 조건부 확률

 조건부 확률

 조건부 확률

• 주어진 조건에 의해 실험의 확률값이 변할 수 있는 경우에 대한 확률

• 사건 A가 주어졌을 때(단, P(A) > 0)사건 B가 일어날 확률

 예제 3.7

 어느 대학의 통계학과 학생 150명 중에는 안경을 착용하는 학생이 100명 으로 남학생은 60명 중 40명이 착용하고 있다. 남학생인 사상을 M, 여학 생인 사상을 F, 안경을 착용한 학생을 G, 안경을 착용하지 않은 학생을

라 할 때 다음을 구하여라.

1) P(M | G) 2) P(F | )

통계학과 학생 150명의 분포상태를 표로 나타내면 다음과 같다.

GC

GC

남학생(M) 여학생(F) 계 40

20

60 30

100 50

계 60 90 150 0 6

50 30 150

50

150 30

) (

) ) (

| ( ) 2

4 100 0

40 150

100

150 40

) (

) ) (

| (

/ . / G

P

G F

G P F P

/ . / G

P

G M

G P M P

c c

c = = = =

=

=

=

=

 1) 

 조건부 확률의 계산 예

 예제

• 임의로 선택한 학생이 남학생일 때, 그 학생이 안경을 착용하고 있 을 확률은?

- 사건의 정의

M : 한 학생을 뽑았을 때 남학생인 사건

A : 한 학생을 뽑았을 때 안경을 착용한 사건

확률 : 1) 한 명 뽑은 학생은 남학생 → 2) 안경 착용 확률

100) ) 50

( 100 ,

) 30 (

( 6 . 5 0

. 0

3 . 0 )

(

) ) (

|

( = = = P A M = P M =

M P

M A

M P A

P  

1)

 예제 3.8

 동전을 두 번 던지는 실험에서 표본공간은 S = {HH,HT,TH,TT}이 다. A를 처음 던졌을 때 앞면인 사상이고, B를 두 번째 던졌을 때 뒷면인 사상이라면 A와 B는 독립인가?

① 사상 A = {HH, HT}, 사상 B = {HT, TT}, 사상 A∩B = {HT}

② ∴ P(A) = P(B) = 이므로 P(A∩B) = P(A)P(B)가 되어 사상 A와 B는 독립이다.

2 1

 곱셈법칙과 독립사건

 곱셈법칙

P(A) > 0, P(B) > 0 일 때,

P(A∩B) = P(A)P(B| A) = P(B)P(A | B)

★ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)

) (

) ) (

| (

) (

) ) (

| (

A P

B A

A P B

P

B P

B A

B P A

P





=

=

 곱셈법칙과 독립사건

 사건 A와 B가 서로 독립

• P(A∩B) = P(A)P(B)

• P(B | A) = P(B)

• P(A | B) = P(A)

• 독립이 아닌 사건을 종속

 곱셈법칙 계산 예

 예제

불량품이 20개이고 양호품이 80개인 제품에서 2개의 단순 랜덤 표본추출시 2개 모두 불량품일 확률

A : 첫 번째 제품이 불량품일 사건 B : 두 번째 제품이 불량품일 사건

99 100

19 20

2 100

2 20

×

= × P

P

 전확률공식

 전확률공식

사건 이 표본공간 S의 분할일 때, 에

대하여

A

A

,  , P ( A

> 0

 전확률공식 적용 예

 예제 : 어떤 대학의 통계학 강좌를 듣는 학생의 30%는 1학년, 25%는 2학년, 25%는 3학년, 20%는 4학년 학생이다. 1학년의 5%, 2학년의 10%, 3학년의 20%, 4학년의 30%가 B학점을 받 았다고 한다. 한 명의 학생을 임의로 추출 하였을 때, 그 학생이 B학 점을 받을 확률은?

