 순서, 연속성이 보존된다.
사영변환
같은 변상의 점의 순서와 연속성이 보존된다.
위상변환
점의 연속성이 보존된다.
각 변환들의 비교
각 변환들의 관계
그림의 길 밖으로 나가 보세요
사영 기하학 : 대각선 구도
위상변환 윤환면 뒤집기
점의 연속성 을
보존한 변환
선이나 면을 연속성을 보존하면서 위상변환을 하는 방법은 무수히 많겠지만 여기서는 정다면 체들의 꼭 지점 모서리 면을 중심으로 변형하여 다른 입체 도형을 만들어 보자.
실제로 생활가운데서 이러한 도형들이 어떻게
응용되고 있는지를 살펴보고 또 일상생활에서
어떻게 응용할 수 있는지 생각해 보자.
5 가지 정다면체
정다면체를 포함하는 구면 꼭지점들이 구면에 접하면서
구면에 포함되는 정다면체
정다면체의 변형 (점v,선e,면f)
오일러의 정리 v- e + f = 2
정 꼭 모 면 *쉴레 다 지 서 의 플리 면 점 리 기호 체 수 수 수 (n, m) v – e + f = 2
4 4 6 4 (3,3) 6 8 12 6 (4,3) 8 6 12 8 (3,4) 12 20 30 12 (5,3) 20 12 30 20 (3,5)
*Schlafli(쉴레플리)기 호는 n 각형이 한 꼭 지점에 m개 모여 임 음을 (n,m)으로 나타 내는 표현이다.
다면체의 변형
정다면체의 꼭지점, 모서리, 면을 서로 바꾸면 어떤 입체를 얻을 수 있을까?
정다면체의 모서리를 평면으로 자르면 어떤 입 체를 얻을 수 있을까?
면을 제거하고 모서리만 남은 정다면체의 꼭지
점을 중심으로 서로 끼우면 어떤 겹 다면체를 얻
을 수 있을까?
정다면체의 각면에 각뿔을 붙이면 어떤 모형을 얻을 수 있을까?
정다면체를 부풀린 후 꼭지점들을 연결하여 다른 다면체를 만들어 보자
정다면체를 부풀려서 면을 뒤틀고 꼭지점들을 연 결하면 어떤 입체를 얻을 수 있을까?
정다면체의 각 면의 요철을 변형시켜서 어떤입
체를 얻을 수 있을까?
정다면체를 동일한 부분 다면체로 분할해 보자.
다면체를 결합하여 다른 다면체를 만들어 보자.
윤환면을 삼각형으로 분할 하여 만들고 그 위에 도마뱀그림으로 테셀레이션한 것이다.
정 6면체 변형 (1)
정다면체의 점(v)과 모서리(e)와 면(f)을 서 로 바꾸면 어떻게 될까? 새로 얻어진 모형 은 어떻게 생겼을까?
정 6 면체의 변형(2)
육면체의 각 면 을 이루는 사각형 의 면을 어떻게 바 꾸었나요?
한 면을 끌어 내 어 지붕처럼 만들 어서 생긴 모형은 한 면이 오각형처 럼 바뀌는 것을 관 찰하여 봅시다.
정6면체 블럭(3)
육면체 블록을 8 개 연결하여(?) 퍼즐 을 만들었다.
각 육면체는 이웃 하는 육면체와 어떻 게 연결 되어 있는지 살펴보고 이것을 생 활 가운데 어떻게 응 용할 수 있을까 생각 하여 보자 !
정 6 면체 변형 (4)
정 6 면체 변형 퍼즐(5)
육면체 퍼즐 (6)
(Snake puzzle)
육면체의 변형 (7)
6장의 원을 끼워서 만든 세탁기속의 고무로된 때밀 이 보조기구
육면체와 무슨 상관이 있
을까?
육면체의 변형(8)
아래의 분할을 이용하여
각뿔의 체적이 밑넓이x 높이x 1/3 임을 유도 할 수 있다.
정육면체체적=(4각뿔의 체적)x 6 A^3 =(1/3)(A^2)(1/2)A x 6
=(1/3)(4각뿔의밑넓이)x(높이) x 6
정육면체의 분해와 결합
깍은 정 8 면체를 분할하여 재결합
하여 정 6면체를 만들수 있겠는가?
정6면체의 분할과 결합
정 12면체를 대각선들을 연결한 4각형으로 깍으면 정6면체가 된다.
역으로 정6면체의 한 면을 지붕처럼 부풀려서 정 12면체를 만들 수 있다.
이와 같은 변형이 가능한 다른 정다면체가 있을까?
정 12면체 변형 (1)
정12면체의
모서리를 면으로 면을 꼭지점으로 변형을 하면 어떻 게 될까?
이것은 우주 공간 의 satellite(인공 위성)의 모형으로 사용되고 있다.
정 12면체 변형 (2)
정 12면체 변형 (3)
정 12면체의 모서 리를 변형하였다.
정 12 면체 변형 (4)
정 12면체 변형 (5)
정 12 면체 변형 (6)
(1) 정 12면체를 4층의 5각형으로 구성되어 있다고 생각하고
(2) 2층 3층의 오각형을 회전의 방향을 유의하여 먼저 연결한 후에
(3) 1층, 4층의 오각형을 만드는 순서로 조립하면 조금 더 쉬울 듯(?) 하다.
정 12 면체 변형 (7)
정 12 면체 변형 (8)
정 12면체의 꼭지점과 면과 모서 리가 어떻게 바뀌었 는지 살펴 봅시다.
정 12 면체 변형 (9)
정 12면체의 면 을 꼭지점으로 바 꾸고 모서리를 평 행사변형으로 바꾸 면 어떤 모양의 입 체가 생겨날까요?
다음 두 입체의 공 통점과 차이점을 찾아봅시다.
이 입체는 우주선 (satelite)의 모형으 로 쓰이기도 한답 니다.
정 12면체의 달력(10)
세팍타크로(11)
6장의 띠로 별모양으로 배열 후, 끝을 이어서 만든 태국의 족구공
정 20 면체의 변형 (1)
정 20 면체의 모서리를 면(평행사변형)으로 대치하고 등갓으로 사용하였다.
평행사변형의 마주보는 한 쌍의 변의 길이를 약간 늘이고 꼭지점에 고리를 만들어 연결하고 빛이 새어 나오게 하였다.
30면체 등불 갓
30면체 등불 갓
삼십면체 끼우기
30장의 색종이를 끼워서 만든 입체 ^_^
이것을 무엇에 사용 할 수 있을까?
정 20 면체 변형(2)
정 12면체나 20 면체의 면을 꼭지 점으로 바꾸고 모 서리를 평행사변형 으로 바꾸면 어떤 모양의 입체가 생 겨날까요?
다음 두 입체의 공 통점과 차이점을 찾아봅시다.
이 입체는 우주선 (satelite)의 모형으 로 쓰이기도 한답 니다.
꼭지점을 짜른 정 20 면체(3)
그림은 육면체의 꼭지점을 잘라서 만 든 모형입니다.
정 20면체의 꼭지 점을 잘라서 만든 모형이 축구공의 모 형과 같습니다.
이를 버키볼이라 고도 하는데 그을음 의 화학적 구조에서 발견할 수 있답니다.
플러렌(C_60)의 구조
다면체속의 다면체
다면체의 꼭지점, 모서리, 면을 중심 으로 바깥의 다면체 와 내부의 다면체와 의 관계를 생각하여 보자.
이들의 꼭지점, 모 서리, 면은 어떻게 바뀌었는가?
