1. 이차곡선

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선

1. 이차곡선

2. 평면곡선의 접선

1 ^포물선

포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의

유형 2

핵심노트

1

1포물선 ^     의 초점을 F , 포물선의 준선이  축과 만나 는 점을 A 라 하자. 포물선 위의 점 B 에 대하여 AB   이고

BF   가 되도록 하는  의 값이  또는  일 때, ^ ^의 값을 구 하시오. (단,  ≠  이다.)

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 27]

초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의

유형 5

핵심노트

2

2그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F인 포물선과 점 F를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B라 하 자. 선분 AF 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB의 길이는   



^ 이다. ^ ^의 값을 구하시오. (단,   는 정수이다.)

[4점][2012(가) 9월/평가원 26]

이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선

1 1

1

1

1 1

1

초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화

유형 6

핵심노트

3

3자연수 에 대하여 포물선 ^ 

의 초점 F 를 지나는 직선이 포물선

과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자. PF  이고 FQ _이라 할 때,



  



_

 의 값은?

[4점][2013(가) /수능 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2 ^{타 원}

타원의 방정식

유형 1

핵심노트

4

4좌표평면에서 원 ^ ^  위를 움직이는 점 P 와 점 A  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 Q 전체의 집합을  라 하자. (단,  ≠ )

(가) 점 Q는 선분 OP 위에 있다.

(나) 점 Q 를 지나고 직선 AP에 평행한 직선이 ∠OQA 를 이등 분한다.

집합의 포함관계로 옳은 것은?

[4점][2008(가) 9월/평가원 8]

①  ⊂



^{  }



^

  ^

 

  ^

 



②  ⊂



^{  }



^

  ^

 

  ^

 



③  ⊂



^{  }



^

  ^

 

^

 



④  ⊂



^{ }



^

  ^

 

^

 



⑤  ⊂



^{ }



^{    }



타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합

유형 2

핵심노트

5

5타원 

^

 

^

 의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가장 가 까운 꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P 에 대하여

∠PFF′  

일 때, PA^의 값을 구하시오.

[4점][2005(가) /수능(홀) 22]

타원의 방정식과 중점연결 정리

유형 4

핵심노트

6

6두 점 F  , F ′   을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 P, Q 에 대하여 원점 O 에서 선분 PF 와 선분 QF′ 에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 PF 와 선분 QF′

의 중점이고, OH × OI   일 때, 이 타원의 장축의 길이를  이라 하자. ^의 값을 구하시오. (단, OH ≠ OI )

[4점][2012(가) 6월/평가원 27]

타원과 원

유형 7

핵심노트

7

7그림과 같이 점 A    을 중심으로 하고 반지름의 길이가  인 원 과 타원 

^

 

^

  의 한 교점을 P 라 하자. 점 B  에 대하여

PA  PB  일 때,   의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 10월/교육청 27]

3 ^쌍곡선

쌍곡선의 점근선

유형 2

핵심노트

8

8쌍곡선 

^

 

^

  의 두 초점 



^  ,  



^  을 각각 F F′ 이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 P    ＞ 에 대 하여 선분 F′P 위의 점 Q 가 FP  PQ 를 만족시킬 때, 점 Q 가 나타 내는 도형 전체의 길이는?

[4점][2006(가) 9월/평가원 9]

①  ②



^  ③ 

④  ⑤ 



^ 

쌍곡선과 포물선

유형 7

핵심노트

9

9그림과 같이 F    을 초점으로 하는 포물선 ^  와 F   

과 F′    을 초점으로 하는 쌍곡선 

^

^

 ^

^

        

이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하자.

AF  , cos∠AFF′   

일 때, 의 값은?

[4점][2012(가) 7월/교육청 20]

O F 



F′



A ^ 

^

^

 ^

^

 

①  ②



^ ③



^

이차곡선과 함수의 연속

유형 8

핵심노트

10

10닫힌구간      에서 정의된 함수 는





^{   }  ≤  ≤ 

       ≤ 

이다. 좌표평면에서   인 실수 에 대하여 함수   의 그래프 와 타원 

^

^

 ^ 이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함 수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?