 사건의 정의

: 1학년일 사건, : 2학년일 사건, : 3학년일 사건, : 4학년일 사건, B : B학점을 받은 사건

= 0.05 X 0.3 + 0.1 X 0.25 + 0.2 X 0.25 + 0.3 X 0.2 = 0.15

A

A

A

A

) ( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( B P B

P A

P B

P A

P B

P A

P B

P A

P = + + +

 전확률공식 적용 예

= 0.05 X 0.3 + 0.1 X 0.25 + 0.2 X 0.25 + 0.3 X 0.2 = 0.15

= 0.15

) ( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( ) A

| ( )

( B P B

P A

P B

P A

P B

P A

P B

P A

P = + + +

S : 통계학 수강생

A₁ : 1 학년 (30%)

A₄ : 4 학년(20%) A₃ : 3 학년 (25%)

A₂ : 2 학년 (25%)

B학점 받은 학생 1학년 중 5%

4학년 중 30%

3학년 중 20%

2학년 중 10%

 베이즈 정리

 표본공간이 A와 로 나뉘는 경우

• P(A)를 사전확률

• P(A | B)를 사후확률

 일반적인 경우

• 사건 이 n가지의 원인이라고 한다면 는 B가

관측된 후에 원인의 가능성

A

)

| B ( ) (

)

| B ( ) B) (

| (

1 i

n

i i

k k

k

A P

A P

A P

A A P

P ∑

= A

A

,  , P ( A

| B)

𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐵𝐵 P(B)

P 𝐴𝐴 𝐵𝐵 = ^{𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)} _{𝑃𝑃(𝐵𝐵)}

= ^{𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)}

𝑃𝑃 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 +𝑃𝑃(𝐴𝐴

∩𝐵𝐵)

= ^𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴 ^{𝑃𝑃(𝐴𝐴)}

𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴 ^{𝑃𝑃 𝐴𝐴 +𝑃𝑃} 𝐵𝐵 𝐴𝐴 ^{𝑐𝑐 𝑃𝑃(𝐴𝐴}

⁾

 표본공간이 A와 𝑨𝑨

로 나뉘는 경우

A B

 베이즈 정리

𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐵𝐵 P(B) 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴 P(A)

𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴

P(𝐴𝐴

)

 베이즈 정리

 일반적인 경우

• 사건 이 n가지의 원인이라고 한다면 는 B가

관측된 후에 원인의 가능성

)

| B ( ) (

)

| B ( ) B) (

| (

1 i

n

i i

k k

k

A P

A P

A P

A A P

P ∑

=

A

A

,  , P ( A

| B)

A B

S

 예제 3.9

 KM고등학교 학생들은 전교생이 등교 시에 지하철과 버스 둘 중 하나만을 이용한다고 한다. 버스를 이용하는 경우가 60%이고, 지하철을 이용하는 경우가 40%이라고 한다. 그리고 지각할 가능성은 버스를 이용하는 날이 10%이고, 지하철을 이용하는 날이 30%라고 한다. 오늘 아침에 P군이 지 각을 했는데 버스를 타고 왔을 확률을 구하여라.

 예제 3.9

 KM고등학교 학생들은 전교생이 등교 시에 지하철과 버스 둘 중 하나만을 이용한다고 한다. 버스를 이용하는 경우가 60%이고, 지하철을 이용하는 경우가 40%이라고 한다 . 그리고 지각할 가능성은 버스를 이용하는 날이 10%이고, 지하철을 이용하는 날이 30%라고 한다. 오늘 아침에 P군이 지각을 했는데 버스를 타고 왔을 확률을 구하여라.

① 학생이 버스를 이용할 사건을

② 지하철을 이용할 사건을

③ P군이 지각할 사건을 B

④ P( )=0.6, P( )=0.4, =0.1, =0.3

⑤ P군이 지각했는데, 버스를 타고 왔을 확률은

A

A

A

P ( B | A

) P ( B | A

) A

333 . 3 0

. 0 4 . 0 1 . 0 6 . 0

1 . 0 6 . 0 )

| B ( ) ( )

| B ( ) (

)

| B ( ) B) (

| (

2 2

1 1

1 1

1 =

× +

×

= ×

= +

A P

A P A

P A P

A P

A A P

P

 베이즈 정리 적용 예

 어느 학생이 등교하는 방법은 두 가지로 버스나 지하철을 이용하고 있다.

