미분법

예시와 길잡이

▶ 166쪽

이 단원을 학습하면서 다음 중 하나를 선택하여 포트폴리오를 만들어 보자.

수학 독후감 수학 마인드맵 수학 일기

수학 신문 수학 포스터 수학사 보고서

1. 여러 가지 함수의 미분

2. ^{여러 가지 미분법} 3. ^{도함수의 활용}

미분법

학습 내용 ^■ 지수함수와 로그함수의 미분 ^■ 삼각함수의 미분

■ 여러 가지 미분법 ■ 접선의 방정식

■ 함수의 그래프 ^■ 속도와 가속도

학습 계획

이 단원에서 학습할 내용을 알아보고 나의 학습 계획을 적어 보자.

•예습과 복습을 하겠다.

•오답 노트를 작성하겠다.

•수업 시간에 집중하겠다.

‘미분법’ ^{은 왜 배울까?}

항공기나 인공위성을 통해 얻은 영상에서 건물이나 도로의 윤곽을 정확히 식별하는 기술은 영상의 밝기의 변화율이 급격히 달라지는 지점을 찾아내는 방법을 통해 구현된다.

미분은 이와 같은 변화율을 나타내는 수학적 도구로서 자연 과학이나 공학뿐 아니라 경제학, 사회학 등 변화 현상을 다루는 다양한 분야에서 활용된다.

여러 가지 함수의 미분

1

수학   과학 벨기에의 수학자 페르휠스트(Verhulst, P. F., 1804~1849)가 처음 제안한 로지스틱 함수는 제한된 환경 조건에서 시간에 따른 개체 수의 변화를 나타낸 것으로서 사회학, 통계 학 등의 다양한 분야에서 활용된다. 이 함수는 지수함수를 이용해 나타낼 수 있으므로 이 함 수를 통해 나타난 개체 수의 증가율을 알아보기 위해서는 지수함수의 미분이 필요하다.

[참고 자료: 강혜정, “생명 과학을 위한 수학Ⅰ”]

“지수함수나 로그함수 또는 삼각함수를 미분하면 어떤 함수가 될까?”

도함수의 정의를 이용하여 함수 f{x}=x@의 도함수를 구하시오.

2

1

다음 극한값을 구하시오.

⑴lim

x`! 1

x@-1

x-1 ⑵ lim

x`! -2

x+2 jx+3l-1

지수함수와 로그함수의 극한은 어떻게 구할까?

지수함수의 극한을 알아보자.

지수함수 y=aX {a>0, a=1}의 그래프에서 임의의 실수 r에 대하여

limx`!r aX=aR 임을 알 수 있다.

또 a>1이면

x`lim!E aX=E, lim

x`!-E aX=0 이고, 0<a<1이면

x`lim!E aX=0, lim

x`!-E aX=E 임을 알 수 있다.

소리의 강도 x dB에 따른 소리의 압력을 f{x} Pa이라 고 하면

f{x}= 1

50000aX (a는 1보다 큰 상수)

인 관계가 성립한다고 한다. x의 값이 한없이 커질 때, f{x}의 값은 어떻게 변하는지 말하시오.

[참고 자료: 오스카 E. 페르난데스, 김수환 옮김, “미적분으로 바라본 하루”]

•지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.

지수함수와 로그함수의 극한

O 1

y=aX y=aX

x 0<a<1 y a>1

빈칸에 알맞은 것을

써넣어 보자. ⑴lim

x`! 2[ 23 ]X= ⑵ lim

x`! E3X= ⑶ lim

x`! -E[ 13 ]X=

다음 극한을 조사하시오.

⑴

lim

x`! 1[ 54 ]X

⑵

lim

x`! E[ 12 ]X

⑶

lim

x`! -E2X

01

소리의 강도와 압력 을 나타내는 단위는 각각 dB(데시벨), Pa(파스칼)이다.

⑴ 분자, 분모를 각각 3X으로 나누면 lim

x`!E

3X

3X+1= lim

x`!E

1 1+[ 13 ]X

= 1 1+0=1 따라서 수렴하고, 그 극한값은 1이다.

⑵ lim

x`!0+{2X+2_X}=2)+2)=1+1=2

x`lim!0+{2X-2_X}=2)-2)=1-1=0

그런데 x>0인 범위에서 2X>2_X이므로 lim

x`!0+

2X+2_X 2X-2_X=E 따라서 발산한다.

답 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 발산 다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! E

3X

3X+1

⑵

lim

x`! 0+

2X+2_X 2X-2_X

1

다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! E

3X

3X-2X

⑵

lim

x`! 0+

5X 5X-1

02

로그함수의 극한을 알아보자.

로그함수 y=loga`x {a>0, a=1}의 그래프에서 임의의 양의 실수 r에 대하여

limx`!r loga`x=loga`r 임을 알 수 있다.

또 a>1이면

x`lim!E loga`x=E, lim

x`!0+ loga`x=-E 이고, 0<a<1이면

x`lim!E loga`x=-E, lim

x`!0+ loga`x=E 임을 알 수 있다.

O 1

y

y=loga x

y=loga x a>1

0<a<1 x

빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.

⑴lim

x`! 1log5`x= ⑵ lim

x`! Elog2`x= ⑶ lim

x`! 0+log<sub>2!</sub>`x=

다음 극한을 조사하시오.

⑴

lim

x`! 4log4`x

⑵

lim

x`! Elog<sub>3!</sub>`x

⑶

lim

x`! 0+log3`x

03

다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! E9log2{4x-1}-log2x0

⑵

lim

x`! 1+

log2{x+1}

log3`x

05

x`lim! 0+ a^x!=0일 때, 극한 lim

x`! E loga`x를 조사하고 그 과정을 설명하시오. (단, a>0)

04

⑴ lim

x`!E9log3{3x+2}-log3`x0= lim

x`!Elog3`3x+2

x =log3`3=1 따라서 수렴하고, 그 극한값은 1이다.

⑵ lim

x`!1+{x+1}=2, lim

x`!1+log2`x=0

그런데 x>1인 범위에서 log2`x>0이므로 lim

x`!1+

x+1 log2`x=E

따라서 발산한다. ^답 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 발산

다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! E9log3{3x+2}-log3`x0

⑵

lim

x`! 1+

x+1 log2`x

2

f{x}>0인 함수 f{x}에 대하여 a>0, a=1이고 r가 실수일 때, 다음이 성 립함이 알려져 있다.

❶ lim

x`!r`f{x}=a{a>0}이면 lim

x`!r9loga`f{x}0=loga

9

^limx`!r`f{x}

0

^=loga`a

❷ lim

x`!E`f{x}=b{b>0}이면 lim

x`!E9loga`f{x}0=loga

9

x`<sup>lim</sup>!E`f{x}

0

^=loga`b

실수 e란 무엇일까?

극한값 lim

x`!0{1+x}^x!을 알아보자.

다음은 실수 x의 값에 따른 {1+x}^x!의 값과 함수 y={1+x}^x!의 그래프를 공학적 도구를 이용하여 나타낸 것이다.

위의 표와 그래프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, {1+x}^x!의 값은 어떤 일정한 수에 가까워지고 있음을 알 수 있다. 이 극한값을

e로 나타낸다.

즉,

limx`!0{1+x}<sup>x!</sup>=e yy`

①

이다.

이때 e는 무리수이고, 그 값은

e=2.7182818284590452353y 임이 알려져 있다.

한편

①

에서 1

x=t로 놓으면 x`! 0+일 때 t`! E이므로 e는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

t`lim!E[1+ 1t ]T=e

이상을 정리하면 다음과 같다.

스위스의 수학자 오일러 (Euler, L., 1707~1783) 는 극한을 이용하여 실수 e 가 무리수임을 보였다.

실수 e e=lim

x`!0{1+x}^x!= lim

t`!E[1+ 1t ]T

e =lim

x`! 0{1+x}^x!

