5 -나
3 도형의 합동
합동인 도형 알아보기
여러 가지 모양이 있는 모양자로 합동인 도형을 그 려 보시오.
•
서로 합동인 도형이라고 생각되는 것을 써 보시 오. 가와 사, 나와 카, 다와 바, 라와 자, 마와 타, 아와 차•
투명 종이로 본을 떠서 확인하여 보시오.합동인 도형을 찾아보시오.
수학 익힘책 39쪽 수학 익힘책 40쪽
가 나
카
다 라
자 마
타
바 사
아
차
똑같은 도형을 그리 면 됩니다.
모양뿐만 아니라 크기도 같아야 합니다.
도형의 합동
3
수학 익힘책
수 학 익 힘 책 합동인 도형 만들기
왼쪽 도형과 합동인 도형을 그려 보시오.
점선을 따라 잘랐을 때, 합동이 되는 것을 찾아보시 오.
점선을 따라 잘랐을 때, 잘린 두 도형이 합동이 되 는 점선을 찾아보시오.
수학 익힘책 41쪽 수학 익힘책 42쪽
11⁄옮기기
11⁄뒤집기
11⁄돌리기
합동이 되는 점선을 찾아보면 다음과 같습니다.
•원의 경우 가와 다 점선으로 자르면 자른 도형이 합동이 되 지만 나 점선으로 자르면 자른 도형은 합동이 되지 않습니다.
•정사각형의 경우 라 점선을 따라 자르면 자른 도형은 합동이 되지만 마, 바, 사 점선으로 자르면 자른 도형은 합동이 되지 않습니다.
참고
원은 원의 중심을 지나는 직선으로 자르면 두 도형은 모두 합 동이 되고, 직사각형과 정사각형은 두 대각선이 만나는 점을 지 나는 직선으로 자르면 두 도형은 합동이 됩니다.
•
잘린 두 도형이 합동이라고 생각되는 것을 써 보 시오. ㉯, ㉰, ㉱, ㉲•
투명 종이로 본을 떠서 확인하여 보시오.㉮ ㉯ ㉰
㉱ ㉲ ㉳
가, 다 라
가
다 나
라
마 바
사
수학 익힘책 43쪽 수학 익힘책 44쪽
두 사각형은 합동입니다. 대응점, 대응변, 대응각을 찾아보시오.
합동인 도형의 성질 알아보기
두 삼각형은 합동입니다. 대응점, 대응변, 대응각을 찾아보시오.
•
대응점을 찾아보시오.•점 ㄹ과 `` 점 ㅁ과 ``
점 ㅂ과
•
대응변을 찾아보시오.•변 ㄱㄴ과 변 ㄴㄷ과
•변 ㄹㅁ과
•
대응각을 찾아보시오.•각 ㄱㄴㄷ과
•각 ㄹㅁㅂ과
•각 ㅂㄹㅁ과
•
대응점, 대응변, 대응각은 각각 몇 쌍씩 있습니까?3`쌍씩 있습니다.
각 ㄴㄱㄷ 각 ㄱㄷㄴ 각 ㄹㅂㅁ 변 ㄱㄷ
변 ㅂㅁ 변 ㄹㅂ
점 ㄴ
점 ㄷ 점 ㄱ
ㄱ
ㄴ ㄷ
ㄹ
ㅁ ㅂ
•
대응점을 찾아보시오.•점 ㄹ과 점 ㅁ과
•점 ㅇ과 점 ㅅ과
•
대응변을 찾아보시오.•변 ㄱㄴ과 변 ㄴㄷ과
•변 ㄷㄹ과 변 ㄹㄱ과
•
대응각을 찾아보시오.•각 ㅁㅂㅅ과
•각 ㅂㅅㅇ과
•각 ㅅㅇㅁ과
•각 ㅇㅁㅂ과
•
대응점, 대응변, 대응각은 각각 몇 쌍씩 있습니까?4`쌍씩 있습니다.