[4점][2016(가) 4월/교육청 21]

①  ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 

2 ^{평면곡선의 접선}

기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식

유형 2

핵심노트

11

11좌표평면의 포물선 ^  위의 점 A 에 대하여 점 B는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 A 가 원점이면 점 B도 원점이다.

(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B는 점 A , 원점 그리고 점 A 에 서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심이다.

점 A 가 포물선 ^  위를 움직일 때 점 B가 나타내는 곡선을  라 하자. 점   을 지나는 직선이 곡선  와 두 점 P , Q에서 만나 고 PQ  일 때, 두 점 P, Q의 좌표의 값의 합을 구하시오.

[4점][2013(B) 6월/평가원 29]

기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식

유형 4

핵심노트

12

12타원 

^

 ^ 의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내접하는

타원 

^

^

 ^

^

 이 있다. 타원 ^

^

 ^

^

 의 두 초점이 F  ,

F′  일 때, ^^ 

이다.    의 값을 구하시오. (단,  는 서로소인 자연수이다.)

[3점][2009(가) /수능 19]

13

13그림과 같이 좌표평면에서 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가

 인 원 위의 점 P 에서  축에 내린 수선의 발을 P ′ 이라 하자. 점 P ′ 을 초점으로 하고,  축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원 에 대하여 점 P 에서 타원에 그은 접선  의 기울기가  

 일 때, 직선

OP 의 기울기는?

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 17]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

유형 6

핵심노트

14

14쌍곡선 ^ ^ 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 9]

ㄱ. 점근선의 방정식은   ,    이다.

ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.

ㄷ. 포물선 ^    ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난 다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식

유형 7

핵심노트

15

15좌표평면에서 점 A  와 타원 

^

 ^  위의 점 P 에 대하여 두 점 A 와 P를 지나는 직선이 원 ^   ^ 과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 Q 가 나타내는 도형의 길이는?

[3점][2011(가) /수능 5]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



3 ^{매개변수의 미분법}

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

유형 1

핵심노트

16

16자연수  에 대하여 함수     를 매개변수  로 나타내면











  ^

 ^   ^ 이고,  ≥ ^{ }



일 때 함수     는   에서 최솟값 을 갖 는다. _

_

 _

_

 _

_

 _

_

의 값은?

[4점][2013(B) 9월/평가원 21]

① 

 ②  ③ 



④  ⑤ 



이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선

유형 4

핵심노트

17

17실수  에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tan sin 인 직선과 원 ^ ^ ^이 만나는 점 중에서  좌표가 양수인 점을 P 라 하고, 점 P 가 나타내는 곡선을  라 하자.    일 때, 곡선  위 의 점 P 에서의 접선과  축 및  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

 × ^이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 유리수이다.) [4점][2014(B) 3월/교육청 30]

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ

평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터

1. 평면벡터의 연산

2. 평면벡터의 성분과 내적

3. 평면운동

1 ^{벡터의 연산}

이차곡선의 벡터의 크기

유형 3

핵심노트

18

18타원 

^

 ^ 의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가

^OP  OF 을 만족시킬 때, 선분 PF의 길이는  이다.  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[3점][2007(가) 수능(홀) 20]

벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소

유형 4

핵심노트

19

19그림과 같이 선분 AB 위에 AE  DB   인 두 점 D , E 가 있다. 두 선분 AE DB 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만나 는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 O_A  O_B   인 두 점을 O_, O_라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여



^OP O_Q



_{의 최솟값이 }^일 때, 선분 AB 의 길이는



 이다.    의 값을 구하시오.

(단,   O_O_  이고,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 6월/평가원 28]

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 연산 연산 연산 연산 연산 연산 평면벡터의 연산

1 1

1

1

1 1

1

20

20그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 _, _,

_, _가 서로 외접하고 있고, 두 원 _, _의 접점을 A 라 하자.

원 _ 위를 움직이는 점 P 와 원 _ 위를 움직이는 점 Q 에 대하여

^AP  AQ의 최댓값은?

[4점][2013(B) 10월/교육청 21]

① 



^ 



^ ②  ③ 



^  

④ 



^ 



^ ⑤ 

3 ^{평면벡터의 내적}

각도가 주어진 벡터의 내적

유형 1

핵심노트

21

21

AD    AB   인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되게 접 는다.