= lim

t`! E[1+1 t ]T

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0{1-2x}^x3

⑵

lim

x`! E[1+ 1 3x^]^X

06

다음을 간단히 하시오.

⑴

ln`jek

⑵

ln`1 e$

07

⑴t=4x로 놓으면 x`!0일 때 t`!0이므로 lim

x`!0{1+4x}^x!=lim

t`!0{1+t}^t$

=limt`!0-{1+t}^t!=$=e$

⑵t=-1

x^{로 놓으면} x`!E일 때 t`!0이므로 lim

x`!E[1- 1x ]X =lim

t`!0{1+t}^-t!

=limt`!0-{1+t}^t!=_!=e_!= 1e

답 ⑴e$ ⑵ 1 e 다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0{1+4x}^x!

⑵

lim

x`! E[1- 1x ]X

3

앞에서 정의한 실수 e를 밑으로 하는 로그 loge`x를 자연로그라 하고,

ln`x

로 나타낸다.

또 실수 e를 밑으로 하는 지수함수를 y=eX으로 나타낸다.

지수함수 y=eX과 로그함수 y=ln`x는 자연 현상을 표현하는 데 자주 사용 된다.

•상용로그 log`x=log10`x

•자연로그 ln`x=loge`x

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0

ln`{1-x}

x

⑵

lim

x`! 0

3x e@X-1

08

⑴ lim

x`!0

ln`{1+x}

x =lim

x`!0

1

x`ln`{1+x}=lim

x`!0ln`{1+x}^x!=ln`e=1

⑵ t=eX-1로 놓으면 eX=1+t이므로 x=ln`{1+t}이고, x`!0일 때 t`!0이므로 lim

x`!0

eX-1 x =lim

t`!0

t

ln`{1+t}=lim

t`!0

1 ln`{1+t}

t

= 1

limt`!0ln{1+t}^t!

= 1 ln`e=1

답 ⑴ 1 ⑵1 다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0

ln`{1+x}

x

⑵

lim

x`! 0

eX-1 x

4

수학 기르기 어떤 은행에서 판매하는 연이율이 6`%인 예금 상품은 이자를 1년 동안 총 n번으로 나누 어 12

n개월마다 6

n`%씩 복리로 계산한다고 하자. 이 상품에 1년간 원금 100만 원을 예 금하려고 한다. 다음 두 학생의 대화를 읽고, n의 값이 한없이 커질 때 1년 후의 원리합 계의 극한값을 구하고, 그 과정을 설명해 보자.

문제 해결^ㅣ의사소통

실생활과 융합한 문제를 해결할 때는

문제 상황을 수학적으 로 나타내고 상황에 맞게 해석한다.

n=2이면 6개월마다 3`%의 이자가 복리로 계산되는 거야.

n=6이면 2개월마다 1`%의 이자가 복리로 계산되는 거지.

지수함수와 로그함수의 도함수는 어떻게 구할까?

지수함수 y=eX의 도함수를 구해 보자.

{eX}' =lim

h`!0

eX"H-eX h

=limh`!0

eX{eH-1}

h

=eX`lim

h`!0

eH-1 h

=eX\1

=eX

이상을 정리하면 다음과 같다.

다음은 지수함수 f{x}=eX의 x=1에서 미분계수를 구하는 과정이다. 빈칸에 알맞 은 것을 써넣으시오.

•지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.

지수함수와 로그함수의 미분

지수함수의 도함수 ⑴ {eX}'=eX

f

_'

{1}의 값을 미분계수의 정의를 이용하여 구하면 f

_'

{1}=lim

h_`! 0

f{1+h}-f{1}

h

=limh`! 0

e!"H-e h

=elim

h`! 0 h

=e\

=

limh`! 0

eH-1

h =1이야.

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=eX_#

⑵

y=xeX

01

⑴ y=eX"!=e\eX이므로 y'=e{eX}'=e\eX=eX"!

⑵ y=e@X=eX\eX이므로

y'={eX}'\eX+eX\{eX}'

=eX\eX+eX\eX

=e@X+e@X=2e@X

답 ⑴y'=eX"! ⑵y'=2e@X 다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=eX"!

⑵

y=e@X

1

로그함수 y=ln`x의 도함수를 구해 보자.

{ln`x}' =lim

h`!0

ln`{x+h}-ln`x h

=limh`!0

1

h`ln`[1+ hx ]=lim

h`!0 ln`[1+ hx ]

h!

=limh`!0 ln`-[1+ hx ]

hX=^x!

=1 x lim

h`!0 ln`[1+ hx ]

hX

=1

x\ln`e=1 x

또 로그함수 y=loga`x {a>0, a=1)의 도함수를 구해 보자.

{loga`x)' =[ln`xln`a ]'= 1ln`a\{ln`x}'

= 1 ln`a\1

x= 1 x`ln`a

lim_{h`! 0}[1+h x ]

hX

=e

이상을 정리하면 다음과 같다.

로그함수의 도함수 ⑴

❶

{ln`x}'=1 x

❷

{loga`x}'= 1

x`ln`a ^(단, a>0,a=1)

⑴y=ln`3x=ln`3+ln`x이므로 y'={ln`3}'+{ln`x}'=1

x

⑵y'=2{log5`x}'= 2 x`ln`5

답 ⑴y'=1

x ⑵y'= 2 x`ln`5 다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=ln`3x

⑵

y=2`log5`x

2

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=ln`5x

⑵

y=3`log2`x

02

다음은 함수 y=ln`{x+1}의 도함수를 구하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.

03

9ln`{x+1}0' =lim

h`! 0

ln`{x+h+1}-ln`{x+1}

h

=limh`! 0

1

h`ln`[1+ hx+1 ]

=limh`! 0 ln -[1+ hx+1 ] =

1 x+1

= 1

x+1\ln` =

•삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.

삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리란 무엇일까?

a, b의 삼각함수의 값을 이용하여 a+b, a-b의 삼각함수의 값을 나타내는 방법을 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에서 두 각 a, b 를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 각각 P, Q라 고 하면

P{cos`a, sin`a}, Q{cos`b, sin`b}

이고, CPOQ=a-b이다.

이때 삼각형 POQ에서 코사인법칙을 이용하면

PQZ @=OPZ @+OQZ @-2\OPZ\OQZ\cos`{a-b) 이다.

여기서 OPZ=OQZ=1이므로

{cos`a-cos`b}@+{sin`a-sin`b}@=1@+1@-2\1\1\cos`{a-b}

이고, sin@`a+cos@`a=1, sin@`b+cos@`b=1이므로

cos`{a-b}=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b yy`

①

가 성립한다.

이때

①

에서 b 대신에 -b를 대입하여 정리하면 다음이 성립한다.

cos`{a+b}=cos`a`cos`b-sin`a`sin`b yy`

②

코사인법칙 삼각형 ABC에서 a@=b@+c@-2bc`cos`A

A

B C

a

c b

고등학교 수학 I

cos`{-h}=cos`h sin`{-h}=-sin`h

다음 네 학생이 말한 삼각함수의 값을 구하고, 그 값이 서로 같은 학생끼리 선으로 연 결하시오.

O

Q P

1 -1

-1 a b

x 1

y

sin`60!`cos`30!+cos`60!`sin`30! 수현

sin`{60!-30!}

세민

sin`60!`cos`30!-cos`60!`sin`30! 서준

sin`{60!+30!}

윤아

• •

• •

한편

②

에서 a 대신에 p

2 -a를 대입하면 cos`-[p

2 -a]+b ==cos`[p

2 -a]`cos`b-sin`[p

2 -a]`sin`b 이므로

sin`{a-b}=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b yy`

③

가 성립한다.

