AN alysis O f VA riance ANOVA

ANOVA

ANalysis Of VAriance

한동대학교 강병덕

일원배치 분산분석 ANOVA

• 세 개 이상의 모평균이 동일한지의 여부를 검정

• 하나의 집단에 세 개 이상의 하위 집단이 있을 때 이들의 평균 이 동일한지의 여부를 검정

• 4개의 모집단(A, B, C, D)의 모평균 동질성 여부 검정

집단 1 집단 2 집단 1 집단 2 집단 1 집단 2

A B B C C D

C D

D

6번의 Z검정 또는 t검정을 실시

Z검정/t검정을 반복 실시할 때의 문제점

• 검정과정의 번거로움

• 시간과 노력면에서 비효율적

• 가설검정의 유의수준 유지가 곤란

• 유의수준은 1종 오류 (0.05)

• 6번의 t-test … 0.95 х 0.95 х 0.95 х 0.95 х 0.95 х 0.95 = 0.735

• 6번의 t-test의 유의수준은 = 1 – 0.735 = 0.265

ANOVA

• 독립변수의 수 = 1



일원분산분석

• 독립변수의 수 = 2



이원분산분석

• 독립변수의 수 = 3 이상



다원분산분석

F검정을 실시하는데 필요한 세 가지 조건

• 조건 1 :

각 모집단을 구성하고 있는 구성원소들은 동일 모집단 내의 다른 구성원소와 서로 독립 &

다른 모집단의 구성원소와도 독립인 관계

• 조건 2 :

각 모집단은 정규분포를 따름

• 조건 3 :

모분산은 알려져 있지 않으나 동일함

분포 :

영가설이 사실일 때 vs. 영가설이 사실이 아닐 때

평균₁ = 평균₂ = 평균₃ 분산₁ = 분산₂ = 분산₃

SST = SSW

분산₁ = 분산₂ = 분산₃ SST = SSW + SSB

아노바 기본 개념과 일원배치 분산분석

• Statistics 101 : ANOVA, A Visual Guide

• Statistics 101 : One Way ANOVA (Part 1) A Visual Guide

• Statistics 101 : One Way ANOVA (Part 2) A Visual Guide

세 개의 분포가

하나의 모집단으로부터 왔는가?

X₁

X₂

X₃

세 개의 분포가

하나의 모집단으로부터 왔는가?

세 개의 분포가

하나의 모집단으로부터 왔는가?

세 개의 분포가

하나의 모집단으로부터 왔는가?

귀무가설:

모집단₁ 평균 = 모집단₂ 평균 = 모집단₃ 평균

세 집단의 평균이

정확하게 동일한가에 대한 것이 아니라

각 집단의 평균이

하나의 전체 모집단으로부터 왔는가에 대한 것이다.

각 샘플 평균 간의 차이에 대한 관심 Variability Among / Between

Sample Means

세 개의 분포가

하나의 모집단으로부터 왔는가?

각 분포가 좌우로 확장된다면…

각 분포의 차이가 확장된 것 Variability

Around/Within the distribution

ANOVA = 차이의 비율

Variability

Among / Between the Means

Variability Around / Within

the Means

X₁

X₂ X₃

각 집단이

전체 평균과의 차이

X₁

X₂ X₃

각 집단 내부의 흩어진 정도 (차이)

Variance Between

Variance Within

ANOVA = 차이의 비율

Variance Between

Variance Within Total Variance Components

Variance Between + Variance Within = Total Variance 분자가 분모보다 크게 되면 그 비율은 1보다 크게 된다.

비율이 1보다 크다는 것은 각 샘플이 하나의 모집단에서 왔을 가능성이 작다는 것이다.

즉, 각 집단의 평균이 같다는 귀무가설을 기각하게 된다.

F =

분산(variance) & 제곱합 (sum of squares)

• ANOVA (Analysis of Variance)

• Variance 분산 = 한 분포에서 각 구성원과 그 평균간의 차이들 제곱의 평균

• 평균을 구하는 과정에서 마지막 순서는 “차이들 제곱의 합＂을 구성원수(n)으로 나누는 것

• 차이들 제곱의 합 = SS (Sum of Squares)

샘플 분산 = Σ (x 값 – x 평균)²

n – 1 SS

SS (Sum of Squares) 제곱합

• j번째 표본의 i번째 관찰값 = x_ij

• 편차 (Deviation) = 특정 값 (x_ij) – 평균

• 총편차제곱합 SST (Total Sum of Squared Distance)

• 집단 간 편차 제곱합 SSB (Sum of Squares Between)

• 집단 내 편차 제곱합 SSW (Sum of Squares Within)

• SST = SSB + SSW

샘플 분산 = Σ (x 값 – x 평균)²

n – 1 SS = Mean Squares

= df

Sources

분산원 SS

제곱합 df

자유도 Mean Squares

평균제곱 F

집단 간 SSB (or SSC) k – 1 MSB = SSB

MSB

k – 1

집단 내 SSW (or SSE) N – k MSW = SSW

N – k

MSW

전체 SST N – 1

분산원 제곱합 자유도 평균제곱 F

집단 간 18.07 2 9.03 .529

집단 내 460.10 27 17.04

전체 478.17 29

p (F_2,27 ≥ .529) = .595 α = 0.05

통계적으로 유의미한 차이가 있는가?

F 비율(ratio) = 두 분산의 비율

F 분포 (distribution) = 비율의 분포

사후검증 post hoc tests

• Scheffe’s test

• 가장 많이 이용되고 있는 사후검증

• 가장 보수적인 사후검증

• Tukey’s HSD test

• 집단별 샘플 크기가 동일한 경우

세 개 이상의 모집단 평균검증

• 대학교 학생들의 출신 고등학교별 시험성적 비교

• 출신 고등학교 : 특목고 / 일반고 / 대안학교

• 연구 가설

• 학생들에 대한 출신 고등학교에 따른 시험성적의 차이가 있을 것이다.

• 검증 가설?

• 검증 결과

연구문제

가설설정 영가설 :

유의수준 결정

통계분석 방법의 결정

독립변수 : 종속변수 :

 검증

기본가정 검토 정규성 : 등분산성 : 검증통계량, 유의확률과

유의수준 비교

검증통계량 = 유의확률 =

결과 해석 유의수준 0.05에서 영가설을 __________한다.



• 보고서 작성

기술통계량

F (p)

빈도 평균 표준편차

출신 고등학교

특목고 일반고 대안학교

양점도, 정영주 (2012) 사회복지사의 이직의도에 미치는 영향 요인에 관한 연구, 복지행정논총 , 22 (1), 177-197

• 이직의도 = 4개 문항, 각 5점 척도

<표 2 > 연령에 따른 이직의도의 차

p < 0.05 Scheffe : G1 > G4; G2 > G3; G2 > G4

“연령에 따른 이직의도와의 관계에서는 <표 2>와 같이 F=6.583, p<.05로 나타나 통계적으로 유 의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 그 차이를 알아보기 위해 Scheffe의 사후검정을 실시한 결 과 50대보다 20대가 이직의도가 높고, 40대와 50대 보다는 30대가 이직의도가 높음을 알 수 있다.”

연령 n 평균 표준편차 F p

20대 (G1) 68 3.2912 .6271

6.583 .000 30대 (G2) 101 3.4040 .6991

40대 (G3) 31 2.9613 .8678 50대 (G4) 8 2.4750 .7478