접은 도형에서 내적 AB ⋅ DC  

 (  는 서로소인 자연수)일 때,

   의 값을 구하시오.

[4점][2004(가) 10월/교육청 22]

성분으로 주어진 평면벡터의 내적

유형 3

핵심노트

22

22좌표평면 위의 두 점 A , B  에 대하여 OB∙ AB 일 때, 양수  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[3점][2012예비(B) 5월/평가원 23]

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 내적 내적 내적 내적 내적 내적 평면벡터의 성분과 내적

2

2

2

2

2 2

2

성분으로 주어진 내적의 최대 최소

유형 7

핵심노트

23

23좌표공간에 세 점 O       A       B     가 있다. 점 P 가 OB⋅OP   OP  ≤  를 만족시키며 움직일 때,

^PQ   PQ ⋅OA ≥ 



^

을 만족시키는 점 Q 에 대하여 ^BQ의 최댓값과 최솟값을 각각  ,

이라 하자.       



^ 일 때,     의 값을 구하시오. (단,

  는 유리수이다.)

[4점][2017(가) 9월/평가원 29]

24

24평면 위에 반지름의 길이가  인 원  가 있다. 원  위의 두 점 A , B 에 대하여 AB   이고, 이 평면 위의 점 P 가 다음 조건을 만족시 킨다.

(가) ^AP 

(나) AB 와 AP 가 이루는 각의 크기를  라 할 때,

cos  는 자연수이다.

원  위의 점 Q에 대하여 AP∙ AQ 의 최댓값을 구하시오.

[4점][2017(가) 7월/교육청 29]

25

25좌표평면에서 중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 원 위의 한 점을 A 중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 원 위의 한 점을 B 라 할 때, 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OB⋅OP  OA ⋅OP (나) ^PA^^PB^ 

PA ⋅PB 의 최솟값은  이고 이 때 ^OP  이다.   ^의 값을 구하시오.

[4점][2017(가) 6월/평가원 29]

내적의 정의를 이용한 최대 최소

유형 8

핵심노트

26

26그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원

 가 있다. 선분 BC 위의 점 D를 ∠DAB  

 가 되도록 정한다. 점

 가 원  위를 움직일 때, 두 벡터 AD  CX 의 내적 AD∙ CX 의 값 이 최소가 되도록 하는 점 X를 점 P 라 하자. ∠ACP 

일 때,

  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2011(가) /수능 22]

내적의 기하학적 의미의 활용

유형 9

핵심노트

27

27그림은 AB , AD  



^ 인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC∙ AP 의 최댓값은?

(단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)

[4점][2010(가) 10월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

28

28평면에서 그림과 같이 AB  이고 BC 



^ 인 직사각형 ABCD와 정삼각형 EAD 가 있다. 점 P 가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2010(가) 9월/평가원 14]

ㄱ. ^CB  CP의 최솟값은 이다.

ㄴ. CA ∙ CP 의 값은 일정하다.

ㄷ. ^DA  CP_{의 최솟값은 }



이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1 ^{속도와 가속도}

등속 원운동에서의 속도와 가속도

유형 3

핵심노트

29

29좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원  와 이 원 위를 움직이는 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 P 는 원  위를 시계 반대 방향으로 매초  의 속력 으로 움직인다.

(나) 원  는  축의 양의 방향으로 매초  의 속력으로 움 직인다.

원  는 중심이 원점에서, 점 P 는 점   에서 동시에 출발할 때, 원  의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선    와 만나는 점을 Q 라 하자. 출발한 후 

 초가 되는 순간, 점 Q 는 직선    위를 매초 의 속력으로 움직인다.  의 값을 구하시오.

[4점][2009(가) 10월/교육청 30]

시간에 대한 길이의 변화율

유형 4

핵심노트

30

30좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길이가

인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP  °가 되는 순간 점 P의  좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 28]

①  

 ②  



^

③  



^

④   ⑤  

평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동

3 3

3

3

3 3

3

31

31곡선   ^ ^   ≥ 과 곡선  의 접선   



^   

이 있다. 곡선  위의 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만 나는 점을 Q 라 하자.

점 P가 점 A     을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B      까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순 간변화율의 최댓값을 구하시오.