이때

③

에서 b 대신에 -b를 대입하여 정리하면 다음이 성립한다.

sin`{a+b}=sin`a`cos`b+cos`a`sin`b yy`

④

cos`[p

2 -h]=sin`h sin`[p

2 -h]=cos`h

또

②

와

④

를 이용하면

tan`{a+b}=sin`{a+b}

cos`{a+b}=sin`a`cos`b+cos`a`sin`b cos`a`cos`b-sin`a`sin`b 이고, 우변의 분자, 분모를 cos`a`cos`b{cos`a`cos`b=0}로 나누면

tan`{a+b}=

sin`a

cos`a +sin`b cos`b 1-sin`a

cos`a \sin`b cos`b 이므로

tan`{a+b}= tan`a+tan`b

1-tan`a`tan`b yy`

⑤

가 성립한다.

이때

⑤

에서 b 대신에 -b를 대입하여 정리하면 다음이 성립한다.

tan`{a-b}= tan`a-tan`b 1+tan`a`tan`b

cos`a`cos`b=0인 경 우에는 tan`a의 값 또는 tan`b의 값이 정의되지 않 는다.

tan`{-h}=-tan`h

이상을 정리하면 다음과 같은 삼각함수의 덧셈정리를 얻는다.

삼각함수의 덧셈정리

❶

sin`{a+b}=sin`a`cos`b+cos`a`sin`b sin`{a-b}=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b

❷

cos`{a+b}=cos`a`cos`b-sin`a`sin`b cos`{a-b}=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b

❸

tan`{a+b}= tan`a+tan`b1-tan`a`tan`b tan`{a-b}= tan`a-tan`b1+tan`a`tan`b

빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.

⑴sin`15!=sin`{45!-30!}=sin`45!\cos`30!-cos`45!`sin`30!

= j2k 2 \ j3k

2 - j2k 2 \1

2= j6k-j2k 4

⑵tan`105!=tan`{60!+45!}= tan`60!+

1-tan`60!`tan`45!= j3k+

1-j3k\1=

다음 값을 구하시오.

⑴

sin`105!

⑵

cos`75!

⑶

tan`15!

01

sin`a= j3 k3 , cos`b=-1

3일 때, 다음 값을 구하시오. [단, 0<a<p 2 , p

2 <b<p]

⑴

sin`{a+b}

⑵

cos`{a-b}

⑶

tan`{a-b}

02

sin`a= 12 , sin`b=1

3 일 때, cos`{a+b}의 값을 구하시오.

[단, 0<a<p

2 , 0<b<p 2 ]

1

0<a<p

2^이면 cos`a>0이므로 cos`a=11-sin@`a3=a1-[1

2 ]@d= j3k 2 또 0<b<p

2^이면 cos`b>0이므로 cos`b=11-sin@`b3=r1-[1

3 ]@y=2j2k 3 따라서 cos`{a+b}=cos`a`cos`b-sin`a`sin`b

= j3k 2 \2j2k

3 -1 2\1

3=2j6k-1

6 ^답

2j6k-1 6

삼각함수 사이의 관계 sin@`a+cos@`a=1을 이 용하고, 제1사분면에서 삼 각함수의 값의 부호를 생 각한다.

⑴sin`{a+b}=sin`a`cos`b+cos`a`sin`b이므로 sin`{a+a}=sin`a`cos`a+cos`a`sin`a 따라서 sin`2a=2`sin`a`cos`a이다.

⑵tan`{a+b}= tan`a+tan`b1-tan`a`tan`b^이므로 tan`{a+a}= tan`a+tan`a1-tan`a`tan`a 따라서 tan`2a= 2`tan`a

1-tan@`a^이다.

답 풀이 참고 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.

⑴

sin`2a=2`sin`a`cos`a

⑵

tan`2a= 2`tan`a 1-tan@`a

2

다음은 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 cos`2a=cos@`a-sin@`a가 성립함을 보이는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.

03

cos`{a+b}=cos`a\ -sin`a\ 이므로 cos`{a+a}=cos`a\ -sin`a\

따라서 cos`2a=cos@`a-sin@`a이다.

다음 두 학생의 대화에서 한 가지 방법을 택하여 sin`2

3p의 값을 구하고, 자신의 풀이 방 법을 친구에게 설명하시오.

04

2

3 p=2\p 3^임을 이용하여 구할 거야.

2

3 p=p-p 3^임을 이용하여 구할 거야.

수현 재연

두 직선 3x-y-1=0, x-2y+4=0이 이루는 예각의 크기를 구하시오.

05

두 직선 y=2x, y=1

3 x+1이 이루는 예각의 크기를 구하시오.

3

오른쪽 그림과 같이 두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라고 하면

tan`a=2, tan`b= 13

두 직선이 이루는 예각의 크기를 h라고 하면 h=a-b이므로

tan`h=tan`{a-b}= tan`a-tan`b 1+tan`a`tan`b

= 2-3!

1+2\3!=1 따라서 구하는 예각의 크기는 p

4^{이다. 답} p

4

O x

y

h

b a

y=2x

y=3!x+1 -3

1

수학 기르기

오른쪽 그림과 같이 CC=p

2 인 직각삼각형 ABC에서 점 D는 변 AC 위의 점이고,

ABZ=a, BDZ=b, CABC=a, CDBC=b 이다. 다음 빈칸에 알맞은 것을 써넣고, 이를 이용하여 sin`{a-b}=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b 임을 설명해 보자.

문제 해결^ㅣ의사소통

문제를 해결할 때는

문제의 조건과 정보를 파악하고 해결 방법을 찾

는다. b a

B C

A

a D b

BCZ=b`cos`b, ACZ= `sin`a이므로 삼각형 ABC의 넓이는

`sin`a`cos`b

BCZ=a`cos`a, CDZ= `sin`b이므로 삼각형 DBC의 넓이는

`cos`a`sin`b

•삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

삼각함수의 극한

삼각함수의 극한은 어떻게 구할까?

세 삼각함수 y=sin`x, y=cos`x, y=tan`x의 극한값을 구해 보자.

O 2"

-2"

2%p 2#p

x y

p 2p

1

-1

y=cos`x y=sin`x

O x

y y=tan`x

2"

-2" 2#p p

-p 2p

삼각함수의 그래프에서 정의역의 임의의 실수 a에 대하여 limx`!a sin`x=sin`a, lim

x`!a cos`x=cos`a, lim

x`!a tan`x=tan`a 임을 알 수 있다.

한편

x`lim!E sin`x, lim

x`!E cos`x, lim

x`!2" tan`x, lim

x`!-2" tan`x 의 값은 존재하지 않음을 알 수 있다.

어느 지역에서 올해 3월 21일부터 t일 후의 낮의 길이를 f{t}시간이라고 할 때, f{t}=12+2.8`sin`2p

365 t

가 성립한다고 한다. 함수 y=f{t}의 그래프에서 극한값 lim

t`! 365`f{t}를 추측하시오.

[참고 자료: J. Stewart, “Calculus”]

00 10 5 12 15

t(일) f{t}`(시간)

100 200 300 365

400 500 600 700

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 3"{2`cos`x+1}

⑵

lim

x`! p{sin`3x-1}

⑶

lim

x`! 6"{tan`2x+j3k}

⑷

lim

x`! 2"

sin`x 1+cos`x

01

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 2"

cos@`x

1-sin`x

⑵

lim

x`! 4#p

sin`x+cos`x 1-tan@`x

02

빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

⑴ lim

x`! 0sin`x= ⑵ lim

x`! pcos`x= ⑶ lim

x`! 4"tan`x=

삼각함수 사이의 관계를 이용하여 여러 가지 삼각함수의 극한값을 구해 보자.