버스로 오는 경우에는 교통 체증으로 인해 30퍼센트 정도 지각하며 지하 철 이용 시에는 10퍼센트 정도만 지각을 하게 된다고 한다. 어느 날 이 학 생이 지각을 하였다면 버스로 왔을 확률은 얼마인가? 단 여기서 이 학생은 버스를 이용하는 경우가 60퍼센트, 그리고 지하철을 이용하는 경우는 40 퍼센트라 한다.

𝐴𝐴

: 버스 이용 사건 𝐴𝐴

: 지하철 이용 사건 B : 지각하는 사건

𝑃𝑃(𝐴𝐴

) : 0.6 𝑃𝑃(𝐴𝐴

) : 0.4 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴

: 0.3 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝐴𝐴

: 0.1

𝑃𝑃 𝐴𝐴 ₁ 𝐵𝐵 = ?

 베이즈 정리 적용 예

 베이즈 정리 적용 예

버스 (60%)

지각(??)

지하철

버스를 탔을 때 지각한 경우 (30%)

버스 (60%) 버스 (60%)

지하철(40%)

지하철을 탔을 때 지각한 경우(10%)

 베이즈 정리 적용 예

 A : 지각하는 사건, B : 버스를 타는 사건

: 버스를 타고 지각했을 확률

: 버스를 타고 정시에 도착했을 확률 : 지하철을 타고 지각했을 확률

: 지하철을 타고 정시에 도착했을 확률

36 . 0 90

. 0 40 . 0 )

(

04 . 0 10 . 0 40 . 0 )

(

42 . 0 70 . 0 60 . 0 )

(

18 . 0 30 . 0 60 . 0 )

(

=

×

=

=

×

=

=

×

=

=

×

=

c c

c c

B A

P

B A

P

B A

P

B A

P









) (

)

| (

) (

)

| (

) )P(

| ) (

|

( 지각 버스 버스 지각 지하철 지하철

버스 버스

지각 지각

버스 P P P P

P P

= +

81 . 04 0

. 0 18 . 0

18 . 0

) 10 . 0 )(

40 . 0 ( ) 30 . 0 )(

60 . 0 (

) 30 . 0 )(

60 . 0 (

+ =

=

= +

제 3장 확률과 확률 분포

3.1 확률

3.2 확률변수와 확률분포

3.3 두 확률변수의 결합분포

 함수

 함수란?

대응 관계를 X : S → R 라고 하면 X(b) = 2

a b c d e

0 1 2

S : 정의역 R : 공역

 확률변수

 확률변수 (random variable)

표본공간에서 정의된 실수 값 함수

두 개의 동전을 던지는 실험에서 앞면의 개수에 대한 표본공간과 확률변수

1) X : 앞면의 개수

2) S = {(H,H),(H,T), (T,H),(T,T)}

3) X ∈ {0,1,2}

2 1 0

(H,H) (H,T) (T,H) (T,T)

S

X : S → R R

 확률분포

 확률분포 :

 이산형일 경우의 예

 연속형일 경우의 예

여기서 0 ≤ a < b ≤ 60 이다.

x 0 1 2 합계

1/4 1/2 1/4 1

 확률질량함수 및 확률밀도함수

 확률질량함수

• 이산형 확률변수가 취하는 값에 따른 확률을 나타내는 함수

• 확률변수가 취하는 모든 값에 대한 합은 1

P 𝑥𝑥 = �

1

4 , 𝑥𝑥 = 0, 2

1

2 , 𝑥𝑥 = 1

1 2

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟒𝟒

 확률질량함수 및 확률밀도함수

 확률밀도함수 (probability density function : pdf)

① 연속형 확률변수의 분포를 알려주는 함수

② 확률변수가 취할 수 있는 구간에 대한 적분값이 해당 구간에 대한 확률

③ 전체 구간에 대한 적분값은 1

• 연속형일 경우

( X : 1시간에 한 번 오는 버스를 기다리는 시간 (분)) 여기서 0 ≤ a < b ≤ 60 이다 . 표로 표시하지 못함

• 연속형일 경우

( X : 1시간에 한 번 오는 버스를 기다리는 시간 (분)) 여기서 0 ≤ a < b ≤ 60 이다 . 표로 표시하지 못함

60

𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔

0

g(x) =

60

0 ≤ 𝑥𝑥 ≤

 확률질량함수 및 확률밀도함수

 확률밀도함수 (probability density function : pdf)