[4점][2014(B) 7월/교육청 26]

O 



P Q

  

32

32좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 

이고 반지름의 길이가

인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위 의 점 Q 는 PQ 



^ 를 만족시키면서 축 위를 움직인다.

O A 

B



^

Q P



∠POA  

가 되는 순간, 점 Q 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율을

라 할 때, ^의 값을 구하시오.

[4점][2012(가) 4월/교육청 30]

33

33길이가  인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 P Q 가 점 B 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.

(가) ∠QAB  ∠PAB

(나) 선분 BP 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 

이다.

점 P 가 점 B 에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 AQ 의 길이의 시간 (초)에 대한 변화율은  이다.  ^의 값을 구하시오.

(단,  ≤ ∠PAB  

이다.)

[4점][2008(가) 10월/교육청 30]

34

34지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍력 발전 기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있 다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따른 높이 의 변화율이   이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸 리는 시간을 초라 하자. ^ 

( 는 서로소)일 때,   의 값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하 지 않는다.)

[4점][2009(가) 7월/교육청 30]

시간에 대한 넓이의 변화율

유형 5

핵심노트

35

35그림과 같이 좌표평면에서 원 ^ ^  위의 점 P 는 점 A  에 서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초 

의 일정한 속

력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하여 점 B  을 향 하여 매초 의 일정한 속력으로  축 위를 움직이고 있다. 점 P 와 점 Q가 동시에 점 A 에서 출발하여  초가 되는 순간, 선분 PQ, 선분 QA , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를  라 하자. 출발한 지  초가 되는 순간, 넓이  의 시간(초)에 대한 변화율은?

[4점][2008(가) 수능(홀) 29]

① 

  ② 

 ③ 

 



④ 

 

 ⑤ 

 

36

36좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O와 네 점 A    B    C    D   을 꼭짓점으로 하는 정사각 형 ABCD가 있다. 원 O의 중심이  축을 따라 양의 방향으로 매초  의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를  라 하자. 원 O의 중심이



^

 



^{을 지}

나는 순간, 넓이  의 시간(초)에 대한 변화율은? (단,  ≤  ≤ ) [4점][2012(가) 7월/교육청 19]



 

  O

 





A

B C

D

① 



^

② 

 ③ 



^

④ 



^

⑤



^

37

37밑면의 지름의 길이가 이고 높이가  인 원기둥이 있다. 그림과 같이 평행한 두 선분 AB 와 DC 는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 DA 와 AB 는 수직이다.

점 P 가 매초  의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 A 에서 출발하여 선분 CB 위의 점을 지나 점 D 까지 최단거리로 움직인다. 점 P 에서 선분 AB 를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 삼 각형 PAH 의 넓이를  라 하자.

점 P 가 점 A 에서 출발한 지  초가 되는 순간, 넓이  의 시간(초) 에 대한 변화율은 

  이다.    의 값을 구하시오.

(단, ,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2010(가) 10월/교육청 30]

38

38그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있 다. 직선  



^ 와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하자. 점 P 는 원점 O 를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 P 가 원점 O 를 출발하여 초가 되는 순간, 점 P 를 지나고 직선  



^ 에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q 라 하자.

세 선분 AO , OP , PQ 와 호 QA 로 둘러싸인 부분의 넓이를  라 할 때, 점 Q 의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율 을 구하시오. (단,     )

[4점][2015(B) 4월/교육청 30]

 O



A

Q

P

 



^ 

39

39그림과 같이 좌표평면에서 원 ^ ^  위의 점 P 가 점  에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 

 (라디안)의 일정한 속력으로 원 위 를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서  축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를  라 하자. 점 P 가 점



^



^

 





을 지나는 순간, 넓이  의 시간(초)에 대한 변화율 은 

이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이 다.)

[4점][2007(가) 수능(홀) 30]

40

40그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가  인 사분원 OAB 에 대하 여 각 AOB를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 C 라 하자. 두 점 P , Q 는 점 C에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시 계 방향, 시계 반대 방향으로 매초 

 의 일정한 속력으로 움직인다.

두 점 P , Q 가 점 C에서 출발하여  초      가 되는 순간, 선분 PQ 를 한 변으로 하고 사분원 OAB 에 내접하는 직사각형의 넓이를

    라 하자. 출발한 지  초가 되는 순간, 넓이     의 시간(초)에 대한 변화율은?