⑴ lim

x`!0

sin@`x 1-cos`x=lim

x`!0

1-cos@`x 1-cos`x=lim

x`!0

{1+cos`x}{1-cos`x}

1-cos`x

=limx`!0{1+cos`x}=2

⑵ lim

x`!4"

tan`x-1

sin`x-cos`x= lim

x`!4"

sin`x cos`x-1

sin`x-cos`x= lim

x`!4"

sin`x-cos`x cos`x{sin`x-cos`x}

= lim

x`!4"

1 cos`x=j2k

답 ⑴ 2 ⑵j2k 다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0

sin@`x

1-cos`x

⑵

lim

x`! 4"

tan`x-1 sin`x-cos`x

1

lim x` ! 0

sin`x

x 의 값은 어떻게 구할까?

함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 극한값 lim

x`!0 sin`xx 를 구해 보자.

! 0<x<p 2 일 때

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 O에서 CAOB의 크기를 x라디안이라 하고, 점 A에서 접하 는 접선과 선분 OB의 연장선의 교점을 T라고 하면 (△AOB의 넓이) <(부채꼴 AOB의 넓이)

<(△AOT의 넓이) 이므로

1

2 sin`x<1 2x<1

2 tan`x 즉, sin`x<x<tan`x

이때 sin`x>0이므로 위 부등식의 각 변을 sin`x로 나누면 1< x

sin`x< 1 cos`x 즉, cos`x<sin`x

x <1 그런데 lim

x`!0+ cos`x=1이므로 lim

x`!0+

sin`x x =1

@ -p

2 <x<0일 때

x=-t로 놓으면 x`! 0-일 때 t`! 0+이므로 lim

x`!0-

sin`x x = lim

t`!0+

sin {-t}

-t = lim

t`!0+

sin`t t =1 따라서 !, @에서 lim<sub>x`!0</sub>sin`x

x =1이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

f{x}<h{x}<g{x}이고 limx`! a`f{x}=lim

x`! a g{x}=a (a는 실수)이면

lim

x`! a h{x}=a 고등학교 수학 II

x`! 0lim sin`x

x 의 값 lim

x`!0

sin`x

x =1 (단, x의 단위는 라디안)

O A

T

B

1 x

limx`! 0

sin`x x =1

① 반지름의 길이가 r, 중 심각의 크기가 h(라디 안)인 부채꼴의 넓이 S 는 S=1

2r@h

② 두 변의 길이가 a, b이 고 그 끼인각의 크기가 h인 삼각형의 넓이 S 는 S=1

2ab`sin`h 고등학교 수학 I

빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.

⑴ lim

x`! 0

sin`x 2x =1

2lim

x`! 0

sin`x=1

2\ =

⑵ lim

x`! 0

sin`2x x =lim

x`! 0

sin`2x\2=2lim

x`! 0

sin`2x=2\1=2

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0

sin`4x

sin`x

⑵

lim

x`! 0

tan`x x

03

⑴ lim

x`!0

1-cos`x x =lim

x`!0

{1-cos`x}{1+cos`x}

x{1+cos`x}

=limx`!0

1-cos@`x x{1+cos`x}=lim

x`!0

sin@`x x{1+cos`x}

=limx`!0

sin`x x \lim

x`!0

sin`x

1+cos`x=1\0=0

⑵ t=p-x로 놓으면 x`!p일 때 t`!0이므로 lim

x`!p

sin`3x p-x =lim

t`!0

sin`3{p-t}

t =lim

t`!0

sin`3t t

=3lim

t`!0

sin`3t

3t =3\1=3

답 ⑴ 0 ⑵3 다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 0

1-cos`x

x

⑵

lim

x`! p

sin`3x p-x

2

다음 극한값을 구하시오.

⑴

lim

x`! 2"

cos`x x-p 2

⑵

lim

x`! Extan`1 x

04

limx`! 0

sin`x

x =1임을 이용할 수 있도록 식을 변형한다.

•사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.

삼각함수의 미분

사인함수와 코사인함수의 도함수는 어떻게 구할까?

사인함수 y=sin`x의 도함수를 구해 보자.

{sin`x}' =lim

h`!0

sin`{x+h}-sin`x h

=limh`!0

sin`x`cos`h+cos`x`sin`h-sin`x h

=limh`!0

cos`x`sin`h-sin`x{1-cos`h}

h

=limh`!0

cos`x`sin`h h -lim

h`!0

sin`x{1-cos`h}

h

=cos`x\lim

h`!0

sin`h

h -sin`x\lim

h`!0

1-cos`h h

=cos`x\1-sin`x\0

=cos`x

코사인함수 y=cos`x의 도함수를 구해 보자.

{cos`x}' =lim

h`!0

cos`{x+h}-cos`x h

=limh`!0

cos`x`cos`h-sin`x`sin`h-cos`x h

=limh`!0

-sin`x`sin`h-cos`x{1-cos`h}

h

=limh`!0

-sin`x`sin`h

h -lim

h`!0

cos`x{1-cos`h}

h

={-sin`x}\lim

h`!0

sin`h

h -cos`x\lim

h`!0

1-cos`h h

={-sin`x}\1-cos`x\0

=-sin`x

limh`! 0

sin`h h =1 lim

h`! 0

1-cos`h h =0

limh`! 0

sin`h

h =1임을 이용하여 함수 y=sin`x의 x=0에서 미분계수를 구하시오.

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=cos`x-2`sin`x

⑵

y=sin`x`cos`x

01

삼각함수의 도함수 ⑴

❶

{sin`x}'=cos`x

❷

{cos`x}'=-sin`x 이상을 정리하면 다음과 같다.

함수 y=sin`x+j3 k`cos`x를 미분하시오.

1

y'={sin`x}'+j3k{cos`x}'

=cos`x+j3k{-sin`x}

=cos`x-j3k`sin`x

답 y'=cos`x-j3k`sin`x

반지름의 길이가 10`m인 대관람차가 있다. 주원이가 이 대관람차에 탑승한 지 t분 후 지면으로부터 주원이의 높이 를 f{t}`m라고 하면

f{t}=11-10`cos`t 가 성립한다고 한다. f '[p

3 ]의 값을 구하시오.

02

수학   생활

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=sin`x-j5k`cos`x

⑵ y=eX{sin`x-cos`x)

4

다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x`! 4"{sin`2x+1}

⑵ lim

x`! 6"-tan`3x

3

다음에서 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x`! E[ 45 ]X ^⑵ lim

x`! Elog7x

1

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=x@eX ⑵ y=log5`5x

2

다음 문장이 참이면 표, 거짓이면 ×표를 하시오.

1

lim

x`!-EeX=-E이다.

2

{log3`x}'= 1

x`ln`3^이다.

4

{-2`cos`x}'=-2`sin`x이다.

3

lim

x`!0tan`x=0이다.

II

- 1. 여러 가지 함수의 미분

정답과 해설 ▶ 188쪽

실수 e e=lim

x`! 0{1+x}^x!= lim

t`! E[1+ 1t ]T 지수함수와 로그함수의 도함수

① {eX}'=eX ② {ln`x}'=1 x ③ {loga`x}'= 1

x`ln`a ^(단, a>0, a=1) 삼각함수의 덧셈정리

① sin`{a+b}=sin`a`cos`b+cos`a`sin`b sin`{a-b}=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b ② cos`{a+b}=cos`a`cos`b-sin`a`sin`b cos`{a-b}=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b ③ tan`{a+b}= tan`a+tan`b1-tan`a`tan`b

tan`{a-b}= tan`a-tan`b1+tan`a`tan`b

x`! 0lim sin`x

x ^{의 값} limx`! 0

sin`x

x =1 (단, x의 단위는 라디안) 삼각함수의 도함수

① {sin`x}'=cos`x ② {cos`x}'=-sin`x

극한값 lim

x`! E

2@X_!+3X

2@X+3X"! ^{을 구하시오.}

5

x`! Elim9log`ax-log`{2x+5}0=1을 만족시

키는 양수 a의 값을 구하시오.

6

극한값 lim

x`! 0

sin@`x

cos`x-cos@`x ^{를 구하시오.}

10

극한값 lim

x`! 2{x-1}^x-22 을 구하시오.