각 ㄴㄱㄹ 각 ㄷㄴㄱ 각 ㄹㄷㄴ 각 ㄱㄹㄷ
변 ㅂㅁ 변 ㅅㅂ
변 ㅇㅅ 변 ㅁㅇ
점 ㄷ 점 ㄴ
점 ㄱ 점 ㅂ
ㄱ
ㄴ
ㄷ ㄹ
ㅁ
ㅇ
ㅂ ㅅ
삼각형 ㄱㄴㄷ을 오른쪽으로 뒤집으면 삼각형 ㄹㅂㅁ과 포개어지므로 겹쳐지는 점을 살펴보면 점 ㄱ과 점 ㄹ, 점 ㄴ과 점 ㅂ, 점 ㄷ과 점 ㅁ이 됩니다.
사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 오른쪽으로 뒤집으면 사각형 ㅁㅇㅅㅂ 과 포개어지므로 겹쳐지는 점을 살펴보면 점 ㄱ과 점 ㅁ, 점 ㄴ 과 점 ㅇ, 점 ㄷ과 점 ㅅ, 점 ㄹ과 점 ㅂ이 됩니다.
사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 오른쪽으로 뒤집으면 사각형 ㅁㅇㅅㅂ 과 포개어지므로 겹쳐지는 변을 살펴보면 변 ㄱㄴ과 변 ㅁㅇ, 변 ㄴㄷ과 변 ㅇㅅ, 변 ㄷㄹ과 변 ㅅㅂ, 변 ㄹㄱ과 변 ㅂㅁ이 됩니다.
사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 오른쪽으로 뒤집으면 사각형 ㅁㅇㅅㅂ 과 포개어지므로 겹쳐지는 각을 살펴보면 각 ㄱㄴㄷ과 각 ㅁㅇ ㅅ, 각 ㄴㄷㄹ과 각 ㅇㅅㅂ, 각 ㄷㄹㄱ과 각 ㅅㅂㅁ, 각 ㄹㄱㄴ 과 각 ㅂㅁㅇ이 됩니다.
합동인 사각형에서 대응점, 대응변, 대응각은 각각4`쌍씩 있음을 알 수 있습니다.
삼각형 ㄱㄴㄷ을 오른쪽으로 뒤집으면 삼각형 ㄹㅂㅁ과 포개어지므로 겹쳐지는 변을 살펴보면 변 ㄱㄴ과 변 ㄹㅂ, 변 ㄴㄷ과 변 ㅂㅁ, 변 ㄱㄷ과 변 ㄹㅁ이 됩니다.
삼각형 ㄱㄴㄷ을 오른쪽으로 뒤집으면 삼각형 ㄹㅂㅁ과 포개어지므로 겹쳐지는 각을 살펴보면 각 ㄱㄴㄷ과 각 ㄹㅂㅁ, 각 ㄱㄷㄴ과 각 ㄹㅁㅂ, 각 ㄴㄱㄷ과 각 ㅂㄹㅁ이 됩니다.
합동인 삼각형에서 대응점, 대응변, 대응각은 각각3`쌍씩 있음을 알 수 있습니다.
수 학 익 힘 책
두 삼각형은 합동입니다. 대응변의 길이와 대응각의 크기를 구하시오.
두 사각형은 합동입니다. 대응변의 길이와 대응각의 크기를 구하시오.
합동인 삼각형 그리기
자와 컴퍼스를 사용하여, 다음과 같은 삼각형을 그 려 보시오.
•
세 변의 길이가 각각 3`cm, 4`cm, 5`cm인 삼각형수학 익힘책 45쪽 수학 익힘책 46쪽
두 도형이 합동이면 대응변의 길이와 대응각의 크기는 각 각 같습니다.
•대응변을 살펴보면 변 ㄱㄴ과 변 ㄹㅂ, 변 ㄱㄷ과 변 ㄹㅁ, 변 ㄴㄷ과 변 ㅂㅁ입니다.
변 ㄱㄷ의 길이가8`cm이므로 대응변인 변 ㄹㅁ의 길이도 8`cm입니다. 변 ㄴㄷ의 길이가4`cm이므로 대응변인 변 ㅂ ㅁ의 길이도4`cm입니다.
•대응각을 살펴보면 각 ㄱㄴㄷ과 각 ㄹㅂㅁ, 각 ㄴㄷㄱ과 각 ㅂㅁㄹ, 각 ㄷㄱㄴ과 각 ㅁㄹㅂ입니다.