[4점][2011(가) 3월/교육청 20]

① 

 



^

 ② 

 



^

 ③ 



^  



④ 



^  

 ⑤ 



^



41

41그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 O , 길이가  인 시 침의 끝점을 P , 길이가  인 분침의 끝점을 Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 넓이를  라 하자.  시 정각이 되는 순간, 넓이  의 시간(분)에 대 한 순간변화율은 

 이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로 소인 자연수이고, 세 점 O  P  Q 가 일직선 위에 있는 경우는    으 로 한다.)

[4점][2010(가) 7월/교육청 30]

시간에 대한 각의 변화율

유형 7

핵심노트

42

42지점 O 와 지점 E 사이의 거리는 m 이다. 오 른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O 에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반직선 OS 를 따라 초속

 m 의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발 한 지  초가 되는 순간 지점 E 에서 출발하여 선분 OE 에 수직인 반직선 EN 을 따라 초속

 m 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 OE 가 만나 서 이루는 각을  (라디안)라 할 때, 갑이 출발 한 지  초가 되는 순간  의 변화율은?

[4점][2006(가) /수능(홀) 29]

① 

 라디안/초 ② 

 라디안/초

③ 

 라디안/초 ④ 

 라디안/초

⑤ 

 라디안/초

2 ^{속도와 거리}

평면운동에서 점이 움직인 거리

유형 1

핵심노트

43

43좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각  에서의 위치  가



  cos   sin 

  cos ^ ≤  ≤ 이다.

점 P가   에서   까지 움직인 거리 (경과 거리)를  라 할 때,

^의 값을 구하시오.

[4점][2010(가) /수능 30]

44

44양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 좌 표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각  ≥ 에서의 위치  가



^{   ln }  

이다. 점 P 가 점  로부터 움직인 거리가  가 될 때, 시각  는

  

 



^^ 

이고,   일 때, 점 P 의 속도는



^{ }





^{이다. 시각}

  일 때 점 P 의 가속도를



^{ }

 



라 할 때,  의 값을 구하시 오.

[4점][2016(가) 6월/평가원 29]

곡선의 길이(2)

유형 4

핵심노트

45

45실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고    ,   



^ 을 만족시키는 모든 함수  에 대하여









^   ′^   의 최솟

값은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 27]

①



^ ②  ③  



^

④



^ ⑤  



^

46

46  에서   까지 곡선   

^ 의 길이를 구하시오.

[4점][2008(가) /수능(홀) 30]

Ⅲ

Ⅲ

Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ

공간도형과

공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표

1. 공간도형

2. 공간좌표

1 ^{위치 관계}

공간도형의 위치 관계

유형 1

핵심노트

47

47정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이라 하자. 직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos   

 이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연 수이다.)

[4점][2011(가) 10월/교육청 30]

48

48정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를

  이라 하자. 예를 들어    ,      이다.

정삼각기둥 정사각기둥 이때,



  



  의 값을 구하시오.

[4점][2007(가) 10월/교육청 20]

49

49그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가  인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가  이고 높이가  인 원뿔이 평면  위에 놓여 있고, 원뿔의 밑 면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면  와 만나는 원기 둥의 밑면의 중심을 O , 원뿔의 꼭짓점을 A 라 하자. 중심이 B이고 반 지름의 길이가  인 구  가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구 S 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 A , B의 평면  위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때, ∠A′OB′   이다.

직선 AB와 평면  가 이루는 예각의 크기를  라 할 때,

tan    이다.   의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.)

공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형

1 1

1

1

1 1

1

50

50그림과 같이 반지름의 길이가 모두



^ 이고 높이가 서로 다른 세 원기 둥이 서로 외접하며 한 평면  위에 놓여 있다. 평면  와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R라 할 때, 삼각형 QPR는 이 등변삼각형이고, 평면 QPR와 평면  가 이루는 각의 크기는 °이다.

세 원기둥의 높이를 각각 , ,  라 할 때,    의 값을 구하시오.