7

극한값 lim

x`! 0

x@

sin`x`cos`x ^{을 구하시오.}

11

함수 f{x}=eX"#`ln`x@에 대하여 f'{1}의 값을 구하시오.

8

0<a<p 2^, 3

2p<b<2p이고, sin`a= 4

5^, sin`b=- j5k 5 일 때, tan`{a+b}의 값을 구하시오.

9

다음 극한값을 구하시오.

n`lim! E-1 2 [1+1

n ][1+ 1

n+1 ][1+ 1 n+2 ] y[1+ 12n ]=@N

15

극한값 lim

x`! 0sin`x`cos`1

x ^{을 구하시오.}

16

다음 그림과 같이 CB= p2^, CC=h_, BCZ=a^{인 직각삼각형} ABC가 있다. 꼭짓점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, 극한값 lim

h`! 0+

AHZ

ah@^{를 구하시오.}

A B

C H

a h

17

limx`! 0

1-cos`x ax`sin`x+b=1

4 일 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

12

함수 f{x}=-sin`x+a`cos`x {x>0}

beX_! {x<0}^이 x=0에서 미분가능할 때, 실수 a, b의 값을 구하시오.

13

함수 f{x}={1-cos`x}sin`x에 대하여 lim

h`! 0

f{p+2h}-f{p-h}

3h 의 값을 구하시오.

14

추론

1

을 이용하여 남학생의 질문에 답해 보자.

2

활동 목표 여러 가지 함수를 미분하여 문제를 해결할 수 있다.

모든 실수에서 정의된 함수 f{x}가 두 조건 f'{x}=f{x}, f{0}=1

을 모두 만족시킨다. 두 학생의 대화를 읽고, 다음을 해결해 보자.

자기 평가

여러 가지 함수의 미분을 이용하여 문제를 해결하였는가?

수학적 언어로 해결 과정을 명확하게 표현하였는가?

과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?

두 조건을 모두 만족시키는 함수 f{x}에 대하여 함수 G{x}를 G{x}= f{x}

eX 라고 하자. 이때 eX\G{x}=f{x}임을 이용하여 G '{x}를 구해 보자.

1

어떤 함수가 두 조건을 모두 만족시킬까?

f{x}=eX이

면 되겠네! f{x}=eX뿐일까?

모든 실수에서 정의된 두 함수 g{x}, h{x}가 오른쪽 두 조건을 모두 만족시킬 때, 두 함수 g{x}, h{x}가

g{x}=sin`x, h{x}=cos`x

뿐인지를 다음 함수 H{x}를 이용하여 확인해 보자.

H{x}=9 g{x}-sin`x09 g{x}-sin`x0+9h{x}-cos`x09h{x}-cos`x0

3

^{한 번 더 해결하기}

㈎ g '{x}=h{x}

h '{x}=-g{x}

㈏ g{0}=0, h{0}=1

의학! 수학과

통 _하다 도함수로 전염병의 전파 양상 을 예측할 수 있을까?

전염병은 전염력이 강하여 쉽게 감염되는 질병으로 많은 사람의 생명을 위협하기도 한다. 따라서 전염병의 전파 양상을 예측하고, 그에 따라 적절한 대책을 마련하는 것이 중요하다. 전염병의 전파 양상은 적절한 전염병 모형을 수립하여 설명할 수 있다.

예를 들어 한 번 감염되면 회복되지 않는 전염병은 SI 모형으로, 감기와 같이 감염되 어 회복되더라도 면역력이 생기지 않는 전염병은 SIS 모형으로, 홍역과 같이 감염되어 회복되면 영구 면역력이 생기는 전염병은 SIR 모형으로 그 전파 양상을 예측할 수 있 다. 여기서 S는 전염병에 감염될 가능성이 있는 집단, I는 감염된 집단, R는 감염되어 회복한 집단을 의미한다.

이때 함수 I{t}는 시간에 따른 감염자 수를 나타내는 함수로서 지수함수를 이용하여 나타낼 수 있다. 함수 I{t}의 도함수 I'{t}는 시간에 따른 감염자 수의 변화율을 뜻하 며, 이는 전염병의 전파 양상을 분석할 때 중요한 도구가 된다.

[참고 자료: 강혜정, “생명 과학을 위한 수학Ⅰ”]

여러 가지 미분법

2

수학   경제 기업이 제품을 대량으로 생산할 때, 생산량은 비용에 대한 함수로 나타낼 수 있다. 이때 이 함수를 미분하면 비용이 한 단위 증가할 때 생산량이 얼마나 증가하는지를 알 수 있다.

한편 이 함수의 역함수를 미분하면 제품 한 단위를 추가로 생산할 때 증가하는 비용인 한계 비용을 알 수 있다. 이 한계 비용은 기업이 제품의 생산량을 결정할 때 중요한 기준이 된다.

[참고 자료: Austan Goolsbee 외, 김광호 외 옮김, “미시 경제학”]

“역함수를 직접 구하지 않고 역함수의 도함수를 구할 수 있을까?”

함수 y=5`sin`x의 도함수를 구하시오.

2

1

두 함수 f{x}=x+1, g{x}=x@에 대하여 {fJg}{x}를 구하시오.

함수의 몫은 어떻게 미분할까?

온도가 일정할 때, 기체의 압력을 x`Pa, 기체의 부피를 y`m#라고 하면

y=c

x (c는 상수)

인 관계가 성립한다. 기체의 압력이 1`Pa에서 {1+DELTAx}`Pa로 변할 때, 다음 물음에 답하시오.

1

기체의 부피의 평균변화율 DELTAy

DELTAx를 구하시오.

2

기체의 부피의 순간변화율 lim

DELTAx`! 0 DELTAy

DELTAx를 구하시오.

•함수의 몫을 미분할 수 있다.

함수의 몫의 미분법

위의 개념 열기에서 DELTAy

DELTAx

=

c 1+

DELTAx

-c

DELTAx

=- c

1+

DELTAx

이고,

DELTAx`!lim0 DELTAy

DELTAx

=-c이다.

함수 f{x}가 미분가능할 때, 함수 1

f{x}{ f{x}=0}의 도함수를 구해 보자.

- 1f{x} =

' = lim

DELTAx`!0

1

f{x+

DELTAx}

- 1 f{x}

DELTAx

= lim

DELTAx`!0

- f{x+

DELTAx}-f{x}

f{x+

DELTAx}f{x}

DELTAx

=- lim

DELTAx`!0- 1

f{x+

DELTAx} f{x}

\ f{x+

DELTAx}-f{x}

DELTAx

=

=- lim

DELTAx`!0

1

f{x+

DELTAx} f{x}

\ lim

DELTAx`!0

f{x+

DELTAx}-f{x}

DELTAx

=- f '{x}

9 f{x}0@

미분가능한 함수 f{x}

는 연속이므로 lim

DELTAx`! 0`

f(x+DELTAx)=f(x)

두 함수 f{x}, g{x}가 미분가능할 때, 함수 g{x}

f{x} { f{x}=0}의 도함수를 곱의 미분법을 이용하여 구해 보자.

- g{x}

f{x} =

' =- g{x}\ 1f{x} =

'=g '{x}\ 1

f{x}+g{x}\- 1f{x} ='

=g '{x}

f{x} -g{x}f '{x}

9 f{x}0@

=g '{x}f{x}-g{x}f '{x}

9 f{x}0@

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수의 몫의 미분법

두 함수 f{x}, g{x}{f{x}=0}가 미분가능할 때

❶

- 1

f{x}='=- f'{x}

9f{x}0@

❷

-g{x}

f{x}='=g'{x}f{x}-g{x}f'{x}

9f{x}0@

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y= 1

x#-2

⑵

y=2x+5

3x+1

1

⑴ y'=-{x#-2}'

{x#-2}@=- 3x@

{x#-2}@

⑵ y'={2x+5}'{3x+1}-{2x+5}{3x+1}' {3x+1}@

=2{3x+1}-3{2x+5}

{3x+1}@ =- 13 {3x+1}@

답 ⑴ y'=- 3x@

{x#-2}@ ⑵y'=- 13 {3x+1}@

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y= 1

2x@+1

⑵

y= x-2

x#+2x+3

01

다항함수 f{x}를 스스로 정하여 함수 f{x}

x+1 를 미분하시오.