① 연속형 확률변수의 분포를 알려주는 함수

② 확률변수가 취할 수 있는 구간에 대한 적분값이 해당 구간에 대한 확률

③ 전체 구간에 대한 적분값은 1

60 1/60

0 20

②

60 1/60

0

③

 확률변수의 종류

 이산확률변수 :

확률변수가 취할 수 있는 값을 셀 수 있는 경우 확률질량함수 : p(x) = P( X = x )

X : 동전을 두 개 던졌을 때, 앞면이 나오는 개수 P( X = 2 ) = P({(앞, 앞)})

=

4

 확률변수의 종류

 연속확률변수 :

확률변수가 취할 수 있는 값이 하나씩 셀 수 없는 경우 확률 밀도 함수 :

를 만족하는 p(x)

 이산형 확률변수의 예

 예제

20대 중 5개가 불량품일 때, 3개를 단순랜덤추출한다.

X : 불량품의 개수, X의 확률분포는?

(풀이) 20대 중 3대를 추출하는 방법의 수

3대 모두 우량품일 확률

1 1140 2

3

18 19

20

20

3 3

20 =

×

×

×

= ×



 



=  C

228 91 1140

) 1 2 3 /(

) 13 14

15 ) (

0 (

) 0

( 20

3 5

0 15

3 × × × × =

=



 







 







 





=

=

= P X P

 이산형 확률변수의 예

 불량품이 k 개일 확률

여기서

) 1 (

) 1 (

) (

) (

3 20

5 3

15

=

=

= ×

=

=

X P p

C C k C

X P k

p

76 / 35 1140

/ ) 5 105 (

/ )

(

×

= × =

= C C C

5 1

/ 5

105 )

1 2 /(

) 14 15

(

1 5

2 15

=

=

=

×

×

= C

C

0 1 2 3

91/228 35/76 5/38 1/114

 예제 3.10

 어느 컴퓨터 판매점에 A 회사에서 생산된 마우스 10개가 있는데 그 중에 서 1개가 불량품이라고 한다. 한 구매자가 2개를 택할 때 그 중에서 불량품 의 개수를 X라 하고 X의 확률분포, 즉 확률질량함수를 구해보자.

① 불량품 10개 중에서 2개를 택하는 방법의 수는

② 2개 중 불량품 0개를 선택하는 방법의 수는

③ 2개 중 불량품 1개를 선택하는 방법의 수는

④ 확률변수 X가 불량품의 수이므로

45

10 2

 =



 





36

9 2 1 0

 =



 







 





9

9 1 1 1

 =



 







 





5 / 4

) 0 (

10

2 9

2 1

0

 =



 



 



 



 



 



= 

=

X

P

 예제 3.10

 어느 컴퓨터 판매점에 A 회사에서 생산된 마우스 10개가 있는데 그 중에 서 1개가 불량품이라고 한다. 한 구매자가 2개를 택할 때 그 중에서 불량품 의 개수를 X라 하고 X의 확률분포, 즉 확률질량함수를 구해보자.

⑤ 확률분포표

⑥ 확률질량함수는 x=0.1에 대해 이다.

0 1

( )( ) ( )

9 2 1

)

( X x

P = =

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = �

4

5 , 𝑥𝑥 = 0

1

5 , 𝑥𝑥 = 0

 연속성 확률변수의 예

 X : 0에서 1까지의 바늘이 가리키는 눈금

X가 구간 [a, b]사이에 속할 확률은?

P(a≤X≤b) = (b-a)/(1-0) = b-a

0

0.5 0.75 0.25

b

a

힘껏 회전시키자

 참고사항 : 균등분포

 균등분포 (uniform distribution)

앞의 예제와 같이 p(x)의 그래프가 정의된 구간에서 같은 높이로 주어지는 분포

구간

θ

θ

( θ

< θ

)

U ( θ

θ

)