(단, ＜＜ )

[4점][2009(가) /수능 24]

P Q

R



삼수선의 정리

유형 2

핵심노트

51

51그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 

인 두 평면

와 가 있고, 평면  위의 점 A 와 평면  위의 점 B가 있다. 두 점 A B에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D라 하자.

AB  AD 



^ 이고 직선 AB와 평면 가 이루는 각의 크기가 



일 때, 사면체 ABCD 의 부피는   



^ 이다.     의 값을 구하 시오. (단,  는 유리수이다.)

[4점][2016(가) 9월/평가원 29]

여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기

유형 5

핵심노트

52

52그림과 같이 AB  AD  인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다.

선분 AB 위의 점 E와 선분 DC 위의 점 F 를 연결하는 선을 접는 선 으로 하여, 점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이 를 접었다. AE 일 때, 두 평면 AEFD와 EFCB가 이루는 각의 크 기가  이다.  cos  의 값을 구하시오. (단,     

이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[4점][2013(가) /수능 28]

53

53같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 , , 이 있다. 직선

 위의 두 점  , , 직선  위의 점 , 직선  위의 점  가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AB  



^ , CD   (나) AC ⊥, AC   (다) BD ⊥, BD  



^

두 직선 , 을 포함하는 평면과 세 점 A , C, D를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를  라 할 때, tan^ 의 값을 구하시오.



단     





[4점][2010(가) 9월/평가원 25]

54

54반지름의 길이가  인 구의 중심 O 를 지나는 평면을  라 하고, 평면

 와 이루는 각이  인 평면을  라 하자. 평면  와 구가 만나서 생 기는 원을 _, 평면  와 구가 만나서 생기는 원을 _라 하자. 원 _ 의 중심 A 와 평면  사이의 거리가 



^

일 때, 그림과 같이 다음 조 건을 만족하도록 원  위에 점 P , 원  위에 두 점 Q , R 를 잡는 다.

(가) ∠QAR  °

(나) 직선 OP 와 직선 AQ 는 서로 평행이다.

평면 PQR 와 평면 AQPO 가 이루는 각을  라 할 때, cos^  

 이 다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 30]

2 ^정사영

두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이

유형 3

핵심노트

55

55한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 와 밑면의 반지름의 길이가



^ 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 ABCD 에 포함되고 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자.

평면 AEGC가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN , 평면 BFHD가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 PQ 라 할 때, 삼각형 MPQ 의 평면 DEG 위로의 정사영의 넓이는 





^ 이다. ^ ^의 값을 구하시오.

(단,  ,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 7월/교육청 30]

A

B

E

F

D

C

H

G Q P

M N

56

56그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를    로 내분하는 점을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?



단,     





[4점][2012(가) 7월/교육청 21]

A

D

C B

P

① 



^

② 



^

③ 



^

④ 



^

⑤ 



^

57

57그림과 같이 평면  위에 점 A 가 있고, 로부터의 거리가 각각   인 두 점 B C가 있다. 선분 AC를   로 내분하는 점 P에 대하여

BP  이다. 삼각형 ABC의 넓이가 9일 때, 삼각형 ABC의 평면  위로의 정사영의 넓이를 라 하자. ^의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 9월/평가원 29]

두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각

유형 4

핵심노트

58

58그림과 같이 반지름의 길이가  인 구  와 서로 다른 두 직선  ,  이 있다. 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼각형 APQ 는 한 변의 길이가 



^ 인 정삼각형이고 AB 



^ ,

∠ABQ  

일 때 평면 APB 와 평면 APQ 가 이루는 각의 크기  에

대하여  cos^ 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 7월/교육청 29]



 A

B

P Q



복잡한 도형의 정사영의 넓이

유형 6

핵심노트

59

59그림과 같이 평면  위에 ∠A  

, AB AC 



^ 인 삼각형 ABC가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A 에서 접한다. 세 직선 OA , OB, OC와 구의 교점 중 평면 까지 의 거리가 보다 큰 점을 각각 D, E, F 라 하자. 삼각형 DEF 의 평면 OBC 위로의 정사영의 넓이를  라 할 때, ^의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 7월/교육청 30]

A

B

C O

D F E



부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이

유형 7

핵심노트

60

60반지름의 길이가 인 반구가 평면  위에 놓여 있다. 반구와 평면  가 만나서 생기는 원의 중심을 O 라 하자. 그림과 같이 중심 O 로부터 거 리가 