02

함수 y=tan`x의 도함수는 어떻게 구할까?

오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 원점 O에서 x축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 일반각 h를 나타내 는 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원의 교점을 P{x, y}라고 하면

r

y {y=0}, rx {x=0}, xy {y=0}

의 값은 r의 값에 관계없이 h의 값에 따라 각각 하나 씩 정해진다.

따라서

h`!` ry {y=0}, h`!` rx {x=0}, h`!`xy {y=0}

와 같은 대응은 h에 대한 함수이다.

이 함수를 각각 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고, 기호로

csc`h=

r

y {y=0}, sec`h=r

x {x=0}, cot`h=x

y {y=0}

와 같이 나타낸다.

즉,

csc`h= 1sin`h , sec`h= 1

cos`h , cot`h= 1 tan`h 이다.

함수의 몫의 미분법을 이용하여 탄젠트함수 y=tan`x의 도함수를 구해 보자.

{tan`x}' =

[

<sub>cos`x</sub><sup>sin`x</sup>

]

'

={sin`x}'cos`x-sin`x{cos`x}' cos@`x

=cos@`x+sin@`x cos@`x

= 1 cos@`x

=sec@`x

h y

y r x O

-r r

r

-r P{x,`y}

x

h r P r'

P'

O x

y

P{x, y}, P '{x ', y '}이라 고 하면

r y=r '

y ', r x=r '

x ', x

y=x ' y '

sin`h, cos`h, tan`h, csc`h, sec`h, cot`h는 일 반각 h에 대한 삼각함수이다.

{sec`x}'=sec`x`tan`x가 성립함을 보이시오.

2

sec`x= 1

cos`x<sup>이므로</sup> {sec`x}'=-{cos`x}'

cos@`x = sin`x cos@`x

= 1

cos`x\sin`x cos`x

=sec`x`tan`x

따라서 {sec`x}'=sec`x`tan`x이다. ^답 풀이 참고

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=x+tan`x

⑵

y=x`cot`x

04

이상을 정리하면 다음과 같다.

삼각함수의 도함수 ⑵

❶

{tan`x}'=sec@`x

❷

{sec`x}'=sec`x`tan`x

❸

{csc`x}'=-csc`x`cot`x

❹

{cot`x}'=-csc@`x

삼각함수의 도함수 ⑴

❶ {sin`x}'=cos`x

❷ {cos`x}'=-sin`x

다음이 성립함을 보이시오.

⑴

{csc`x}'=-csc`x`cot`x

⑵

{cot`x}'=-csc@`x

03

csc`x= 1

sin`x 이므로 cot`x= 1

tan`x 이므로

합성함수는 어떻게 미분할까?

오른쪽 그림과 같은 오르골에 있는 세 톱니바퀴 A, B, C에서 A가 4회전 할 때 B는 1회전 하고, B가 1회전 할 때 C는 2회전 한다. A, B, C의 회전수를 각각 x, u, y 라 하고, y=f{u}, u=g{x}라고 하자.

1

y를 x의 함수로 나타내시오.

2

^dy_dx 와 dy du\du

dx 를 구하여 비교하시오.

•합성함수를 미분할 수 있다.

합성함수의 미분법

두 함수 y=f{u}, u=g{x}가 미분가능할 때, 합성함수 y=f{g{x}}의 도함 수를 구해 보자.

함수 u=g{x}에서 x의 증분

DELTAx에 대한 u의 증분을 DELTAu, 함수 y=f{u}에서

u의 증분

DELTAu에 대한 y의 증분을 DELTAy라고 하면 다음이 성립한다.

DELTAy DELTAx

= DELTAy

DELTAu

\ DELTAu

DELTAx (단, DELTA

u=0)

이때 두 함수 y=f{u}, u=g{x}는 미분가능하므로 다음이 성립한다.

DELTAu`!lim0 DELTAy

DELTAu

=dy

du , lim

DELTAx`!0 DELTAu

DELTAx

=du

dx

미분가능한 함수 u=g{x}는 연속이고, 이때

DELTAx`! 0이면 DELTAu`! 0이므로

dy

dx = lim

DELTAx`!0 DELTAy

DELTAx

= lim

DELTAx`!0[ DELTAy

DELTAu

\ DELTAu

DELTAx]

= lim

DELTAx`!0 DELTAy

DELTAu

\ lim

DELTAx`!0 DELTAu

DELTAx

= lim

DELTAu`!0 DELTAy

DELTAu

\ lim

DELTAx`!0 DELTAu

DELTAx

=dy du\du

dx 이다.

함수 u=g{x}가 연속 이면

DELTAx`! 0lim

DELTAu

= lim

DELTAx`! 09g{x+

DELTAx}-g{x}0

=g{x}-g{x}

=0

오르골은 조그만 상 자 속에서 쇠막대기 의 바늘이 회전하며 음계판에 닿아 음악 이 자동적으로 연주 되는 악기이다.

B A

C

이때 dy

du=f '{u}=f '{g{x}}이고 du

dx=g '{x}이므로 9 f{g{x}}0'=f '{g{x}}g '{x}

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

합성합수의 미분법

두 함수 y=f{u}, u=g{x}가 미분가능할 때, 합성함수 y=f{g{x}}를 미분하면 dy

dx=dy du\du

dx ^또는 9f{g{x}}0'=f'{g{x}}g'{x}

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y={x#+x-2}%

⑵

y=log`{5x+3}

⑶

y=e@X_!

⑷

y=tan`{2x+1}

01

⑴ u=2x@-1로 놓으면 y=u$에서 dy

du=4u#, du

dx=4x이므로 dy

dx=dy du\du

dx=4u#\4x=16x{2x@-1}#

⑵ u=3-2x로 놓으면 y=sin`u에서 dy

du=cos`u, du

dx=-2이므로 dy

dx=dy du\du

dx=cos`u\{-2}=-2cos`{3-2x}

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y={2x@-1}$

⑵

y=sin`{3-2x}

1

⑴ y'=4{2x@-1}#{2x@-1}'=16x{2x@-1}#

⑵ y'=cos`{3-2x}\{3-2x}'=-2cos`{3-2x}

답 ⑴y'=16x{2x@-1}# ⑵y'=-2cos`{3-2x}

지수함수 y=aX {a>0, a=1}의 도함수는 어떻게 구할까?

합성함수의 미분법을 이용하여 지수함수 y=aX {a>0, a=1}의 도함수를 구 해 보자.

지수함수 y=eX과 로그함수 y=ln`x는 서로 역함수 관계이므로 1이 아닌 양 수 a에 대하여 e<sup>ln`a</sup>=a이다.

즉,

aX={e^{ln`a</sup>}<sup>x</sup>=e<sup>x`ln`a} 이다.

따라서 함수 y=aX {a>0, a=1}의 도함수는 {a^x}' ={e^x`ln`a}'

=e^x`ln`a\{x`ln`a}'

=a^x`ln`a 이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

지수함수의 도함수 ⑵

{aX}'=aX`ln`a (단, a>0,a=1) 지수함수의 도함수 ⑴

{eX}'=eX

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=5^2x+3

⑵

y=3^x@-x

02

y'=2%X_!\ln`2\{5x-1}'

=5\2%X_!`ln`2

답 y'=5\2%X_!`ln`2 함수 y=2%X_!을 미분하시오.