각 ㄱㄴㄷ의 크기가90°이므로 대응각인 각 ㄹㅂㅁ의 크기 도90°입니다. 각 ㄷㄱㄴ의 크기가30°이므로 대응각인 각 ㅁㄹㅂ의 크기도30°입니다. 각 ㄴㄷㄱ의 크기가
180°-(90°+30°)=60°이므로 대응각인 각 ㅂㅁㄹ의 크기 도60°입니다.
•
삼각형 ㄹㅁㅂ에서 각 변의 길이를 구하시오.•
변 ㄹㅁ의 길이•
변 ㅁㅂ의 길이•
각의 크기를 구하시오.•
각 ㄹㅂㅁ의 크기•
각 ㅂㅁㄹ의 크기•
각 ㅁㄹㅂ의 크기 30°60°
90°
4`cm 8`cm ㄱ
ㄴ
ㄷ 30°
ㅂ ㄹ
ㅁ 8cm
4cm
ㄱ ㄹ
ㄴ ㄷ
100°
80° 60°
6cm 10cm
ㅁ ㅇ
ㅂ ㅅ
•
변 ㅁㅂ과 변 ㅁㅇ의 길이를 구하시오.변 ㅁㅂ의 길이：`10`cm, 변 ㅁㅇ의 길이：6`cm
•
각 ㅁㅂㅅ과 각 ㅅㅇㅁ의 크기를 구하시오.각 ㅁㅂㅅ의 크기：`80°, 각 ㅅㅇㅁ의 크기：`120°
•
세 변의 길이가 각각 4.5`cm, 4.5`cm, 6`cm인 삼각형•
한 변의 길이가 4`cm인 정삼각형← 삼각형의 세 각의 크기 의 합은180°입니다.
← 사각형의 네 각 의 크기의 합은 360°입니다.
•
두 변의 길이가 각각 5`cm, 5.5`cm이고, 그 사이의 각이 100°인 삼각형자와 각도기를 사용하여, 다음과 같은 삼각형을 그 려 보시오.
수학 익힘책 47쪽 수학 익힘책 48쪽
•
한 변의 길이가 4.5`cm이고, 그 양 끝각의 크기가 각각 70°, 60°인 삼각형자와 각도기를 사용하여, 다음과 같은 삼각형을 그 려 보시오.
•
한 변의 길이가 5`cm이고, 그 양 끝각의 크기가 각 각 45°인 삼각형•
한 변의 길이가 3`cm이고, 그 양 끝각의 크기가 각 각 50°, 40°인 삼각형•
두 변의 길이가 각각 6`cm, 4.5`cm이고, 그 사이의 각이 직각인 삼각형•
두 변의 길이가 각각 4`cm이고, 그 사이의 각이 120°인 삼각형수 학 익 힘 책
세 삼각형의 각의 크기와 변의 길이를 재어 보시오. 다음과 합동인 삼각형을 각각 다른 방법으로 그려 보시오.
수학 익힘책 49쪽 수학 익힘책 50쪽
•
세 변의 길이를 이용한 방법•
두 변의 길이와 그 사이의 각의 크기를 이용한 방 법•
세 삼각형의 각의 크기를 재어 보고, 크기가 같은 각을 찾아보시오.•60°：각 ㄱㄴㄷ과 각 ㅅㅈㅇ
•85°：각 ㄴㄷㄱ과 각 ㅈㅇㅅ
•35°：각 ㄴㄱㄷ과 각 ㅁㄹㅂ과 각 ㅇㅅㅈ
•
세 삼각형의 변의 길이를 재어 보고, 변의 길이가 같은 삼각형을 찾아보시오.삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㅅㅇㅈ
•
합동인 삼각형을 찾아보시오.삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㅅㅇㅈ
•
대응하는 각의 크기와 변의 길이가 같은 삼각형을 그리면 합동인 삼각형이 됩니까?합동인 삼각형이 됩니다.