^ 이고 평면  와 °의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면  위로의 정사영의 넓이는



^    이다.    의 값을 구하시오. (단, ,  는 자연수이다.) [4점][2007(가) 9월/평가원 24]

61

61그림과 같이 반지름의 길이가  인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가  인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽 면과 지면의 교선  과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선  까지 거리의 최댓값을  라하고, 지면에 생기는 공의 그림 자 위의 점에서 교선  까지 거리의 최댓값을  라 하자. 옳은 것만을

<보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2009(가) 9월/평가원 15]

ㄱ. 그림자와 교선  의 공통부분의 길이는  이다.

ㄴ.   ° 이면    이다.

ㄷ. 

^

  

^

 

^



< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

62

62서로 수직인 두 평면   의 교선을  이라 하자. 반지름의 길이가  인 원판이 두 평면   와 각각 한 점에서 만나고 교선  에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면  와 °의 각을 이루면서 원판의 면에 수 직으로 비출 때, 그림과 같이 평면  에 나타나는 원판의 그림자의 넓이 를  라 하자.  의 값을   



^  라 할 때,    의 값을 구하시오.

(단,   는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)

[4점][2006(가) 9월/평가원 25]

태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이

유형 8

핵심노트

63

63그림과 같이 중심 사이의 거리가



^ 이고 반지름의 길이가 인 두 원 판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면 과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가  이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면

에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.)

[4점][2011(가) /수능 11]

① 



^

  

 ② 

  



^

③ 





^

  

 ④ 

  



^

⑤ 





^

  



64

64그림과 같이 태양광선이 지면과 °의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 인 원 모양의 구 멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광선 과 °의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를  라 하자.  의 값을





^    

라 할 때,    의 값을 구하시오. (단, ,  는 정수이고 판의 두께는 무시한다.)

[4점][2008(가) 9월/평가원 25]

정사면체의 활용

유형 9

핵심노트

65

65중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구에 내접하는 정사면체 ABCD가 있다. 두 삼각형 BCD , ACD 의 무게중심을 각각 F , G 라 할 때, <보 기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2008(가) 9월/평가원 12]

ㄱ. 직선 AF 와 직선 BG 는 꼬인 위치에 있다.

ㄴ. 삼각형 ABC의 넓이는 





^

보다 작다.

ㄷ. ∠AOG   일 때, cos  

 이다.

< 보 기 >

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2 선분의 내분점과 외분점

선분의 내분점과 외분점

유형 1

핵심노트

66

66좌표공간에서 두 점    ,     를 이은 선분  를

   로 외분하는 점의 좌표가     일 때,    의 값은?

[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

공간도형의 무게중심

유형 2

핵심노트

67

67그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 ABCD  EFGH 에서 A    , E   , F    , H    이다.

점 M    과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 P 에 대하여 직선 MP 가  평면과 만나는 점을 Q 라 하자. 이때, 선분 MQ 의 길이의 최댓값은?

[4점][2009(가) 10월/교육청 9]

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표

2

2

2

2

2 2

2

3 ^{구의 방정식}

구의 방정식

유형 1

핵심노트

68

68좌표공간에 구   ^ ^ ^ 과 점 P   가 있다.

다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의 평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을 

라 하자.   의 값을 구하시오. (단, 와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015(B) /수능 29]

(가) 원 는 점 P 를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.

(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.

69

69좌표공간에서  평면,  평면,  평면은 공간을  개의 부분으로 나

구의 위치 관계

유형 2

핵심노트

70

70다음 조건을 만족하는 점 P 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레의 길 이는?

[3점][2008(가) 9월/평가원 9]

좌표공간에서 점 P 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 두 개의 구

^ ^ ^ 

  ^   ^   ^  에 동시에 외접한다.

① 





^

 ②



^  ③ 





^



④ 



^  ⑤ 





^



71

71평면 에 수직인 직선 을 경계로 하는 세 반평면 , , 가 있다. ,

가 이루는 각의 크기와 , 가 이루는 각의 크기는 모두  이다.

그림과 같이 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접하고, 반 지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접한다.