2

로그함수 y=ln`|x|의 도함수는 어떻게 구할까?

합성함수의 미분법을 이용하여 로그함수 y=ln`|x|의 도함수를 구해 보자.

! x>0일 때

ln`|x|=ln`x이므로

{ln`|x|}'={ln`x}'=1 x

@ x<0일 때

ln`|x|=ln`{-x}이므로 {ln`|x|}' =9ln`{-x}0'

= 1

-x\{-x}'

=-1 -x =

1 x

따라서 !, @에서 {ln`|x|}'= 1x 이다.

또 로그함수 y=loga`|x| {a>0, a=1}의 도함수를 구해 보자.

{loga`|x|}' =[ ln`|x|ln`a ] '= 1

ln`a{ln`|x|}'

= 1 ln`a\1

x= 1 x`ln`a

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수 f{x}가 미분가능하고 f{x}=0일 때, 합성함수의 미분법을 이용하여 로그함수 y=ln`| f{x}|의 도함수를 구하면

9ln`| f{x}|0'=f '{x}

f{x}

이다.

로그함수의 도함수 ⑵

❶

{ln`|x|}'=1 x

❷

{loga`|x|}'= 1

x`ln`a ^(단, a>0,a=1) 로그함수의 도함수 ⑴

❶ {ln`x}'=

1 x

❷ {loga`x}'=

1 x`ln`a (단, a>0, a=1)

빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.

로그함수 y=ln`|2x|에서 y'={2x}'

= 2 =

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=x`ln`|x+1|

⑵

y=log3`|2x@-1|

03

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y= x

jx-2l

⑵

y={2x+1}{x@+1}

x+1

04

양변의 절댓값에 자연로그를 취하면

ln`|y|=ln`|x|+3`ln`|x+1|-2`ln`|x-1|

양변을 x에 대하여 미분하면 y'

y=1 x+ 3

x+1- 2

x-1= 2x@-5x-1 x{x+1}{x-1}

따라서 y'=y\ 2x@-5x-1 x{x+1}{x-1}

=x{x+1}#

{x-1}@ \ 2x@-5x-1 x{x+1}{x-1}

={2x@-5x-1}{x+1}@

{x-1}#

답 y'={2x@-5x-1}{x+1}@

{x-1}#

함수 y=x{x+1}#

{x-1}@ 을 미분하시오.

3

함수 y=xN (n은 실수)의 도함수는 어떻게 구할까?

n이 음의 정수일 때, 함수 y=xN의 도함수를 구해 보자.

n=-m(m은 양의 정수)으로 놓으면 y=xN= 1xM이므로 함수의 몫의 미분 법을 이용하면 다음이 성립한다.

y '=[ 1xM ]'=-{xM}'

{xM}@=-mxM_!

x@M =-mx_M_!=nxN_!

이제 실수 n에 대하여 함수 y=xN의 도함수를 구해 보자.

양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln`|y|=n`ln`|x|

이고, 양변을 x에 대하여 미분하면 y' y =n

x이므로 y '=y\ nx=xN\n

x=nxN_!

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수 y=xN (n은 실수)의 도함수 {xN}'=nxN_!

다음 함수를 미분하시오.

⑴

y=- 1

x@

⑵

y=#1x$2

⑶

y=jx-1l

⑷

y=xE

05

수학 기르기

함수 y=x#-2

x@ 의 도함수를 다음 두 학생의 방법으로 각각 구하고, 그 결과를 서로 비교 해 보자.

의사소통

설명할 때는

수학적 언어로 자신의 생각을 조리 있게 표현한다.

함수의 몫의 미분법을 이용하여 구할 거야.

x#-2

x@ =x-2

x@^{이니까 함수} y=xN (n은 실수)의 도함수를 이용하여 구할 거야.

수현

윤아 n이 0 또는 양의 정수일

때, 함수 y=xN의 도함수 는

y '=nxN_!

고등학교 수학 II

n이 유리수인 경우에 도 같은 방법으로 구할 수 있다.

매개변수로 나타낸 함수는 어떻게 미분할까?

두 변수 x, y의 관계를 새로운 변수 t를 이용하여 x=f{t}, y=g{t} yy`

①

와 같이 나타낼 때, t를 매개변수라 하고,

①

을 매개변수로 나타낸 함수라고 한 다. 이와 같이 x, y의 관계를 매개변수로 나타내는 것은 곡선을 표현하는 한 방 법이다.

좌표평면 위를 움직이는 점 P{x, y}의 좌표가 t의 함수 x=2t-1, y=2t@-2t+1

2

로 나타내어진다고 하자. t의 값에 따른 x와 y의 값을 다 음 표에 써넣고, 표에서 구한 점 {x, y}를 오른쪽 좌표 평면 위에 나타낸 후 매끄러운 곡선으로 연결하시오.

t y -1 -2! 0 2! 1 2# 2 y

x y -3 -2 3 y

y y 2( 2 2( y

•매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

O x

y

두 함수 f{t}, g{t}가 미분가능하고 f '{t}=0일 때, 매개변수로 나타낸 함수 x=f{t}, y=g{t}의 도함수 dy

dx 를 구해 보자.

합성함수의 미분법을 이용하면 dy dt=dy

dx\dx dt 이고

dx

dt=0이므로 다음이 성립한다.

dy dx=

dy dt dx dt

= g '{t}

f '{t}

f '{t}=0이면 t를 포 함하는 적당한 구간에서 y 를 x에 대한 함수로 나타 낼 수 있음이 알려져 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

x=f{t}, y=g{t}가 t에 대하여 미분가능하고, f'{t}=0이면

dy dx=

dy dt dx dt

=g'{t}

f'{t}

dx

dt=2, dy

dt=-8t이므로

dy dx=

dy dt dx dt

=-8t

2 =-4t ^답 dy

dx=-4t 매개변수 t로 나타낸 함수 x=2t+1, y=-4t@-3에서 dy

dx 를 구하시오.

1

매개변수 t로 나타낸 다음 함수에서 dy

dx를 구하시오.

⑴

x=-3t+2, y=-2t@+3

⑵

x=t@, y=t+1 t

01

수학 기르기 다음과 같이 두 학생이 원 x@+y@=1을 서로 다른 매개변수로 표현하였다.

문제 해결

문제를 해결할 때는

풀이 결과를 검토하고 답을 확인한다.

1

_{서준이가 매개변수} h로 나타낸 원에 대하여 dy

dx^{를 구해 보자.}

2

_{세민이가 매개변수} t로 나타낸 원에 대하여 dy

dx^{를 구해 보자.}

3 2

_{에서 구한} dy

dx ^에서 t=tan`h로 놓으면

1

_{에서 구한} dy

dx 와 같음을 확인해 보자.

서준

x=cos`2h, y=sin`2h

세민

x=1-t@

1+t@^, y= 2t 1+t@

음함수는 어떻게 미분할까?

원의 방정식 x@+y@=1에서 y는 x에 대한 함수가 아니다. 그러나 y>0일 때 y=11-x@ 3, y<0일 때 y=-11-x@ 3

이고, 각각의 경우에서 y는 x의 함수가 된다.

일반적으로 방정식 f{x, y}=0에서 x와 y의 값의 범위를 적당히 정하면 y는 x의 함수가 된다.

이와 같은 의미에서 x의 함수 y가 f{x, y}=0 꼴로 주어질 때, 이를 함수 y 에 대한 음함수 표현이라고 한다. 이와 같이 함수 y를 음함수로 나타내는 것은 곡선을 표현하는 한 방법이다.

합성함수의 미분법을 이용하여 음함수의 미분법을 알아보자.

음함수 표현 x@+y@=1에서 y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y dy

dx=0, 즉 dy dx=-x

y {y=0}

이다.

원의 방정식 x@+y@=1에 대하여 다음 물음에 답하시오.

1

y>0일 때, y를 x에 대한 식으로 나타내시오.