4.3cm
3.8cm
2.5cm
ㄱ
ㄴ
ㄷ 60° 85°
35°
2.5cm 4.3cm 3.8cm
ㅅ
ㅇ
60° ㅈ 35°
85°
ㄹ
ㅁ
ㅂ 4.3cm
2.5cm 3.9cm
65°
80°
35° 한 변의 길이가 5`cm인 정삼각형
•
한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 이용한 방법세 삼각형의 각의 크기를 알아보면 다음과 같습니다.
삼각형 ㄱㄴㄷ：35°, 60°, 85°
삼각형 ㄹㅁㅂ：35°, 65°, 80°
삼각형 ㅅㅇㅈ：35°, 60°, 85°
세 삼각형의 세 변의 길이를 알아보면 다음과 같습니다.
삼각형 ㄱㄴㄷ：3.8`cm, 2.5`cm, 4.3`cm 삼각형 ㄹㅁㅂ：4.3`cm, 2.5`cm, 3.9`cm 삼각형 ㅅㅇㅈ：3.8`cm, 2.5`cm, 4.3`cm 즉, 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㅅㅇㅈ은 합동입니다.
대응하는 각의 크기와 변의 길이가 같은 삼각형을 그리면 합동이 됩니다.
삼각형이 합동이 되는 조건
① 세 변의 길이가 같을 때
② 두 변의 길이와 그 사이의 각의 크기가 같을 때
③ 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같을 때
수학 익힘책 51쪽 수학 익힘책 52쪽
다음과 합동인 사각형을 각각 다른 방법으로 그려 보시오.
자, 각도기, 컴퍼스를 사용하여, 다음과 같은 삼각형 을 각각 다른 방법으로 그려 보시오.
한 변의 길이가 4.5`cm인 정사각형
자, 각도기, 컴퍼스를 사용하여, 다음과 합동인 사각 형을 그려 보시오.
4cm 4cm
3cm 3cm
60°
120° 60°
120°
4cm
1.5cm 3cm 30°
수 학 익 힘 책
6
점 ㄹ의 대응점은 어느 것입니까? 점 ㅁ7
변 ㅁㅂ의 길이는 얼마입니까? 6`cm8
각 ㅂㅅㅇ의 크기는 얼마입니까? 65°2
점 ㄱ의 대응점：점 `3
변 ㄱㄴ의 대응변：변 ``4
각 ㄱㄷㄴ의 대응각：각 ``5
두 삼각형이 다음과 같을 때, 서로 합동이 되는 것 을 찾아 `◯`표 하시오.( ◯` ) 넓이가 서로 같을 때 ( ◯` ) 둘레의 길이가 서로 같을 때 ( ◯` ) 세 변의 길이가 각각 같을 때
( ◯` ) 두 변의 길이와 그 사이의 각의 크기가 각 각 같을 때
( ◯` ) 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때
ㄹㅂㅁ ㄹㅁ ㄹ
점 ㄱ과 겹쳐지는 점은 점 ㄹ이므로 점 ㄱ의 대응점은 점 ㄹ입니다.
사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 오른쪽으로 뒤집었을 때 사각형 ㅁㅂ ㅅㅇ과 포개어집니다.
점 ㄹ과 겹쳐지는 점은 점 ㅁ이므로 점 ㄹ의 대응점은 점 ㅁ입 니다.
변 ㅁㅂ과 겹쳐지는 변은 변 ㄹㄷ이므로 변 ㅁㅂ의 길이 는6`cm입니다.
각 ㅂㅅㅇ과 겹쳐지는 각은 각 ㄷㄴㄱ이므로 각 ㅂㅅㅇ의 크기는65°입니다.
변 ㄱㄴ과 겹쳐지는 변은 변 ㄹㅁ이므로 변 ㄱㄴ의 대응 변은 변 ㄹㅁ입니다.
각 ㄱㄷㄴ과 겹쳐지는 각은 각 ㄹㅂㅁ이므로 각 ㄱㄷㄴ의 대응각은 각 ㄹㅂㅁ입니다.
삼각형에서 합동인 삼각형을 그리는 조건을 살펴보면 세 변의 길이가 각각 같을 때, 두 변의 길이와 그 사이의 각의 크 기가 각각 같을 때, 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때입니다.
두 삼각형은 합동입니다. 대응점, 대응변, 대응각을 알아보시오.
두 사각형은 합동입니다.
