수와
수와 연산 연산(3) (3) 수와
수와 연산 연산(3) (3)
4. 집합과 논리
• 비유클리드 기하학과 해석학의 발전
기하학적 직관의 취약점
• 19세기 수학의 기초를 산술에서 찾으려 함
• 집합의 개념으로부터 모든 수학의 개념을 정의하고 구성 할 수 있음
함수도 집합으로 정의됨
• p이면 q이다: 집합의 포함 관계로 설명 가능
자연수 개념과 집합론
• 기수: 수를 집합에 대응. ‘대등’이라는 동치 관계에 대한 동 치류로 자연수를 정의
– M∪{x}의 기수로 m+1 정의
• 서수: 전체 자연수 체계를 생성하는 속성을 강조. 개별 자연 수의 구체적인 의미 상실. 형식주의
수의 구체적인 의미 상실. 형식주의
– 페아노의 공리계: 다음을 만족하는 집합 N이 존재한다. 이때 집합 N의 원소를 자연수라 한다.
• 0은 N의 원소이다
• N의 모든 원소 n에 대하여 n의 후자라고 불리는 원소 n+가 유일하게 존재 한다.
• 0은 N의 어떠한 원소의 후자도 아니다.
• N의 원소 m, n에 대하여 m+=n+이면 m=n
• 0을 포함하는 N의 부분집합 P에 속하는 모든 원소 n의 후자 n+가 다시 P 에 속하면 P=N
• 논리적 측면에서는 서수보다 기수적 측면이 더 기본
- 일대일 대응의 관계는 순서 구조를 전제하지 않아도 됨
• 새수학: 기수적 측면
• 아동은 서수가 자연스러울 수 있음.
• 수 개념의 파악(Piaget) – 새 수학에 영향(기수 개념 강조)
자연수 개념과 집합론
• 수 개념의 파악(Piaget) – 새 수학에 영향(기수 개념 강조)
– Verbal counting: 수 세기를 할 수 있지만 몇 개인지 모름. 보존 개념 의 결여
– 수 개념의 획득 준거: ① 두 집합의 대등성을 일대일 대응에 의해 판단, ② 두 집합의 대등성이 원소의 배열과 무관하게 보존됨.
– 기수적 측면과 서수적 측면 모두를 포괄하고 종합해야
– 집합의 결합과 분해, 순서 짓기, 짝짓기 등의 활동으로 자연수 지도 하는 것이 바람직
실무한
• 아리스토텔레스: 실무한 vs. 잠재적 무한
– 실무한: 무한을 존재하는 실체로 여김, 칸토르의 transfinite(초한) – 잠재적 무한(가능적 무한, 가무한): 계속 그것을 향해가는 것만 생
각하여 가능성으로만 여기는 무한
• 학교수학의 극한: 무한히 가까이 가는 과정 & 그 과정이
• 학교수학의 극한: 무한히 가까이 가는 과정 & 그 과정이 구현된 결과인 극한값
• 극한 개념이 정의되지 않은 상태에서 0.9999…=1
– NCTM은 무한등비급수 개념을 이용하여 증명할 것을 권고
실수
• 무리수: 순환하지 않는 무한소수 실수: 무한소수
– 루트 2는 정수가 아니지만 제곱하면 정수가 되므로 유리수가 아 니다
– 무한수열의 극한 개념이 없이 무한소수 개념이 직관적으로 사용 됨
• 실수의 정의 방법
• 실수의 정의 방법
– 같은 값에 수렴하는 두 유리수열을 동치인 것으로 보면, 실수는 수렴하는 유리수열의 동치류
– Dedekind의 절단
• 실수는 체(field)의 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하 는 집합
• 부르바키의 모구조: 대수적 구조, 순서 구조, 위상적 구조
• 학교수학에서 실수가 도입되는 방식
– 실수의 기본 성질을 받아들여 몇몇 연산의 성질을 연역(공리적) – 무한소수로 정의(구성적)
– 공리적 방법과 구성적 방법이 절충되어 있음
• 교과서에서의 무리수 개념
– 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 무한소수의 형태
– 유한소수로 나타낼 수 없는 모든 유리수는 항상 순환소수로 나타 낼 수 있다
– 유한소수 또는 순환소수는 항상 분수로 나타낼 수 있다.
실수
– 유한소수 또는 순환소수는 항상 분수로 나타낼 수 있다.
– 유리수가 아닌 수의 존재는 ‘순환소수로 나타낼 수 없는 무한소 수’가 존재한다는 것을 보임으로써, 무리수 존재. 직관적으로 다룰 수 밖에(9학년).
– 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합이 실수의 집합
5. 수와 연산에서 계산기의 사용
• 제곱근의 계산
• 계산기의 활용 방안
– 길고 복잡한 계산을 계산기에 맡겨 개념 학습에 집중하게 한 다.
– 계산기의 즉각적인 피드백을 활용하여 자신의 추측을 정당화 하게 한다.
– 상황과 문제를 더 복잡하고 실제적인 방식으로 모델화한다.