2

y<0일 때, y를 x에 대한 식으로 나타내시오.

•음함수와 역함수를 미분할 수 있다.

음함수와 역함수의 미분법

y

O

-1 1

1

-1

x y=-11-2x@3 y=11-2x@3

일반적으로 음함수는 다음과 같이 미분한다.

음함수의 미분법

음함수 표현 f{x,y}=0에서 y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대하여 미분하여 dy

dx^{를 구한다.}

음함수 표현 2x@+3y@=1에서 dy

dx를 구하시오.

01

역함수는 어떻게 미분할까?

미분가능한 함수 f 의 역함수 f _!가 존재하고 미분가능할 때, 함수 y=f _!{x}의 도함수를 구해 보자.

y=f _!{x}에서 x=f{y}이고 dxdy=f '{y}=f '{`f _!{x}}이다.

합성함수의 미분법을 이용하여 x=f{y}의 양변을 x에 대하여 미분하면 1 = ddx`f{y}= d

dy`f{y}\dy dx

=f '{y}\ dydx

=f '{`f _!{x}}\ dydx 이므로 다음이 성립한다.

dy

dx= 1

f '{`f _!{x}}= 1 dx dy 양변을 x에 대하여 미분하면

2x-2ydy dx=0 따라서 dy

dx=x

y ^(단, y=0)

답 dy dx=x

y ^(단, y=0) 음함수 표현 x@-y@=3에서 dy

dx를 구하시오.

1

이상을 정리하면 다음과 같다.

역함수의 미분법

미분가능한 함수 f 의 역함수 f_!가 존재하고 미분가능할 때, 함수 y=f_!{x}를 미 분하면

dy dx= 1

dx dy

[^단, dx dy=0]

또는 {f_!}'{x}= 1

f'{`f_!{x}} <sup>(단,</sup> f'{`f_!{x}}=0)

양변을 y에 대하여 미분하면 dx

dy=5y$+6y@+1이므로 dy

dx= 1 dx dy

= 1

5y$+6y@+1 ^답

dy

dx= 1 5y$+6y@+1 함수 x=y%+2y#+y에서 dy

dx 를 구하시오.

2

다음 함수에서 dy

dx를 구하시오.

⑴

x=eY+3y

⑵

x=cos`y{0<y<p}

02

수학 기르기 다음은 함수 f{x}=x@ {x>0}의 역함수를 g{x}라고 할 때, g '{2}의 값을 구하는 과정 이다. 두 학생 중 잘못 푼 학생을 고르고, 그 풀이를 바르게 고쳐 보자.

문제 해결^ㅣ추론

오류를 찾을 때는

수학적 개념이나 사실 을 잘못 적용하지 않았는 지 확인한다.

g{x}=jxk^이므로 g '{x}= 1

2jxk 따라서 g '{2}= 1

2j2k= j2k 4

f '{x}=2x에서 f '{2}=4 이때 g '{x}= 1

f '{x}^이므로 g '{2}=1

4

윤아 수현

이계도함수란 무엇일까?

함수 y=f{x}의 도함수 f '{x}가 미분가능할 때, f '{x}의 도함수

Dx`lim!0

f '{x+

DELTAx}-f '{x}

DELTAx

를 f{x}의 이계도함수라 하고, 이것을 기호로

f "{x}, y", d@y

dx@

,

d@

dx@ `f{x}

와 같이 나타낸다.

함수 f{x}=x#에 대하여 물음에 답하시오.

1

함수 f{x}의 도함수 f '{x}를 구하시오.

2 1

에서 구한 f '{x}의 도함수를 구하시오.

•이계도함수를 구할 수 있다.

이계도함수

빈칸에 알맞은 것을

써넣어 보자. ^삼각함수 y=sin`x에서 y'=cos`x이므로 y "=

다음 함수의 이계도함수를 순서에 따라 구하시오.

도함수 y' 이계도함수 y

"

⑴

y=x$+3x@ ➡

⑵

y=ln`{x+1}

➡

⑶

y=e@X

_➡

⑷

y=cos`{x+2} ➡

01

매개변수 t로 나타낸 함수 x=1

2t, y=t@

에서 dy

dx^{를 구하시오.}

2

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=1

x ^⑵ y=cot@`x

⑶ y=ln`|2x+1| ⑷ y=%1x@2

1

II

- 2. 여러 가지 미분법

정답과 해설 ▶ 190쪽

함수의 몫의 미분법: 두 함수 f{x}, g{x}{f{x}=0}가 미분가능할 때 ① - 1

f{x}='=- f'{x}

9f{x}0@

② -g{x}

f{x}='=g'{x}f{x}-g{x}f'{x}

9f{x}0@

합성함수의 미분법: 두 함수 y=f{u}, u=g{x}가 미분가능할 때, 합성 함수 y=f{g{x}}를 미분하면

dy dx=dy

du\du

dx ^또는 9f{g{x}}0'=f'{g{x}}g'{x}

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

x=f{t}, y=g{t}가 t에 대하여 미분가능하고, f'{t}=0이면

dy dx=

dy dt dx dt

=g'{t}

f'{t}

음함수의 미분법: 음함수 표현 f{x, y}=0에서 y를 x의 함수로 보고 양 변을 x에 대하여 미분하여 dy

dx ^{를 구한다.}

역함수의 미분법: 미분가능한 함수 f 의 역함수 f_!가 존재하고 미분가능 할 때, 함수 y=f_!{x}를 미분하면

dy dx= 1

dx dy

[단, dx dy=0_]

또는 {f_!}'{x}= 1

f'{f_!{x}} ^(단, f'{f_!{x}}=0) 이계도함수

함수 y=f{x}의 도함수 f'{x}가 미분가능할 때, f{x}의 이계도함수는 f"{x}= lim

DELTAx`! 0

f'{x+

DELTAx}-f

'{x}

DELTAx

다음 문장이 참이면 표, 거짓이면 ×표를 하시오.

1

함수 f{x}{f{x}=0}가 미분가능하 면 함수 1

f{x}^{도 미분가능하다.}

2

{tan`x}'=-sec@`x이다.

3

{2X}'=2X`ln`2이다.

4

{log2`|x|}'= 1 x`ln`2^이다.

5

삼차함수의 이계도함수는 일차함수 이다.

함수 y=sin`{cos`x}를 미분하시오.

5

함수 y={2x+1}#

{x-3}@ ^{을 미분하시오.}

6

함수 f{x}가 f{x}= 1

x+ 1 x@+ 1

x#+y+ 1 x!) 일 때, f'{1}_{의 값을 구하시오.}

7

함수 f{x}=#1x#+2x@+7x-33^{에 대하여} f'{2}의 값을 구하시오.

8

함수 y=x@+7 x-5^에서 y'=ax@+bx-7

{x-5}@

일 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

4

함수 y=x`ln`x의 이계도함수를 구하시오.

3

함수 f{x}가

e ^f{x}=q1+cos`x 1-cos`xe 를 만족시킬 때, f"[p

6 ]^{의 값을 구하시오.}

14

매개변수 h로 나타낸 곡선 x=2`tan`h, y=3`sec`h 위의 한 점 [2j3k

3 ^, 2j3k]에서 접하는 접선의 기울기를 구하시오.

9

음함수 표현 x@-xy-y@=3에서 dy dx^{를 구} 하시오.

10

음함수 표현 eX+eY=2에 대하여 x=0에서 dy

dx^{의 값을 구하시오.}

11

곡선 x= 2y

y@-2^{에 대하여} y=0에서 dy dx^의 값을 구하시오. (단, -1<y<1₎

12

미분가능한 함수 f{x}가 lim

x`! 9

f{x}-3 x-9 =1

2

을 만족시키고, 함수 f{x}_{의 역함수} g{x}_가 미분가능할 때, g{3}+g'{3}_{의 값을 구하시} 오.

13