9
세 변의 길이가 2`cm, 3`cm, 4`cm`인 삼각형자, 각도기, 컴퍼스를 사용하여 삼각형을 그려 보시 오.
1
그림과 같이 점선을 따라 종이를 잘랐을 때, 잘린 두 도형이 서로 합동이 되는 것에◯`표 하시오.10
한 변의 길이가 3`cm`이고, 그 양 끝각의 크기가 45°, 60°인 삼각형수학 익힘책 54쪽
( ◯` ) ( ◯` ) ( ◯` ) ( ◯` )
ㄱ
ㄴ ㄷ
ㄹ
ㅁ ㅂ
8cm ㄱ
ㄴ ㄷ
ㄹ
ㅇ
ㅂ ㅅ
ㅁ
65° 80°
5cm 6cm
수학 익힘책 53쪽
8문제보다 많이 맞힌 사람은좀더 알아보기를 공부하시오.
수학 익힘책 56쪽
투명 종이로 왼쪽 도형의 본을 떠서 합동인 도형을 찾아보시오.
자와 컴퍼스를 사용하여, 아래와 같은 방법으로 세 변의 길이가
3`cm
,4`cm
,5`cm
인 삼각형을 그려 보시오.두 삼각형은 합동입니다. 투명 종이로 본을 떠서 알 아보시오.
•점 ㄱ에 겹쳐지는 대응점은 어느 것입니까? 점 ㄹ
•변 ㄱㄴ에 겹쳐지는 대응변은 어느 변입니까?
변 ㄹㅁ
•각 ㄱㄴㄷ에 겹쳐지는 대응각은 어느 각입니까?
각 ㄹㅁㅂ 변 ㄱㄴ에 겹쳐지는 대응변은 변 ㄹㅁ이고, 변 ㄴㄷ에 겹 쳐지는 대응변은 변 ㅁㅂ이며, 변 ㄱㄷ에 겹쳐지는 대응변은 변 ㄹㅂ입니다.
` 각 ㄱㄴㄷ에 겹쳐지는 대응각은 각 ㄹㅁㅂ이고, 각 ㄴㄷㄱ 에 겹쳐지는 대응각은 각 ㅁㅂㄹ이며, 각 ㄷㄱㄴ에 겹쳐지는 대
점 ㄱ에 겹쳐지는 꼭지점은 점 ㄹ입니다.
ㄱ
ㄴ ㄷ
ㄹ
ㅁ ㅂ
1
3
2
4
4cm 3cm 5cm 4cm
3cm
4cm 3cm 4cm
5cm
자와 각도기를 사용하여, 아래와 같은 방법으로 두 변의 길이가 각각
5`cm
이고, 그 사이의 각이60
°인 삼각형을 그려 보시오.1
3
2
4
5cm
5cm 5cm
5cm 5cm
5cm
60°
수학 익힘책 55쪽
수 학 익 힘 책
자와 각도기를 사용하여, 다음과 같이 한 변의 길이 와 두 각의 크기가 주어진 삼각형과 합동인 삼각형 을 그릴 수 있는지 알아보시오.
•
합동인 삼각형을 그려 보시오.60°
70°
5cm
•
그린 삼각형을 가위로 오려 겹쳐 보시오.•
두 삼각형이 포개어집니까? 포개어집니다.•
한 변의 길이와 두 각의 크기만 알면, 항상 합동인 삼각형을 그릴 수 있습니까? 그릴 수 있습니다.준비물
2
의 도형판 조각을 이용하여, 다음의 도형을 만들어 보시오.•
7`조각을 이용하여, 위에 제시된 도형과 다른, 서 로 합동인 도형을 만들어 보시오.정삼각형을 가지고 합동인 삼각형이 될 수 있도록 나 누어 보시오.
수학 익힘책 58쪽
한 변의 길이와 두 각의 크기만 알면 나머지 한 각의 크기 도 알 수 있으므로 항상 합동인 삼각형을 그릴 수 있습니다.
합동인 삼각형 3`개 합동인 삼각형 4`개
수학 익힘책 57쪽
삼각형의 세 각의 크기의 합이180°임을 이용하여 나머지 각의 크기를 구합 니다.