72

72그림과 같이 평면  위에 놓여 있는 서로 다른 네 구  , _, _, _ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  의 반지름의 길이는 3이고, _, _, _의 반지름의 길 이는 1이다.

(나) _, _, _은 모두  에 접한다.

(다) _은 _와 접하고, _는 _과 접한다.

, , 의 중심을 각각 O_, O_, O_이라 하자. 두 점 O_, O_를 지나고 평면  에 수직인 평면을  , 두 점 O_, O_을 지나고 평면  에 수직인 평면이 과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면  위로의 정사영의 넓이를 

 라 할 때,    의 값을 구하시오.

(단, 와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 9월/평가원 29]

구의 방정식의 활용

유형 4

핵심노트

73

73좌표공간에서 구     ^   ^   ^  위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 에서 구  에 접하는 평면이 구 ^ ^ ^ 

과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은   



^ 이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 자연수이다.)

[4점][2012(가) 9월/평가원 27]

74

74두 구 ^ ^ ^ , ^   ^ ^  을 각각 _ _라 하 자. 두 구 _, _가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P 라 하고, 점 P 의  평면 위로의 정사영을 P′이라 하자. 구 _과  축이 만나는 점 을 각각 Q R 라 할 때, 사면체 PQP′R의 부피의 최댓값을 구하시오.

[4점][2006(가) 수능(홀) 21]

75

75좌표공간에서  축을 포함하고  평면과 이루는 각의 크기가





^{    }





인 평면을  라 하자.

평면  가 구 ^ ^ ^ 과 만나서 생기는 도형의  평면 위로 의 정사영이 영역   ∣     ≤  에 포함되도록 하는  에 대하여 cos  의 최댓값을  이라 하자.  ^의 값을 구하시오.

[4점][2010(가) /수능 25]

Ⅳ

Ⅳ

Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ

공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터

1. 공간벡터

2. 도형의 방정식

1 ^공간벡터

공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기

유형 1

핵심노트

76

76다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.

A_A_ 



^ 이고, 점 P 가 모서리 A_B_의 중점일 때, 벡터

  







^PAi PB_



의 크기를 구하시오.

[3점][2009(가) 9월/평가원 20]

구의 벡터의 크기

유형 2

핵심노트

77

77그림과 같이 평면  위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있고, 반지름의 길이가 인 구  는 점 A 에서 평면 에 접한다. 구  위의 점 D 에 대하여 선분 AD 가 구  의 중심 O를 지날 때,

AB DC ^의 값을 구하시오.

[4점][2007(가) /수능(홀) 24]

공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터

1 1

1

1

1 1

1

공간벡터의 위치벡터

유형 4

핵심노트

78

78좌표공간의 점 A   과 중심이 원점 O인 구 ^ ^ ^  위 를 움직이는 점 P 에 대하여



^

 OA  

 OP



^{의 최댓값은}

  



^ 이다.     의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.) [4점][2009(가) /수능 22]

2 ^{공간벡터의 내적}

공간벡터의 내적

유형 1

핵심노트

79

79좌표공간에서 네 점 A_, A_, A_, A_이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) A_A_  A_A_   (나) 

 A_A_∙



^{AA }

 A_A_



^{ cos }

  

 (    )

A_A_의 최댓값을  이라 할 때, ^의 값을 구하시오.

[4점][2012(가) 9월/평가원 29]

공간벡터의 내적의 연산의 활용

유형 6

핵심노트

80

80한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD에서 삼각형 ABC의 무게중 심을 O , 선분 AD 의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OQ 와 OP 가 서로 수직일 때,

^PQ_{의 최댓값은 }



 이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 서로소 인 자연수이다.)

[4점][2017(가) 수능 29]

성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소

유형 7

핵심노트

81

81중심이 C 이고 반지름의 길이가  인 구와 구 위의 한 점 A 가 있다.

구 밖의 한 점 B 를 AB  이고 CB  가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA  BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[4점][2012(가) 10월/교육청 28]

82

82좌표공간에서 두 점 A   , B     에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OA ∙ OP  , ^OP  (나) AB∙ BQ  , ^BQ 

OP ∙ AQ 의 최댓값이   



^ 일 때, 두 유리수 ,  에 대하여 

의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 29]